MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Diplomová práce BRNO 2014 MARTIN CHVÍLA
MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Tvorba dluhopisového portfolia Diplomová práce Martin Chvíla Vedoucí práce: Ing. Luděk Benada Brno 2014
Bibliografický záznam Autor: Bc. Martin Chvíla Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky Název práce: Tvorba dluhopisového portfolia Studijní program: Matematika Studijní obor: Finanční matematika Vedoucí práce: Ing. Luděk Benada Akademický rok: 2013/2014 Počet stran: xi + 76 Klíčová slova: dluhopisy; optimalizace portfolia; Markowitzův model; durace dluhopisu; úrokové riziko; výnosová křivka; Vašíčkův model
Bibliographic Entry Author: Bc. Martin Chvíla Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics Title of Thesis: Formation of a bond portfolio Degree Programme: Mathematics Field of Study: Finance Mathematics Supervisor: Ing. Luděk Benada Academic Year: 2013/2014 Number of Pages: xi + 76 Keywords: bonds; portfolio optimization; Markowitz Model; bond duration; interest rate risk; yield curve; Vasicek model
Abstrakt Diplomová práce se zaměřuje na problematiku tvorby portfolia dluhopisů. Nejdříve popisuje strukturu dluhopisů a jejich vlastnosti jako výnos do splatnosti, durace a konvexita. Dále je uveden Markowitzův model zabývající se tvorbou portfolia z cenných papírů a jeho transformace na model portfolia dluhopisů. Rozebrány jsou také dluhopisové strategie běžně používané v praxi. V poslední části práce jsou některé popsané modely použity pro tvorbu portfolia z reálně obchodovatelných dluhopisů. Abstract This thesis is focused on problematics of bond portfolio formation. The first part is concentrated on the structure and characteristics of bonds such as yield to maturity, duration and convexity. Next part deals with Markowitz portfolio theory and its tranformation for usage in bond portfolio formation. Simple bond portfolio strategies used in practice are also discussed. Some of the described models are used in the last part for creation of portfolio from real bonds.
Poděkování Na tomto místě bych chtěl poděkovat Ing. Luďkovi Benadovi za ochotu, cenné připomínky a čas, který mi věnoval v průběhu psaní diplomové práce. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji diplomovou práci vypracoval samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. Brno 12. května 2014.......................... Martin Chvíla
Obsah Úvod...................................................................... x Kapitola 1. Charakteristika dluhopisů.................................... 1 1.1 Náležitosti dluhopisu................................... 1 1.2 Dělení dluhopisů....................................... 2 1.2.1 Podle úrokových sazeb.............................. 2 1.2.2 Podle emitenta.................................... 3 1.2.3 Podle doby splatnosti............................... 4 1.2.4 Podle formy dluhopisu.............................. 4 1.2.5 Podle měny....................................... 5 1.3 Rizika investice do dluhopisů............................. 5 Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů.......................................... 7 2.1 Vnitřní hodnota dluhopisu............................... 7 2.2 Výnos z dluhopisu..................................... 10 2.2.1 Nominální výnos................................... 10 2.2.2 Běžný výnos...................................... 10 2.2.3 Výnos do splatnosti................................. 11 2.3 Durace dluhopisu...................................... 12 2.3.1 Macaulayova durace................................ 12 2.3.2 Modifikovaná durace................................ 14 2.4 Konvexita............................................ 15 2.5 Výnosová křivka....................................... 17 2.5.1 Tvar výnosové křivky............................... 18 2.5.2 Ocenění dluhopisu při znalosti výnosové křivky........... 19 Kapitola 3. Moderní teorie portfolia...................................... 22 3.1 Výnosnost a riziko cenného papíru......................... 22 vii
3.2 Kovariance a korelace cenných papírů....................... 24 3.3 Výnosnost a riziko portfolia............................... 24 3.4 Optimalizační úloha.................................... 26 Kapitola 4. Markowitzův model při tvorbě dluhopisového portfolia...... 28 4.1 Optimalizační úloha.................................... 28 4.2 Úprava optimalizační úlohy pro dluhopisy.................... 29 4.3 Odhad vstupních parametrů optimalizační úlohy............... 34 4.3.1 Vašíčkův model.................................... 35 4.3.2 Použití Vašíčkova modelu pro odhad vstupních parametrů... 36 Kapitola 5. Dluhopisové strategie používané v praxi...................... 38 5.1 Indexace portfolia...................................... 38 5.1.1 Minimalizace Tracking erroru......................... 39 5.2 Imunizační strategie.................................... 41 5.2.1 Úrokové riziko bezkupónového dluhopisu................ 41 5.2.2 Úrokové riziko kupónového dluhopisu.................. 42 5.2.3 Durace portfolia................................... 43 5.2.4 Konvexita portfolia................................. 44 5.2.5 Statická a dynamická imunizace....................... 44 5.3 Modely dluhopisových portfolií s pevnou durací............... 45 5.3.1 Bullet........................................... 45 5.3.2 Barbell.......................................... 46 5.3.3 Ladder.......................................... 46 5.3.4 Konvexita portfolií s pevnou durací..................... 47 Kapitola 6. Aplikace na reálná data....................................... 48 6.1 Výběr dluhopisů do portfolia.............................. 48 6.2 Popis dat............................................. 49 6.3 Výnosová křivka v průběhu investice........................ 50 6.4 Tvorba portfolia pomocí Markowitzova modelu................ 51 6.4.1 Odhad vstupních dat do optimalizace................... 53 6.4.2 Použití optimalizační úlohy........................... 54 6.4.3 Optimalizace portfolia při zákazu prodeje na krátko........ 57 6.5 Tvorba portfolia pomocí modelů s pevnou durací............... 60
Závěr...................................................................... 63 Seznam použité literatury................................................. 65 Příloha.................................................................... 68
Úvod Problémem výběru portfolia se zabývá velké množství literatury a moderní teorie portfolia je jedním z nejvýznamnějších pokroků v oblasti financí ve druhé polovině 20. století. Tato teorie nicméně nachází využití hlavně při tvorbě portfolia z akcií. Přestože je v praxi problém výběru portfolia dluhopisů stejně důležitý, není předmětem mnoha výzkumů. Na dluhopisy je možné aplikovat i klasické nástroje moderní teorie portfolia podobně jako na akcie, ale kvůli odlišnostem těchto aktiv tento přístup není příliš vhodný a je nutno model upravit. Hlavním cílem této práce je rozebrat různé strategie tvorby portfolia čistě z dluhopisů a aplikovat tyto strategie na reálně obchodované dluhopisy. Pro splnění tohoto cíle musíme nejdřív zadefinovat pojem dluhopis a rozebrat jeho vlastnosti. Uvedeme si náležitosti dluhopisu podle české normy a několik klasifikací dluhopisů podle různých kritérií. Při investování podstupuje investor několika investičním rizikům, které si charakterizujeme. Vysvětlíme, jaké z těchto rizik se budeme snažit při tvorbě portfolia eliminovat. Dále se zaměříme na vlastnosti dluhopisů, jako je jejich vnitřní hodnota, různé typy výnosů a parametry durace a konvexita. Také je nutné rozebrat pojem výnosové křivky a na příkladech si ukážeme, jaké typy výnosových křivek mohou reálně nastat. V další kapitole si uvedeme moderní teorii portfolia podle Markowitze, která se využívá hlavně pro tvorbu portfolia z akcií. Při aplikaci na portfolio dluhopisů je u tohoto modelu problém s odhadem vstupních parametrů, protože nemůžeme jednoduše použít odhad založený na historických cenách, které jsou závislé na čase do splatnosti. Tento model bude nutné upravit a pro jeho použití zavést pojem modelu úrokové míry. Konkrétně použijeme Vašíčkův model, který dokáže po kalibraci na současné výnosové křivce odhadnout pohyb úrokové míry a s ním související budoucí ceny dluhopisů. Přestože je možné pro tvorbu portfolia použít tyto sofistikované modely, v praxi se většinou využívají jednodušší modely. Uvedeme si pasivní strategii indexace a jednu z metod praktického použití této strategie. Dále si rozebereme modely x
Úvod xi založené na cílení durace portfolia, které skládají portfolio z dluhopisů s určitými splatnostmi, aby jeho durace dosahovala požadované hodnoty. V poslední části se budeme snažit použít uvedené modely na reálně obchodované dluhopisy. Určíme si trh, na kterém budeme obchodovat a vybereme několik dluhopisů pro použití do portfolií tvořených pomocí vysvětlených modelů. Využijeme nejen současných, ale i historických dat a vytvoříme několik portfolií, které díky znalosti historických cen můžeme dále analyzovat.
