RNDr. Libor Pol k. Algebra I Z pisky z p edn ky zpracoval: Ji Dobe 20. dubna 1995 Obsah 1 Grupy 1 1.1 Grupy zbytkov ch t d : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1.2 Z kladn vlastnosti grup : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 1.3 Podgrupy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 1.4 Morsmy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 1.5 Cayleho v ty : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 1.6 Klasikace cyklick ch grup : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 1.7 Sou iny grup : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 1.8 Klasikace kone n ch komutativn ch grup : : : : : : : : : : : : : : : 9 1.9 Lagrangeova v ta : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 1.10 Faktorov grupy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10 2 Okruhy a polynomy 11 2.1 Zaveden pojmu okruh : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11 2.2 Z kladn vlastnosti : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12 2.3 V tan vlastnost okruh : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13 2.4 Podokruhy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13 2.5 Homomorsmy okruh, pod lov t leso : : : : : : : : : : : : : : : : : 14 2.6 Polynomy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15 2.7 Ko eny polynom : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17 2.8 Polynomy nad C, R, Q : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18 1 Grupy Nejd ve uvedeme n kter z kladn pojmy: Bin rn operace na mno in A je zobrazen : A A! A.M sto(a b) p eme a b. (A ) Mno ina A s operac se naz v grupoid. Operace je komutativn, plat -li 8a b 2 A : a b = b a. Operace je asociativn, plat -li 8a b c 2 A :(a b) c = a (b c). Pologrupa je grupoid s asociativn operac. Lev neutr ln prvek e 2 A spl uje 8a 2 A : e a = a. 1
1 GRUPY 2 Prav neutr ln prvek e 2 A spl uje 8a 2 A : a e = a. Neutr ln prvek je lev neutr ln a prav neutr ln. Monoid je pologrupa s neutr ln m prvkem. V ta 1.1 Nech e je lev neutr ln prvek a f prav neutr ln prvek grupoidu (A ). Pak e = f. D kaz: e = e f = f grupoid m e m t v ce nap. lev ch neutr ln ch prvk, m -li i n jak prav neutr ln prvek, pak m jedin neutr ln prvek, tedy i jedin lev neutr ln prvek. 2 Denice 1.2 Nech (A ) je grupoid s neutr ln m prvkem e, a 2 A. b 2 A se naz v lev (resp. prav ) inverzn prvek k a, plat -li b a = e (a b = e). Prvek b se naz v inverzn, spl uje-li a b = b a = e. V ta 1.3 Nech (A e) je monoid, a 2 A, nech b je lev inverzn k a, c je prav inverzn ka.pak b = c. D kaz: c = e c =(b a) c = b (a c) =b e = b 2 Denice 1.4 Permutace na mno in X je bijekce f : X! X. S(X) ozna me jako mno inu v ech permutac na mno in X. Z ejm plat f g 2 S(X), pakg f 2 S(X). Denice 1.5 Grupa je pologrupa s neutr ln m prvkem takov, e ke ka d mu prvku existuje prvek inverzn. Pozn mka 1.6 Grupa (S(X) ) se naz v symetrick grupa na mno in X. Jde o grupu v ech permutac na mno in X. Je komutativn pr v, kdy jxj 2. ProXkone nou lze p edpokl dat, e X = f1 2 ::: ng, p eme S n. js n j = n! Denice 1.7 Nech (i 1 i 2 ::: i k ), k 2 jsou po dvou r zn prvky z f1 ::: ng. Permutaci danou p edpisem: f (i j ) = i j+1 pro j =1 ::: k; 1 f (i k ) = i 1 f (i) = i pro i 2f1 2 ::: ng;fi 1 i 2 ::: i k g naz v me cyklem. Cyklus d lky 2 naz v me transpozic. Cykly (i 1 ::: i k ) a (j 1 ::: j l ) naz v me nez visl, plat -li fi 1 ::: i k g\fj 1 ::: j l g = V ta 1.8 Libovolnou neidentickou permutaci f mno iny X = f1 2 ::: ng lze ps t jako sou in po 2 nez visl ch cykl. Tento rozklad je jednozna n a na po ad initel.
