Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku

Transkript

1 Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Řešení složitějších úloh na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku Bakalářská práce BRNO. května 006 Barbora Kamencová

2 Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci vypracovala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. Brno, Barbora Kamencová

3 Ráda bych na tomto místě poděkovala všem, kteří mi s prací pomohli, hlavně mému vedoucímu panu RNDr. Janu Osičkovi, CSc. a panu doc. RNDr. Josefu Kalasovi, CSc..

4 Obsah Úvod 1 Vlastnosti trojúhelníku a označení Teoretická příprava ke kapitole Řešené příklady Neřešené příklady Podobnost trojúhelníků 8.1 Teoretická příprava ke kapitole Podobnost obecných trojúhelníků Podobnost pravoúhlých trojúhelníků Shodnost trojúhelníků Řešené příklady Neřešené příklady Goniometrické funkce Teoretická příprava ke kapitole Řešené příklady Neřešené příklady Řešení pravoúhlého trojúhelníku Teoretická příprava ke kapitole Řešené příklady Neřešené příklady Řešení obecného trojúhelníku Teoretická příprava ke kapitole Řešené příklady Neřešené příklady Literatura 4 1

5 Úvod Svoji bakalářskou práci jsem pojala jako sbírku příkladů z oblasti trigonometrie určenou pro střední školy. Příklady jsou složitější, na úrovni matematiky gymnázií nebo přijímacích zkoušek na vysokou školu. Sbírka je rozčleněna do pěti kapitol. V první kapitole jsem zavedla označení a základní vztahy platné v každém trojúhelníku. Druhá kapitola je věnována podobnosti pravoúhlých a obecných trojúhelníků a shodnosti trojúhelníků. Ve třetí jsou pak definovány goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku a uvedeny nejčastěji používané goniometrické vzorce. V posledních dvou kapitolách se konečně dostávám k samotnému řešení trojúhelníku, v kapitole čtvrté trojúhelníku pravoúhlého, v páté obecného. Každá kapitola je rozdělena do třech částí. V první objasňuji teorii nutnou k pochopení látky a počítání následujích řešených i neřešených příkladů, tedy dalších dvou částí kapitol. Pod každým z neřešných příkladů je uveden výsledek, popř. stručně naznačen postup výpočtu. Ráda bych, aby moje sbírka byla pro případné studenty zabývající se problematikou trigonometrie nápomocná, proto jsem se snažila postupovat systematicky od jednoduššího ke složitějšímu (první tři kapitoly jako příprava ke kapitolám 4 a 5), uvedla ke každé kapitole dva až tři řešené příklady, které typově pokrývají obsah dané kapitoly, a dále dostatečné množství příkladů neřešených, sloužících k dalšímu procvičení dané látky.

6 Kapitola 1 Vlastnosti trojúhelníku a označení 1.1 Teoretická příprava ke kapitole 1 Označení V celé práci je užíváno těchto označení: ABC trojúhelník, jehož vrcholy jsou body A, B, C a, b, c strany ABC, a = BC, b = AC, c = AB S AB, S BC, S CA středy stran c, a, b α, β, γ vnitřní úhly ABC při vrcholech A, B a C t a, t b, t c těžnice na strany a, b, c v a, v b, v c výšky na strany a, b, c P a, P b, P c paty výšek v a, v b, v c ρ poloměr kružnice trojúhelníku vepsané r poloměr kružnice trojúhelníku opsané Obrázek 1.1: Označení Cyklická záměna: (A, a, α) (B, b, β) (C, c, γ) (CZ) 3

