Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Transkript

1 F8 KEPLEOVY ZÁKONY Evopský sociální fond Paha & EU: Investujeme do vaší udoucnosti

2 F8 KEPLEOVY ZÁKONY Kepleovy zákony po planetání pohy zfomuloval Johannes Keple ( ) na základě měření Tychona Baheho ( ) Jde tedy o zákony ojevené expeimentálně Dnes je umíme odvodit z pohyových ovnic a gavitačního zákona Equation hapte (Next) Section 1 Kepleovy zákony 1 Planety se pohyují po elipsách, v jejichž jednom ohnisku je Slunce Spojnice planety se Sluncem opíše za stejnou dou vždy stejnou plochu 3 Podíl třetí mocniny velké poloosy a duhé mocniny oěžné doy je po všechny planety stejný Duhý Kepleův zákon není nic jiného než zákon ploch, kteý jsme již dříve odvodili ze zákona zachování momentu hynosti Pvní a třetí Kepleův zákon si nyní odvodíme ovnice elipsy Nejpve se musíme seznámit s ovnicí elipsy v poláních souřadnicích, jejichž střed je v jednom z ohnisek (F ): Elipsa je definována jako množina odů, po kteé je součet vzdáleností od dvou pevně daných odů (ohnisek F 1 a F ) konstantní, tj XF1 XF const (81) Hodnotu konstanty snadno učíme po od X = X 0, kteý je situovaný podle pavého oázku: ovnice elipsy tedy ude mít tva: XF 0 1 XF 0 ae ae a 1 a XF XF, (8) kde X je liovolný od na elipse Jednotlivé ody mají podle oázku souřadnice: X= ( cos, sin ); F1 ( e,0); F (0,0) (83) F8-

3 Souřadnice odů nyní dosadíme do ovnice elipsy, vzdálenost dvou odů vyjádříme jako odmocninu ze součtu kvadátů ozdílů souřadnic: a XF1 XF ( cos e) ( sin ) ( cos ) ( sin ) a 4ecos 4e a To, že duhá vzdálenost musela vyjít, je na pvní pohled patné z oázku Ve výsledném vztahu ponecháme na levé staně jen odmocninu (člen převedeme dopava) a oě stany umocníme na duhou: 4ecos 4e a 4ecos 4e 4a 4a ecos e a a a e 1 ea / a aecos 1 e/ a cos ovnice elipsy se většinou píše ve tvau: p ; 1 cos pa(1 ), (84) F8-3 ea / Veličiny p, ε se nazývají paamet elipsy a numeická (ezozměná, číselná) excenticita Pvní Kepleův zákon (planety se pohyují po elipsách) Při odvození tvau tajektoie planety ychom mohli vyjít z pohyových ovnic a řešit difeenciální ovnice duhého řádu Výhodnější ale ude vyjít ze zákonů zachování enegie a momentu hynosti Z nich dostaneme soustavu dvou difeenciálních ovnic pvního řádu Enegie planety se skládá z tanslační enegie v adiálním směu (přiližování a vzdalování od Slunce ve směu ), z otační enegie (v úhlovém směu φ) a z potenciální enegie pohyu v poli Slunce: 1 1 mm m J G E (85) Duhým vztahem ude zákon zachování momentu hynosti Jω: J (86) Oě veličiny se zachovávají, pavé stany jsou poto konstanty pohyu Moment setvačnosti planety vzhledem ke Slunci je dán jednoduchým vztahem (stejným jako po kuličku na povázku), tj J m (87)

