Dráhy planet. 28. července 2015

Transkript

1 Dáhy plnet Pet Šlecht 28. čevence 205 Výpočet N střední škole se zpvidl učí, že dáhy plnet jsou elipsy se Sluncem v ohnisku. Tké se učí, že tento fkt je možné dokázt z Newtonov gvitčního zákon. Příslušný důkz se všk pobíá ž n vysoké škole pomocí složité mtemtiky středoškolákovi je tk nepřístupný. Cílem textu je nbídnout jednodušší ltentivu, sozumitelnou i studentovi střední školy. by byl důkz plnohodnotný, bylo by třeb někteé detily dále ozvést. Tím by všk utpěl sozumitelnost, poto byl zvolen tto fom. N obázku je zobzen situce. Slunce je oznčeno jko M, plnet jko m. Vzdálenost plnety od Slunce je. Velikost ychlosti pohybu plnety je v smě této ychlosti je učen úhlem. Vyjdeme z fktu, že gvitční síl působí přímo ke Slunci její moment síly je tedy nulový. Moment hybnosti tedy zůstává konstntní je jedním z pmetů výsledné dáhy. Dále předpokládáme, že n plnetu komě gvitce Slunce nepůsobí jiné síly. Poto je celková enegie (potenciální plus kinetická) tké konstntní je duhým pmetem. Nulovou hodnotu potencální enegie zvolíme v nekonečnu, poto hodnot celkové enegie musí být záponá, by plnet neodlétl. V nšem přípdě(obázek ) lze moment hybnosti L enegii E vyjádřit tkto: L = mvsin () E = 2 mv2 m Tyto dvě ovnice učují vzthy mezi veličinmi, v. Jelikož nám jde jen o tv dáhy ne o ychlost pohybu po ní, zbvíme se veličiny v. Vyjádříme v z pvní ovnice: v = L msin dosdíme do duhé ovnice: E = 2m 2 sin 2 m Tto ovnice nám dává do vzthu. Pokud tedy známe polohu plnety, můžeme spočítt úhel dozvíme se, kteým směem dáh pokčuje. Tím je tv dáhy zcel učen. Upvíme tedy ovnici do tvu, kteý nám umožní sndné učení úhlu ze vzdálenosti : sin 2 = 2m2 + 2mE 2 (3) Tto ovnice tedy učuje tv dáhy. My víme, že dáh by měl být elips se Sluncem v ohnisku. Zkusíme tedy ověřit, že po elipsu pltí stejný vzth jko (3). N obázku 2 je zobzen úsek elipsy s ohnisky F, délkmi poloos b výstředností e. Bod je bodem elipsy. Plnet je v bodě Slunce je v ohnisku. Úhel učuje sklon tečny t původiče, jko tomu bylo n obázku. Původič F svíá s tečnou t stejný úhel. V elipse se totiž ppsek vycházející z jednoho ohnisk odáží do duhého ohnisk. Nyní nlezneme vzth mezi úhlem vzdáleností. To lze povést pomocí kosínové věty, potože známe délky všech stn tojúhelník F. Musíme si jen vyjádřit velikost úhlu β pomocí úhlu tké budeme potřebovt cos β. β = π 2 cosβ = cos(π 2) = cos2 = (cos 2 sin 2 ) = 2sin 2 (2)

2 v m M Obázek : Veličiny t β 2-2e F Obázek 2: Elips 2

3 ds ds Obázek 3: Opsná ploch Kosínová vět říká: 4e 2 = 2 +(2 ) 2 2(2 )cosβ Dosdíme z cos β spočítný výz dostneme: 4e 2 = 2 +(2 ) 2 2(2 )(2sin 2 ) Nyní vše oznásobíme zkusíme vyjádřit sin 2. Vyjde: sin 2 = 2 2 e 2 2 e 22 Jelikož v elipse pltí 2 = b 2 +e 2, lze vzth zjednodušit n: sin 2 = 2 b 2 b 22 Je vidět, že vzthy (3) (4) jsou stejné, tedy plnet obíhá skutečně po elipse. Tím jsme odvodili. Kepleův zákon. Sovnáním koeficientů u obou ovnic dostneme: 2 b 2 = 2m2 b 2 = 2mE Pokud známe moment hybnosti L enegii E, lze z těchto ovnic vypočítt ozměy dáhy (těch mínusů se netřeb bát, potože E je záponé): = m 2E b = L 2mE (4) Nebo nopk známe-li ozměy dáhy, lze spočítt enegii E moment hybnosti L: E = m 2 L = bm (5) (6) 3