7 KAPITOLA 1. VLASTNOSTI TROJÚHELNÍKU A OZNAČENÍ 4 Základní charakteristiky trojúhelníku jako geometrického obrazce Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku Trojúhelníková nerovnost Obsah trojúhelníku Heronův vzorec Poloměr kružnice opsané Poloměr kružnice vepsané α + β + γ = 180 (1.1) a b < c < a + b (1.) S = 1 av a (1.3) S = s(s a)(s b)(s c), s = 1 (a + b + c) (1.4) r = abc 4S = bc v a (1.5) ρ = S (s a)(s b)(s c) s =, s = 1 (a + b + c) (1.6) s U vzorců (1.), (1.3) a (1.5) můžeme použít cyklickou záměnu (CZ). Klasifikace trojúhelníků podle velikosti stran rovnoramenný a = b, α = β rovnostranný a = b = c, α = β = γ = 60 podle velikosti úhlů ostroúhlý α, β, γ jsou ostré, tedy < 90 pravoúhlý α + β = 90, γ = 90 tupoúhlý jeden tupý úhel, ostatní ostré

8 KAPITOLA 1. VLASTNOSTI TROJÚHELNÍKU A OZNAČENÍ 5 1. Řešené příklady Příklad 1.1. Dokažte, že v každém trojúhelníku ABC platí: 3 4 o < t a + t b + t c < o, kde o je obvod ABC. Řešení. Užitím vlastnosti těžnic ( AT = 3 t a, kde T je těžiště) a trojúhelníkové nerovnosti postupně pro trojúhelníky ABT, BCT a AT C dostaneme nerovnice: Sečtením nerovnic (1.7), (1.8) a (1.9) dostaneme: c < 3 t a + 3 t b, (1.7) b < 3 t a + 3 t c, (1.8) a < 3 t b + 3 t c. (1.9) a + b + c < 3 t a + 3 t b + 3 t c, a + b + c < 4 3 (t a + t b + t c ), o < 4 3 (t a + t b + t c ), 3 4 o < t a + t b + t c, což je levá strana nerovnosti, kterou máme dokazovat. Obrázek 1.: Příklad 1.1 Doplníme ABC na rovnoběžníky AXBC, ABYC a ABCZ (viz obrázek (1.)).

9 KAPITOLA 1. VLASTNOSTI TROJÚHELNÍKU A OZNAČENÍ 6 Užitím trojúhelníkové nerovnosti postupně pro trojúhelníky AXC, ABY, ABZ dostaneme nerovnice: Sečteme tyto tři nerovnice a upravujeme: a + b > t c, b + c > t a, a + c > t b. a + b + c > t a + t b + t c, a + b + c > t a + t b + t c, o > t a + t b + t c, což je levá strana nerovnosti, kterou chceme dokázat. Spojením obou dosažených nerovností získáme vztah: což jsme měli dokázat. 3 4 o < t a + t b + t c < o, Příklad 1.. Mějme ABC, který má obsah S = 1890 a poměr délek stran je a : b : c = = 17 : 5 : 8. Určete délky stran a, b, c. Řešení. Daný poměr a : b : c = 17 : 5 : 8 můžeme rozepsat a strany ABC potom vyjádřit pomocí strany a: a, b = 5 8 a, c = a. Dále využijeme vzorce (1.4) pro výpočet obsahu trojúhelníku: Vyjádříme s pomocí a: S = s (s a)(s b)(s c). s = 1 (a + b + c) = 1 5 (a + 17 a a) = = a ( ) = a. Dosadíme: S = 35 s (s a)(s b)(s c) = 17 a (35 1) a ( ) a ( ) a = = a4 = 10 a 17. Pak tedy: S = 10 a = 10 a 17 a = 601 a = 51.

10 KAPITOLA 1. VLASTNOSTI TROJÚHELNÍKU A OZNAČENÍ 7 Dosazením do zadaného poměru vypočítáme ostatní strany ABC: Strany ABC jsou: a = 51, b = 75, c = Neřešené příklady b = 5 17 a = 5 51 = 75, 17 c = 8 17 a = 8 51 = Příklad 1.3. Průsečík os úhlů α, β v ABC označme O. Dokažte: AOB = γ. Řešení. Pomocí vlastnosti, že součet vnitřích úhlů v je 180. Příklad 1.4. Vypočítejte úhly, které svírají výšky v a, v b a v c v rovnostranném trojúhelníku ABC. Řešení. Výšky svírají úhel 10. Příklad 1.5. Dokažte, že v každém ostroúhlém trojúhelníku je každá z výšek menší než polovina obvodu. Řešení. Užitím nerovnosti pro AP c C. Podobně pro ostatní výšky. Příklad 1.6. Urči výšku v a rovnostranného trojúhelníku ABC, jehož obsah je trojnásobkem obvodu. Řešení. v a = 6. Příklad 1.7. V ABC platí: a = 130, b = 140, c = 150. Určete velikost výšky v b. Řešení. Pomocí vzorce (1.4), v b = 10. Příklad 1.8. Vnitřní úhly ABC α, β, γ jsou v poměru : 3 : 5. Určete jeho vnější úhly α, β, γ. Řešení. α = 144 ; β = 16 ; γ = 90.