1 GRUPY 3 V ta 1.9 Ka d f 2 S n je sou inem transpozic. Denice 1.10 Nech f 2 S n, 1 i<j n. Dvojice (i j) je inverz v f, plat -li f (i) >f(j). Permutace se sud m (lich m) po tem inverz se naz v sud (lich ). V ta 1.11 Permutace je sud pr v, kdy je sou inem sud ho po tu transpozic. D kaz: Identick permutace je sud a je sou inem nula transpozic. Sta uk zat, e n soben transpozic m n paritu. 2 1.1 Grupy zbytkov ch t d Denice 1.12 Nech a b 2 Z, ajb (a d l b) pr v,kdy 9c 2 Z : c a = b. Pozn mka 1.13 Jen na okraj: aj0 pro 8a 2 Z 0ja pr v proa =0. V ta 1.14 Nech a 2 N b2 Z. Pak existuje q 2 Z, r 2f0 1 ::: a; 1g tak, e b = q a + r. P itom q i r jsou ur eny jednozna n. D kaz: 1. b 0 indukc vzhledem k b (a) b<asta ps t b =0 a + b, kde q =0 r = b: (b) b a podle induk n ho p edpokladu b ; a = q a + r q 2 Z r 2f0 ::: a; 1g b =(q +1)a + r 2. b<0 podle prvn ho bodu ;b = q a + r b = (;q) a ; r pro r =0 b = (;q ; 1) a +(a ; r) pro r>0 Jednozna nost: b = q a + r = q 0 a + r 0 q q 0 2 Z r r 0 2f0 ::: a; 1g Lze p edpokl dat, e r r 0. r ; r 0 =(q 0 ; q) a r ; r 0 2f0 1 ::: a; 1g jedin cel n sobek a v mno in na p edch zej c m dku je 0, tedy r = r 0 q = q 0 2
1 GRUPY 4 Denice 1.15 Nech a b 2 Z. d nazveme spole n m d litelem sel a,b, plat -li dja ^ djb. dnazveme nejv t m spole n m d litelem sel a,b, je-li mezi spole n mi d liteli nejv t. Ozna ujeme (a b). V ta 1.16 Euklid v algoritmus Nech a b 2 N. a = q 1 b + r 1 b = q 2 r 1 + r 2 r 1 = q 3 r 2 + r 3 ::: r n;2 = q n r n;1 + r n r n;1 = q n+1 r n Plat r 1 2h0 b),r 2 2h0 r 1 ),r 3 2h0 r 2 ), atd. Pak r n =(a b). D kaz: 1. dok eme, e r n je spole n d litel a,b z posledn rovnosti r n jr n;1 z p edposledn r n jr n;2.. 3. r n jr 1 2. r n jb 1. r n ja 2. a er n je nejv t m spole n m d litelem: Nech dja az rove djb, z1.rovnosti djr 1 r n 2 N, d r n z2. djr 2.. z p edp. djr n 2 V ta 1.17 Bezoutova rovnost Nech a b 2 N. Pak existuje u v 2 Z tak, e ua+vb =(a b). D kaz: Vypl v z Euklidova algoritmu. 2 Denice 1.18 sla a b 2 Z naz v me nesoud ln, plat -li, e (a b) =1 D sledek 1.19 sla a b 2 Z jsou nesoud ln pr v, kdy 9u v 2 Z takov, e u a + b v =1. D sledek 1.20 Nech a b c 2 N, ajb c, (a b) =1.Pak ajc.
1 GRUPY 5 Denice 1.21 a 2 a2 N se naz v prvo slo, plat -li: a = b c, b c 2 N ) b =1nebo c =1. Lemma 1.22 Nech a 2 N a 2. Pak lze vyj d it a jako sou inprvo sel. Tento rozklad je jednozna n a na po ad initel. D kaz: existence indukc vzhledem k a, jednozna nost indukc 2 Denice 1.23 Nech a b 2 Z n 2 N. a b (mod n), nj(a ; b) je kongruentn modulo ("a je kongruentn s b modulo n"). Ozna me [a] n := fk n + ajk 2 Zg. Lemma 1.24 Je ekvivalentn : 1. a b (mod n) 2. a,b d vaj p i d len n stejn zbytek. 3. [a] n =[b] n Denice 1.25 Denujeme n sleduj c mno inu: Zn := f[a] n ja 2 Zg = f[0] n [1] n ::: [n ; 1] n g v prvn mno in vypo t v me i prvky, kter jsou shodn, zato druh u je p esn m v tem (vz jemn r zn t dy tvo c rozklad Zn), obsahuje jen zbytky po d len. Na Zn denujeme operaci + p edpisem: [a] n +[b] n := [a + b] n, a d le operaci takto: [a] n [b] n := [a b] n. V ta 1.26 Pro libovoln n 2 N je (Zn +) komutativn grupa. V ta 1.27 Pro libovoln n 2 N je (Zn ) komutativn monoid. [a] n m inverzi, (a n) =1. D sledek 1.28 (Z n = f[1] n [2] n ::: [n ; 1] n g ) je pro prvo seln n grupou. Pozn mka 1.29 znamen, e jde o mno inubeznulov t dy.pouze je-li n prvo slo, je p slu n Z n uzav en na operaci a je tedy grupou. Denice 1.30 Pro n 2 N denujeme tzv. Eulerovu funkci '(n) jako po et sel z mno iny f1 2 ::: n; 1g, kter jsou nesoud ln s n. V ta 1.31 Pro prvo seln p plat '(p n )=p n;1 :(p;1). Pro a,b nesoud ln plat '(ab) = '(a) '(b) P klad 1.1 '(1000) = '(2 3 :5 3 )=2 2 :1:5 2 :4