4 N obázku 3 je vidět, že posune-li se plnet o mlou dáhu ds, opíše původič plochu ds: ds = ds sin 2 Při pohybu ychlostí v je tedy plošná ychlost w: w = ds dt = 2 ds dt sin = 2 vsin Část vsin lze vyjádřit z (), tedy dostneme: w = L 2m Chceme-li vycházet z ozměů dáhy, dosdíme z L z (6): w = b 2 Je vidět, že velikost plošné ychlosti vůbec nezávisí n poloze plnety n dáze je konstntní. Tím jsme tedy ukázli pltnost 2. Kepleov zákon. Elips je vlstně potáhlá kužnice. Při potžení jedním směem k-kát se velikost plochy libovolného ovinného útvu zvětší tké k-kát. To smozřejmě pltí i po kužnici, z čehož ihned plyne, že ploch celé elipsy je: (7) S = πb (8) Tuto plochu původič opíše během jednoho oběhu. Potože plošnou ychlost známe (je dán ovnicí (7)), můžeme dobu oběhu T spočítt: T = S w = πb2 b 3 T = 2π (9) Je vidět, že dob oběhu záleží pouze n hmotnosti Slunce délce hlvní poloosy dáhy, přičemž duhá mocnin oběžné doby je přímo úměná třetí mocnině délky hlvní poloosy. Tím jsme tedy ukázli pltnost 3. Kepleov zákon. bychom uměli popst polohu plnety n dáze, zvedeme soustvu souřdnic podle obázku 4. Slunce je v ohnisku, plnet v bodě, bod S je střed elipsy. Jk jsme říkli, elips je potžená kužnice, tkže souřdnice bodu jsou: x = cosϕ e, y = bsinϕ (0) Přitom úhel ϕ nelze n obázku njít u kužnice by to vlstně byl úhel BS, ten se všk potžením zdefomuje, tkže u elipsy jde jen o jkýsi pmet, kteý učuje polohu bodu. Opět zopkuji, že elips je potžená kužnice že potžením se ploch libovolného ovinného útvu úměně zvětší. To lze smozřejmě plikovt i n kuhovou výseč, ze kteé potžením vznikne výseč elipsy s vcholy BS. Tto výseč tedy má plochu: S V = ϕ 2π S Přitom S je ploch celé elipsy, dná vzthem (8). Dosdíme dostneme: S V = b 2 ϕ Slunce se všk nchází v ohnisku, tkže by se plnet dostl z bodu B do bodu, opíše původič pouzeplochusvcholyb.musímetedyodečístplochutojúhelníku S, kteáje (použijeme(0)): S = 2 ey = 2 ebsinϕ Odečtením dostneme plochu opsnou původičem: S P = S V S = b 2 ϕ 2 ebsinϕ = b 2 (ϕ esinϕ) 4

5 y S S P F S B x Obázek 4: Soustv souřdnic Známe-li tuto plochu plošnou ychlost (viz (7)), lze sndno spočítt čs t, během kteého se plnet dostne z peihelu B do bodu : t = S P w Dosdíme z S P w vyjde: t = (ϕ esinϕ) = (ϕ 2 b 2 sinϕ) Chceme-li tedy znát polohu plnety v libovolném čse t, njdeme podle ovnice () hodnotu ϕ z ovnic (0) již ihned dostneme žádné souřdnice. Výpočet ϕ je všk třeb dělt numeicky, ovnice nejde jednoduše upvit do potřebného tvu. 2 Poděkování V původní vezi z 4. září 2009 jsem neuvedl poděkování. Poto ho nyní doplňuji, jde vlstně o jedinou změnu. Chtěl bych moc poděkovt Vojtovi Hálovi z jeho dy, kteé přispěly k zjednodušení přehlednosti výpočtu jeho použitelnosti jko didktické pomůcky. () 5