11 Kapitola Podobnost trojúhelníků.1 Teoretická příprava ke kapitole.1.1 Podobnost obecných trojúhelníků Definice.1. Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže úhly jednoho jsou stejně velké jako úhly druhého. Značíme: ABC A B C. Věta.. ABC a A B C jsou podobné, právě když: 1. shodují se ve dvou úhlech úú. shodují se v poměru dvou stran a úhlu jimi sevřeném sús 3. shodují se v poměru dvou stran a úhlu proti větší z nich Ssú Věta.3. a, b, c a a, b, c jsou odpovídající si strany dvou podobných trojúhelníků, pak platí: a : b : c = a : b : c. Věta platí i obráceně..1. Podobnost pravoúhlých trojúhelníků Věta.4. Dva pravoúhlé trojúhelníky jsou podobné, jestliže mají kromě pravého úhlu jeden úhel shodné velikosti. Poznámka. Věta (.3) platí samozřejmě i pro pravoúhlé trojúhelníky..1.3 Shodnost trojúhelníků Věta.5. ABC a A B C jsou shodné, právě když se shodují: 1. ve všech stranách sss. ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném sús 3. ve dvou stranách a úhlu proti větší z nich Ssú 4. v jedné straně a úhlech k ní přilehlých úsú Značíme pak: ABC = A B C. 8

12 KAPITOLA. PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ 9. Řešené příklady Příklad.1. Dokažte vztahy (níže uvedené jako Euklidovy věty): v c = c a c b, a = c c a, b = c c b. Obrázek.1: Příklad.1 Řešení. Budeme si všímat ABC, ACP c a CBP c, které vzniknou rozdělením ABC výškou v c (P c je pata kolmice). Podle věty úú jsou ACP c a CBP c podobné (oba trojúhelníky jsou pravoúhlé, přičemž BCP c = 90 (90 CAP c ) = CAP c ). Platí tedy: c a v c = v c c b v c = c a c b. Pro důkaz dalšího vztahu a = c c a je důležité, že ABC a ACP c jsou podle věty uu podobné (oba jsou pravoúhlé a je patrné, že P c BC = ABC ). Proto: a c a = c a Analogicky pak dokážeme i vztah: b = c c b. a = c c a. Příklad.. Mějme dva podobné trojúhelníky, ABC A B C. Jeden z nich má obvod o = 48, strany druhého jsou po řadě o 6, 8 a 10 větší než strany prvního. Vypočítejte délky stran obou trojúhelníků. Řešení. Ze zadání víme, že: O ABC = a + b + c = 48 a a = a + 6, b = b + 8, c = c Pak tedy: O A B C = a + b + c = (a + 6) + (b + 8) + (c + 10) = = (a + b + c) + ( ) = O ABC + 4 = = 7. Z podobnosti ABC a A B C plyne poměr podobnosti: O A B C O ABC = 7 48 = 3.

