ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE PRAHA 2012 Martin NEŠPOR

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE BAKALÁŘSKÁ PRÁCE ZHODNOCENÍ NÁKLONU JIŽNÍ VĚŽĚ BAZILIKY SV. JIŘÍ NA PRAŽSKÉM HRADĚ Vedoucí práce: Doc. Ing. Jaromír Procházka, CSc. Katedra speciální geodézie červen 2012 Martin NEŠPOR

ZDE VLOŽIT LIST ZADÁNÍ Z důvodu správného číslování stran

ABSTRAKT Tato bakalářská práce se zabývá posouzením přesnosti měřených veličin při etapových měření, které sledují posuny a náklony obou věží baziliky sv Jiří. Ve druhé části se zabývá celodenním měřením, které zachycuje vliv teploty a oslunění na posun jižní věže. KLÍČOVÁ SLOVA bazilika sv. Jiří deformace posun přesnost ABSTRACT This bachelor thesis describes evaluation of the accuracy of measured values within the measurement in stages, which are used to monitoring displacements of both towers of St. George's Basilica. In the second part it deals with influence of temperature and sunshine to the tilt of south tower. KEYWORDS St. George's Basilica deformation displacement accuracy

PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma Zhodnocení náklonu jižní věže baziliky sv. Jiří na Pražském hradě vypracoval samostatně. Použitou literaturu a podkladové materiály uvádím v seznamu zdrojů. V Praze dne (podpis autora)

PODĚKOVÁNÍ Chtěl bych poděkovat vedoucímu práce panu Doc. Ing. Jaromíru Procházkovi, CSc. za jeho rady, čas a pomoc při zpracování této bakalářské práce.

Obsah: Úvod... 8 1. Bazilika sv. Jiří... 9 1.1 Historie Baziliky sv. Jiří... 9 2. Metoda měření... 11 2.1 Měřická síť... 11 2.2 Prostorová polární metoda... 12 2.2.1 Výpočet vodorovných souřadnic... 12 2.2.2 Výpočet výšek... 12 2.3 Pomůcky... 13 3. Etapová měření... 14 3.1 Průběh měření... 14 3.2 Rozbory přesnosti pro vodorovné úhly... 14 3.2.1 Rozbory přesnosti před měřením... 14 3.2.2 Rozbory přesnosti při měření... 17 3.2.3 Rozbory přesnosti po měření... 18 3.3 Rozbory přesnosti pro zenitové úhly... 20 3.3.1 Rozbory přesnosti před měřením... 20 3.3.2 Rozbory přesnosti při měření... 22 3.3.3 Rozbory přesnosti po měření... 23 3.4 Výsledky etapového měření... 25 3.4.1 Posuny v souřadnici Y... 26 3.4.2 Posuny v souřadnici X... 28 3.4.3 Posuny v souřadnici Z... 30 4. Celodenní měření... 33 4.1 Průběh měření... 33 4.2 Rozbory přesnosti pro vodorovné úhly... 33 4.2.1 Rozbory přesnosti před měřením... 33 4.2.2 Rozbory přesnosti při měření... 33 4.2.3 Rozbory přesnosti po měření... 34 4.3 Rozbory přesnosti pro zenitové úhly... 36 4.4 Výsledky celodenního měření... 37 4.4.1 Očekávaná přesnost posunů... 37 4.4.2 Zhodnocení velikosti posunů... 38 6

Závěr... 41 Seznam literatury... 42 Přílohy... 43 Přesnost etapového měření... 43 Vodorovné úhly... 43 Zenitové úhly... 46 Výsledky celodenního měření... 49 7

Úvod Úvod Sledování náklonů a posunů věží baziliky sv. Jiří začalo v roce 2007 v rámci grantového projektu s názvem Stabilita historických objektů. Přestože byl tento grant na konci roku 2010 ukončen, měření posunů a náklonů se nadále pravidelně opakují. V této bakalářské práci se zabývám posouzením přesnosti měřených veličin při etapových měřeních prováděných ze stanovisek S3 a S4 umístěných u zadní části katedrály sv. Víta. Tato měření probíhají od podzimu roku 2009, do dnešního dne bylo změřeno pět etap. Ve druhé části bakalářské práce zpracovávám mnou naměřené posuny na jižní věži baziliky sv. Jiří při celodenním měření. Cílem celodenního měření je ověření výsledků dosažených v rámci diplomové práce Ing. Lenky Mimrové, která své měření uskutečnila v září roku 2010. Vzájemným srovnáním obou měření lze získat objektivní představu o vlivu slunečního záření a teplotních změn na směr a velikost vodorovných posunů v průběhu jednoho dne. Tyto posuny mohou za určitých podmínek ovlivňovat přesnost naměřených výsledků, které byly hodnoceny v první části této bakalářské práce. 8

