vzhledem k ose kolmé na osu geometrickou a procházející hmotným středem válce. c) kužel o poloměru R, výšce h, hmotnosti m

Transkript

1 8. Mechanika tuhého tělesa 8.. Základní poznatky Souřadnice x 0, y 0, z 0 hmotného středu tuhého tělesa x = x dm m ( m) 0, y = y dm m ( m) 0, z = z dm m ( m) 0. Poznámka těžiště tuhého tělesa má v homogenním tíhovém poli stejné souřadnice jako hmotný střed tělesa. Moment setvačnosti tělesa se spojitě ozloženou hmotností J = dm, ( m) kde je vzdálenost hmotného elementu dm od osy otáčení. Moment setvačnosti někteých symetických homogenních těles a) koule o hmotnosti m a poloměu R J = mr 5 vzhledem k ose pocházející středem koule. b) válec výšky h, poloměu R a hmotnosti m J = mr vzhledem ke geometické otační ose, h J = m R + 4 vzhledem k ose kolmé na osu geometickou a pocházející hmotným středem válce. c) kužel o poloměu R, výšce h, hmotnosti m J = mr 0 vzhledem ke geometické ose. h J = m R vzhledem k ose kolmé na osu geometickou a pocházející hmotným středem kužele. d) hanol (deska) o ozměech a, b, c a hmotnosti m ( c ) J a = m b + 8

2 vzhledem k ose ovnoběžné s hanou a a pocházející hmotným středem hanolu (J b a J c získáme cyklickou záměnou). Steineova věta J A = J 0 + md, kde J 0 je moment setvačnosti vzhledem k ose pocházející těžištěm, d je vzdálenost mezi osou pocházející těžištěm a osou s ní ovnoběžnou a pocházející bodem A. Moment hybnosti (točivost) tuhého tělesa vzhledem k pevné ose otáčení L = J ω, kde ω je úhlová ychlost tělesa. Pohybová ovnice tuhého tělesa otujícího kolem pevné osy otáčení J ε = M, kde ε je úhlové zychlení a M je výsledný moment všech vnějších sil. Zákon zachování momentu hybnosti moment hybnosti tělesa, na kteé nepůsobí moment vnějších sil, zůstává stálý, tj. po M = 0 je L = konst. Kinetická enegie tuhého tělesa otujícího kolem pevné osy otáčení E k = Jω. Podmínky ovnováhy tuhého tělesa n i= n F = 0 a současně M = 0, i n kde F n i je výslednice vnějších sil a M i= i= tuhé těleso. Fyzické kyvadlo doba kmitu (po ozkyv ϕ < 5 ) i i= i je výsledný moment vnějších sil působících na T = π J mgd kde m je hmotnost kyvadla, J moment setvačnosti vzhledem k ose otáčení a d vzdálenost osy otáčení od těžiště. 8

3 Vzájemný vztah mezi tanslačními a otačními veličinami Posuvný pohyb Otáčivý pohyb dáha: s (m) úhel: ϕ (ad) ds ychlost: v = (m s - dϕ ) úhlová ychlost: ω = (ad s - ) dv d s zychlení: a = = (m s - dω d ϕ ) úhlové zychlení: ε = = (ad s - ) setvačná hmotnost: m (kg) moment setvačnosti: J (kg m ) síla: F (N) moment síly: M (N m) páce: d W = F d s (J) páce: dw = M d ϕ (J) dw dw výkon: P = = F v (W) výkon: P = = M ω (W) d t impuls síly: F (N s) impuls momentu síly: M (N m s) hybnost: p = mv (kg m s - ) moment hybnosti: L = J ω (kg m s - ) kinetická enegie: mv d( mv ) pohybová ovnice: = F po m = konst. je ma = F dp. věta impulsová: = Fk věta o zachování hybnosti: po F k = 0 je p = konst. k E = ω (J) d( Jω ) pohybová ovnice: = M po J = konst. je J ε = M dl. věta impulsová: = M k E k = (J) kinetická enegie: k J k věta o zachování momentu hybnosti: po M k = 0 je L = konst. k k 8.. Otázky a poblémové úlohy 8... Co je tuhé těleso? Kdy lze skutečné těleso považovat za tuhé? 8... Kolika souřadnicemi je učena poloha tuhého tělesa? Kolik stupňů volnosti má tuhé těleso? 8... Kolik stupňů volnosti má tuhé těleso, jehož jeden bod je pevný? Kolik stupňů volnosti má tuhé těleso, kteé se může otáčet kolem pevné přímky, přičemž a) může podél této přímky, kteá je osou otace, také klouzat, 8