13 KAPITOLA. PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ 10 Pro a pak platí: a a = 3 a + 6 a = 3 a = 1. Dosazením do zadaného vztahu: a = a + 6 = = 18. Analogickým postupem se dopracujeme k b, c, b, c : b = 16, b = 4, c = 0, c = 30. Strany ABC jsou: a = 1, b = 16 a c = 0, Strany A B C jsou: a = 18, b = 4 a c = Neřešené příklady Příklad.3. Je dán pravoúlhý trojúhelník ABC, kde a = 4, b = 3. Vypočítejte poloměr kružnice k, která má střed na přeponě c, prochází bodem A a dotýká se přímky BC. Řešení. r = Příklad.4. V libovolném trojúhelníku ABC označme M průsečík osy úhlu BCA (γ) se stranou AB. Označme AM = x, MB = y. Dokažte, že: x y = b a. Řešení. Využitím: P b MC = P a MC. Příklad.5. Bodem M ležícím uvnitř ABC jsou vedeny tři přímky rovnoběžné s jeho stranami. Tyto přímky rozdělují ABC na šest částí, z nichž tři jsou trojúhelníky. Jejich obsahy označme postupně P 1, P a P 3. Dokažte, že platí: P = ( P 1 + P + P 3 ), kde P je obsah ABC. Řešení. Uvažované trojúhelníky jsou podobné s ABC, proto platí: P P 1 = p 1, kde p AB 1 je první z úseků, který vytínají rovnoběžky se stranami BC a CA na straně AB. Podobně pro další dva a vzniklé rovnice sečteme. Příklad.6. Mějme dva podobné trojúhelníky ABC a A B C. Jeden z nich má obvod o = 100, strany druhého jsou po řadě o 8, 14 a 18 větší než strany prvního. Vypočítejte délky stran prvního i druhého. Řešení. ABC: a = 0; b = 35; c = 45. A B C : a = 8; b = 49; c = 63. Příklad.7. Vypočtěte výšku továrního komína, jehož stín je 45 m dlouhý. Na tovární dvůr, kam stín padá, vrhá současně svislá tyč délky 1, 5 m stín dlouhý 1, 1 m. Řešení. Výška továrního komína je asi 67, 5 m. Příklad.8. Do rovnostranného trojúhelníku o straně a je vepsán čtverec. Vypočítejte délku strany čtverce. Řešení. Strana čtverce je: x = a( 3 3).

14 Kapitola 3 Goniometrické funkce 3.1 Teoretická příprava ke kapitole 3 V úlohách na řešení trojúhelníků bude často využíváno goniometrických funkcí a vztahů mezi nimi, proto je nutné je zavést. V pravoúhlém trojúhelníku ABC jsou goniometrické funkce úhlu α definovány takto: sin α = a c, cos α = b c, tg α = a b, cot α = b a, kde a je odvěsna protilehlá úhlu α, b přilehlá odvěsna k úhlu α a c je přepona v ABC. Tabulka hodnot goniometrických funkcí pro při často užívané hodnoty α: α sin α cos α tg α cotg α Vztahy mezi goniometrickými funkcemi - goniometrické vzorce Základní vzorce sin α cos α = tg α, (3.1) sin α + cos α = 1. (3.) Vzorce pro dvojnásobný argument sin α = sin α cos α, (3.3) cos α = cos α sin α, (3.4) tg α = tg α 1 tg α. (3.5) 11

15 KAPITOLA 3. GONIOMETRICKÉ FUNKCE 1 Součtové vzorce Součty goniometrických funkcí 3. Řešené příklady sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β, (3.6) cos (α ± β) = cos α cos β sin α sin β, (3.7) tg(α ± β) = tg α + tg β 1 tg α tg β. (3.8) sin α ± sin β = sin α ± β cos α + cos β = cos α + β cos α cos β = sin α + β cos α β, (3.9) cos α β, (3.10) sin α β. (3.11) Příklad 3.1. Určete zbývající dva úhly pravoúhlého trojúhelníku, v němž je jedna odvěsna aritmetickým průměrem druhé odvěsny a přepony. Řešení. Ze zadání plyne, že: b = 1 (a + c) b = a + c. (3.1) Dále víme, že v pravoúhlém ABC, kde a, b jsou odvěsny a c je přepona, platí: sin α = a c cos α = b c a = c sin α (3.13) b = c cos α. (3.14) Do (3.1) dosadíme (3.13) a (3.14) a upravíme: c cos α = c sin α + c cos α = sin α + 1. Užitím vztahu (3.) získáme rovnici: 1 sin α = sin α + 1 5sin α + sin α 3 = 0. Řešením kvadratické rovnice dostáváme kořeny: sin α 1 = 3 5, sin α = 1. Druhý kořen nevyhovuje, neboť hodnoty úhlu α musejí splňovat podmínku: α (0, 90 ). sin α = 3 5 α. = 37