Kapitola 1 Charakteristika dluhopisů V první kapitole vymezíme pojem dluhopis, popíšeme jeho základní charakteristiky a uvedeme dělení dluhopisů do skupin podle různých kritérií. Dluhopis (obligace, bond) je dluhový cenný papír vyjadřující závazek emitenta (dlužníka) vůči věřiteli. Je s ním spojeno právo držitele dluhopisu požadovat dlužnou částku v nominální hodnotě a výnosy z ní k určitému datu, stejně jako povinnost emitenta tyto závazky plnit. Emitent vydává dluhopis s cílem získat dlouhodobé nebo krátkodobé finanční prostředky. Z klasického dluhopisu má věřitel dva druhy příjmů ke konci splatnosti obdrží nominální hodnotu dluhopisu a v průběhu doby držení získává pravidelné kupónové platby. Případně může prodat dluhopis před splatností za tržní cenu, protože s dluhopisy je možné obchodovat i na sekundárních trzích. Investice do dluhopisů jsou všeobecně jedny z nejméně rizikových. 1.1 Náležitosti dluhopisu V České republice musí dluhopis v listinné podobě podle zákona č. 190/2004 Sb. o dluhopisech obsahovat následující náležitosti: 1 údaje nutné k jednoznačné identifikaci emitenta, označení, že jde o dluhopis, popřípadě označení zvláštního druhu dluhopisu, identifikační označení podle mezinárodního systému číslování pro identifikaci cenných papírů, je-li přidělováno, nebo jiný údaj identifikující dluhopis, 1 [28] 1
Kapitola 1. Charakteristika dluhopisů 2 jmenovitou hodnotu jako dlužnou částku; to neplatí v případě sběrného dluhopisu, pokud jmenovitá hodnota plyne ze zápisu v příslušné evidenci, údaj o tom, kde se lze seznámit s emisními podmínkami, výnos dluhopisu nebo způsob stanovení jeho výše, datum emise, způsob a místo splacení dlužné částky (splacení dluhopisu) a vyplacení výnosu dluhopisu, data splatnosti dluhopisu a výnosu dluhopisu, není-li výnos určen pouze rozdílem mezi jmenovitou hodnotou dluhopisu a jeho nižším emisním kurzem, číselné označení dluhopisu, údaje nutné k jednoznačné identifikaci jeho prvního vlastníka a podpis emitenta. 1.2 Dělení dluhopisů Pojem dluhopis popisuje velké množství rozdílných dluhových cenných papírů a existuje mnoho kritérií, podle kterých můžeme tyto cenné papíry klasifikovat. 1.2.1 Podle úrokových sazeb Nejdříve dluhopisy rozdělíme podle způsobu vyplácení jejich výnosů: 2 Dluhopisy s pevnou úrokovou sazbou (plain vanilla bond) klasický typ dluhopisu, do doby splatnosti se vlastníkovi pravidelně vyplácí kupónové platby a na konci doby splatnosti obdrží nominální hodnotu. Kupónová sazba je neměnná, takže je dopředu známá výše všech kupónových plateb. Celkovou výnosnost dluhopisu ale může ovlivnit změna tržních úrokových sazeb v případě reinvestice financí získaných z kupónů. Dluhopisy s pohyblivou úrokovou sazbou úroková sazba není pevně stanovená, ale odvozuje se od aktuální hodnoty stanovené tržní úrokové sazby (např. repo sazby nebo mezibankovní sazby PRIBOR, LIBOR,...). 2 [24] str.8
Kapitola 1. Charakteristika dluhopisů 3 Hybridní dluhopisy výnosy se skládají ze dvou typů úrokových sazeb pohyblivé a pevné, které můžou být doplněny i o podíly na zisku emitenta. Dluhopisy s nulovým kupónem (zero coupon bond) mají nulovou úrokovou sazbu a nevyplácí žádné kupóny. Emitují se pod svou nominální hodnotou za cenu rovnu diskontované nominální hodnotě. Věčné dluhopisy (perpetuita, konzola) emitent vyplácí zúročenou nominální hodnotu ve formě kupónových plateb po neomezeně dlouhou dobu, samotná nominální hodnota se nevyplácí. Naturální dluhopisy kupónové platby nejsou vypláceny ve formě peněz, ale ve formě určené komodity. Svlečené dluhopisy (stripped bonds) jsou speciálním případem dluhopisu s nulovým kupónem. Vznikají z jiného typu dluhopisu rozdělením příjmů na několik cenných papírů, které se obchodují zvlášť. Například kupónový dluhopis se splatností n let může být rozdělen na dluhopis s nulovým kupónem a nominální hodnotou původního dluhopisu a n bezkupónových dluhopisů s nominální hodnotou ve výši hodnoty kupónových plateb původního dluhopisu. 1.2.2 Podle emitenta Dluhopisy rozdělíme podle emitenta tedy podle toho, kdo a za jaké situace konkrétní dluhopis vydal. 3 Druh emitenta má vliv na riziko dluhopisu, závisející na jeho důvěryhodnosti. Státní dluhopisy emitentem je stát, konkrétně v případě České republiky je to Ministerstvo financí ČR nebo ČNB. Stát je vydává za účelem pokrytí nákladného financování nebo deficitu státního rozpočtu. Tyto dluhopisy mají obvykle malou míru rizika. Státní dluhopisy s dobou splatnosti do 1 roku se označují jako státní pokladniční poukázky. Dluhopisy vydávané ČNB s dobou splatnosti do 6 měsíců se označují jako poukázky České národní banky. Komunální (municipální) dluhopisy emituje územní samosprávný celek za souhlasu Ministerstva financí. Ministerstvo udělí souhlas, pokud ekonomická situace územního samosprávného celku umožňuje splnit závazky 3 [24] str.9
Kapitola 1. Charakteristika dluhopisů 4 vyplývající z komunálních dluhopisů a územní samosprávný celek plánuje získané prostředky využít na investice do dlouhodobého hmotného majetku, odstranění škod způsobených pohromami nebo financování projektu spolufinancovaného Evropskou unií. Podnikové (korporátní) dluhopisy emitují firmy s cílem získat finanční prostředky za různými účely investice do rozšíření firmy, modernizace, ale i odvrácení bankrotu. Obvykle jsou z uvedených typů dluhopisů nejvíce rizikové. Do této kategorie se dají zařadit i bankovní dluhopisy emitovány finančními institucemi, které mají specifické právní i finanční možnosti. 1.2.3 Podle doby splatnosti Doba splatnosti je další důležitý faktor, který má vliv na riziko dluhopisu. Obecně platí, že čím je tato doba kratší, tím je riziko a tedy i výnosnost dluhopisu menší. Podle doby splatnosti dělíme dluhopisy na : 4 Krátkodobé dluhopisy doba splatnosti do 1 roku (pokladniční poukázky, krátkodobé firemní obligace, depozitní certifikáty). Střednědobé dluhopisy doba splatnosti od 1 roku do 10 let. Dlouhodobé dluhopisy doba splatnosti větší než 10 let. Patří sem také věčné dluhopisy. Krátkodobé dluhopisy považujeme za nástroje peněžního trhu, zatímco střednědobé a dlouhodobé za nástroje kapitálového trhu. 1.2.4 Podle formy dluhopisu Dluhopisy na jméno práva z dluhopisů plynoucí můžou vykonávat pouze osoby, které jsou zapsány jako majitelé v seznamu vedeném emitentem. Vlastníci je můžou převádět na jinou osobu rubopisem, pokud emitent neomezil převoditelnost. Dluhopisy na doručitele práva spojená s dluhopisy můžou vykonávat osoby, které je vlastní. Vlastník je může převést pouhým předáním. 4 [5]str.10
