Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné předměty Sada: 3 Matematika Číslo materiálu v sadě: 16 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
Název: Trojúhelník Jméno autora: Mgr. Jana Masaryková Předmět: matematika Jazyk: čeština Klíčová slova: trojúhelník, střední příčka, výška, těžnice, úhel, obsah, obvod Cílová skupina: žák Stupeň a typ vzdělání: odborné vzdělání Očekávaný výstup: Pozná různé typy trojúhelníku a umí vypočítat jejich obsah
Metodický list/anotace Vytvořeno dne 26.11.2012 Prezentace je zaměřena na rozdělení trojúhelníků a výpočet jejich obsahu, je vhodná k přímé výuce i samostudiu.
Trojúhelník
Mějme dány tři různé body A, B, C, které neleží v jedné přímce, pak TROJÚHELNÍK je průnik polorovin ABC,BCA, CBA ozn. Δ ABC Body A,B,C nazýváme vrcholy trojúhelníku Úsečky AB, BC,CA nazýváme strany trojúhelníku Konvexní úhly BAC, ABC, BCA vnitřní úhly při vrcholech A,B,C Vedlejší úhly k vnitřním úhlům nazýváme vnější úhly trojúhelníka C b a A c B
Vlastnosti trojúhelníku V každém trojúhelníku platí následující věty: V1: součet libovolných dvou stran trojúhelníku je větší než třetí strana tj. platí trojúhelníkové nerovnosti: a + b > c, b + c > a, c + a > b V2: Proti shodným stranám trojúhelníku leží shodné vnitřní úhly, proti větší straně trojúhelníku leží větší vnitřní úhel. Pro délky stran a velikosti vnitřních úhlů tedy platí: a = b = a > b > atd. V3: Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je + + = 180º V4: Vnější úhel trojúhelníku při kterémkoliv vrcholu je roven součtu vnitřních úhlů při zbývajících dvou vrcholech: = +, = +, = +
Jaké druhy trojúhelníků známe?
Klasifikace trojúhelníků podle stran různostranné rovnoramenné rovnostranné (žádné dvě strany Δ (právě dvě strany Δ (všechny strany Δ nejsou shodné) jsou shodné) jsou shodné) podle úhlů ostroúhlé pravoúhlé tupoúhlé (všechny vnitřní (právě jeden vnitřní (právě jeden vnitřní jsou ostré) je pravý) je tupý)
Jaké důležité body a úsečky trojúhelníku známe?
Důležité body a úsečky trojúhelníku 1) Střední příčka - je úsečka spojující středy dvou protějších stran trojúhelníku a je rovnoběžná s třetí stranou délka střední příčky je pak rovna polovině délky této třetí strany C S b S a b a A c B
2) Výška - je úsečka která spojuje vrchol trojúhelníku s patou kolmice vedené tímto vrcholem k jeho protější straně Všechny tři přímky, na kterých leží výšky trojúhelníku, se protínají v jediném bodě V nazvaném průsečík výšek (ortocentrum) C b a V v a v c v b A c B
3) Těžnice - úsečka která spojuje vrchol trojúhelníku se středem protější strany Všechny tři těžnice trojúhelníku se protínají v jediném bodě T zvaném těžiště trojúhelníku Vzdálenost těžiště od vrcholu je rovna délky příslušné těžnice C t c T b a A c B
Obsah a obvod trojúhelníka S = a v a S = b v b S = c v c S = bc sin S = ac sin S = ab sin Heronův vzorec: S =, kde s = o = a + b + c
Příklady 1) Základna rovnoramenného trojúhelníku je 20 cm, obsah 240 cm 2. Vypočítejte obvod tohoto trojúhelníku. Jak budeme postupovat?
b b Řešení a = 20 cm, S = 240 cm 2 využijeme Heronova vzorce: S = kde s = 20 dosadíme za s s = = = b + 10 dosadíme do Heronova vzorce a vypočítáme stranu b 240 = 240 = 240 = 10 24 2 = b 2-100 b = 26 cm Obvod: o = 26 + 26 + 20 = 72 cm
3) Vypočítejte stranu a rovnostranného trojúhelníku, je-li jeho obsah 1732 cm 2. Jak budeme postupovat?
Řešení a a S = 1732 cm 2. pomocí Pythagorovy věty vyjádříme výšku v a : v 2 a = a 2 - ( ) 2 = a 2 - v a 2 = a 2 v a = a nyní dosadíme do vzorce pro výpočet obsahu S = a v a 1732 = a a / 4 6928 = a 2 a 63, 24 cm
3) Vypočítejte obsah S a výšky v a, v b, v c trojúhelníku ABC o stranách a = 8 cm, b = 11 cm, c = 12 cm. Jak budeme postupovat?
Řešení a = 8 cm, b = 11cm, c = 12 cm dosadíme do Heronova vzorce: S = kde s = s = = = 15,5 cm S = = = 42, 8 cm 2 pro výpočet výšky použijeme vzorec: S = a v a v a = dosadíme: v a = 10,7 cm analogicky: v b = 7,78 cm v c = cm
Odkazy: POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 8. vyd. Praha : Prometheus, 2005. ISBN 80-7196-267-8. s. 608. JIRÁSEK, František a kol. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a pro studijní obory SOU 1. část. Dotisk 5. vydání.praha : Prométheus, 1986. ISBN 80-85849-55-0 (*D)