16 KAPITOLA 3. GONIOMETRICKÉ FUNKCE 13 Součet úhlů v je 180, pro β tedy platí: β = 180 (α + γ). = 53. Řešením je tedy ABC, kde α. = 37, β. = 53, γ = 90. Příklad 3.. Dokažte, že pro vnitřní úhly v trojúhelníku platí: sin α + sin β + sin γ = 4 cos 1 α cos 1 β cos 1 γ. Řešení. K důkazu využijeme následující vztahy, platné pro úhly v trojúhelníku: α + β + γ = (α + β + γ) = 90 sin α + β = cos γ sin (α + β) = sin γ a postupně tyto goniometrické vzorce: (3.9), (3.3) a (3.7). Pak tedy: sin α + sin β + sin γ = sin α + sin β + sin (α + β) = = sin α + β cos α β + sin α + β = sin α + β (cos α β + cos α + β ) = = cos γ [cos (α β ) + cos (α + β )] = cos α + β = což jsme chtěli dokázat. = cos γ [(cos α cos β + sin α sin β ) + (cos α cos β sin α sin β )] = = cos γ cos α cos β = 4 cos α cos β cos γ, 3.3 Neřešené příklady Příklad 3.3. Určete ostatní úhly v pravoúhlém trojúhelníku ABC, jestliže je dáno: a = = 1, q = 5, 4, kde a je jedna odvěsna a q je kolmý průmět druhé odvěsny na přeponu c. Řešení. α. = 53 8 ; β. = Příklad 3.4. O pravoúhlém ABC víme, že mezi přeponou c a odvěsnou a je vztah: c a = 9 a β = 35. Určete délku strany c. Řešení. c. = 50. Příklad 3.5. Vyjádřete výraz sin 3α pomocí jednoduchého argumentu. Řešení. sin 3α = 3 sin α 4 sin 3 α.

17 KAPITOLA 3. GONIOMETRICKÉ FUNKCE 14 Příklad 3.6. Dokažte: = 1. 1+tan α 1+cot α Řešení. Pomocí vzorců (3.1), (3.). Příklad 3.7. Zjednodušte: 1 cos α sin α + sin α 1+cos α. Řešení. Pomocí vzorců (3.), (3.3), (3.4) zjednodušíme na: tg α. Příklad 3.8. Určete další úhly pravoúhlého ABC, platí-li mezi jeho stranami a, b, c: 4a 8ac + 3c = 0. Řešení. α = 30, β = 60.

18 Kapitola 4 Řešení pravoúhlého trojúhelníku 4.1 Teoretická příprava ke kapitole 4 Věty využívané při výpočtech příkladů kapitoly 4 Věta 4.1. (Pythagorova věta) Pro každý pravoúhlý ABC, kde c je přepona, a, b jsou odvěsny, platí: c = a + b. Věta 4.. (Euklidova věta o výšce) Pro každý pravoúhlý ABC, kde c je přepona, a, b jsou odvěsny, c a = BP c, c b = P c A, platí: v c = c a c b. Věta 4.3. (Euklidova věta o přeponě) Pro každý pravoúhlý ABC, kde c je přepona, a, b jsou odvěsny, c a = BP c, c b = P c A, platí: a = c c a, b = c c b. 4. Řešené příklady Příklad 4.1. Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC, kde a, b jsou odvěsny a c je přepona. Vypočtěte délky stran, jestliže: t a = 10, t b = Řešení. Z vlastností těžnic víme: BS a = S BC C = 1 b, CS CA = S AB A = 1 a. Pomocí věty (4.1) pro BCS CA a S BC CA získáme rovnice: Dosazením (4.1) do (4.) získáváme vztah: Dále dosadíme za t a a t b a řešíme rovnici: a + ( 1 b) = t b b = 4(t b a ) (4.1) ( 1 a) + b = t a a + 4b = 4t a. (4.) a + 16(t b a ) = 4t a. (4.3) a + 16(160 a ) = 400. (4.4) 15