1. Bazilika sv. Jiří 1. Bazilika sv. Jiří 1.1 Historie Baziliky sv. Jiří Bazilika sv. Jiří byla založena knížetem Vratislavem I. kolem roku 920. Po kostelu Panny Marie se jednalo teprve o druhou náboženskou stavbu na Pražském hradě. Její vnitřní uspořádání bylo nejspíše trojlodního charakteru s apsidami. V roce 925 nechal kníže sv. Václav převézt ostatky své babičky sv. Ludmily z Tetína a uložil je v nově zbudovaném prostoru připojenému k jižní části baziliky. Z původní baziliky se do dnešních dnů zachovaly pouze základy. Za vlády Boleslava II. byl roku 973 založen ženský benediktýnský klášter, který byl připojen k bazilice. První abatyší kláštera se stala Boleslavova sestra Mlada. Následovala přestavba a rozšíření baziliky, na její severní straně vznikly nové obytné budovy, k západní straně byl přistavěn kůr s věžovitou částí. Při obléhání Pražského hradu roku 1142 vypukl požár, který vážně poškodil klášter i baziliku. Pod vedením abatyše Berty byly provedeny rozsáhlé opravy. Ve východní části byla zbudována kaple zasvěcená Panně Marii, která se později stala součástí kaple sv. Anny. Postaveny byly vysoké bílé věže s kamennou střechou, které se zachovaly až do dnešní doby. Abatyše Berta je kvůli rozsáhlosti úprav označována jako druhá zakladatelka. Na počátku 13. století byla abatyší Anežka Přemyslovna. K jižní straně východního chóru nechala přistavět kapli sv. Ludmily. Nově byl vybudován jižní portál, předchůdce současného renesančního portálu. Při stavebních úpravách došlo k zazdění několika oken, vzniklé plochy byly ozdobeny nástěnnými malbami. Na svatojiřském reliéfu je vedle zakladatelek kláštera Mlady a Berty zobrazovaná i Anežka, známá jako obnovitelka. Ve druhé polovině 14. století byla bazilika přestavěna na popud Karla IV. Jeho snahou bylo vytvoření důstojnějšího místa pro zde uložené ostatky prvních Přemyslovců, zejména Vratislava a sv. Ludmily. Kaple sv. Ludmily získala současnou gotickou podobu, pro sv. Ludmilu byl postaven nový náhrobek. Její ležící postava zdobí víko náhrobku, po jeho stranách jsou zobrazení světci a světice. Přestavba byla ukončena roku 1371 vysvěcením hlavního oltáře. 9

1. Bazilika sv. Jiří V průběhu následujících století bylo provedeno mnoho změn. Jižní portál byl přestavěn do dnešní renesanční podoby, v jeho tympanonu je umístěn reliéf s vyobrazením sv. Jiří zabíjejícího draka. K dalšímu požáru na Pražském hradě došlo roku 1541. Trvalo téměř 90 let, než byl v letech 1600 1630 vybudován nový západní kůr. Ten se nazývá helfenburský, dle abatyše Albinky z Helfenburka. Současně byl postaven nový hlavní oltář. Mezi roky 1642 1659 byla vyčištěna krypta, již tehdy označovaná jako kaple sv. Mikuláše. Její klenba a sloupky získaly dnešní podobu. Dále zde byla vyhloubena hrobka a postaveny nové oltáře. Za abatyše Anny Mechtildy bylo mezi lety 1671 1691 přestavěno západní průčelí do barokní podoby, která se zachovala dodnes. K jižní straně průčelí byla v letech 1718 1722 přistavěna kaple sv. Jana Nepomuckého. Klášter benediktinek byl zrušen roku 1782. V průběhu 19. století docházelo pouze k menším opravám zabraňujícím chátrání objektu. Velké změny přinesla až rekonstrukce v letech 1887 1908 dle návrhu Františka Macha. Snahou bylo vrátit bazilice její románskou podobu, došlo k odstranění mnoha doplňků vzniklých při pozdějších stavebních úpravách. Podrobněji v [1] a informace o archeologickém průzkumu kláštera v [2]. Obr. 1.1 Západní průčelí baziliky sv. Jiří se severní a jižní věží (vpravo) 10

2. Metoda měření 2. Metoda měření 2.1 Měřická síť Sledování posunů a náklonů obou věží baziliky sv. Jiří se provádí celkem ze čtyř stanovisek. Stanoviska S1 a S2 se nacházejí ve vnitřním nádvoří kláštera, stanoviska S3 a S4 jsou umístěna u zadní části katedrály sv. Víta. Jejich stabilizace byla provedena pomocí malých mosazných válečků zabetonovaných ve spárách v dlažbě. Na západní barokní průčelí baziliky byly před nultou etapou umístěny tři odrazné fólie s terčíky. Tyto body, číslo 54, 55 a 56, slouží jako vztažné body při určování posunů a náklonů věží. Souřadnicová osa x je vložena do spojnice bodů 54 a 56, osa y má kladný směr ke katedrále sv. Víta. Přibližné umístění stanovisek a vztažných bodů je znázorněno na obrázku 2.1. Na obou věžích je umístěno po sedmi sledovaných bodech. Body jsou realizovány pomocí kovových destiček připevněných k fasádě, na nich jsou nalepeny odrazné fólie s terčíky. Na hranách každé z věží se nachází celkem šest bodů, tři jsou umístěny v úrovni spodního kraje oken, další tři jsou v horní části věže. Poslední bod je připevněn na spodní části kříže umístěného na vrcholu věže. Body jsou číslovány od 11 do 17 pro severní věž a od 21 do 27 pro jižní věž. Umístění sledovaných bodů je taktéž zobrazeno na obrázku 2.1. Obr. 2.1 Měřická síť a umístění sledovaných bodů 11

