Gavitační pole Newtonův gavitační zákon Gavitační a tíhové zychlení při povchu Země Pohyby těles Gavitační pole Slunce Úvod V okolí Země existuje gavitační pole. Země působí na každé těleso ve svém okolí gavitační silou. Gavitační silové působení je obecnou vlastností všech těles (gavitace - z řeckého slova gavis = těžký). Svá gavitační pole mají také Měsíc, Slunce, všechny planety sluneční soustavy a všechna tělesa ve vesmíu. Gavitační silové působení mezi tělesy je vždy vzájemné (zákon akce a eakce). Newtonův gavitační zákon Dva hmotné body se navzájem přitahují stejně velkými gavitačními silami opačného směu. Velikost gavitační síly F g : m1m F g = χ 11 Konstanta χ = gavitační konstanta χ = 6,67.10 N. m. kg. Dvě stejnoodé koule Dvě nestejnoodá tělesa nahazujeme hmotnými body (Země a kosmická loď). Jak velkou silou se navzájem přitahují Země a Měsíc? Přibližná hodnota hmotnosti Země M Z =6.10 4 kg, Měsíce M M =7,4.10 kg a vzdálenost středů obou těles je 380 000 km. Gavitační a tíhové zychlení m F g těleso - hmotnost m - vzdálenost od středu Země R Z M 39
Země - polomě R Z - hmotnost M Z Platí: M Zm Fg χ Z = F g = m. ag g Gavitační zychlení - nepřímo úměné duhé mocnině vzdálenosti od středu Země - největší hodnotu má při povchu Země(= R Z ) F g,a g směřují do středu Země a M = χ Gavitační pole: centální homogenní Na těleso při povchu Země působí síla: a) gavitační F g b) odstředivá F O c) tíhová F G Platí: F = F + F G g O Pohyby těles v blízkosti povchu Země homogenní tíhové pole Země (F G konst.) zanedbáváme odpoové síly vzduchu (vakuum) těleso koná součastně dva pohyby (ovnoměný přímočaý + volný pád) vhy tělesa 1) Svislý vh vzhůu okamžitá výška okamžitá ychlost Do jaké výšky vystoupí těleso vžené svisle vzhůu počáteční ychlostí 0 m.s -1? ) Vodoovný vh Souřadnice polohy dobu B v čase t 40
-tajektoií je část paaboly s vcholem v místě vhu Těleso je vženo vodoovným směem z výšky h = 80 m počáteční ychlostí v 0 = 0 m.s -1. Uči souřadnice polohy tělesa za dobu t = 3 s. 3) Šikmý vh vzhůu souřadnice polohy bodu v čase t x = v 0. t.cosα 1 y = v0. t.sinα g. t složky ychlosti v x = v 0.cosα v y = v.sinα g. t 0 v = + v x v y α = elevační úhel největší délka vhu je po α = 45 stejná délka vhu je po dvojice doplňkových úhlů Tajektoie šikmého vhu ve vakuu paabola ve vzduchu balistická křivka Háč vykopl míč z povchu hřiště pod úhlem 45 0 počáteční ychlostí 0 m.s -1. Uči: a) do jaké výšky míč vystoupil b) do jaké vzdálenosti od místa vykopnutí míč dopadl na hřiště 41
Pohyby těles ve větších vzdálenostech od Země neexistuje odstředivá síla na tělesa působí pouze gavitační síla (F g = konst.) gavitační pole je adiální Tajektoie tělesa: 1) kužnice(měsíc, umělé dužice Země) χ. M Z v v k = kuhová ychlost k = χ. M Z Je-li blízké poloměu Země R Z : vk = RZ 1. kosmická ychlost v k = 7,9 km.s -1 - doba jednoho oběhu dužice kolem Země T = 84,4 min ) elipsa počáteční ychlost - je větší než v k - její velikost ovlivňuje tva elipsy P = peigeum A = apogeum 3) paabola - paabolická (úniková) ychlost v po v k = 7,9 km.s -1 p = v k.. kosmická ychlost v p = 11, km.s -1 4
Gavitační pole Slunce mnohonásobně silnější než gavitační pole Země v tomto poli se pohybují: planety (Meku, Venuše, Země, Mas, Jupite, Satun, Uan, Neptun), měsíce planet, planetky, komety vzdálenost planet od Slunce se udává v astonomických jednotkách AU 1AU = 150 milionů km (střední vzdálenost Země od Slunce) pohyby planet popisují 3 Kepleovy zákony Johannes Keple (1571-1630) Německý astonom. zfomuloval 3 zákony o pohybu planet působil na dvoře císaře Rudolfa II. v Paze Pvní Kepleův zákon - popisuje tva tajektoie planety Planety obíhají kolem Slunce po elipsách málo odlišných od kužnic, v jejíchž společném ohnisku je Slunce. Duhý Kepleův zákon - vysvětluje jak se planety pohybují Obsahy ploch opsané původičem planety za jednotku času jsou konstantní. Třetí Kepleův zákon - uvádí vztah mez oběžnými dobami dvou planet a jejich středními vzdálenostmi od Slunce Pomě duhých mocnin oběžných dob dvou planet se ovná poměu třetích mocnin jejich středních vzdáleností od Slunce. T = T 1 3 1 3 T 1, T = oběžné doby 1, = střední vzdálenosti od Slunce Oběžná doba Jupitea je 1 oků. Uči jeho střední vzdálenost od Slunce. (poovnáváme se střední vzdáleností Země od Slunce) 43
