6 Pokyny ke zpacování naměřených hodnot Při numeických výpočtech nesmíme zapomínat, že naměřené hodnoty veličin jsou pouze přibližná, neúplná čísla. Platné cify (číslice) daného čísla jsou všechny od pvní nenulové zleva do poslední zapsané vpavo. Poslední zapsaná cifa získaná zpavidla odhadem desetin dílků na stupnici je již zatížena chybou měření. Význam mají tedy i pavostanné nuly, potože jimi dáváme najevo, jak přesně bylo povedeno měření. Zapíšeme-li výsledek měření bez udané chyby, považujeme za chybu jedničku na posledním řádu zapsané číslice. Údaj d = 1,2 m tedy znamená, že měření bylo povedeno s chybou 0,1 m elativní chyba přibližně 10 %. Napoti tomu tentýž výsledek zapsaný ve tvau d = 1,200 m chápeme jako d = (1,200 ± 0,001) m, což je velmi přesná hodnota (elativní chyba zhuba 0,1 %). Výsledek bez zapsané chyby připouštíme pouze v případě, kdy po další výpočty postačí řádový odhad chyby. Chyby uvádíme na jednu platnou číslici a zaokouhlujeme vždy nahou. Pouze v případě, kdy by to neúměně zhošilo přesnost výsledku, uvedeme chybu na dvě číslice. Vypočítanou chybu chyba například zaokouhlením na δ ( X ) = 3,382 10 m zapíšeme tedy δ ( X ) = 4 10 m. Pokud ale vyjde δ ( X ) = 1,112 10 m, zapíšeme aději 2 10 m bychom chybu pakticky zdvojnásobili. δ ( X ) = 1, 2 10 m, neboť Výsledek měření uvádíme na tolik míst, aby poslední zapsané číslo výsledku bylo stejného řádu jako poslední číslo chyby. spávně d = (6,84 ± 0, 02) m spávně d = (6,84 ± 0,11) m nespávně d = (6,843 ± 0, 02) m nespávně d = (6,8 ± 0, 018) m Po zápis naměřených i vypočtených hodnot užíváme zásadně mocnin 10, neboť do platných čísel se nepočítají nuly plynoucí z činitele 10 n. Je-li U = 14000 V učeno s platností na 3 číslice, musíme údaj zapsat buď U = 14,0 kv nebo U = 1,40.10 4 V. Musíme mít na paměti, zejména při používání kalkulaček (bez zaokouhlování), že nemůžeme pouhým výpočtem zvyšovat přesnost výsledku. Dosažená přesnost musí odpovídat použitým měřicím přístojům a metodě měření. Při sčítání a odečítání se výsledek zaokouhluje na poslední platné místo toho řádu, kteý je u všech sčítanců platný. Příklad: 15,6 + 2,35 + 0,093 0,155 + 0,3 = 18,188 = 18,2. Při násobení a dělení je možno u výsledku zapsat nanejvýš tolik platných cife, kolik má číslo s nejmenším počtem platných cife. Příklad: 24,152 3,46 = 83,56592 = 83,6. 00-6/1
Při výpočtech uvedeme po každý použitý vztah příklad číselného dosazení. Do ovnice dosadíme hodnoty veličin i s příslušnými jednotkami a číselné hodnoty konstant a bez dalších mezivýsledků uvedeme konečný výsledek. Používáme-li pouze soustavu jednotek SI a předem známe jednotku, v níž vyjde číselná hodnota výsledné veličiny, mohou se do ovnice dosadit číselné hodnoty veličin a jednotka výsledné veličiny se připíše za výaz. Důsledně dbáme o to, aby ovnice byly ozměově homogenní. Po vyhodnocení přímých opakovaných měření lze s výhodou využít kalkulátou se statistickými funkcemi, z nichž využijeme aitmetický půmě x, kteý je definován v návodech ke kalkulátoům shodně s ovnicí (3.5) a směodatnou (standadní) odchylku výběu s (značenou také σ n 1) definovanou shodně s ovnicí (3.7). V návodech ke kalkulátoům je upavena obvykle na tva Postup je tedy následující: σ n 1 = 1. Zvolíme statistický ežim kalkulátou. 