19 KAPITOLA 4. ŘEŠENÍ PRAVOÚHLÉHO TROJÚHELNÍKU 16 Obrázek 4.1: Příklad 4.1 Platný je pouze kořen a = 1, protože a > 0. Dosazením a do rovnice (4.1): b = 4( ) = 64 = 8. Délku přepony c dopočítáme pomocí věty (4.1): c = a + b = ABC má tedy strany: a = 1, b = 8 a c = Příklad 4.. Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, znáte-li úhel α = 8 a poloměr kružnice vepsané ρ =, 5. Řešení. Součet úhlů v je 180, pak tedy: β = 180 (α + γ) = 6. Obrázek 4.: Příklad 4.

20 KAPITOLA 4. ŘEŠENÍ PRAVOÚHLÉHO TROJÚHELNÍKU 17 Z obrázku (4.) vidíme, že pro stranu b platí: CA = CX + XA = XA +ρ, přičemž XAS 1 = 1 CAB = 14. Z XAS: cotg XAS 1 = CA ρ ρ AC = ρ cotg XAS 1 + ρ AC = ρ cotg( 1 CAB ) + ρ AC =, 5(cotg ). AC = 1, 53. Z ABC: tg CAB = BC CA BC = CA tg 8. BC = 6, 7. Z věty (4.1) pak: AB = BC + AC. = 14,. Trojúhelník ABC je tedy: a. = 6, 7, b. = 1, 53 a c. = 14,. Příklad 4.3. Vypočítejte obsah pravidelného třináctiúhelníku, znáte-li poloměr kružnice vepsané ρ = 7. Řešení. Vrcholy třináctiúhelníku označme A 1...A 13, S jeho střed, a jeho stranu, P a patu kolmice ρ k a. Obrázek 4.3: Příklad 4.3 Z obrázku (4.3) vidíme, že: A 1 SP a = 1 A 1SA = 1 ( ). = 7 4.

21 KAPITOLA 4. ŘEŠENÍ PRAVOÚHLÉHO TROJÚHELNÍKU 18 Z SP a A 1 : tg A 1 SP a = a/ ρ a = ρ tg A SP a. a = 35, 5. Vzorec pro výpočet pravidelného šestiúhelníku je: Dosazením: Obsah daného třináctiúhelníku je Neřešené příklady S 13 = 13 S = 13 1 (aρ). P 13 = 13 35, 5 7. = Příklad 4.4. Řešte pravoúhlý trojúhelník, víte-li, že poloměr kružnice vepsané ρ = a opsané r = 5. Řešení. ABC: a = 8; b = 6; c = 10. Příklad 4.5. Na vrcholu kopce je rozhledna o výšce v = 5m. Z bodu B v údolí pod kopcem jsme pod úhlem α 1 = 7 30 zaměřili její vrchol a pod úhlem α = 9 30 její patu. Vypočítejte výšku kopce. Řešení. Výška kopce je 88 m. Příklad 4.6. Řešte pravúhlý trojúhelník, jestliže znáte jeho obvod o = 176 a poloměr kružnice vepsané ρ = 1. Řešení. a. = 69, 7; b. = 30, 3; c. = 76. Příklad 4.7. Určete obsah a obvod pravidelného pětiúhelníku o úhlopříčce u = 8. Řešení. o. = 4, 7; S. = 4, 1. Příklad 4.8. Dvě kola o poloměrech r 1 = 38, r = 14, jejichž středy mají vzdálenost s = 90, jsou spojena zkříženým řemenem. Určete jeho délku d. Řešení. d. = 373, 6. Příklad 4.9. Tři shodné kružnice k 1, k, k 3 o poloměru r se vzájemně dotýkají. Vypočítejte poloměr kružnice, která se dotýká všech tří kružnic k 1, k, k 3. Řešení. Poloměr kružnice je 1 3 r ( 3 ± 3).