Kapitola 1. Charakteristika dluhopisů 5 1.2.5 Podle měny Podle měny dělíme dluhopisy na: 5 Domácí dluhopisy dluhopisy vydané v dané zemi za domácí měnu domácím emitentem. Zahraniční dluhopisy dluhopisy vydané v dané zemi za domácí měnu zahraničním emitentem. Eurodluhopisy (eurobonds) dluhopisy emitované domácími subjekty na domácím trhu v cizí měně Dvouměnové dluhopisy nominální hodnota a kupónové platby jsou spláceny v různých měnách 1.3 Rizika investice do dluhopisů Riziko je míra nejistoty, že finanční instrument nedosáhne očekávané úrovně výnosnosti. Investice do každého finančního nástroje sebou nese různé druhy investičních rizik. Konkrétně u dluhopisů jsou nejvíce obvyklá rizika: 6 Úrokové - riziko změny tržních úrokových sazeb. Změna úrokových sazeb v průběhu investičního horizontu ovlivní jak relativní výnos dluhopisu, tak plánované výnosy z reinvestice kupónů. Toto riziko se dá ještě dále rozdělit na kapitálové riziko, které způsobuje kapitálovou ztrátu při předčasném prodeji dluhopisu, pokud úrokové sazby vzrostly, a reinvestiční riziko, které naopak při poklesu úrokových sazeb sníží výnosy z reinvestice kapitálu. Kreditní (úvěrové) - nebezpečí částečného nebo úplného nesplnění závazků ze strany dlužníka (nesplacení kupónů nebo jistiny). Jako indikátor výše tohoto rizika může sloužit úvěrový rating, který vydávají nezávislé ratingové agentury (Moody s, Standard & Poor s, Fitch) státům nebo i konkrétním společnostem (státní dluhopisy mají toto riziko obvykle nižší, než korporátní). Konkrétně u Standard & Poor s je nejvyšším ratingem AAA, následují AA,A a jako poslední investiční rating BBB. Další stupně už jsou tzv. spekulativní. Rating neboli přeneseně kreditní riziko má velký vliv na výši výnosu dluhopisu. 5 [15] str.10 6 [5] str. 5
Kapitola 1. Charakteristika dluhopisů 6 Likviditní - vzniká, když se daný cenný papír na trhu obchoduje v malém množství. Kvůli tomu se může stát, že se od sebe vzdálí poptávková a nabídková cena a dluhopis se přestane reálně obchodovat. Tato situace nastává často při výrazném zhoršení ratingu a následném zvýšení výnosů dluhopisu. Měnové - vyskytuje se u investic do zahraničních dluhopisů. Je to riziko změny kurzu měny, ve které investujeme, vůči domácí měně. Toto riziko je možné eliminovat použitím vhodného měnového derivátu. Obvyklé strategie řízení dluhopisového portfolia se zaměřují hlavně na minimalizaci úrokového rizika, čímž se budeme zabývat i v této práci.
Kapitola 2 Vlastnosti dluhopisů V této kapitole si ukážeme, jak se dluhopisy oceňují a definujeme vlastnosti dluhopisů jako je durace a konvexita, které budeme potřebovat při použití některých strategií tvorby dluhopisového portfolia. V poslední části kapitoly zavedeme pojem výnosové křivky. 2.1 Vnitřní hodnota dluhopisu Základním pojmem u oceňování cenných papírů je vnitřní hodnota. Je to taková hodnota cenného papíru, za kterou by se měl prodávat při ohledu na všechny možné vlivy. Porovnáním vnitřní hodnoty cenného papíru (V 0 ) s tržní cenou (P 0 ) může pomoci investorovi s rozhodnutím o koupi cenného papíru. Mohou nastat tyto možnosti: 7 1. P 0 > V 0... cenný papír je nadhodnocen 2. P 0 < V 0... cenný papír je podhodnocen 3. P 0 = V 0... cenný papír je správně ohodnocen Vnitřní neboli současnou hodnotu aktiva obecně spočítáme jako součet současných hodnot peněžních toků: V 0 = n P V i, (2.1) i=1 7 [22] str.172 7
Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 8 kde V 0... vnitřní hodnota dluhopisu, n... počet peněžních toků, P V i... současná hodnota i-tého peněžního toku Na diskontování peněžních toků můžeme použít spojité nebo složené úročení. V případě spojitého úročení se dá výpočet současné hodnoty rozepsat: V 0 = n CF i e r t i, (2.2) i=1 kde CF i... velikost i-tého peněžního toku r... tržní úroková sazba, t i... čas vyplacení i-tého peněžního tok v letech. Při použití periodického úročení: V 0 = n i=1 CF i (1 + r k )k t i. (2.3) kde k... frekvence úročení. Konkrétně u kupónového dluhopisu se většinou vyplácí kupóny jednou ročně a za předpokladu použití ročního úročení platí k = 1 a t i = i. Peněžní toky v časech i 1, 2,..., n 1 jsou kupónové platby, takže CF i = C i pro i n. V čase n je vyplacena nominální hodnota společně s poslední kupónovou platbou a proto CF n = C n + F n. Vzorec pro výpočet vnitřní hodnoty klasického fixně úročeného dluhopisu má tedy tvar: kde V 0 = C 1 (1 + r) + C 2 (1 + r) + C 3 2 (1 + r) + + C n + F 3 (1 + r) n n C i V 0 = (1 + r) + F (2.4) i 1 + r n i=1
Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 9 C i... kupónová platba v roce i, n... počet let do doby splatnosti, F... nominální hodnota dluhopisu. Pokud jsou kupónové platby konstantní, tedy platí C 1 = C 2 = = C n = C, dá se vzorec (2.4) upravit na tvar: ( 1 1 1 + r V 0 = C r ) n. (2.5) Jak můžeme vidět ze vzorců, vnitřní hodnota dluhopisu klesá s rostoucí úrokovou sazbou. Závislost vnitřní hodnoty na úrokové sazbě konkrétně pro dluhopis s nominální hodnotou 100, kupónovou sazbou 10% a dobou splatnosti 10 let můžeme vidět na obrázku 2.1. Vidíme také, že u dluhopisů tohoto typu se vnitřní hodnota rovná nominální hodnotě právě když r = 10%, tedy kupónová sazba rovna úrokové míře. Obrázek 2.1: Závislost vnitřní hodnoty dluhopisu na úrokové míře V0 60 80 100 120 140 160 180 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.11 0.13 0.15 0.17 0.19 r Zdroj: vlastní konstrukce
Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 10 2.2 Výnos z dluhopisu Rozlišujeme 3 druhy výnosů z dluhopisu: 8 nominální výnos, běžný výnos, výnos do splatnosti. 2.2.1 Nominální výnos Nominální výnos je definován jako podíl roční výše kupónových plateb a nominální hodnoty dluhopisu: c = C F, (2.6) kde c... nominální výnos, C... roční výše kupónových plateb, F... nominální hodnota dluhopisu. 2.2.2 Běžný výnos Jako běžný výnos se označuje podíl roční výše kupónových plateb a současné tržní ceny dluhopisu: y b = C, P 0 (2.7) kde y b... běžný výnos, P 0... aktuální tržní cena dluhopisu. Běžný výnos slouží pouze jako orientační určení výnosu z dluhopisů. Nebere v úvahu pohyby ceny dluhopisu v důsledku změn tržních úrokových sazeb ani zbývající dobu splatnosti dluhopisu, proto tato definice výnosu není příliš použitelná. 8 [22] str.173
Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 11 2.2.3 Výnos do splatnosti Přesnějším stanovením výnosu je tzv. výnos do doby splatnosti (yield to maturity, YTM). Ukazuje průměrný výnos, který investor získává koupením dluhopisu a jeho držením do doby splatnosti. Dluhopisy se obvykle na trhu obchodují za cenu, při které je výnos do splatnosti roven relevantní tržní úrokové míře. To je způsobeno neexistencí arbitráže na efektivním trhu - pokud by bylo možno dosáhnout vyšších výnosů bez přidaného rizika pouhým držením jednoho instrumentu oproti jinému, jeho cena by vzrostla až na hodnotu, při které budou mít výnos stejný. Proto může být výnos do splatnosti považován také za jakousi přenesenou hodnotu tržní úrokové míry. 9 Výnos do splatnosti klesá s rostoucí tržní cenou dluhopisu. Pokud se tržní cena rovná nominální hodnotě, pak je YTM roven kupónové sazbě. Pokud je YTM větší, než kupónová sazba, je dluhopis prodáván s diskontem a pokud je naopak menší, je prodáván s prémií. 10 Výpočet YTM je založen na určení úrokové sazby, která vytvoří rovnost mezi současnou tržní cenou dluhopisu a diskontovanými budoucími příjmy: 11 kde P = n i=1 P... tržní cena dluhopisu, C i... výše kupónové platby v roce i, n... počet let do doby splatnosti, F... nominální hodnota dluhopisu, Y T M... výnos do doby splatnosti. C i (1 + Y T M) + F i (1 + Y T M), (2.8) n YTM z daného vzorce nelze vyjádřit, dá se spočítat pouze numericky nebo je možné použít aproximaci. Jedna z nejvíce používaných metod určení přibližného výnosu do splatnosti je metoda Hawawiniho a Vory, která se dá použít v případě 9 [8] str.6 10 [13] str.121 11 [22] str.171
Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 12 konstantních úrokových plateb C: 12 kde AY T M = AY T M... přibližný výnos do doby splatnosti. C + F P n 0, 6 P + 0, 4 F, (2.9) Při dalších zmínkách výnosu budeme za výnos považovat právě výnos do splatnosti a budeme ho označovat jednoduše jako y. 2.3 Durace dluhopisu Durace je průměrná doba v letech, za kterou investor dostane příjmy plynoucí z dluhopisu za předpokladu reinvestice jednotlivých kupónů a následném prodeji dluhopisu na sekundárním trhu. V takovém případě se označuje jako Macaulayova durace. Jiný význam má tzv. modifikovaná durace, která vyjadřuje citlivost ceny dluhopisu na změnu úrokové sazby a je měřena v procentech. V teoretické situaci, kdy je na příjmy z aktiva použito spojité úročení jsou si tyto dvě různě definované durace rovny, ale v praxi při použití periodického úročení (roční, pololetní, měsíční,...) se budou jejich hodnoty lišit. 2.3.1 Macaulayova durace Základním a nejznámějším typem durace je Macaulayova durace, nazvaná po ekonomovi kanadského původu Frederikovi Macaulayovi. Počítá se jako vážený průměr splatnosti peněžních toků a říká se jí také střední doba životnosti dluhopisu. 13 Obecný vzorec pro výpočet Macaulayovy durace: D = n t i P V i i=1 = n P V i i=1 n i=1 t i P V i P, (2.10) 12 [19] str 178. 13 [7] str.111
Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 13 V posledním uvedeném tvaru vidíme splatnosti peněžních toků vynásobené poměrem současné hodnoty jednotlivých peněžních toků vůči současné ceně dluhopisu. Součet těchto poměrů přes všechny peněžní toky je 1 a tedy je můžeme brát jako váhy, kterými násobíme splatnosti, což je definice Macaulayovy durace. 14 Při použití periodického úročení se dá tento vzorec napsat jako: n n D = CF i t i ( 1 + y k i=1 P ) k ti = CF i t i ( 1 + y k i=1 n CF i ) k ti (2.11) i=1 (1 + y k )k t i kde y... výnos do splatnosti. tvar: Konkrétně pro kupónové dluhopisy za předpokladu ročního úročení má vzorec D = n i=1 i C i (1 + y) i + n F (1 + y) n P = n i=1 i n i=1 C i (1 + y) + n F i (1 + y) n C i (1 + y) + F i 1 + y n (2.12) Pro standartní dluhopisy má Macaulayova durace hodnotu vždy mezi 0 a dobou splatnosti, přičemž rovna době splatnosti je pouze u dluhopisů s nulovým kupónem. Macaulayovu duraci můžeme spočítat také za předpokladu spojitého úročení. V tomto případě má rovnice tvar: n n D = i=1 t i CF i e y t i P = i=1 t i CF i e y t i n CF i e y t i i=1 (2.13) 14 V následujících vzorcích budeme označovat cenu dluhopisu jako P a protože předpokládáme, že tržní cena se rovná vnitřní hodnotě, bude toto označení odpovídat dřívějšímu V 0. Stejně tak výnos do splatnosti y bude odpovídat tržní úrokové míře r v původních vzorcích.
Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 14 2.3.2 Modifikovaná durace Modifikovaná durace je definována jako derivace logaritmu vnitřní hodnoty aktiva vzhledem k výnosu do splatnosti. Udává se v procentech, ale může být také měřena v absolutních hodnotách (například v dolarech) a v takovém případě se označuje jako Dolarová durace. Koncept modifikované durace může být uplatněn i na instrumenty, které nemají fixní toky peněz, a má tak větší využití než Macaulayova durace. 15 D = 1 P (y) P (y) y ln(p (y)) = y (2.14) Pokud zderivujeme funkci ceny (nebo současné hodnoty) dluhopisu s použitím spojitého úročení (2.2) podle y, dostaneme: P (y) y = n i=1 t i CF i e y t i = D P (y) (2.15) Tedy za předpokladu spojitého úročení platí D = D. Na finančních trzích ale většinou používáme periodické úročení namísto spojitého, které by bylo administrativně náročné, a v tomto případě se zmíněné durace nerovnají. Odvodíme tedy výpočet modifikované durace v případě periodického úročení pomocí derivace ceny dluhopisu tvaru (2.3) podle y: P (y) y = 1 1 + y k n CF i t i ( ) i=1 1 + y k ti. (2.16) k Po dosazení Macaulayovy durace ve tvaru (2.11) a úpravě výrazu dostaneme D 1 + y k = 1 P (y) P (y) y (2.17) Pravá strana je rovna definici modifikované durace, takže jsme odvodili vztah mezi Macaulayovou a modifikovanou durací: D = D 1 + y. (2.18) k Přestože spolu Macaulayova a modifikovaná durace úzce souvisí, jsou odlišné koncepčně. Jak už bylo zmíněno, Macaulayova durace je vážený čas doby spla- 15 [2]
Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 15 cení, kdežto modifikovaná durace vyjadřuje cenovou citlivost na výnosu. Udává procentuální změnu ceny při změně výnosu do splatnosti o 1 procento, což se dá odvodit Taylorovým rozvojem prvního řádu funkce ceny P(y): 2.4 Konvexita P (y) P (y + y) P (y) = y + o( y) y P (y) P (y) y y P (y) 1 P (y) P (y) P (y) y y = D y Modifikovaná durace, respektive Taylorův rozvoj prvního řádu funkce ceny dluhopisu na výnosu, není příliš přesná pro odhad změny ceny dluhopisu při větší změně výnosu y. V takovém případě je vhodnější použít Taylorův rozvoj druhého řádu. To můžeme vidět na obrázku 2.2, který znázorňuje opravdovou cenu dluhopisu vypočítanou pomocí vnitřní hodnoty a odhady ceny dluhopisu Taylorovým rozvojem prvního i druhého řádu při změně z počátečního výnosu 10%. Vidíme, že odhad pomocí Taylorova rozvoje prvního řádu tvoří lineární funkci, ale funkce reálné ceny v závislosti na výnosu je konvexní. Odhad pomocí Taylorova rozvoje druhého řádu je také konvexní a proto se části, kterou se liší od Taylorova rozvoje prvního řádu říká konvexita a někdy také zakřivení dluhopisu. 16 Samotný vzorec pro výpočet konvexity odvodíme pomocí Taylorova rozvoje druhého řádu funkce ceny dluhopisu: P (y) P (y + y) P (y) = y y + 1 2 P (y) ( y) 2 + o(( y) 2 ) 2 y 2 P (y) P (y) y y + 1 2 P (y) ( y) 2 2 y 2 P (y) 1 P (y) P (y) P (y) y y + 1 1 2 P (y) ( y) 2 (2.19) 2 P (y) y 2 První člen pravé strany (2.19) odpovídá už odvozené modifikované duraci a ve druhém členu se nám objevila tzv. relativní konvexita, které budeme říkat 16 [5]str. 29
Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 16 Obrázek 2.2: Odhady pohybu ceny dluhopisu Taylorovým rozvojem P 60 80 100 120 140 160 180 Opravdová cena Odhad Taylorovým rozvojem prvního řádu Odhad Taylorovým rozvojem druhého řádu 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.11 0.13 0.15 0.17 0.19 y Zdroj: vlastní konstrukce zjednodušeně konvexita. 17 Vzorec můžeme přepsat do tvaru: 18 P (y) P (y) D (P (y)) y + 1 2 C(P (y))( y)2 (2.20) kde D (P (y))... modifikovaná durace dluhopisu při výnosu y, C (P (y))... relativní konvexita dluhopisu při výnosu y, Konvexita dluhopisu je tedy druhá derivace ceny dluhopisu podle výnosu: C (P (y)) = 1 2 P (y) (2.21) P (y) y 2 V případě obecného periodického úročení s periodou k má konvexita tvar: 17 používá se i tzv. Dolarová konvexita, která je definovaná jako 2 P (y) y 2 18 [18] str.216
Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 17 C = n ( t i t i + 1 ) k i=1 P CF i ( 1 + y k ) k ti +2 = n ( t i t i + 1 ) k i=1 n CF i CF i ( 1 + y k ) k ti +2 (2.22) i=1 (1 + y k )k t i Podobně jako vedle modifikované durace D existuje i Macaulayova durace D, můžeme zavést pojem Macaulayovy konvexity C, která se dá odvodit z relativní konvexity vztahem: 19 C = C ( 1 + y k ) 2 (2.23) Analogicky jako u durace jsou tyto dvě definice konvexity rovny při použití spojitého úročení. 2.5 Výnosová křivka Ve vzorcích uvedených v sekci 2.1 figurovala jediná výnosová míra. V reálné situaci ale ani pro dluhy se stejným rizikem nelze určit jednotnou úrokovou míru, protože jejich úroková míra závisí na splatnosti dluhů. Výnosovou křivku, někdy označovanou jako časovou strukturu úrokových měr můžeme obecně definovat jako funkci výnosu (nebo úrokové míry) na splatnosti dluhopisu. Marellini 20 uvádí několik možných definicí funkce výnosové křivky. Rozlišuje křivky: výnosu do splatnosti výnosu bezkupónového dluhopisu 21 výnosu par dluhopisu 22 forwardových úrokových měr Obecně nelze sestrojit jednu výnosovou křivku pro celý trh, ale pouze pro dluhopisy, které mají stejné vlastnosti (hlavně druh emitenta a kreditní rating) a 19 [5] str. 38 20 [18] str. 63 21 v práci budeme používat tuto definici 22 dluhopis s takovou kupónovou mírou, že se prodává za svou nominální hodnotu
Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 18 liší se pouze dobou splatnosti. Často se výnosové křivky konstruují ze státních dluhopisů, které se vyznačují téměř nulovým kreditním rizikem. Tato výnosová křivka představuje časovou strukturu bezrizikových výnosových měr. K ní se pak vztahují výnosové křivky jiných dluhopisů, které se navýší o hodnotu nazývanou kreditní rozpětí. 23 2.5.1 Tvar výnosové křivky Teoreticky by mohla výnosová křivka nabývat jakéhokoliv tvaru, ale reálné výnosové křivky lze obvykle zařadit do jedné z kategorií 24, které si nyní rozebereme. Rostoucí výnosová křivka Nejčastějším tvarem je rostoucí výnosová křivka, někdy označovaná jako normální výnosová křivka. Takovou křivku lze pozorovat za situace, kdy trh neočekává žádné významné změny úrokových měr. Dluhopisy s krátkou dobou splatnosti podle ní mají nižší výnos a dluhopisy s delší dobou splatnosti vyšší, což značí přirozené chování investorů, kteří požadují za dlouhodobější investici (se kterou se pojí vyšší rizikovost) vyšší výnos. Tento typ výnosové křivky můžeme vidět na grafu 2.3 znázorňujícím výnosy japonských státních dluhopisů k datu 27.4.2001. Klesající výnosová křivka Klesající výnosová křivka znázorňuje negativní závislost úrokové míry na době splatnosti. Tento tvar výnosové křivky nastává v situacích, kdy se očekává pokles úrokových sazeb, protože jsou momentálně na neobvykle vysoké úrovni. Jako příklad uvedeme výnosovou křivku státních dluhopisů Velké Británie z 19.10.2000 na grafu 2.4. Plochá výnosová křivka Plochá výnosová křivka je přechodový stav mezi rostoucí a klesající výnosovou křivkou. Nastává v situaci očekávání snížení úrokových sazeb, ale ne tak drastického, aby se křivka stala klesající. Teoreticky je při úplně ploché křivce výše úrokové sazby nezávislá na době splatnosti, ale reálně takový typ křivky nemůže nastat. Křivce, která je téměř plochá proto říkáme kvazi-plochá výnosová křivka. Příklad můžeme vidět na grafu 2.5 státních dluhopisů USA z 3.11.1999. 23 [6] str.4 24 [18] str.65
Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 19 Obrázek 2.3: Rostoucí výnosová křivka Zdroj: [18] str.65 Zhoupnutá výnosová křivka Posledním typem je tzv. zhoupnutá neboli vyboulená výnosová křivka. Tímto termínem označujeme křivku, která je zčásti klesající a z části rostoucí. Stejně jako klesající výnosová křivka je tento typ docela výjimečný a nastává při očekávání neobvyklého vývoje trhu, například poklesu úrokových měr společně s růstem inflace. 25 Taková křivka může buď klesat v krátkodobých splatnostech a růst v dlouhodobých splatnostech nebo naopak růst v krátkodobých splatnostech a klesat v dlouhodobých, což můžeme vidět na grafu 2.6 státních dluhopisů USA z 29.2.2000. 2.5.2 Ocenění dluhopisu při znalosti výnosové křivky Po zavedení pojmu výnosové křivky můžeme zobecnit vzorec (2.4) pro výpočet vnitřní hodnoty dluhopisu s kupóny. Původní vzorec je zjednodušený s předpokladem konstantní úrokové míry r pro všechna období, což by platilo v případě ploché výnosové křivky, pro jiný typ výnosové křivky je vhodné vzorec upravit. Jsou- li y i body na výnosové křivce pro časy i {1, 2,..., n}, pak dluhopis oceníme 25 [20] str.20
Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 20 Obrázek 2.4: Klesající výnosová křivka Zdroj: [18] str.65 podle této výnosové křivky vzorcem: 26 V 0 = n i=1 C i (1 + y i ) i + F (1 + y n ) n (2.24) 26 Budínský [5] str. 22
Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 21 Obrázek 2.5: Kvazi-plochá výnosová křivka Zdroj: [18] str.64 Obrázek 2.6: Zhoupnutá klesající výnosová křivka Zdroj: [18] str.66
Kapitola 3 Moderní teorie portfolia V následující kapitole si stručně představíme hlavní myšlenky moderní teorie portfolia. 27 Portfolio můžeme definovat jako soubor finančních aktiv v majetku jednoho investora. Obecně je cílem investorů maximalizovat výnos svých investic a zároveň minimalizovat riziko, čehož je možné dosáhnout skladbou portfolia z rozmanitých cenných papírů. Cíle minimalizace rizika a maximalizace výnosu jdou ale proti sobě a proto optimalizovat portfolio znamená podstoupit určitý kompromis. Za vznik moderní teorie portfolia je obecně považován moment vydání článku Harryho Markowitze Portfolio Selection v roce 1952. 28 Markowitzův model je model statický, což znamená, že na počátku investice má investor určenou částku peněz, ze které nakoupí portfolio cenných papírů. Tyto aktiva plánuje držet po dobu celého investičního horizontu, na konci kterého je prodá. V průběhu této doby se do složení portfolia nezasahuje. Investor do svého portfolia zahrnuje cenné papíry na základě jejich výnosnosti a rizika. Jeho cílem je dosáhnout co nejvyšší výnosnosti a také co nejmenšího rizika celého portfolia. Výnosnost i riziko jednotlivých cenných papírů jsou ale neznámé parametry, musí se tedy vhodně odhadnout. 3.1 Výnosnost a riziko cenného papíru V modelu považujeme výnosnost investice do každého cenného papíru za náhodnou veličinu. Konkrétně označme X i výnosnost i-tého cenného papíru v portfoliu. Zajímá nás střední hodnota této náhodné veličiny, která vyjadřuje průměrnou vý- 27 Kapitola zpracována podle [23] a [4] 28 [17] 22
Kapitola 3. Moderní teorie portfolia 23 nosnost a také směrodatná odchylka, kterou budeme považovat za riziko cenného papíru. Rozlišujeme mezi výnosností ex-post (historická) a ex-ante (očekávaná). Historická výnosnost je odvozena ze skutečně dosažných výnosností v minulosti, oproti tomu ex-ante výnosnost je odhadovaná podle očekávané situace na trhu. Střední hodnotu výnosnosti i-tého cenného papíru spočítáme: m E(X i ) = r i = x ik p(x ik ) (3.1) a riziko, neboli směrodatnou odchylku výnosnosti cenného papíru určíme podle vzorce: σ i = D(X i ) = m (x ik r i ) 2 p(x ik ) (3.2) k=1 k=1 kde E(X i )... střední hodnota výnosnosti i-tého cenného papíru, m... počet výnosností, které uvažujeme, x ik... k-tá uvažovaná výnosnost i-tého cenného papíru, p(x ik )... pravděpodobnost dosažení k-té výnosnosti, r i... odhadovaná hodnota výnosnosti i-tého cenného papíru, σ i... riziko i-tého cenného papíru, D(X i )... rozptyl výnosnosti i-tého cenného papíru. Prakticky se při použití ex-ante výnosů dosazují za p(x ik ) odhadované pravděpodobnosti dosažení příslušné výnosnosti x ik. Dále se budeme zabývat jen metodou odhadu výnosu ex-post, ve které je pravděpodobnost každé výnosnosti vyjádřena jako obrácená hodnota počtu sledovaných období, takže p(x ik ) = 1. Za m výnosnosti x ik dosazujeme jednotlivé historicky dosažené výnosnosti (například denní). Odhadovaná výnosnost má tedy tvar r i = 1 m m x ik (3.3) k=1 A odhadované riziko: σ i = 1 m m (x ik r i ) 2 (3.4) k=1
Kapitola 3. Moderní teorie portfolia 24 kde m... počet období, x ik... výnosnost i-tého cenného papíru v k-tém období. 3.2 Kovariance a korelace cenných papírů Další důležitou charakteristikou cenných papírů v portfoliu jsou jejich vzájemné kovariance. Kovariance obecně měří vzájemný vztah mezi dvěma náhodnými veličinami. V našem modelu tato veličina měří podobnost v pohybech výnosů dvou aktiv. Nabývá hodnot od do a proto je vhodné zavést i pojem korelace, který označuje kovarianci normovanou směrodatnými odchylkami jednotlivých náhodných veličin. Korelace nabývá hodnot od 1 do 1 a značí míru lineární závislosti dvou náhodných veličin. Při modelování výnosnosti metodou ex-post má kovariance tvar: σ ij = C(X i, X j ) = 1 m m (x ik r i ) (x jk r j ) (3.5) k=1 kde C(X i, X j )... kovariance mezi náhodnými veličinami X i a X j, σ ij... kovariance cenných papírů i a j. Korelace se z kovariance odvodí následovně: ρ ij = kde σ i... riziko i-tého cenného papíru, ρ ij... korelace cenných papírů i a j. σ ij σ i σ j (3.6) 3.3 Výnosnost a riziko portfolia Prozatím jsme odvodili základní vlastnosti jednotlivých cenných papírů, nás ale hlavně zajímá, jak se bude chovat celé portfolio cenných papírů. Proto musíme zadefinovat pojmy výnosnost a riziko portfolia. Výnosnost portfolia se určuje jako vážený průměr výnosností jednotlivých cenných papírů, kde se jako váha používá podíl příslušného cenného papíru v portfoliu.