4 b) nemůže klouzat podél osy otace? Jak učíte výslednici sil působící na tuhé těleso? Jaký účinek na tuhé těleso má dvojice sil? Čím se vyznačuje tanslační pohyb tělesa? Mohou při tanslačním pohybu konat jednotlivé body tělesa kuhový pohyb? Čím se vyznačuje otační pohyb tělesa? Jsou ychlosti a zychlení jednotlivých bodů stejné? Uveďte momentovou větu a ukažte její použití na příkladu skládání několika ovnoběžných sil Ukažte, že v tuhém tělese lze přenést sílu do libovolného bodu její vektoové přímky. Jak lze přenést sílu působící na tuhé těleso do bodu mimo její vektoovou přímku? 8... Jak je definováno těžiště tuhého tělesa? 8... Jak najdeme expeimentálně polohu těžiště tuhého tělesa? Jak lze učit polohu těžiště homogenního tělesa, kteé má a) střed souměnosti, b) osu souměnosti, c) ovinu souměnosti? 8... Vysvětlete ozdílnost pojmů těžiště a hmotný střed Jak vypočteme polohu těžiště tuhého tělesa, v němž je látka ozložena spojitě? Jak se vztahy po výpočet zjednoduší, je-li těleso homogenní? Na kteých veličinách závisí enegie tanslačního pohybu tuhého tělesa? Na kteých veličinách závisí enegie otačního pohybu tuhého tělesa? Jak je definován moment setvačnosti tuhého tělesa? Jak vypočteme moment setvačnosti homogenního tuhého tělesa? Vyslovte Steineovu větu a uveďte příklady jejího použití. Lze ji aplikovat na libovolné dvě ovnoběžné osy? Aplikujte Steineovu větu na výpočet momentu setvačnosti tenkého kuhového pstence vzhledem k ose jdoucí jeho obvodem kolmo k ovině pstence Napište pohybovou ovnici po tuhé těleso otáčející se kolem pevné osy Za jakých podmínek platí věta o zachování momentu hybnosti tuhého tělesa? 8... Člověk stojí na otující stoličce a v upažených pažích dží činky. Co se stane, když připaží? 84

5 8... Po nakloněné ovině pustíme současně dvě kuličky o stejných hmotnostech a stejných poloměech. Jak z pohybu po nakloněné ovině zjistíme, kteá z kuliček je plná a kteá je dutá? Odvoďte vztah po dobu kyvu fyzického kyvadla Po nakloněné ovině pustíme současně dvě plné kuličky o ůzných hmotnostech a ůzných poloměech (ze stejného mateiálu). Doazí kuličky současně na konec nakloněné oviny? Vysvětlete, co je edukovaná délka fyzického kyvadla Co je evezní kyvadlo? Poovnejte přesnost měření tíhového zychlení pomocí evezního kyvadla a matematického kyvadla Změní se doba kmitu fyzického kyvadla, jestliže jeho původně vodoovnou osu skloníme o učitý úhel? Doba kmitu fyzického kyvadla závisí na vzdálenosti osy od těžiště kyvadla. Odvoďte, po kteou vzdálenost osy od těžiště je doba minimální Jaké podmínky musí být splněny, aby osa otace tuhého tělesa byla volná osa? 8... Co je volný setvačník? 8... Vysvětlete funkci Cadanova závěsu Co jsou hlavní osy setvačnosti a čím se vyznačují? Kolem kteé z těchto os je otace nejstabilnější? Co je pecese setvačníku? Co je nutace? Ukažte význam vlastností oztočeného setvačníku na příkladech ve spotu, letectví, v dopavě a v balistice Jak se pojevuje tzv. lunisolání pecese zemské osy? Jak se chová setvačník, na kteý působí vnější moment síly? Jak ovlivňuje setvačníkový efekt bezpečnost jízdy a) automobilu v zatáčce, b) na jednostopých vozidlech? 8.. Řešené úlohy 8... Hustota ρ tenké tyče délky L a konstantního půřezu S oste lineáně od jednoho konce ke duhému podle vztahu ρ = a + b x, kde a a b jsou konstanty, x je vzdálenost od jednoho konce tyče. Najděte moment setvačnosti J vzhledem k ose kolmé k tyči a pocházející bodem x = 0. Řešení: Zvolme element hmotnosti dm ve vzdálenosti x od osy otáčení. Platí 85