22 KAPITOLA 4. ŘEŠENÍ PRAVOÚHLÉHO TROJÚHELNÍKU 19 Příklad Do čtverce ABCD, jehož strana má délku a, je vepsán rovnostranný trojúhelník tak, že jeden jeho vrchol leží ve vrcholu C tohoto čtverce. Určete délku strany trojúhelníka. Řešení. Délka strany trojúhelníku je a ( 6 ). Příklad Určete stranu pravidelného pětiúhelníku vepsaného do kružnice o poloměru r = 1, 95. Řešení. Délka strany pětiúhelníku je asi 15,. Příklad 4.1. Úsečka S 1 S spojující střed kružnic k 1 (S 1 ; r 1 = 7), k (S ; r = 1) má délku 15. Vypočítejte délku úsečky s pojující průsečíky obou kružnic a její vzdálenosti od středů obou kružnic. Řešení. Délka úsečky je 11, vzdálenosti kružnic jsou 3 3, 13 3.

23 Kapitola 5 Řešení obecného trojúhelníku 5.1 Teoretická příprava ke kapitole 5 Pro výpočet příkladů budeme používat následující vztahy a věty: Věta 5.1. (sinová věta) V každém ABC platí: a = sin α b = sin β c = r. sin γ Věta 5.. (kosinová věta) V každém ABC platí: a = b + c bc cos α (CZ). Věta 5.3. (tangentová věta) V každém ABC platí: a b a+b α β tg =. tg α+β Věta 5.4. (Mollweidovy vzorce) V každém ABC platí: a+b c = cos α β sin γ 5. Řešené příklady, a b c = sin α β cos γ Příklad 5.1. Z pozorovatelny 15 metrů vysoké a vzdálené od břehu řeky 30 metrů se šířka řeky jeví v úhlu 15. Určete šířku řeky. Řešení. K výpočtu užijeme vztah z věty (5.1) pro B 1 B V ve tvaru: Z věty (4.1) pro P B 1 V : B 1 B = V B 1 sin B 1 V B. sin B 1 B V B 1 V = P B 1 + V P = Dále budeme potřebovat B 1 B V, pro jehož výpočet musíme nejprve určit P B 1 V : tg P B 1 V = V P P B 1 = P B 1 V =

24 KAPITOLA 5. ŘEŠENÍ OBECNÉHO TROJÚHELNÍKU 1 Obrázek 5.1: Příklad 5.1 Využitím trojúhelníkové nerovnosti postupně pro P B V, P B 1 V a vlastnosti B V P = B V B 1 + B 1 V P vypočítáme B 1 B V : B 1 B V = 180 ( V P B 1 + B V P ) = B V P = = 90 ( B V B 1 + B 1 V P ) = = 90 ( B V B 1 + (180 ( V P B 1 + P B 1 V ))) = = 90 (15 + (180 ( ))) = Dosadíme do upraveného vztahu z věty (5.1) a vypočítáme: Řeka je asi 43 metrů široká. B 1 B = 15 5 sin 15 sin B 1 B = 43. Příklad 5.. Řešte ABC s danými stranami a, b v němž platí: vzroste-li úhel sevřený stranami a a b o 30, zvětší se obsah S ABC o 4. Řešení. Spojením vztahů platných v ABC : S ABC = 1av a a sin γ = va dostáváme: b S ABC = 1 ab sin γ. Zapíšeme pro naše zadání a s užitím vzorce (3.9) upravujeme: S ABC + 4 = 1 ab sin (γ + 30 ) 1 ab sin γ + 4 = 1 ab sin (γ + 30 ) cos (γ + 15 ) = 4 = 1 ab[sin (γ + 30 ) sin γ] 4 = 1 ab[ cos (γ + 15 ) sin 15 ] 4 ab sin 15. Pak můžeme stanovit úhel γ a trojúhelník dále řešit větou kosinovou nebo tangentovou.