2. Metoda měření 2.2 Prostorová polární metoda K určení velikosti posunů byla použita prostorová polární metoda. Aby byl zmenšen vliv chyby z cílení, byly vodorovné a zenitové úhly měřeny ve dvou skupinách s dvojím cílením. Délky se měří v obou polohách dalekohledu při obou zacíleních na měřené body. Na začátku každé etapy byla změřena teplota, tlak a vlhkost vzduchu na stanovisku. Tyto údaje byly vloženy do totální stanice, která poté naměřené délky automaticky opravovala o fyzikální korekce. 2.2.1 Výpočet vodorovných souřadnic Výpočet vodorovných souřadnic probíhá dle vzorců pro polární metodu (2.1) (2.2) kde souřadnice stanoviska šikmá délka zenitový úhel vodorovný směr směrník stanovisko, vztažný bod Při výpočtech souřadnic se nepředpokládá změna polohy stanoviska mezi etapami, proto se při výpočtu v dalších etapách používají souřadnice stanoviska určené v nulté etapě. Poloha je kontrolována měřením na vztažné body. 2.2.2 Výpočet výšek Určované výšky jsou vztaženy k bodu číslo 54, jeho výška je mezi etapami považována za neměnnou. Výška horizontu přístroje se určuje zpětně od tohoto bodu, výšky ostatních bodů se spočtou dle vzorce (2.3) kde výška bodu 54 šikmá délka měřená na bod č. 54 zenitový úhel měřený na bod č. 54 12

2. Metoda měření 2.3 Pomůcky K měření úhlů a délek byla použita totální stanice Leica TC 1800 č. 413982 s přídavným lomeným okulárem. Vlastnosti totální stanice jsou přesnost úhlového měřeni: 0,3 mgon přesnost délkového měření: 1 mm + 2 ppm zvětšení objektivu: průměr objektivu: 30x 42 mm výška nad trojnožkou: 192 mm Dále byly použity optický centrovač Sokkia AP41 eč. 5785/04 trojnožka Topcon č. 6 stativ teploměr v kombinaci s vlhkoměrem barometr GTD 1100 Obr. 2.2 Leica TC 1800 13

3. Etapová měření 3. Etapová měření 3.1 Průběh měření Etapová měření věží baziliky sv. Jiří se ze stanovisek S3 a S4 uskutečňují od podzimu roku 2009, opakují se přibližně každých šest měsíců. Měření probíhá na jaře a na podzim, aby změny vnějších podmínek v průběhu měření byly minimální. Osobně jsem se zúčastnil měření čtvrté etapy, která proběhla dne 25. 10. 2011. Ze všech etap mi byla poskytnuta data ve formě papírových zápisníků, která jsem sám zpracoval. Tab. 3.1 Datumy uskutečnění etapových měření a teploty vzduchu při měření Etapa Aby byly údaje z jednotlivých etap porovnatelné, je nutné snížit vliv chyb ovlivňujících měření na minimum. Proto měření provádí pouze pan doc. Ing. Procházka, CSc., aby výsledky z různých etap nebyly ovlivněny různými měřiči. Ze stejného důvodu se využívá stále stejná totální stanice Leica TC 1800. Pro zmenšení vlivu chyby z centrace se používá centrovač Sokkia, který umožňuje kontrolu centrace otočením o 200 gonů. 3.2 Rozbory přesnosti pro vodorovné úhly 3.2.1 Rozbory přesnosti před měřením Rozbory přesnosti před měřením slouží k určení očekávané přesnosti měřených veličin v závislosti na zvoleném počtu cílení a skupin. Nejčastěji uváděnou veličinou, která se používá ve výpočtu, je přesnost měřeného směru v obou polohách dalekohledu. Její velikost lze určit vlastním měřením na známé body, nebo je možné použít hodnotu udávanou výrobcem. Pro vodorovný směr měřený totální stanicí Leica TC 1800 v obou polohách dalekohledu výrobce uvádí hodnotu. Vodorovné směry se redukují na počátek, a tak je potřeba určit očekávanou přesnost měřeného úhlu s dvojím cílením. Datum T S3 T S4 0. 23.11.2009 9,5 C 9,5 C 1. 29.6.2010 22 C 19 C 2. 8.10.2010 11,7 C 10 C 3. 20.4.2011 14,7 C 10,2 C 4. 25.10.2011 8 C 7,5 C 14

3. Etapová měření Nejprve se vypočte přesnost směru měřeného s dvojím cílením v jedné skupině. Vychází se ze vzorce pro výpočet směru s dvojím cílením (3.1) kde směr měřený v jedné skupině první a druhou poloha první a druhé cílení. Po derivaci dle proměnných (3.2) se přejde na směrodatné odchylky (3.3) Předpokládá se stejná přesnost cílení, po dosazení se výraz zjednoduší (3.4) po jeho odmocnění je výsledný tvar (3.5) Směrodatná odchylka zacílení v jedné poloze dalekohledu je poloviční oproti směrodatné odchylce směru odpovídající průměru obou poloh dalekohledu při dvojím cílení. Proto platí, do rovnice se dosadí odmocněný tvar. Směrodatná odchylka směru měřeného s dvojím cílením je (3.6) Jak již bylo řečeno, měřené směry se redukují na počátek. Přesnost určení počátku tedy ovlivní přesnost určení ostatních směrů. Rozdíl mezi dvěma měřenými směry je úhel, vzorec pro výpočet úhlu měřeného v jedné skupině je (3.7) kde úhel měřený v jedné skupině měřený směr 15