Cvičení Newtonův gavitační zákon 1. Dvě kulová tělesa se navzájem přitahují ze vzdálenosti gavitační silou F g = 1 N. Jak velkou silou se tato tělesa přitahují ze vzdálenosti a) b) /?. Jak velkou gavitační silou se navzájem přitahují dvě stejnoodé koule, každá o hmotnosti 5 tun a poloměu 50 cm? Koule se navzájem dotýkají. 3. Jak velkou silou se navzájem přitahují Země a Slunce, je-li hmotnost Slunce.10 30 kg, hmotnost Země 6.10 4 kg a jejich vzdálenost 150 milionů km? 1) a) 3N b) 48N ) 1,7.10-3 N 3) 3,6.10 Gavitační a tíhové zychlení při povchu Země 1. Velikost gavitačního zychlení při povchu Země je 9,81 m.s -. Jak velké je gavitační zychlení ve vzdálenosti od středu Země, je-li a) = R Z, b) = 3R Z?. Jak velké je gavitační zychlení na povchu Měsíce, jehož hmotnost M m 7,4. 10 kg a polomě R m 1,7. 10 6 m? 3. Jak velká tíhová síla působí na těleso o hmotnosti 10 kg a) na ovníku, b) na zeměpisném pólu? 4. Uči velikost gavitačního zychlení, kteé Země uděluje Měsíci. Hmotnost Země M Z = 5,98. 10 4 kg, vzdálenost Měsíce od středu Země = 3,84. 10 8 m. 1) a),45 m.s - b)1,09 m.s - ) 1,7 m.s - 3) a) 97,8 N b) 98,3 N 4) 0,00 7 m.s - Pohyb těles v blízkosti povchu Země 1. Těleso bylo vženo svisle vzhůu počáteční ychlostí 30 m.s -1. Uči a) okamžitou ychlost tělesa za dobu 1 s, s, 3 s od okamžiku vhu, b) výšku tělesa nad místem vhu za dobu 1 s, s, 3 s od okamžiku vhu, c) uči do jaké výšky těleso vystoupilo. Odpověď zdůvodni.. Těleso bylo vženo svisle vzhůu počáteční ychlostí 7 m.s -1. Jaké největší výšky dosáhlo? Za jakou dobu dopadlo zpět na zem? 3. Z věže vysoké 80 m byl vyhozen vodoovným směem kámen počáteční ychlostí 0 m.s -1. Na milimetový papí sestoj ve vhodném měřítku (např. 10 m znázoni úsečkou 1 cm) tajektoii kamene. Z gafu uči, do jaké vzdálenosti od paty věže kámen dopadne. 4. Těleso bylo vženo z věže vysoké 8 m vodoovným směem počáteční ychlostí 18 m.s -1. a) Za jakou dobu dopadlo na zem? 44
b) Jak daleko dopadlo od paty věže? c) Vypočti velikost okamžité ychlosti v okamžiku dopadu na zem. 5. Kámen byl vžen pod elevačním úhlem 30 o počáteční ychlostí 30 m.s -1. Vypočti: a) velikost vodoovné a svislé složky počáteční ychlosti b) souřadnice polohy kamene v čase t =, s c) v jaké vzdálenosti dopadne kámen na vodoovnou ovinu 1) a) 0 m.s -1, 10 m.s -1, 0 m.s -1 b)5 m, 40 m, 45 m c)45 m ) 5,4 s, 36,45 m 3) 80 m 4) a),4 s b) 43, m c) 30 m.s -1 5) a) v x = 6 m.s -1, v y = 15 m.s -1 b) x o = 57, m, y o = 8,8 m c) 78 m Pohyby těles ve větších vzdálenostech od Země 1. Po jaké tajektoii se pohybuje těleso, je-li mu udělena v blízkosti povchu Země a ve směu kolmém ke spojnici se středem Země ychlost a) 7 km/s, b) 7,9 km/s, c) 10 km/s, d) 11, km/s?. Jak velkou ychlostí se pohybuje Měsíc kolem Země? Jaké je doba jeho oběhu? Předpokládej pohyb měsíce po kužnici o poloměu =3,84.10 8 m. 3. Jak velká ychlost by se musela udělit Měsíci na jeho současné tajektoii, aby se tvale vzdaloval od Země? Použij výsledek úlohy. 4. Uči velikost kuhové ychlosti a oběžnou dobu dužice, kteá obíhá kolem Země ve výšce 630 km nad zemským povchem. Hmotnost Země je 6.10 4 kg, polomě Země 6 370 km. ) 1 km/s, 7,9 dne 3) 1,4 km/s 4) 7,6 km.s -1, 97 min Gavitační pole Slunce 1. Uči střední vzdálenost Uanu od Slunce, je-li jeho oběžná doba 84 let.. Střední vzdálenost planety Neptun od Slunce je 30 AU. Jaká je jeho oběžná doba? 1) 19 AU ) 164 oků 45