25 KAPITOLA 5. ŘEŠENÍ OBECNÉHO TROJÚHELNÍKU Příklad 5.3. Řešte ABC, znáte-li: v a = 75,, v b = 46, 3, γ = 54. Obrázek 5.: Příklad 5.3 Řešení. Použijeme vztahy pro funkci sin α platné v každém pravoúhlém trojúhelníku: Nejprve pro CP b B: Podobně pro AP a C: sin γ = v b a a = v b sin γ a = 46, 3 sin 54. a = 57, 3. sin γ = v a b. b = 9, 95. Pak jednoduše dopočítáme c pomocí vztahu z věty (5.): c = a + b ab cos γ c = 5661, 49. c = 75, 4. ABC je pak: a = 57, 3, b = 9, 95 a c = 75, Neřešené příklady Příklad 5.4. V ABC je dáno: c = 44, α = a osa úhlu α o = 0. Řešte ABC. Řešení. Pomocí tangentové věty: β = ; γ = ; a = 37; b = 16.

26 KAPITOLA 5. ŘEŠENÍ OBECNÉHO TROJÚHELNÍKU 3 Příklad 5.5. Řešte ABC, známe-li úhel α = 60 a plochu S ABC = 50 3, součet stran (b + c) je třikrát větší než poloměr kružnice opsané. Řešení. a = 10 3; b = 0; c = 10, β = 90, γ = 30. Příklad 5.6. Tři kružnice k 1 = 1, k = a k 3 = 3 se vzájemně dotýkají vně. Určete obsah plochy ležící mezi kružnicemi. Řešení. S. = 0, 464. Příklad 5.7. Od paty vysílací věže F stojící na kopci byla ve směru dolů po svahu změřena vzdálenost F B = 56 m a dále za bod B ve stejném směru vzdálenost BA = 38 m. Vrchol vysílací věže H byl postupně z bodů A, B (z vodorovné polohy) zaměřen v úhlech α =, β = 3. Určete výšku věže i úhel sklonu kopce. Řešení. Výška je 30, 5 m, úhel sklonu Příklad 5.8. Stanovte největší úhel ABC, jehož strany tvoří aritmetickou posloupnost a jehož plocha je o 3 trojúhelníku rovnostranného o stejném obvodu. 5 Řešení. Největší úhel ABC je γ = 10. Příklad 5.9. Řešte trojúhelník, jehož plocha je P a jehož vrcholy dělí obvod kružnice opsané v poměru : 3 : 4. Řešení. α = 40 ; β = 60 ; γ = 80 P sin α ; a = sin β sin γ. Příklad Určete délky stran b, c trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 8,, t a = 18, 4 a v b = 6, 8. Řešení. b. = 17, c. = 37,. Příklad V ABC je dáno: a + b + c = 71, 5, α = 43 4, β = Určete strany a, b, c. Řešení. ABC: a. = 19, 7; b. = 3, 5; c. = 8, 3. Příklad 5.1. Určete poloměr kružnice k procházející body B, C a středem kružnice ABC vepsané O, znáte-li a = BC a α = CAB. Řešení. Poloměr kružnice k je a. cos α

27 Literatura [1] Benda, P. - Skála, J.: Sbírka maturitních příkladů z matematiky, Státní pedadogické nakladatelství, 1979 [] Čermák, M. - Kamarýt, A. - Kořínková, H.: Sbírka úloh z matematiky, Nakladatelství technické literatury, 1967 [3] Herman, J. - Kučera, R. - Šimša, J.: Seminář ze středoškolské matematiky, Masarykova univerzita, Brno, 005 [4] Kubát, J.: Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k maturitní zkoušce a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, Prometheus, 004 [5] Maška, O.: Matematika v úlohách II, Nakladatelství Barvič & Novotný, 1948 [6] Petáková, J.: Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, Prometheus, 1998 [7] Vejsada, F. - Talafous, F.: Sbírka úloh z matematiky, Státní pedagogické nakladatelství,