3. Etapová měření Zderivováním se určí skutečné chyby (3.8) umocněním se přejde na směrodatné odchylky (3.9) Za předpokladu stejné přesnosti měření směrů, kdy zjednoduší, se tvar (3.10) po jeho odmocnění (3.11) Za se dosadí hodnota spočtená ve vzorci 3.6. Směrodatná odchylka úhlu měřeného v jedné skupině s dvojím cílením tedy je (3.12) V etapových měřeních se všechny úhly měří ve dvou skupinách, vztah pro výpočet výsledného průměrného úhlu (3.13) kde úhel měřený ve dvou skupinách úhel měřený v první a druhé skupině Po přechodu na skutečné chyby (3.14) a směrodatné odchylky (3.15) se předpokládá stejná přesnost určení všech úhlů, a proto (3.16) Po odmocnění (3.17) 16

3. Etapová měření se do vztahu dosadí za výsledek z rovnice 3.12. Směrodatná odchylka úhlu měřeného ve dvou skupinách s dvojím cílením je (3.18) 3.2.2 Rozbory přesnosti při měření Rozbory přesnosti při měření umožňují si přímo v terénu zkontrolovat, jestli měření splňuje očekávanou přesnost. Pokud by tato přesnost nebyla dodržena, je možné na místě opakovat chybné měření, případně nalézt a odstranit zdroj chyb. Měření probíhá ve dvou skupinách, a tak se porovnává rozdíl mezi první a druhou skupinou s mezním rozdílem. Velikost mezního rozdílu se odvodí z rozdílu mezi úhlem měřeným v první a druhé skupině (3.19) Zderivováním (3.20) a následným umocněním se přejde na směrodatné odchylky (3.21) kde lze předpokládat stejnou přesnost. Poté (3.22) a po odmocnění vyjde směrodatná odchylka rozdílu dvou skupin (3.23) Pro získání mezního rozdílu mezi dvěma skupinami je nutné vynásobit směrodatnou odchylku rozdílu koeficientem spolehlivosti u p. Jedná o jednodušší měření s možností vyloučení systematických chyb, proto volíme koeficient u p = 2. Hodnota mezního rozdílu se spočte (3.24) za se dosadí hodnota určená v rovnici 3.12. Výsledná velikost mezního rozdílu mezi dvěma skupinami je (3.25) 17

3. Etapová měření Pro každý bod se rozdíly mezi skupinami porovnávají s touto mezní hodnotou. Z tabulek 3.2 a 3.3 je patrné, že při měření čtvrté etapy nedošlo k překročení mezního rozdílu u žádného ze sledovaných bodů. Tabulky s rozdíly mezi skupinami pro ostatní etapy jsou uvedeny v přílohách. Naopak v nulté a první etapě došlo k překročení mezního rozdílu u několika bodů najednou. V obou etapách je patrný vliv systematických chyb, který se projeví stejným znaménkem u rozdílů mezi první a druhou skupinou. V nulté etapě mají všechny rozdíly kladné znaménko, v první etapě jsou téměř všechna znaménka u rozdílů záporná. Tab. 3.2 Hodnocení přesnosti vodorovných úhlů 4. etapa, stanovisko S3 Bod 1. skupina [gon] 2. skupina [gon] Průměr [gon] Rozdíl [mgon] 12 5,39370 5,39403 5,39386-0,33 13 5,48453 5,48463 5,48458-0,10 14 5,64080 5,64088 5,64084-0,08 15 5,75898 5,75918 5,75908-0,20 11 7,11403 7,11425 7,11414-0,22 16 8,95770 8,95743 8,95756 0,28 17 9,06963 9,06915 9,06939 0,48 55 11,61168 11,61163 11,61165 0,05 56 30,74785 30,74780 30,74783 0,05 54 0,00028 399,99990 0,00009 0,38 Tab. 3.3 Hodnocení přesnosti vodorovných úhlů 4. etapa, stanovisko S4 Bod 1. skupina [gon] 2. skupina [gon] Průměr [gon] Rozdíl [mgon] 12 10,16180 10,16158 10,16169 0,22 13 22,55778 22,55743 22,55760 0,35 14 22,55793 22,55790 22,55791 0,03 15 22,81345 22,81313 22,81329 0,32 11 22,77228 22,77250 22,77239-0,23 16 24,54768 24,54715 24,54741 0,52 17 26,66735 26,66750 26,66743-0,15 55 26,66080 26,66073 26,66076 0,07 56 29,43755 29,43778 29,43766-0,22 54 399,99940 399,99943 399,99941-0,02 3.2.3 Rozbory přesnosti po měření Rozbory přesnosti po měření slouží k vyhodnocení dosažené přesnosti měření. V každé etapě se na obou stanoviscích vypočtou směrodatné odchylky měření, které se porovnají s mezní směrodatnou odchylkou. V případě jejího překročení měření ne- 18

3. Etapová měření splnilo požadovanou přesnost a je tedy nutné jej opakovat. Posouzení přesnosti se provádí pouze ze směrů měřených na vztažné body, protože u sledovaných bodů mohlo dojít k posunům v průběhu měření. Pro jednotlivé vztažné body se vypočtou rozdíly mezi úhlem určeným v první a druhé skupině. Z rozdílů se určí směrodatná odchylka měření v jedné skupině (3.26) kde rozdíl úhlů v první a druhé skupině počet měření na vztažné body Do výpočtů se nezahrnuje počáteční měření na bod číslo 54, proto. Směrodatná odchylka průměru ze dvou skupin pro měření vodorovných úhlů na jednom stanovisku se spočte (3.27) Vypočtená směrodatná odchylka se porovná s mezní směrodatnou odchylkou pro úhel měřený ve dvou skupinách s dvojím cílením (3.28) Za se dosadí z rovnice 3.18, hodnota mezní odchylky je (3.29) V tabulce 3.4 je vidět překročení mezní odchylky na stanovisku S3 v první a třetí etapě. Na stanovisku S4 byla mezní odchylka překročena pouze v nulté etapě. Nedodržení požadavků na přesnost v těchto etapách odpovídá nesplnění kritérií určených v rozborech přesnosti při měření pro daná měření na vztažné body. Tab. 3.4 Hodnocení přesnosti vodorovných úhlů v jednotlivých etapách Stanovisko 0. etapa [mgon] 1. etapa [mgon] 2. etapa [mgon] 3. etapa [mgon] 4. etapa [mgon] S3 0,39 0,82 0,16 0,43 0,11 S4 0,54 0,16 0,21 0,12 0,09 Ze stejných znamének rozdílů mezi skupinami lze usoudit, že některá měření jsou zatížena systematickými chybami. Proto se spočte výběrová směrodatná od- 19