1 GRUPY 6 1.2 Z kladn vlastnosti grup V ta 1.32 Nech (s ) je pologrupa, n 2 N, a 1 a 2 ::: a n 2 S.Pak sou in prvk a 1 a 2 ::: a n v dan m po ad nez vis na uz vorkov n. D kaz: indukc vzhledem k n 1. pro n =1 2 nen co dokazovat 2. pro n 3 a tvrzen plat pro men n: nech a 1 a 2 ::: a n 2 S, uva ujme sou in (a 1 :::a k ) (a k+1 a n )= podle induk n ho p edpokladu nez vis obsah 1. z vorky na uz vorkov n ( ani2.z vorky), =(a 1 (a 2 :::a k )) (a k+1 :::a n )=a 1 (a 2 :::a k ) (a k+1 :::a n ) pro k 2 nemus me pou vat z vorek a pro k =1u m me po adovan tvar. 2 V ta 1.33 Je-li (S ) komutativn pologrupa, n 2 N a 1 a 2 ::: a n sou inu prvk a 1 a 2 ::: a n nez vis na jejich po ad. 2 S. Pak v sledek Denice 1.34 Bu (s ) pologrupa a 2 S, n 2 N. Denujeme a n := a a{z a}. Pokud m n initel pologrupa neutr ln prvek 1, klademe t a 0 := 1. Lemma 1.35 Z ejm 8n m 2 N0 plat a m a n = a m+n (a m ) n = a mn Lemma 1.36 Maj -li a,b inverzi, ekn me a ;1 b ;1, plat, e b ;1 a ;1 je inverze a b. Denice 1.37 Pro n 2 N klademe a ;n := (a ; 1) n. Co je samoz ejm rovno (a n ) ;1. Lemma 1.38 Op t se snadno vid, e 8m n 2 Z a m a n = a m+n (a m ) n = a mn Denice 1.39 d prvku agrupy (G ) je nejmen p irozen slo n takov, e a n =1.Pokud takov n neexistuje, prav me, e a m d 0. P klad 1.2 V (Z +) m a =2 d 0. V (Z 6 +) je to takto:
1 GRUPY 7 [0] 6 m d 1. [1] 6 m d 6. [2] 6 m d 3. [3] 6 m d 2. [4] 6 m d 1. [5] 6 m d 6. Lemma 1.40 Nech (G ) je grupa, a 2 G. 1. Nech a je du n, k 2 Z, k = qn + r q 2 Z 0 r<n,pak 1 a a 2 ::: a n;1 jsou po 2 r zn. a k = a r 2. Nech a je du 0, pak pro libovoln k l 2 Z k 6= l je a k 6= a l 1.3 Podgrupy Denice 1.41 Nech (G ) je grupa a H G. Hnaz v me nosi em podgrupy grupy (G ), je-li 1 2 H a 2 H ) a ;1 2 H a b 2 H ) a b 2 H Denice 1.42 Grupu (H ) nazveme podgrupou grupy (G ) plat -li: H G a b 2 H ) a b = a b. Pak 1 G =1 H :1 H 1 G =1 H =1 H 1 H =1 H 1 H.Prolibovoln a 2 H je inverze a ;1 v (H ) rovna inverzi a ;1 v (G ). Odvozen je analogick. V ta 1.43 V dal m nebudeme mezi t mito pojmy rozli ovat. Lemma 1.44 Nech (G ) je grupa. (H i ) i2i je syst m podgrup, I 6=. Pak H = T i2i H i je op t podgrupa. V ta 1.45 Nech (G ) je grupa, M G. Pak existuje (vzhledem k inkluzi) nejmen podgrupa grupy obsahuj c mno inu M. Je rovna T i2i H i, kde (H i ) i2i je syst m v ech podgrup, kter obsahuj mno inu M. D kaz: I 6=, nebo samo G je takovou podgrupou. H = T i2i H i je podgrupa podle p edchoz ho lemmatu. Z ejm M H. Chci dok zat, e H je nejmen takov. Nech H' je podgrupa obsahuj c M. A z ejm 9i 0 2 I : H 0 = H i0, ale plat, e T i2i H i H i0. 2
1 GRUPY 8 Denice 1.46 Podgrupu z p edch zej c v ty naz v me podgrupou generovanou mno inou M, ozna ujeme hmi. P klad 1.3 (Z +) je generov na nap klad mno inou f;1g nebo f2 3g. Nesta mno ina f2g. Ta generuje jen podgrupu sud ch sel. Denice 1.47 Grupa generovan jednoprvkovou mno inou se naz v cyklick. V ta 1.48 Nech (G ) je grupa, M G. Pak hmi = fa "1 1 a"2 2 :::a"n n jn 2 N0 a 1 :::a n 2 M " 1 ::: " n 2f1 ;1gg Sou in d lky 0 interpretujeme jako jedni ku 1. D sledek 1.49 hai = fa k jk 2 Zg. M sto hfagi p eme hai. 1.4 Morsmy Denice 1.50 Nech (G ), (H ) jsou grupy. Zobrazen : G! H se naz v homomorsmem grupy (G ) do grupy (H ), plat -li 8a b 2 G : (a b) = (a) (b). P eme :(G )! (H ) D le ozna ujeme vno en jako prost homomorsmus, izomorsmus jako bijektivn homomorsmus. k me, e (G ) je izomorfn s (H ), existuje-li izomorsmus (G ) na (H ), p eme (G ) = (H ). Lemma 1.51 P irozen logaritmus ln : (R + )! (R +) je izomorsmus. Plat tak (Z6 ) = (Z 7 ) V ta 1.52 Nech :(G )! (H ) je homomorsmem grup. Pak (1 G )=1 H,prolib. a 2 G(a ;1 )=((a)) ;1 Pozn mka 1.53 Slo en homomorsm je op t homomorsmus. Zobrazen inverzn k izomorsmu je izomorsmus. Je-li H podgrupa grupy (G ), pak inkluze je vno en m (a 7! a). 