6 dm = ρ S dx = (a + b x) S dx. Po moment setvačnosti takové tyče platí L 4 4 x x L L J = x dm = x 4 0 Po celkovou hmotnost tyče platí L L 0 ( a + bx) Sdx = S a + b = S a + b 4 x L m = dm = 0 L 0 ( a + bx) Sdx = S ax + b = S al + b Odsud vyjádříme půřez S a dosadíme do momentu setvačnosti J. Po úpavách dostaneme 4aL + bl J = m. 6 al + bl Kolo má moment setvačnosti J vzhledem ke své otační ose. Na kole s poloměem R je navinuté lano, na kteém je zavěšené závaží o hmotnosti m. V učitém okamžiku se dá závaží díky tíhové síle do pohybu. O jakou dáhu s se posune za dobu t? Řešení: L 0 L 0.. ob. 7 Závaží koná posuvný pohyb, po kteý je pohybová ovnice (viz ob. 7) mg F = ma, kde F je síla, kteou působí vlákno na závaží. Kolo koná otáčivý pohyb okolo vlastní otační osy a jeho pohybová ovnice je J ε = F R, 86

7 kde F je síla, kteou působí vlákno na kolo (je stejně velká jako síla, kteou působí vlákno na závaží) a ε je úhlové zychlení kola, jehož velikost souvisí s velikostí posuvného zychlení závaží vztahem a ε =. R Z těchto tří ovnic vyjádříme zychlení a a dosadíme do vztahu po dáhu ovnoměně zychleného pohybu s nulovou počáteční ychlostí a dostaneme mgr s = t, mr + J což je hledané posunutí závaží Válec se skládá z plného kola o poloměu R a hmotnosti m a ámu o hmotnosti m. K ámu je vláknem přivázané těleso o hmotnosti m (viz ob. 8). Celý tento systém je na nakloněné ovině s úhlem sklonu α. Stanovte zychlení soustavy a, znáte-li součinitel smykového tření f mezi tělesem a nakloněnou ovinou (kolo se valí bez pokluzování a valivé tření lze zanedbat). Jak musíme uspořádat celou soupavu, aby bylo vlákno při pohybu stále napnuté? ob. 8 Řešení: Označme F G a F G tíhové síly působící na válec a na těleso, F t a F t třecí síly mezi jednotlivými tělesy a nakloněnou ovinou a F sílu, kteou působí vlákno na jednotlivá tělesa (viz ob. 8). Pohybové ovnice jednotlivých těles jsou a kolo: mr = Ft R, R ám: ( m m ) a = F + ( m + m ) g sin Ft + α, 87