3. Etapová měření chylka, která dokáže vliv systematických chyb eliminovat. Její výpočet probíhá podle vzorce (3.30) V uvedeném vzorci člen zahrnuje do výpočtu vliv počátečního měření na bod číslo 54. Protože jsou všechny směry redukovány na počátek, tak toto měření ovlivní velikost systematických chyb působících na všechny ostatní body. Tab. 3.5 Hodnocení přesnosti vodorovných úhlů v jednotlivých etapách Stanovisko 0. etapa [mgon] V tabulce 3.6 jsou uvedeny výběrové směrodatné odchylky průměru ze dvou skupin po odstranění vlivu systematických chyb. U etap, ve kterých došlo k překročení mezní odchylky, je patrné snížení velikosti směrodatné odchylky až o čtyři desetiny miligonu. Mezní odchylka nebyla po vyloučení vlivu systematických chyb překročena u žádného měření. 1. etapa [mgon] 2. etapa [mgon] 3. etapa [mgon] 4. etapa [mgon] S3 0,28 0,41 0,12 0,25 0,09 S4 0,28 0,12 0,14 0,09 0,09 3.3 Rozbory přesnosti pro zenitové úhly 3.3.1 Rozbory přesnosti před měřením Rozbory přesností pro zenitové úhly se podobají rozborům přesnosti pro vodorovné úhly. Rozdíly mezi nimi vycházejí z podstaty měření zenitových úhlů, které se neredukují na počátek. Pro zenitový úhel měřený v obou polohách dalekohledu výrobce udává stejnou hodnotu směrodatné odchylky jako pro vodorovný úhel, tedy. Měření zenitových úhlů opět probíhá ve dvou skupinách s dvojím cílením. Přesnost úhlu měřeného s dvojím cílením v obou polohách dalekohledu se spočte ze vzorce (3.31) kde úhel měřený v jedné skupině 20

3. Etapová měření první a druhá poloha první a druhé cílení Derivací se určí skutečné chyby (3.32) které jsou lineární a nezávislé, proto se umocněním rovnice přejde na směrodatné odchylky (3.33) Za předpokladu stejné přesnosti rovnice se zjednoduší se (3.34) po jejím odmocnění přejde na tvar (3.35) Protože, je přesnost zenitového úhlu měřeného s dvojím cílením (3.36) Zenitový úhel měřený ve dvou skupinách se vypočte dle vtahu (3.37) kde úhel měřený ve dvou skupinách úhel měřený v první nebo druhé skupině Derivací vztahu se určí skutečné chyby (3.38) které jsou neznámé, proto umocněním rovnice se přejde na směrodatné odchylky (3.39) Očekává se stejná přesnost měření v obou skupinách, poté (3.40) 21

3. Etapová měření Po odmocnění (3.41) a dosazení do vztahu z rovnice 3.36 se spočte směrodatná odchylka pro zenitový úhel měřený ve dvou skupinách (3.42) 3.3.2 Rozbory přesnosti při měření Stejně jako u vodorovných úhlů se v průběhu měření porovnává rozdíl zenitových úhlů mezi skupinami s mezním rozdílem. Ten se odvodí ze vztahu pro výpočet rozdílu mezi úhlem měřeným v první a druhé skupině (3.43) Derivací se spočtou skutečné chyby (3.44) a umocněním se přejde na směrodatné odchylky (3.45) Předpokládá se stejná přesnosti měření, a tak (3.46) po odmocnění (3.47) Mezní rozdíl mezi dvěma skupinami se spočte vynásobením směrodatné odchylky koeficientem spolehlivosti u p. I v tomto případě se opět volí u p = 2, poté (3.48) Do vztahu se dosadí hodnota určená v rozborech přesnosti před měřením v rovnici 3.36. Mezní rozdíl pro měření ve dvou skupinách je (3.49) V tabulkách 3.6 a 3.7 je vyhodnocení rozborů přesnosti při měření pro čtvrtou etapu. V ní došlo k nesplnění požadavků na přesnost pouze u měření na počátek na stanovisku S3. U ostatních etap došlo k překročení mezní hodnoty nejvýše v jednom 22