1.5 Cayleho v ty Budeme pracovat s touto strukturou: nech A je mno ina. (A A ) je pologrupa. V ta 1.54 Libovoln pologrupa je izomorfn podpologrup pologrupy (A A ) pro vhodnou mno inu A.
1 GRUPY 9 D kaz: Nech (S ) je pologrupa. Denujeme pro a 2 S zobrazen a : S! S vztahem f a (x) =a x pro libovoln x 2 S. je vno en (S ) do (S S ). Chceme dok zat, e je homomorsmus: Pro a b 2 S, x 2 S, pak ab (x) =a:b:x. Plat a b (x) = a ( b (x)) = a (b:x) = a:b:x. Tedy jde skute n o homomorsmus. Chceme nav c, e je prost : a b 2 S, a = b. Lze p edpokl dat, e na e pologrupa S je monoid, nen -li, pak p id me 1. Plat a (1) = b (1), z toho a:1 = b:1, a tedy a = b. A m me izomorsmus. 2 V ta 1.55 Libovoln grupa (G ) je izomorfn s podgrupou (=lze vno it do) grupy (PermA ) pro vhodnou mno inu A. Za A lze vz t G. 1.6 Klasikace cyklick ch grup V ta 1.56 Libovoln nekone n cyklick grupa je izomorfn grup (Z +). Libovoln n-prvkov (n 2 N) cyklick grupa je izomorfn grup (Zn +). 1.7 Sou iny grup Denice 1.57 Nech (G ), (H ) jsou grupy. Na mno in G H denujeme operaci takto: (a b) (a 0 b 0 ):=(a a 0 b b 0 ). (n soben po slo k ch) Lemma 1.58 (G H ) je grupa. Zobrazen : G H! G (a b) 7! a, : G H! H (a b) 7! b jsou surjektivn homomorsmy grupy (G H ) na (G ) respektive (H ). V ta 1.59 Nech (G ) je komutativn grupa, H a K jej podgrupy. Nech H \ K = f1g G H K (= fh kjh 2 H k 2 Kg) Pak (G ) = (H ) (K ). 1.8 Klasikace kone n ch komutativn ch grup V ta 1.60 Nech (G ) je kone n komutativn grupa, jgj 2. Pak (G ) = (Z k p 1 +) ::: (Z 1 p km m +) kde m k 1 ::: k m 2 N p 1 ::: p m jsou prvo sla. Tento rozklad je jednozna n a na po ad initel. 1.9 Lagrangeova v ta Denice 1.61 Nech (G ) je grupa, H jej podgrupa, denujme ah := fa hjh 2 Hg, G=H := fahja 2 Gg. Lemma 1.62 Pro a b 2 G je ekvivalentn : 1. ah = bh
1 GRUPY 10 2. a 2 bh 3. b ;1 a 2 H V ta 1.63 G=H je rozklad na mno in G. Libovoln dv t dy jsou stejn mohutn. D kaz: S a2g ah G, nebo a2ah. nech c 2 ah \ bh, pak9h k 2 H tak, e c = ah = b k jh ;1 zprava a = b k h ;1 2 bh k h ;1 2 H Tedy ah = bh a jde o rozklad. Nech a 2 G, : H! ah h 7! ah. je surjektivn a injektivn. Tedy bijekce a mezi lib. dv ma t dami. Proto jsou lib. dv t dy stejn velk. D sledek 1.64 Nech (G ) je komutativn grupa, jgj = n. Pak 1. jgj = jg=hj jhj, pro libovolnou podgrupu H. 2. (Lagrangeova v ta) jhj d l jgj, pro libovolnou podgrupu H. 3. a 2 G du m, pak mjn. 4. je-li n prvo slo, je (G ) cyklick. 5. (Fermatova v ta) a 2 G, pak a n =1. 2 D sledek 1.65 (Euler) Nech a n 2 N, (a n) =1.Pak a '(n) 1 (mod n). D kaz: uva ujme grupu invertibiln ch prvk v (Z n ). Tato grupa m '(n) prvk ( [a] n m inverzi, (a n) =1) [a] '(n) n =[1] n 2 1.10 Faktorov grupy Denice 1.66 Podgrupa H grupy (G ) se naz v norm ln, plat -li 8a 2 G : 8h 2 H : a ;1 ha 2 H. G=H := fahja 2 Gg - lev rozklad HnG := fhaja 2 Gg -prav rozklad Lemma 1.67 Je ekvivalentn : 1. H je norm ln grupa. 2. 8a 2 G : ah = Ha(, G=H = HnG) 3. Na G/H denujeme takto operaci: ah bh := (a b)h.