8 těleso: ma = mg sinα F fmg cosα. Z této soustavy tří ovnic vypočteme neznámé a a F, tedy a = ( m + m + m ) g sinα f m + m + m m m sinα f cosα F = mg m + m + m g cosα, ( m + m ) Chceme-li, aby vlákno zůstalo napnuté v námi řešeném uspořádání, musí být velikost F kladná, tedy ( m m ) m α +. sin > f cosα Odsud vyplývá: je-li tgα > f m + m m, musíme dát válec nahou,. je-li tgα < f m + m m, musíme dát válec dolů, je-li tgα = f m + m m, je vlákno napínané nulovou silou a je tedy možné volit kteékoliv z obou uspořádání Na koncích tyče délky l, jejíž hmotnost je zanedbatelně malá, jsou upevněna tělíska o hmotnostech m > m. Tyč je otáčivá kolem vodoovné osy jdoucí jejím středem kolmo na tyč. Tyč dáme do vodoovné polohy a uvolníme. Učete závislost úhlového zychlení ε na úhlu pootočení ϕ vzhledem k vodoovné ovině a úhlovou ychlost ω tyče v okamžiku, kdy je ve svislé poloze. Řešení: Pohybová ovnice otáčivého pohybu tyče je l J ε = ( F F ) cosϕ. Po vyjádření momentu setvačnosti J a tíhových sil F a F pomocí zadaných veličin dostaneme l 4 l ( m + m ) ε = ( m m ) g cosϕ, odkud po hledané úhlové zychlení ε plyne m m g cosϕ ε =. m + m l 88

9 Po učení hledané úhlové ychlosti ω vyjdeme ze zákona zachování enegie, přičemž nulovou hladinu potenciální enegie volíme v ose tyče. Tedy platí l l m g mg + Jω = 0. Odsud po dosazení za moment setvačnosti J dostaneme po hledanou úhlovou ychlost ω po úpavě 4g m m ω =. l m + m Svislý homogenní sloup o konstantním půřezu S a výšce h byl podřezán u země a spadl. Učete, jakou ychlostí v dopadl na zem koncový bod sloupu a kteý bod má v okamžiku dopadu na zem stejnou ychlost jako kdyby ze své výšky padal volným pádem. Řešení: Vyjdeme ze zákona zachování enegie, tj. h mg = Jω. Koncový bod koná kuhový pohyb s poloměem h, takže v okamžiku dopadu platí v ω =. h Považujeme-li stom za homogenní tyč zanedbatelného půřezu, lze po moment setvačnosti J vzhledem ke kajnímu bodu psát J = mh. Úpavou předchozích tří ovnic dostaneme hledanou ychlost v v = gh. Zvolme bod na stomu, kteý byl původně ve výšce x. Při volném pádu by dopadová ychlost z této výšky byla v x = gx, což plyne opět ze zákona zachování enegie. Dopadovou ychlost tohoto bodu při otáčivém pohybu s poloměem x učíme podobně jako u koncového bodu stomu, tedy gx =. h v x 89

10 Poovnáním obou posledních vztahů dostaneme po úpavě po hledanou výšku x vztah x = h Těžký setvačník tvořený homogenním válcem o poloměu R a hmotnosti m je podepřen v ose ve vzdálenosti h pod těžištěm. Osa je odchýlena od svislého směu o úhel ϕ. Setvačník se otáčí s fekvencí f. Za předpokladu, že setvačník koná pomalou egulání pecesi, učete její ychlost v. Řešení: Po úhlovou ychlost pecesního pohybu ω 0 platí mgh ω = Jω 0, kde ω = πf je úhlová ychlost otáčení setvačníku a J = mr je jeho moment setvačnosti. Potože po ychlost pecese platí v = ω 0, kde = h cosϕ je polomě otáčivého pohybu těžiště setvačníku, dostaneme po dosazení a úpavě gh cosϕ v =. πr f 8.4. Úlohy Těleso kuhového půřezu o hmotnosti m, poloměu R a momentu setvačnosti J (vzhledem k vlastní otační ose) se valí bez klouzání po nakloněné ovině, kteá svíá s vodoovnou ovinou úhel α. Vypočtěte zychlení a tělesa. Valivé tření je zanedbatelně malé, avšak tření je dostatečné, takže těleso nepokluzuje. g sinα a = J + mr Najděte velikost F a působiště x výslednice dvou ovnoběžných sil F = 0 N, F = 60 N, jejichž nosné přímky jsou od sebe vzdáleny o d =, m, jsou-li síly a) souhlasně oientované, b) nesouhlasně oientované. a) F = F + F = 90 N, působiště je ve vzdálenosti F d x = = 0,7 m od větší F + F síly, b) F = F F = 0 N, působiště je ve vzdálenosti větší síly Fd x = =, m od F F 90