3. Etapová měření případě na každém stanovisku. Znaménka rozdílů mezi skupinami jsou kladná i záporná, a tak by tato překročení mezního rozdílu neměla být ovlivněna systematickými chybami. Nejspíše se jedná o chyby v cílení na dané body. Tab. 3.6 Hodnocení přesnosti zenitových úhlů 4. etapa, stanovisko S3 Bod 1. skupina [gon] 2. skupina [gon] Průměr [gon] Rozdíl [mgon] 54 99,13918 99,14010 99,13964-0,92 12 85,39238 85,39205 85,39221 0,33 13 90,26475 90,26480 90,26478-0,05 14 84,57040 84,57058 84,57049-0,18 15 89,70878 89,70855 89,70866 0,23 11 77,12070 77,12068 77,12069 0,02 16 84,76610 84,76605 84,76608 0,05 17 89,74770 89,74763 89,74766 0,08 55 99,42893 99,42918 99,42905-0,25 56 99,49385 99,49440 99,49413-0,55 54 99,13953 99,13940 99,13946 0,12 Tab. 3.7 Hodnocení přesnosti zenitových úhlů 4. etapa, stanovisko S4 Bod 1. skupina [gon] 2. skupina [gon] Průměr [gon] Rozdíl [mgon] 54 98,69855 98,69848 98,69851 0,08 12 98,90438 98,90480 98,90459-0,42 13 85,94955 85,94913 85,94934 0,42 14 89,91165 89,91180 89,91173-0,15 15 85,05953 85,05990 85,05971-0,38 11 89,29653 89,29688 89,29670-0,35 16 78,04893 78,04953 78,04923-0,60 17 85,13190 85,13190 85,13190 0,00 55 89,34355 89,34413 89,34384-0,57 56 98,91565 98,91555 98,91560 0,10 54 98,69888 98,69893 98,69890-0,05 3.3.3 Rozbory přesnosti po měření Výpočet rozborů přesnosti po měření se shoduje s výpočty pro vodorovné úhly. Určí se rozdíly mezi zenitovým úhlem měřeným na vztažné body v první a druhé skupině. Směrodatná odchylka měření zenitových úhlů v jedné skupině se vypočte (3.50) kde rozdíl zenitového úhlu mezi první a druhou polohou počet měřených úhlů 23

3. Etapová měření Měřené zenitové úhly jsou vzájemně nezávislé, proto. Vzorec pro výpočet směrodatné odchylky průměru zenitového úhlu ze dvou skupin je (3.51) Vypočtené směrodatné odchylky se porovnávají s mezní směrodatnou odchylkou (3.52) Z rovnice 3.42 se dosadí za, mezní hodnota směrodatné odchylky pro úhel měřený ve dvou skupinách s dvojím cílením (3.53) V tabulce 3.8 jsou uvedeny směrodatné odchylky zenitových úhlů pro všechny etapy. K překročení mezní směrodatné odchylky došlo ve čtvrté etapě na stanovisku S3 pouze o pár setin miligonu. Tab. 3.8 Hodnocení přesnosti zenitových úhlů v jednotlivých etapách Stanovisko 0. etapa [mgon] Stejně jako u vodorovných úhlů může být měření zenitových úhlů zatíženo systematickými chybami. Jejich vliv můžeme odstranit vypočtením výběrové směrodatné odchylky dle vzorce 1. etapa [mgon] 2. etapa [mgon] 3. etapa [mgon] 4. etapa [mgon] S3 0,17 0,16 0,11 0,07 0,28 S4 0,19 0,10 0,11 0,16 0,11 (3.54) Výběrové směrodatné odchylky jsou uvedeny v tabulce 3.9. Z jejich porovnání se směrodatnými odchylkami z tabulky 3.8 je vidět pouze malá změna v jejich velikostí. Z toho lze usuzovat, že měření zenitových úhlů nebylo ovlivněno systematickými chybami. Tab. 3.9 Hodnocení přesnosti zenitových úhlů v jednotlivých etapách Stanovisko 0. etapa [mgon] 1. etapa [mgon] 2. etapa [mgon] 3. etapa [mgon] 4. etapa [mgon] S3 0,13 0,13 0,10 0,07 0,19 S4 0,19 0,07 0,11 0,14 0,10 24

3. Etapová měření 3.4 Výsledky etapového měření Z určených rozborů přesností pro měřené veličiny se dají vypočítat mezní hodnoty pro velikosti posunů. Naměřené posuny, které budou menší než mezní hodnota, mohou být způsobeny chybami v rámci přesnosti měření. Posuny, které budou větší než tato hodnota, lze považovat za prokázané. Aby byly výpočty jednodušší, je souřadnicová soustava volena tak, aby posun v souřadnici X byl ovlivněn pouze přesností měřených úhlů a posun v ose Y závisel pouze na přesnosti měřených délek. Při etapových měřeních se pokaždé centruje na stejný bod, který je zabetonovaný do dlažby. Předpokládá se neměnnost jeho polohy mezi etapami, souřadnice stanoviska jsou považovány za konstantní. Vztažné body jsou trvale připevněny k fasádě západního průčelí baziliky, a tak se ani u nich nedá předpokládat změna polohy mezi etapami. Proto se směrník považuje za konstantní. Do výpočtu nevstupují pouze přesnosti měřených veličin, ale i další vnější okolnosti, které ovlivňují výslednou přesnost měření. Jednou z nich je chyba v centraci, která se projeví v přesnosti měřených délek. Při použití optického centrovače Sokkia se uvažuje směrodatná odchylka centrace. Směrodatná odchylka dálkoměru je dle výrobce. Výsledná směrodatná odchylka délkového měření je (3.55) Chyba v centraci neovlivní pouze měřené délky, ale promítne se i do přesnosti vodorovných úhlů. Vliv excentricity přístroje na vodorovný úhel se spočte dle vzorce (3.56) Protože se s cílovými terči mezi etapami nemanipuluje, ve výpočtu se neuvažuje excentricita cíle. Výsledná směrodatná odchylka pro vodorovný úhel je (3.57) Tab. 3.10 Průměrné hodnoty měřených veličin a jejich směrodatné odchylky ω si ξ si d' si σ ω σ ξ σ d 15 gon 85 gon 100 m 0,21 mgon 0,15 mgon 1,1 mm 25