Kapitola 3. Moderní teorie portfolia 25 Označíme cenné papíry, které uvažujeme do portfolia, jako náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) (3.7) a podíly obsažení příslušných cenných papírů v portfoliu jako vektor w = (w 1, w 2,..., w n ) (3.8) Výnosnost portfolia tedy můžeme označit jako náhodnou veličinu: P = n X i w i = X w (3.9) i=1 kde X i... náhodná veličina výnosnosti i-tého cenného papíru, w i... podíl obsažení i-tého cenného papíru v portfoliu, P... náhodná veličina výnosnosti portfolia. Očekávaná výnosnost portfolia se dá odvodit následovně: ( n ) n r P = E(P ) = E w i X i = w i E(X i ) r P = i=1 i=1 n w i r i (3.10) i=1 Riziko portfolia definujeme jako směrodatnou odchylku náhodné veličiny výnosnosti portfolia: σ P = ( n ) D(P ) = n D w i X i = wi 2D(X i) + 2 i=1 i=1 i=1 j=i n w i w j σ ij (3.11) A protože platí rovnost σ ii = D(X i ), můžeme vzorec napsat ve tvaru: n n σ P = w i w j σ ij (3.12) j>i
Kapitola 3. Moderní teorie portfolia 26 3.4 Optimalizační úloha Pro vytvoření algoritmu na výpočet vhodného složení cenných papírů v portfoliu musíme zavést optimalizační úlohu. V rámci Markowitzova modelu si můžeme cíl optimalizace vyložit několika způsoby, v prvním kroku můžeme buď maximalizovat výnosnost, nebo minimalizovat riziko. Dále je možné nastavit požadované riziko, respektive výnosnost, při kterém budeme maximalizovat respektive minimalizovat druhou zmíněnou veličinu. V poslední řadě můžeme zakázat prodej cenných papírů na krátko, tím že jejich podíl v portfoliu určíme jako nezáporný. Budeme se zabývat úlohou ve tvaru minimalizace rizika, při stanovené požadované výnosnosti a povoleném prodeji na krátko. Pro snadnější výpočet použijeme místo rizika definovaného jako směrodatná odchylka jeho druhou mocninu (rozptyl), což díky nezápornosti rizika nezmění výsledek úlohy. V této úloze máme vybráno n cenných papírů s výnosy X i a hledáme jejich podíly v portfoliu, tedy vektor w: min σp 2 (3.13) w n w i = 1 i=1 R = r P kde R... požadovaná výnosnost portfolia, r P... očekávaná výnosnost portfolia ve tvaru (3.10), σ P... riziko portfolia ve tvaru (3.12) w i... podíl i-tého cenného papíru v portfoliu Řešíme tedy úlohu vázaných extrémů pomocí Langrangeovy funkce: ( n ) L( w, λ) = σp 2 ( w) + λ 1 w i 1 i=1 + λ 2 (r p (w) R ) (3.14) Parciálními derivacemi podle jednotlivých proměnných získáme analytické vyjádření výsledku této úlohy jako výsledek soustavy rovnic. Pro obecné n má rozšířená matice soustavy tvar:
Kapitola 3. Moderní teorie portfolia 27 2σ1 2 2σ 12... 2σ 1n 1 r 1 0 2σ 21 2σ2 2... 2σ 2n 1 r 2 0......... 2σ n1 2σ n2... 2σn 2 1 r n 0 1 1... 1 0 0 1 r 1 r 2... r n 0 0 R Řešení této soustavy můžeme napsat jako vektor x = (w 1, w 2,..., w n, λ 1, λ 2 ) x = A 1 b (3.15) kde A je matice zadané soustavy a b vektor pravých stran. Prvních n členů výsledného vektoru x vyjadřuje podíly všech vstupních cenných papírů v portfoliu s požadovanými vlastnostmi, čímž máme problém optimalizace portfolia složeného z těchto cenných papírů vyřešen.
Kapitola 4 Markowitzův model při tvorbě dluhopisového portfolia V této kapitole si popíšeme využití Markowitzova modelu při tvorbě dluhopisového portfolia. 29 Popíšeme si proč a jak musí být tento model upraven oproti modelu použitému pro akciové portfolio. Po odvození upraveného modelu si ukážeme, jak odhadnout všechny potřebné vstupní parametry pomocí vhodného modelu úrokových sazeb. Nástroje moderní teorie portfolia jsou často používány při tvorbě portfolia akcií, ale pro optimalizaci portfolia dluhopisů příliš vhodné nejsou. Je to způsobeno hlavně strukturální odlišností dluhopisů od akcií. Hlavním rozdílem je fixní doba splatnosti dluhopisu, která může být vyšší, ale i nižší, než náš investiční horizont, oproti akciím, které žádnou dobu splatnosti nemají, a předpokládáme, že je můžeme držet po libovolně dlouhé období. Dalším rozdílem je odlišná struktura rizika spojeného s těmito cennými papíry. U fixně úročených dluhopisů je na rozdíl od akcií velmi důležité riziko úrokové, protože ceny dluhopisů přímo závisí na výši úrokových měr. Při optimalizace portfolia dluhopisů se budeme zaměřovat na minimalizaci právě tohoto rizika. 4.1 Optimalizační úloha Použijeme optimalizační úlohu z Markowitzova modelu odvozenou v (3.13), kterou vhodně upravíme pro naše konkrétní použití. Jedná se o statický model, což znamená, že se investor v určitém čase rozhodne vytvořit portfolio a drží ho po 29 Zpracováno podle [21] 28
Kapitola 4. Markowitzův model při tvorbě dluhopisového portfolia 29 celou dobu svého investičního horizontu. Mezi počátkem investice a koncem investičního horizontu neprobíhá žádné rebalancování portfolia. Označme T délku investičního horizontu, M 0 majetek určený k investici v čase 0 (tzv. počáteční majetek) a M T investovaný majetek na konci investičního horizontu. Naším cílem je dosáhnout požadované velikosti majetku M při minimalizaci rozptylu veličiny M T. n min D(M T ) (4.1) i=1 N i P 0(i) = M 0 E(M T ) = M kde N i... množství i-tého aktiva v portfoliu, P 0(i)... počáteční cena i-tého aktiva v portfoliu, E(M T )... očekávané množství majetku na konci, D(M T )... rozptyl množství majetku na konci. 4.2 Úprava optimalizační úlohy pro dluhopisy Takto zadaný optimalizační problém jde v principu použít na všechna obchodovatelná aktiva, ale použití na dluhopisy je o něco složitější, než aplikace na akcie. Jedním z největších rozdílů mezi dluhopisy a akciemi je konečná splatnost dluhopisů. Tento rozdíl nám přináší problém v implementaci zadané úlohy pro optimalizaci portfolia, protože dluhopisy se splatností menší, než je investiční horizont, nebudou na konci investice existovat. Proto je nutné se zabývat optimální volbou reinvestice, ať už splacených dluhopisů, tak kupónových plateb z dluhopisů před koncem investičního období. Dalo by se využít rebalancování portfolia v každém čase, kdy dostaneme příjem, ale to už vyžaduje použití dynamického modelu. V rámci našeho statického modelu potřebujeme zavést předpoklad, který nám zamezí možnosti investičního rozhodování v průběhu investičního horizontu a tedy nutného rebalancování. V modelu budeme pro zjednodušení používat pouze dluhopisy s nulovým kupónem a nominální hodnotou 1. Tento předpoklad ale není příliš omezující,