2 2 ( x) x n n 1 2. Do paměti kalkulátou zadáme postupně naměřené hodnoty x i (klávesou M+ nebo DATA). 3. Klávesou x vyvoláme hodnotu aitmetického půměu. 4. Klávesou σ n 1 vyvoláme výběovou směodatnou odchylku. 5. Tuto hodnotu vydělíme odmocninou z počtu měření obdžíme výběovou směodatnou odchylku půměu: s x σ n 1 (6.1) = (6.2) n 6. V tab. 3.1 najdeme po zvolenou pavděpodobnost P a počet měření n hodnotu koeficientu t np, a učíme chybu výsledku: δ ( X) = tnp, sx (6.3) Tuto chybu zaokouhlíme na 1, nejvýše 2 číslice. 7. Výsledek opakovaného měření pak zapíšeme ve tvau δ ( X ) X = x ± δ( X) znměření při P= 95%, δ ( X) = 100% (6.4) x Střední hodnotu zaokouhlujeme na stejný řád jako chybu, neboť nemá smysl zapisovat výsledek s větší přesností, než je hodnota chyby. Po snadné poovnání náhodných vlivů a chyb přístojů nebo metody uvádíme vždy i soustavnou elativní chybu měřidla u ( X) a snažíme se, aby náhodná chyba byla pokud možno menší nebo sovnatelná s chybou měřidla. Opakování každého měření není však vždy možné a ani účelné. Pokud se při měření uplatňují výazněji soustavné chyby nebo je přesnost jednoho měření postačující, nesnažíme se udělat učiteli adost a naměřit obligátních deset hodnot, kteé navíc uměle vhodně ozptýlíme. 00-6/2
Přesnost měření musíme ovšem posoudit i v případě jednoho měření veličiny X, a to odhadnutou chybou ux ( ) z třídy přesnosti přístojů, z výobní toleance odpoů, kondenzátoů apod. Pod pojmem jedno měření ovšem ozumíme jedno měření plus jedno kontolní měření, abychom mohli vyloučit hubou chybu. Odhadnutá chyba měření nám umožní zapsat spávný (tj. eálný) počet platných míst výsledku. 6.1 Příklady Příklad 1 Při učování momentu setvačnosti homogenní desky přímou metodou, tj. ze vztahu 1 0 12 2 2 J = ma ( + b ), musíme změřit její ozměy a a b. Hmotnost desky je známa bez udání chyby, údaj m = 1,805,0 g budeme tedy chápat jako m = (1,805,0 ± 0,1) g. Vzhledem k malé hodnotě elativní chyby δ ( ) = 0,005 % ji při dalších výpočtech zanedbáme. m i a (mm) b (mm) 1 601,5 80,65 2 3 4 601,0 601,5 601,5 a = 601,1 mm s a = 0,16329 mm 80,70 80,55 80,50 5 601,5 80,30 6 600,0 ua ( ) = 0,5 mm 80,15 7 601,5 80,10 u ( a ) = 0,08 % = 0,1 % 8 601,5 79,80 9 600,5 79,85 10 601,0 80,35 b = 80,295 mm s b = 0,10012 mm ua ( ) = 0,05 mm u ( a ) = 0,06 % = 0,1 % V tabulce jsou po sovnání uvedeny také soustavné chyby u a u použitých měřidel v absolutním a elativním tvau. Rozmě a desky jsme měřili kovovým měřítkem, veličinu b posuvkou. Chyby veličin a a b jsou podle vztahu (6.3): δ ( a) = 2, 262 s a = 0,36936 mm po zaokouhlení δ ( a) = 0, 4 mm δ ( b) = 2, 262 s b = 0, 226 47 mm po zaokouhlení δ ( b) = 0,3 mm Hodnotu koeficientu t np, po požadovanou 95%-ní pavděpodobnost a 10 měření jsme odečetli z tab. 3.1. Výsledky přímých měření tedy zapíšeme ve tvau: a= (601,1 ± 0,4) mm při P= 95 % a n= 10 δ ( a) = 0,07 % = 0,1% b= (80,3 ± 0,3) mm při P= 95 % a n= 10 δ ( b) = 0,37 % = 0,4 % 00-6/3