3. Etapová měření 3.4.1 Posuny v souřadnici Y Souřadnice Y sledovaných bodů se vypočte (3.58) Souřadnice stanoviska i orientace na bod 54 jsou považovány za bezchybné, proto se v následujících vzorcích pro výpočet skutečných chyb nevyskytují. Derivace výše uvedeného vztahu dle všech proměnných je (3.59) Součet měřeného směru se směrníkem je roven přibližně 305 gonům, proto lze nahradit a. Výpočet se zjednoduší (3.60) jeho umocněním se přejde na směrodatné odchylky (3.61) Po odmocnění se dosazením spočte směrodatná odchylka určení souřadnice Y (3.62) Posun bodu je rozdíl jeho souřadnic v nulté a některé z následujících etap, proto směrodatná odchylka posunu je (3.63) vynásobením u p se získá mezní odchylka pro posun v ose Y (3.64) Posuny, které překročí tuto mezní hodnotu, se dají považovat za prokázané, protože jejich velikost je větší než očekávaná přesnost měření. V tabulkách 3.11 a 3.12 jsou uvedeny posuny ve směru osy Y. Jediný prokázaný posun je v první etapě na bodě číslo 11, který je umístěn na vrcholu severní věže. Posun může být způsoben vysokým rozdílem teplot mezi první a nultou etapou. Pro ukázání vztahu mezi velikostí posunu a teplotou byly zvoleny body číslo 11 a 21, které jsou připevněné ke kamenným křížům umístěných na vrcholcích věží, protože naměřené posuny na těchto bodech dosahují největších hodnot. Na obrázcích 3.1 a 3.2 jsou zobrazeny posuny v souřadnici Y a teplota vzduchu, která byla naměřena před začátkem měření každé etapy. Z obrázků je patrná závislost velikosti posunu 26

3. Etapová měření na teplotě, s rostoucí teplotou se body posunují v kladném směru osy Y, tedy ve směru na západ. Tab. 3.11 Posuny v ose Y na stan. S3 S3 Posun v ose Y [mm] Bod 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 12-0,33-2,06-0,45-0,90 13-0,26-1,06-0,49-0,81 14 0,79-1,17 0,66-0,42 15-0,25-1,10-0,37-0,66 11 3,24-2,49 1,96-1,85 16 1,42-0,92 0,96-0,15 17-0,56-1,24-0,78-0,91 Tab. 3.12 Posuny v ose Y na stan. S4 S4 Posun v ose Y [mm] Bod 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 22 1,28-0,01 0,97 0,02 23-0,88-1,25-0,45-0,19 24 0,00 0,33-0,39-0,98 25 0,08-0,29-0,67-0,33 21 0,67-2,08-0,76-1,78 26 0,91 0,02 0,36-0,66 27 0,09-0,93-0,61-0,43 4,0 3,0 2,0 25 20 1,0 15 0,0 10 0. et 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. -1,0 5-2,0 T [ C] ΔX T -3,0 0 Obr. 3.1 Závislost posunu v ose Y na teplotě na bodě 11 4,0 3,0 2,0 25 20 1,0 15 0,0 10 0. et 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. -1,0 5-2,0 T [ C] ΔX T -3,0 0 Obr. 3.2 Závislost posunu v ose Y na teplotě na bodě 21 27

3. Etapová měření Zřejmá závislost mezi velikostí posunů a teplotou naznačuje, že přesnost délkového měření byla vyšší, než bylo uvažováno. Výrobce uvádí směrodatnou odchylku dálkoměru jako součet systematické a nahodilé složky. Při výpočtu posunů se systematická složka, za předpokladu její neměnnosti mezi etapami, vyloučí. Měření by tedy mělo být ovlivněno pouze nahodilými chybami. Ve všech skupinách byla délka měřena na každý bod čtyřikrát, z těchto opakovaných měření lze tak vypočítat směrodatnou odchylku délkového měření. Její průměrná velikost vypočtená z vodorovných délek je. K této hodnotě je nutné připočíst vliv chyby z centrace, výsledná směrodatná odchylka měřené délky je (3.65) Dosazením této hodnoty do výše uvedených vztahů se spočte mezní hodnota posunu ve směru osy Y (3.66) Porovnáním vypočtených posunů s touto hodnotou dojde k prokázání posunů na bodě číslo 11 ve všech zbývajících etapách. Další prokázané posuny jsou na bodě číslo 12 ve druhé etapě a na bodě 21 ve druhé a čtvrté etapě. Posuny prokázané porovnáním s touto mezní odchylkou jsou značeny tučně bez barevného zvýraznění. 3.4.2 Posuny v souřadnici X Vztah pro výpočet souřadnice X sledovaných bodů (3.67) se zderivuje dle jednotlivých proměnných (3.68) Jak již bylo dříve řečeno, souřadnice stanoviska a orientace na bod 54 jsou považovány za bezchybné, proto se v předchozím vzorci nevyskytují. Po nahrazení a se projeví závislost souřadnice X pouze na přesnosti určení vodorovného úhlu (3.69) Umocněním se přejde na směrodatné odchylky 28