2 OKRUHY A POLYNOMY 11 V ta 1.68 Je-li (G ) grupa, H jej norm ln podgrupa, pak G=H s operac denovanou v e je grupa. Zobrazen nath : G! G=H a 7! ah je surjektivn homomorsmus grupy (G ) na grupu (G=H ). Denice 1.69 Nech : (G )! (H ) je homomorsmus grup, klademe J() := fa 2 Gj(a) =1g. Lemma 1.70 Nech (G ) je grupa. Norm ln podgrupy v(g ) jsou pr v j dra homomor- sm vedouc ch z(g ). D kaz: nech H je norm ln podgrupa v (G ). nath :(G )! (G=H ) J(natH) = fa 2 Gj(natH)(a) =Hg = fa 2 GjaH = Hg = H Naopak, bu : (G )! (H ) homomorsmus, dok eme, e J() je norm ln podgrupa v (G ) :12 J() a b 2 J() ) (a) =(b) =1) (ab) =(a) (b) =1 (a ;1 )=((a)) ;1 =1 ;1 =1a m me podgrupu. Norm lnost: a 2 G, b 2 J(). Chceme a ;1 ba 2 J(). (a ;1 b a) =((a)) ;1 (b) (a) =1. 2 Lemma 1.71 J() =f1g, je prost. V ta 1.72 Nech : (g )! (H ) je homomorsmus grup. G' je norm ln podgrupa (G ), nech G 0 J(). Pak existuje jedin homomorsmus :(G=G 0 )! (H ) takov, e natg 0 =. D sledek 1.73 Nech : (G )! (H ) je surjektivn homomorsmus. Pak (G )=J() = (H ). 2 Okruhy a polynomy 2.1 Zaveden pojmu okruh Denice 2.1 Uspo danou trojici R = (R + ) naz v me okruh, je-li (R +) komutativn grupa, (R ) monoid a jsou-li spln ny tzv. distributivn z kony: 8a b c 2 R : a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc: R se naz v komutativn okruh, je-li (R ) komutativn. Ozna en : 0... je neutr ln prvek vzhledem k +, ;a...inverzi prvku a vzhledem k + naz v me opa n prvek,
2 OKRUHY A POLYNOMY 12 1... je neutr ln prvek vzhledem k, R se naz v trivi ln, je-lijrj =1, a ; b := a +(;b). Lemma 2.2 Nech R =(R + ) je okruh. Pak 1. 0a = a0 =0 2. (;a)b = a(;b) =;(ab) 3. a(b ; c) =ab ; ac 4. R je trivi ln, 0=1 Denice 2.3 Okruh R se naz v obor integrity, je-li netrivi ln, komutativn a plat 8a b 2 R :(ab =0) a =0_ b =0). Tedy v oboru integrity se nevyskytuj d litel nulynebotak, analogicky, nenulov prvky jsou uzav eny vzhledem k n soben. Lemma 2.4 (Zn + ) je obor integrity, njeprvo slo. Denice 2.5 Okruh R se naz v t leso, je-li (R ) komutativn grupa. Q R C jsou t lesa. Naprosto z ejm je, e je-li R t leso, pak R jeioboremintegrity. 2.2 Z kladn vlastnosti Denice 2.6 Charakteristika okruhu R je d 1 v (R +). Zna me charr. P klad 2.1 charzn = n, seln okruhy maj charakteristiku 0. Lemma 2.7 Nech charr = n, a 2 R, pak plat n a =0.(n a znamen Lemma 2.8 Charakteristika oboruintegrity je 0 nebo prvo slo. n z } { a + a + a). Denice 2.9 Bu R komutativn okruh, a b 2 R. a d l b, jestli e 9c 2 R : a c = b. P eme ajb. Prvky a,b naz v me asociovan, je-li ajb bja. P eme a b. Prvek e 2 R naz v me jednotkou (v libovoln m okruhu),m -liv(r ) inverzi. V R jsou jednotky v echna sla mimo 0 a asociovan prvky jsou v echny dvojice nenulov ch sel. Lemma 2.10 Plat : 1. je relace ekvivalence na R.