11 8.4.. Na vodoovném stole stojí kychle o haně a a hmotnosti m. Jak velkou vodoovnou silou F můžeme kychli překlopit kolem hany, působí-li síla ve výšce a) h = a, b) h = 4 a, c) h = a (měřeno od stolu)? mga F = ; a) F = mg, b) F = mg, c) F = mg h Vypočtěte síly F a F působící na každé lano, je-li těleso o hmotnosti m zavěšeno podle ob. 9 a, b, c. Tíhu lana zanedbejte. cos β F = mg, sin ( α + β ) cosα F = mg sin ( α + β ), úhel α je vlevo, β je vpavo a jsou měřeny vzhledem k vodoovné ovině; a) F = F = mg, b) F = mg, F = mg, c) F = mg, F = mg ob. 9 a ob. 9 b ob. 9 c Automobil o hmotnosti m = 0 kg pojíždí kuhovou neklopenou zatáčkou o poloměu = 00 m. Rozchod kol je d =,5 m, výška těžiště nad vozovkou h = 0,9 m. Jaká je maximální ychlost v, kteou může automobil pojet zatáčkou, aniž by se převhnul? Předpokládejte, že tření je dostatečně velké, aby automobil nedostal smyk. gd v = = 40,44 m s - h 9

12 O stěnu je opřený žebřík. Koeficient tření žebříku o stěnu je f = 0,4, koeficient tření žebříku o podlahu je f = 0,5. Jaký nejmenší úhel α může svíat žebřík s vodoovnou podlahou, aby ještě nesklouzl? Těžiště žebříku je v jeho středu. f f tg α = = 0,8 α = f Z homogenní desky o poloměu R vyřežeme kuh o poloměu ovném polovině R tak, jak je naznačeno na ob. 40. Najděte polohu x těžiště takto vzniklého útvau. těžiště leží na ose souměnosti ve vzdálenosti R x = od středu kuhu 6 ob Na obvodu kola o poloměu R = 0,6 m a momentu setvačnosti J =,8 kg m je navinuto vlákno, na jehož konci visí závaží o hmotnosti m = 5 kg. Kolo je otáčivé kolem vodoovné osy jdoucí jeho středem. Vypočtěte zychlení a závaží a sílu F, kteou je napínáno vlákno. Hmotnost vlákna zanedbejte, délka vlákna se vlivem působících sil nemění. mgr a = mr + J = 4,905 m s -, mgj F = mr + J = 4,55 N V homogenní kouli o poloměu R je dutina o poloměu R (ob. 40). Učete polohu x těžiště takto vzniklého útvau. R těžiště leží na ose souměnosti ve vzdálenosti x = od středu koule Učete polohu x těžiště poloviny homogenní koule o poloměu R. R těžiště je ve vzdálenosti x = od středu koule Učete polohu x těžiště přímého otačního kužele výšky h. těžiště je na ose souměnosti ve vzdálenosti h x = od vcholu kužele 4 9