Kapitola 4. Markowitzův model při tvorbě dluhopisového portfolia 30 protože každý kupónový dluhopis se dá nahradit portfoliem dluhopisů s nulovými kupóny. 30 Budeme postupovat podle Wilhelma 31 a všechny příjmy v čase t < T reinvestujeme za příslušnou spotovou úrokovou míru R(t, T ) až do konce investičního horizontu T (a předpokládáme, že v tomto čase existuje požadovaný dluhopis s nulovým kupónem, do kterého můžeme investovat). Spotová úroková míra 32 R(t, T ) značí roční úrokovou míru půjčky v čase t, která je splacena v čase T, kde t T. Spotové úrokové míry úzce souvisí s cenami dluhopisů s nulovým kupónem. V čase t pro cenu dluhopisu s nominální hodnotou 1 a splatností v čase T (označíme P (t, T )) platí následující vztah: P (t, T ) = exp( (T t)r(t, T )) (4.2) Z rovnice (4.2) můžeme naopak vyjádřit úrokovou míru: R(t, T ) = 1 ln(p (t, T )) (4.3) T t Dále ještě označíme r(t) krátkodobou úrokovou míru, kterou definujeme jako úrokovou míru půjčky s okamžitou splatností: r(t) = lim T t R(t, T ) (4.4) Předpokládejme, že existují dluhopisy s nulovými kupóny všech splatností od 1 roku do n let (kde n je dluhopis s největší splatností uvažovaný do portfolia). V čase t = 0 má investor majetek M 0, který použije k nákupu dluhopisů s cenami P (0, t) v množství N t, kde t je splatnost daného dluhopisu. M 0 = n N t P (0, t) (4.5) t=1 Dluhopis se splatností v čase T považujeme za bezrizikový (vzhledem ke změnám úrokových sazeb) a celou sadu dluhopisů tedy můžeme rozdělit na n 1 rizikových a 1 bezrizikový. Ceny rizikových dluhopisů zapíšeme jako vektor ˆP 0 = (P (0, 1),..., P (0, T 1), P (0, T + 1),..., P (0, n)) (4.6) 30 Například pětiletý kupónový dluhopis s nominální hodnotou 10 a kupóny 1 nahradíme čtyřmi dluhopisy se splatností v časech 1, 2, 3, 4 a 11 dluhopisy se splatností v čase 5, kde všechny mají nominální hodnotu 1 31 [27] 32 [21] str. 17
Kapitola 4. Markowitzův model při tvorbě dluhopisového portfolia 31 a jejich množství jako vektor ˆN = (N 1,..., N T 1, N T +1,..., N n ) (4.7) Vzorec (4.5) přepíšeme do tvaru M 0 = ˆN ˆP0 + N T P (0, T ) (4.8) Dále odvodíme majetek investora na konci investičního horizontu M T. Investice N T P (0, T ) do bezrizikového dluhopisu se splatností T roste až do N T v čase T. Hodnota všech dluhopisů se splatnosti větší, než je investiční horizont, je v čase T rovna sumě cen jednotlivých dluhopisů, které jsou závislé na budoucí spotové míře R(T, t). Ocenění dluhopisů se splatností menší, než investiční horizont T, je trochu složitější. Jejich nominální hodnota je reinvestována v časech t < T za budoucí spotovou úrokovou míru R(t, T ) až do konce investičního horizontu. Majetek na konci má tedy hodnotu T 1 M T = N t exp((t t)r(t, T )) + N T + t=1 n t=t +1 Nahradíme úrokové míry cenami dluhopisů podle (4.3) T 1 1 M T = N t P (t, T ) + N T + t=1 Vektorově můžeme předchozí vzorec zapsat N t exp( (t T )R(T, t)) (4.9) n t=t +1 N t P (T, t) (4.10) kde M T = ˆN ˆ PT + N T (4.11) ( ) Pˆ 1 T = P (1, T ),..., 1, P (T, T + 1),..., P (T, n) P (T 1, T ) (4.12) Všimněme si, že první polovinu vektoru ˆ P T tvoří obrácené hodnoty cen dluhopisů v časech t {1, 2,..., T 1} se splatností v čase T. Tyto výrazy vyjadřují v úročitele v časech t {1, 2,..., T 1} do času T. Jsou to výnosy dluhopisů se splatnostmi menší, než je investiční horizont T, které reinvestujeme do konce investičního horizontu za sazbu aktuální v době vypršení. Naopak druhou polovinu vektoru tvoří ceny dluhopisů v čase T se splatností v časech t {T +1, T +2,..., n}.
Kapitola 4. Markowitzův model při tvorbě dluhopisového portfolia 32 Tyto hodnoty vyjadřují odúročitele (diskontní faktory) v čase T pro konkrétní splatnosti. Zajímá nás střední hodnota a rozptyl majetku na konci investičního horizontu. Nejdříve použijeme na rovnici (4.10) operátor očekávání: 33 T 1 E(M T ) = N t E t=1 ( ) 1 + N T + P (t, T ) Vektorově můžeme střední hodnotu zapsat: n t=t +1 N t E (P (T, t)) (4.13) E(M T ) = ˆN E ( ˆ PT ) + N T (4.14) Rozptyl konečného majetku D(M T ) bude mít tvar: T 1 T 1 D(M T ) = t=1 + s=1 n ( 1 N T N s cov n t=t +1 s=t +1 T 1 + 2 n t=1 s=t +1 P (t, T ), 1 P (s, T ) ) N t N s cov (P (T, t), P (T, s)) ( ) 1 N t N s cov, P (T, s) P (t, T ) (4.15) kde cov je operátor kovariance. Označme C kovarianční matici složenou z kovariancí mezi budoucími cenami dluhopisů z vektoru ˆP T a předchozí vzorec můžeme napsat ve vektorovém tvaru: D(M T ) = ˆN C ˆN (4.16) Například kovarianční matice pro investiční horizont T = 3 a dluhopisy s maximální dobou splatnosti n = 5 má tvar: ( ) ( ) 1 1 D c P (1, 3) P (1, 3), 1 ( P (2, ) 3) 1... D P (2, 3) ( 1 c c ), P (3, 4) ) ( P (1, 3) 1, P (3, 4) P (2, 3) ( 1 c c ), P (3, 5) ) ( P (1, 3) 1, P (3, 5) P (2, 3)...... D(P (3, 4)) c(p (3, 4), P (3, 5))......... D(P (3, 5)) kde c je operátor kovariance. 33 [27] str.217