2 OKRUHY A POLYNOMY 13 2. R obor integrity. Pak a b pr v, kdy existuje jednotka c tak, e b = a c. Denice 2.11 Bu R komutativn okruh, a b c d 2 R. Prvek c je spole n d litel prvk a,b, plat -li cja cjb. Prvek c je nejv t spole n d litel, je-li spole n d litel a pro libovoln jin spole n d litel d plat djc. Denice 2.12 Libovoln prvek a 2 R je d liteln libovolnou jednotkou a libovoln m prvkem asociovan m s a, tyto d litele naz v me nevlastn d litele. Denice 2.13 Prvek a 2 R se naz v ireducibiln, je-lir zn od 0, nen jednotkou a m jen nevlastn d litele. Lemma 2.14 Nech R je komutativn okruh, pak 1. pokud existuje nejv t spole n d litel prvk a,b je ur en jednozna n a na asociovanost. 2. je-li a ireducibiln, a b, pak je prvek b tak ireducibiln. 2.3 V tan vlastnost okruh Vlastnost, kter je u okruh tak cen n, je jednozna nost rozkladu. Uvedeme si denici, kter tento pojem zav d p esn. Denice 2.15 Libovoln prvek a 2 R, kter nen jednotkou, lze ps t ve tvaru a = p 1 :::p k, kde k 2 N, p 1 ::: p k jsou ireducibiln prvky. Pokud t a = q 1 q l, kde l 2 N, q 1 ::: q l jsou ireducibiln, potom l = k a z rove existuje permutace mno iny f1 kg tak, e q i p (i). P klad 2.2 Okruh (Z + ) je s jednozna n m rozkladem, libovoln t leso je okruhem s jednozna n m rozkladem. 2.4 Podokruhy Denice 2.16 Nech R = (R + ) je okruh, mno ina M se naz v podokruhem okruhu R, plat -li M R, 0 1 2 M, a jestli e a b 2 M, pak plat a + b a b ;a 2 M. Pozn mka 2.17 Zejm na (M +) je podgrupa grupy (R +). Z ejm i (M +=M M =M M ) je okruh. Lemma 2.18 Nech S i pro i 2 I I 6= je podokruh okruhu R =(R + ). Pak tak T i2i S i je podokruh. Zavedeme n sleduj c ozna en : Pro libovolnou mno inu M R existuje nejmen podokruh okruhu R obsahuj c M. Nazveme ho podokruh generovan mno inou M, ozna me [M ]. D le nech S je podokruh okruhu R, a 2 R m sto [S [fag] p eme S[a]. Lemma 2.19 S[a] =f 0 + 1 a + 2 a 2 + :::+ n a n jn 2 N 0 0 ::: n 2 Sg.
2 OKRUHY A POLYNOMY 14 2.5 Homomorsmy okruh, pod lov t leso Denice 2.20 Nech R =(R + ), S =(S + ) jsou okruhy. Zobrazen : R! S se naz v homomorsmus okruhu R do okruhu S, plat -li: (a + b) =(a) +(b) (a b) =(a) (b) (1) = 1 R, kde a b 2 R. Zejm na se jedn o homomorsmus grupy (R +) do grupy (S +). D le se naz v izomorsmus, je-li bijektivn. R a S se naz vaj izomorfn, existuje-li izomorsmus R na S. Lemma 2.21 Nech : R!S je homomorsmus okruh. je prost, J() :=fa 2 Rj(a) =0g = f0g Libovoln homomorsmus t les je prost a pro a 2 R plat (a ;1 )=((a)) ;1 Lemma 2.22 Nech R =(R + ) je obor integrity. Na mno in R R denujeme relaci takto: (a b) (c d), a d = b c: Pak je relace ekvivalence. Ozna me t du ekvivalence takto: a b =[(a b)] Denice 2.23 a c ad b + + bc := d bd a b c ac := d bd Q(R) :=f a b j(a b) 2 R R g Mno ina Q(R) se ozna uje tak jako pod lov t leso. V ta 2.24 + jsou korektn denovan operace na Q(R). (Q(R) + ) je t leso. Denice 2.25 Racion ln sla Q := Q((Z + )) V ta 2.26 Nech R =(R + ) je obor integrity, : R! Q(R) a 7! a je prost homomor- 1 smus R do Q(R). Je-li : R!T prost homomorsmus do t lesa T, existuje jedin homomorsmus : Q(R)!T takov, e =. Denice 2.27 zaveden p irozen ch sel N 0 je nejmen mno ina obsahuj c auzav en vzhledem k (un rn ) operaci a 7! a [fag.