4 Po dosazení za J má soustava ovnic, kteou udeme řešit, tva: 1 1 mm m m G E, m (88) Nevýhodou je, že v pvní ovnici jsou časové deivace oou poměnných, tj i Poto vyjádříme časovou deivaci z duhé ovnice a dosadíme do pvní: 1 mm m G E, m m (89) V dalším koku vypočteme z oou ovnic časové deivace hledaných poměnných: d mm E G dt m m d dt m, (810) Nyní ychom mohli řešit pohy planety za pomoci difeenčního schématu My ale potřeujeme znát jen celkový tva tajektoie, nikoli časovou závislost (v kteém čase je planeta na kteém místě) Poto vydělíme duhou ovnici pvní (tím se difeenciály dt vyuší): d m / d E M G m m (811) ovnici udeme sepaovat (difeenciál d převedeme na pavou stanu a integovat: m / d d E M G m m (81) Integál na levé staně je jednoduchý, integační konstanta ovlivní jen počáteční odečet úhlu, můžeme ji poto zvolit nulovou Na pavé staně zavedeme sustituci Po povedení sustituce máme: ; d d (813) m m 1 d (814) E GmM m Výaz pod odmocninou doplníme na čtveec F8-4

5 1 d (815) E GmM GmM m Vzhledem k tomu, že se pouze snažíme dokázat, že jde o ovnici elipsy, neudeme vypisovat hodnoty jednotlivých konstant a výaz napavo napíšeme ve tvau d (816) Konstantou jsme označili součet oou konstantních členů Z integálu vytkneme a zavedeme poslední sustituci 0 1 d (817) d ; d (818) Integace přejde na jednoduchý tva což je taulkový integál vedoucí na řešení Závislost otočíme a vátíme se k původním poměnným: cos d, (819) 1 accos (80) 0 cos 0 cos m 0 cos m m / /( m 0) p cos 1 ( / )cos 1cos 0 0 (81) Výsledná ovnice má tva ovnice elipsy (84) s počátkem souřadnic (Sluncem) v ohnisku Při výpočtu jsme mlčky předpokládali, že vliv planety na Slunce je zanedatelný a Slunce zůstane v počátku souřadnic po celou dou oěhu planety Pvní Kepleův zákon je tedy důsledkem gavitačního zákona a příslušných pohyových ovnic (espektive zákonů zachování z nich plynoucích) Duhý Kepleův zákon (zákon ploch) plyne ze zákona zachování momentu hynosti a již jsme ho odvodili dříve Zývá tedy alespoň naznačit odvození třetího Kepleova zákona F8-5

6 Třetí Kepleův zákon Platnost třetího Kepleova zákona si ukážeme jen po kuhovou oitu planety Předpokládejme, že planeta oíhá Slunce po kužnici (speciální případ elipsy s nulovou excenticitou) o poloměu Z ovnosti odstředivé a gavitační síly máme v mm m G (8) Na levé staně je hmotnost planety násoená nomálovým zychlením (9) při kuhovém pohyu, na pavé staně je velikost gavitační síly Již nás nepřekvapí, že hmotnost planety se na oou stanách ovnosti zkátí a pohy planety v gavitačním pole nezávisí na její hmotnosti ychlost vyjádříme jako ovod dáhy π dělený peiodou oěhu T: ( / T) M G (83) Jednoduchým přeskupením máme třetí Kepleův zákon 3 GM, (84) T 4 kteý platí po všechny planety Konstanta na pavé staně je dána hmotnostní Slunce Pokud ychom při odvození uvažovali eliptickou dáhu planety a fakt, že velké planety poněkud ovlivní polohu Slunce, dostali ychom výsledný vztah (kteý v tomto kuzu neudeme odvozovat) 3 a G( M m), (85) T 4 Tedy místo poloměu kuhové dáhy zde vystupuje velká poloosa elipsy a místo hmotnosti Slunce součet hmotností oou těles Po planety je ale m << M a jejich hmotnost je možné zanedat Třetí Kepleův zákon lze aplikovat i na dvojhvězdy, potom na pavé staně skutečně zůstane součet hmotností oou těles Zapamatujte si Kepleovy zákony yly nalezeny na základě sledování poloh planet na oloze Dnes je umíme snadno odvodit z gavitačního zákona a pohyových ovnic neo ze zákonů zachování enegie a momentu hynosti F8-6