13 8.4.. Z homogenního čtvece o staně a vystřihneme tojúhelník podle ob. 4. Učete polohu x těžiště tohoto útvau. těžiště leží na ose souměnosti ve vzdálenosti a x = od středu čtvece 9 ob Hustota tenké tyče délky a konstantního půřezu oste ovnoměně od jednoho konce k duhému podle vztahu ρ = ρ 0 + a x, kde a je libovolná konstanta. Najděte polohu x T těžiště této tyče. l ρ 0 + al xt = ρ 0 + al Učete moment setvačnosti J dvou hmotných bodů vzhledem k ose pocházející jejich těžištěm kolmo na spojnici bodů. Hmotnosti bodů jsou m = 0, kg, m = 0, kg, jejich vzájemná vzdálenost = 0,8 m. J m m = l = 0,048 kg m m + m Vypočtěte moment setvačnosti J tenké homogenní tyče délky a hmotnosti m vzhledem k ose kolmé k tyči a pocházející a) koncovým bodem tyče, b) středem tyče. a) J = ml, b) J = ml Vypočtěte moment setvačnosti J a) tenké kuhové obuče, b) homogenní kuhové desky hmotnosti m, poloměu R, vzhledem k ose jdoucí bodem na obvodu kolmo k ovině obuče, esp. desky. a) J = mr, b) J = mr 9

14 Vypočtěte moment setvačnosti J kuhového pstence o hmotnosti m, vnitřního poloměu R, vnějšího poloměu R vzhledem k ose jdoucí středem pstence kolmo k jeho ovině. J = m ( R + R ) Po nakloněné ovině spustíme současně z téže výšky homogenní válec a kouli o stejném poloměu. a) Kteé těleso bude mít v dané výšce větší ychlost a kolikát? b) Kolikát se budou lišit ychlosti obou těles v daném časovém okamžiku? 5 5 a) koule, kát, b) kát Disk o momentu setvačnosti J = 0,04 kg m se otáčí kolem svislé osy úhlovou ychlostí ω = 0 ad s -l, na tento disk dopadne duhý disk s momentem setvačnosti J = 0,06 kg m otáčející se úhlovou ychlostí ω = 5 ad s -. Oba disky otují ve stejném směu, otační osy splývají, středy disků leží na téže svislé přímce. Po dopadu duhého disku se oba disky začnou otáčet jako jeden celek. Učete úhlovou ychlost ω otáčení a úbytek kinetické enegie ΔE k. Jω + J ω ω = = 7 ad s -, J + J ΔE k ( ω ω ) ( J + ) JJ = J = 0, J Vodoovný kotouč o poloměu R a momentu setvačnosti J se otáčí kolem svislé osy jdoucí jeho středem konstantní úhlovou ychlostí ω 0. Na okaji kotouče stojí člověk o hmotnosti m. Jaká bude úhlová ychlost ω otáčení kotouče, přejde-li člověk z okaje kotouče do jeho středu? mr ω = + ω 0 J Jak velký musí být koeficient tření f mezi povchem homogenního válce a nakloněnou ovinou, chceme-li, aby se válec po ovině pohyboval bez klouzání? Úhel sklonu nakloněné oviny je α. f tgα 94

15 8.4.. Dřevěná tyč o hmotnosti m l = 0,5 kg a délce l = 0,6 m je otáčivá kolem osy kolmé na tyč a jdoucí jejím středem. Na konec tyče dopadne střela o hmotnosti m = 0,0 kg ychlostí v = 400 m s - kolmo na tyč a zůstane v tyči vězet. Jakou úhlovou ychlostí ω se začne tyč otáčet? ω = 75,5 ad s - = l 6m v ( m + m ) Tenká tyč o hmotnosti m = kg, délce l = m je otáčivá kolem vodoovné osy jdoucí koncovým bodem tyče kolmo k její délce. Tyč dáme do nejvyšší polohy a pustíme. Učete, jakou ychlostí v poběhne koncový bod tyče nejnižší polohou a jak velkou silou F je namáhána osa při půchodu tyče nejnižší polohou. v = 6gl = 7,67 m s -, F = 4mg = 9,4 N Setvačník s momentem setvačnosti J = 50 kg m se oztáčí z klidu. Za jakou dobu t dosáhne fekvence f = 0 Hz, působí-li na něj moment síly M = 4 N m? πfj t = = 0 s M Závaží o hmotnosti m je zavěšeno na vlákně, kteé je namotáno na homogenním válci o hmotnosti M a poloměu. Válec může otovat kolem své osy bez tření. Učete zychlení a závaží o hmotnosti m. m a = M m + g Závaží o hmotnostech m l > m jsou zavěšena na vlákně vedeném přes pevnou kladku, jejíž polomě je R a moment setvačnosti J. Stanovte zychlení a závaží a síly F a F napínající vlákno po obou stanách kladky. Hmotnost vlákna a tření zanedbejte. ( m m ) g a =, F J m + m + R J m + m g R =, F J m + m + R m = m J + m g R J + m + R Pásový takto se pohybuje ychlostí v. Učete kinetickou enegii E k jeho pásu, je-li hmotnost pásu m. E k = mv 95