2 OKRUHY A POLYNOMY 15 Denice 2.28 Zavedeme relaci na N 0 N 0 takto: Jde z ejm o relaci ekvivalence. Denice 2.29 (a b) (c d), a + d = b + c Z := (N 0 N 0 )= Prvek t to mno iny vyj d me jako a ; b := [(a b)]. Operace budou zavedeny takto: (a ; b) +(c ; d) :=(a + c) ; (b + d) (a ; b) (c ; d) :=(ac + bd) ; (ad + bc) 2.6 Polynomy Denice 2.30 Nech R =(R + ) je okruh. Polynomem nad R naz v me posloupnost f = (f 0 f 1 :::) prvk z R takovou, e skoro v echny jsourovny 0 (tzn. v echny a na kone n po et nebo od jist ho m sta jsou v echny nulov ). R[x] je mno ina v ech polynom nar. Na R[x] denujeme operace + takto: (f 0 f 1 :::)+(g 0 g 1 :::)=(f 0 + g 0 f 1 + g 1 :::) (f 0 f 1 :::) (g 0 g 1 :::)=(h 0 h 1 :::) kde h i := P i j=0 f jg i;j pro i =0 1 :::. Z ejm je h 0 = f 0 g 0 h 1 = f 0 g 1 + f 1 g 0... Lemma 2.31 R[x] =(R[x] + ) je okruh. Je-li R komutativn, je i R[x] komutativn. Je-li R obor integrity, jeir[x] obor integrity (toto neplat pro t leso!). Denice 2.32 Stupe polynomu f, st(f ) je nejv t n 2 N takov, e f n 6=0, kde f n je vedouc koecient polynomu f. Stupe polynomu (0 0 :::) klademe ;1. Lemma 2.33 Nech f,g jsou polynomy. st(f + g) maxfst(f ) st(g)g st(f:g) st(f )+st(g) Je-li R obor integrity, plat ve 2. p pad rovnost. Lemma 2.34 Nech R je obor integrity,f 2 R[x]. f je jednotka vr[x] pr v tehdy, kdy je konstantn a je jednotkou v R. (jen na okraj: ztoto ujeme prvky z R akonstantn polynomy) P klad 2.3 v okruhu (Z n + ) plat : (2x + 1)(2x +1)=1 tento nekonstantn polynom je jednotkou
2 OKRUHY A POLYNOMY 16 Lemma 2.35 Nech R je obor integrity, f g 2 R[x]. Nech vedouc koecient polynomu g je jednotkou vr.pak existuj, a to jednozna n polynomy q r 2 R[x] takov, e f = q q + r, st(r) <st(g). P klad 2.4 Nejsme-li nad oborem integrity, nen jednozna nost: 2x +1=1(2x +1)+0=2x(2x +1)+1 V ta 2.36 Je-li R t leso, f g 2 R[x]. Pak existuje nejv t spole n d litel h t chto polynom a existuj polynomy u,v tak, e u f + v g = h D kaz: viz Euklid v algoritmus a d kaz Bezoutovy rovnosti 2 Lemma 2.37 Nech R je obor integrity. f g 2 R[x] jsou asociov ny pr v tehdy,kdy existuje jednotka c 2 R tak, e g = c f. Denice 2.38 Normovan polynom m vedouc koecient roven 1 (jedn ). V ta 2.39 Nech R je t leso, f g 2 R[x]nf0g.Pak existuje jedin jejich normovan nejv t spole n d litel, ozna ujeme ho (f g). D kaz: plyne z p edchoz v ty a lemmatu o jednozna nosti NSD 2 Denice 2.40 Polynomy f,g se naz vaj nesoud ln, plat -li (f g) =1. V ta 2.41 Nech R je t leso, f g h 2 R[x]. Jestli e fjg h, (f g) =1, pak plat fjh. D kaz: viz Bezoutova rovnost 2 Denice 2.42 Polynom f se naz v ireducibiln, je-li nekonstantn a nen -li sou inem dvou nekonstantn ch polynom. P klad 2.5 V polynomech Z[x]: 2 je ireducibiln prvek (nad Z), nen ireducibiln polynom. 2x je ireducibiln polynom, nen ireducibiln prvek. Lemma 2.43 Nech R je t leso. Pak f 2 R[x] je ireducibiln polynom, je ireducibiln prvek. Pozn mka 2.44 Nad oborem integrity jelibovoln line rn polynom ireducibiln. V ta 2.45 Nech R je t leso. Pak R[x] je okruh s jednozna n m rozkladem. ( f 2 R[x] nekonstantn, f lze ps t ve tvaru f = a p 1 p 2 :::p k a to jedin m zp sobem a na po ad initel a 2 R, p 1 p 2 :::p k jsou normovan ireducibiln polynomy)