Náhodná a soustavná chyba jsou u veličiny a sovnatelné, u veličiny b je náhodná chyba opoti soustavné o něco větší. Vzhledem k menšímu ozměu b jsou však chyby u ( a) a u ( b) sovnatelné. Moment setvačnosti je: ( ) ( ) 1 1 J0 = m a + b = 1,805 601,1 + 80,3 10 kg.m = 5531,863 10 kg.m 12 12 2 2 2 2 6 2 5 2 Chyba δ ( J0) je podle vztahu z tab. 3.2: m 1,805 δ( J0) = a δ( a) + b δ( b) = 601,1 0,4 + 80,3 0,3 10 kg.m = 8 10 kg.m 6 6 6 2 5 2 ( ) Výsledek zaokouhlíme tak, aby poslední platná cifa výsledku byla stejného řádu jako chyba. 5 2 0 δ 0 J = (5532 ± 8) 10 kg.m při P= 95 % a n= 10 ( J ) = 0, 2 % Příklad 2 Měření elektického odpou přímou metodou se povádí na základě Ohmova zákona, tj. pomocí měření pocházejícího poudu a příslušného úbytku napětí. Napětí U jsme měřili voltmetem s třídou přesnosti 0,5 o ozsahu 6 V. Naměřená hodnota napětí byla U = 5,85 V. Ampémet měl ozsah 60 ma a třídu přesnosti 1, naměřená hodnota I = 21,2 ma. Chyby odečítání na stupnici jsme učili u1( U) = 0,01 V, u1( I) = 0,1 ma. Chyby přístojů dané jejich třídou přesnosti jsou u2( U) = 0,03 V, u2( I) = 0,6 ma. Je zřejmé, že chyby odečítání na stupnici lze zanedbat vůči mezním chybám přístojů. Vypočítáme odpo R: U 5,85 R = = Ω = 275,943396 Ω. I 3 21,2 10 Relativní chyba δ ( R ) bude δ( R) δ( U) δ( I) δ ( R) = = + = 0,5 % + 2,8 % = 3 %, R U I odtud δ ( R) = R δ ( R) = 8,2783 Ω= 9Ω. Výsledek zapíšeme: R= (276 ± 9) Ω, δ ( R) = 3 % Je jasně vidět, že ne všechny přímo měřené veličiny mají stejný vliv na přesnost výsledku. V našem příkladě byla ozhodující chyba u(i). Po dosažení přesnějšího výsledku bychom museli použít ampémet s lepší třídou přesnosti. 00-6/4
6.2 Vypacování potokolu o fyzikálním měření Na začátku semestu učí vyučující, ze kteých měření vypacuje student potokol. Potokol musí obsahovat: Vyplněnou hlavičku Pvní list potokolu opatříte azítkem, kteé je k disposici v každé laboatoři nebo si ho v elektonické podobě stáhněte z webu a ve všech kolonkách tuto tabulku vyplníte. Název úlohy Úkol měření Stučné vymezení toho, co se má měřením zjistit. Podklady najdete ve skiptech nebo v laboatoři u úlohy. Popis metody měření Uvedete teoetický základ užité metody (vlastními slovy, neopisujte doslova celé pasáže skipta!!), vztahy a vzoce potřebné ke zpacování naměřených hodnot s vysvětlením použitých symbolů. Uváděné ovnice je někdy vhodné číslovat. Popis expeimentu Nakeslíte schéma měřicího zařízení podle povahy úlohy. Obázky keslete podle pavítka, ne ukou! Uvedete použité přístoje a pomůcky (identifikace výobním číslem nebo evidenčním číslem). Naměřené hodnoty a jejich zpacování Tabulky hodnot opakovaných měření a hodnoty veličin vypočtených. Tabulka musí mít číslo a název, veličiny v záhlaví tabulek musí mít jednotky. Rast tabulek ýsujte podle pavítka. U každé měřené veličiny povedete výpočet nebo odhad chyby. Příklad výpočtu Uvedete každý použitý vztah s číselným dosazením a poté bez dalších mezivýpočtů výsledek. Opakuje-li se výpočet vícekát, uvedete jeden příklad numeického dosazení. Gafy Měříte-li fyzikální závislosti, zpacujete do gafu. Všechny gafy musí být úhledné a na pvní pohled sozumitelné (viz kapitoly 4.3 a 4.4). Zhodnocení výsledků měření Přehledně uvedete výsledky měření s udáním chyby. Při měření více metodami povedete poovnání výsledků z hlediska přesnosti. Je-li to možné, povedete poovnání s tabulkovou hodnotou. Pokud se váš výsledek liší o více než tojnásobek chyby měření, je pavděpodobné, že vaše měření je zatíženo nějakou soustavnou chybou (nevhodná metoda, zanedbání podstatného vlivu apod.). Možná je také hubá chyba při měření nebo ve výpočtu. Poznámka: Při zpacování potokolů včetně gafů postupujte tak, jak je uvedeno u úlohy. 00-6/5