16 Učete kinetickou enegii E k válce o poloměu = 8 cm a hmotnosti m = 5 kg v čase t = 5 s, jestliže se valí po vodoovné ovině. V čase t = 0 byl válec v klidu, jeho úhlové zychlení je konstantní ε = ad s -. 8 E k = m ε t = 9, J Dvě tělesa o téže hmotnosti m = 5 kg jsou spolu spojena vláknem vedeným přes kladku. Jedno těleso leží na dokonale hladké vodoovné ovině, duhé visí na konci vlákna. Polomě kladky je R = 0, m, moment setvačnosti J = 0,04 kg m. Učete zychlení a závaží a síly F, F napínající obě části vlákna. mgr a = mr + J F m gr = = 7,5 N mr + J =,5 m s - mg ( J + mr ), F = mr + J =,5 N, Hladká homogenní tyč AB o hmotnosti M a délce l volně otuje s úhlovou ychlostí ω 0 ve vodoovné ovině kolem nepohyblivé vetikální osy pocházející bodem A. Z tohoto bodu začíná klouzat po tyči nevelká objímka o hmotnosti m. Učete ychlost v objímky vzhledem k tyči v okamžiku, kdy objímka dosáhne koncového bodu B. v = ω l 0 m + M Fyzické kyvadlo je tvořeno tenkou tyčí o zanedbatelné hmotnosti, na níž jsou připevněna dvě závaží. Hmotnosti obou závaží jsou stejné, jedno závaží je ve vzdálenosti d = 5 cm od osy, duhé ve vzdálenosti d = 0 cm. Učete edukovanou délku L kyvadla, jsou-li závaží a) na téže staně osy, b) na opačných stanách osy. d + d a) L = = 0,5 m, b) d + d d + d L = = 0,75 m d d Homogenní kuhová deska o hmotnosti m = kg a poloměu = 0 cm kývá jako fyzické kyvadlo okolo vodoovné osy pocházející obvodem desky a kolmé na plochu desky. Najděte dobu kmitu T tohoto fyzického kyvadla a jeho edukovanou délku L. T = π = 0,78 s, L = = 5 cm g 96

17 8.4.. Učete dobu kmitu T a edukovanou délku L homogenního disku o poloměu R, kteý R kývá kolem vodoovné osy jdoucí ve vzdálenosti d = od středu disku kolmo k jeho ovině. T R = π, L = R g Deska kývá kolem vodoovné osy jdoucí ve vzdálenosti d = 0, m od jejího těžiště s dobou kmitu T =, s. Hmotnost desky je m = 4,0 kg. Vypočtěte moment setvačnosti J desky vzhledem k ovnoběžné ose jdoucí jejím těžištěm. J T = mgd md = 0,8 kg m π Hmotný bod A se nachází na vcholu hladkého tělesa ve tvau polokoule s poloměem R (ob. 4). Udělíme mu počáteční ychlost v 0 ve vodoovném směu. Učete úhel ϕ po místo B, ve kteém opustí hmotný bod povch tělesa. Při jakých hodnotách v 0 opustí hmotný bod povch polokoule již v počátečním okamžiku? v0 cosϕ = +, v0 gr gr ob. 4 97