2 OKRUHY A POLYNOMY 17 D kaz: Existence: f 2 R[x] nekonstantn indukc vzhledem ke n:= st(f) n =1, f se normuje n 2 bu f je ireducibiln, pak se f normuje, nebo f = g h, st(g) st(h) 1 a pou iji induk n p edpoklad. Jednozna nost: f = a p 1 :::p k = b q 1 :::q l Z ejm a = b jako koecienty nejvy mocniny. Kdyby p k 6= q 1 ::: q l bylo by (p k q 1 ) = :::(p k q l )=1, (p k b)=1a NSD je konstantn polynom. (Plat fjgh (f g) =1) fjh) l-kr t aplikovat, dostali bychom p k j1 tedy spor. Proto mus p k = q m (1 m l) p 1 :::p k;1 = q 1 :::q m;1 q m+1 :::q l Pou ijeme d le indukci vzhledem ke k. 2 2.7 Ko eny polynom Denice 2.46 Nech je R okruh, c 2 R, f 2 R[x], f = f n x n + ::: + f 1 x + f 0. c se naz v ko enem polynomu f, plat -li f (c) :=f n c n + :::+ f 1 c + f 0 =0: Lemma 2.47 Nech R je komutativn okruh, c 2 R, f g 2 R[x]. Pak plat : 1. (f + g)(c) =f (c) +g(c) 2. (fg)(c) =f (c) g(c) V ta 2.48 Nech R je komutativn okruh, c 2 R, f 2 R[x]. Pak c je ko en f pr v tehdy, kdy plat (x ; c)jf. Denice 2.49 Nech R je komutativn okruh, c 2 R, f 2 R[x], k 1. c je k-n sobn ko en f, plat -li (x ; c) k jf, a z rove (x ; c) k+1 6 jf. V ta 2.50 Nech R je t leso, f nenulov polynom nad R, pak f m nejv e n = st(f ) ko en, po t me-li ka d tolikr t, co jeho n sobnost. Pozn mka 2.51 V tu je mo no zobecnit a na okruh integrity. Denice 2.52 Nech R je okruh, f 2 R[x], denujme '(f ):R! R a 7! f (a) V ta 2.53 Nech R je nekone n obor integrity. Pak f = g pr v tehdy, kdy '(f )='(g). Denice 2.54 Nech f = a n x n +:::+a 1 x+a 0 Denujeme f 0 = na n x x;1 +:::+a 1 a naz v me derivace f. Lemma 2.55 Plat (f + g) 0 = f 0 + g 0, (f g) 0 = f 0 g + f g 0.
2 OKRUHY A POLYNOMY 18 V ta 2.56 Nech R je t leso charakteristiky 0, f 2 R[x], c 2 R. Jestli e c je k-n sobn ko en f, k 2, pak c je (k-1)-n sobn ko en f 0. Jestli e c je jednoduch ko en (n sobnosti jedna) f, pakc nen ko en f 0. Denice 2.57 T leso R se naz v algebraicky uzav en, m -li ka d nekonstantn polynom nad RvR ko en. V ta 2.58 dn kone n t leso nen algebraicky uzav en. P klad 2.6 pro R = fa 1 :::a n g polynom f =(x ; a 1 ) :::(x ; a n )+1nem v R ko en. V ta 2.59 T leso R je algebraicky uzav en, ireducibiln polynomy jsou pr v line rn polynomy. 2.8 Polynomy nad C, R, Q V ta 2.60 Z kladn v ta algebry T leso C je algebraicky uzav en. Lemma 2.61 Nech c 2 C je ko en f 2 R[x]. Pak x je ko en f. V ta 2.62 Nad R jsou ireducibiln polynomy pr v line rn polynomy akvadratick polynomy se z porn m diskriminantem. V ta 2.63 Nech f = a n x n p + ::: + a 1 x + a 0 2 Z[x]. q je ko en f, p 2 Z, q 2 Z nf0g, (p q) =1.Pak pja 0, qja n. Pro r 2 Z plat (p ; rq)jf (r). V ta 2.64 Polynom f 2 Z[x] je ireducibiln, je ireducibiln nad Q. V ta 2.65 Eisensteinovo kriterium Nech m me polynom f = a n x n + ::: + a 1 x + a 0 2 Z[x]. Jestli e existuje prvo slo p tak, e pja 0 :::pja n;1 pned l a n p 2 ned l a 0 potom f je ireducibiln nad Q. P klad 2.7 x n +2je ireducibiln nad Q (pro prvo slo p=2).