3. Etapová měření (3.70) Směrodatná odchylka určení souřadnice X je (3.71) Vynásobením odmocninou ze dvou se spočte směrodatná odchylka posunu, jejím vynásobením koeficientem spolehlivosti u p se určí mezní velikost posunu v ose X mezi etapami (3.72) V tabulkách 3.13 a 3.14 jsou patrné prokázané posuny na bodech 11 a 21 téměř ve všech etapách. Dále jsou na stanovisku S3 prokázány posuny pro všechny body v první a třetí etapě, což odpovídá vyšším teplotám, které panovaly při měření těchto etap. Pro stanovisko S4 jsou prokázány posuny pro všechny body ve druhé etapě a většinu bodů ve čtvrté etapě. Tab. 3.13 Posuny v ose X na stan. S3 S3 Posun v ose X [mm] Bod 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 12 2,15 0,39 1,98 0,15 13 1,23 0,06 1,68-0,25 14 1,85 0,37 1,70-0,15 15 1,86 0,42 2,00 0,74 11 3,79 0,90 2,46 1,05 16 2,70 1,00 2,05 0,11 17 1,92 0,71 2,15 0,48 Tab. 3.14 Posuny v ose X na stan. S4 S4 Posun v ose X [mm] Bod 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 22-0,21 2,08-0,53 1,27 23-0,29 1,69-0,64 1,28 24-0,47 1,84-0,35 0,92 25-0,02 0,92-0,47-0,10 21 2,01 4,65 1,38 4,08 26 0,25 1,91 0,17 1,42 27 0,94 2,28 0,84 0,74 4,0 3,0 2,0 25 20 ΔX [mm] 1,0 15 0,0 10 0. et 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. -1,0 5-2,0 T [ C] ΔX T -3,0 0 Obr. 3.3 Závislost posunu v ose X na teplotě na bodě 11 29

3. Etapová měření Na obrázku 3.3 je patrná vzájemná závislost teploty a velikosti posunu při měřeních provedených na bod číslo 11, přestože směrnice regresních přímek jsou trochu rozdílnější než v případě posunů v ose Y. Vrchol severní věže se s rostoucí teplotou posouvá směrem k jihu. Situace při měření na bod číslo 21 je zobrazena na obrázku 3.4. V tomto případě se velikost posunů ve směru záporné osy X, tedy ve směru k severu, zvětšuje s rostoucí teplotou vzduchu. Teplota vzduchu ovšem nemusí odpovídat teplotě jednotlivých stěn věže. 5,0 25 4,0 3,0 20 ΔX [mm] 2,0 1,0 15 10 T [ C] ΔX T 0,0 0. et 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 5-1,0-2,0 0 Obr. 3.4 Závislost posunu v ose X na teplotě na bodě 21 3.4.3 Posuny v souřadnici Z Výška bodů se vypočte (3.73) skutečné chyby se určí derivaci dle proměnných (3.74) Výška bodu číslo 54 je považována za neměnnou, proto se ve výpočtech skutečných chyb neobjevuje. Umocněním se přejde na směrodatné odchylky (3.75) Předpokládá se stejná přesnost měřených zenitových úhlů a délek, proto a. Dosazením se výraz zjednoduší (3.76) 30

3. Etapová měření po odmocnění a dosazení se spočte směrodatná odchylka určení souřadnice Z (3.77) Vynásobením odmocninou ze dvou a koeficientem spolehlivosti u p se určí mezní hodnota pro posun v ose Z (3.78) Posuny ve výšce byly prokázány pro některé body měřené v první etapě. To by odpovídalo rozdílným podmínkám panujícím v době měření, při měření první etapy byla teplota vzduchu o 12 C vyšší než při měření nulté etapy. V ostatních etapách nebyly žádné posuny spolehlivě prokázány. Naměřené velikosti posunů pro všechny body v ose Z jsou uvedeny v tabulkách 3.15 a 3.16. Pokud by k určení mezního posunu byla použita směrodatná odchylka délkového měření určená z měřených dat, tak by se hodnota mezního posunu změnila na (3.79) Porovnáním s touto hodnotou byla prokázána většina posunů v první etapě na obou stanoviscích, další posuny byly potvrzené na třech bodech měřených ze stanoviska S3 ve druhé etapě a na bodě číslo 26 ve čtvrté etapě. Takto prokázané posuny jsou značeny tlustě bez barevného zvýraznění. Tab. 3.15 Posuny v ose X na stan. S3 S3 Posun v ose Z [mm] Bod 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 12 2,55 0,65 0,61 0,59 13 1,05 0,22 0,30 0,23 14 1,98 1,04 0,63 0,24 15 0,89 0,05 0,13-0,35 11 2,97 1,30 1,02-0,22 16 1,28 0,47-0,12 0,19 17 1,22 1,18 0,52 0,83 Tab. 3.16 Posuny v ose X na stan. S4 S4 Posun v ose Z [mm] Bod 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 22 1,61 0,59 0,51 0,09 23 1,10 0,81 0,23 0,03 24 1,44 0,34 0,28-0,47 25 1,54 0,91 0,14-0,50 21 3,60 0,81 0,88-0,44 26 1,28-0,04-0,18-1,31 27 1,00-0,05-0,68-0,47 Na obrázcích 3.5 a 3.6 jsou znázorněny posuny v ose Z. Přestože v dalších etapách nebyly posuny s jistotou prokázány, lze na obrázcích sledovat závislost výšky bodů na teplotě. Tuto závislost potvrzují i směry regresních přímek, které jsou téměř rovnoběžné. 31

3. Etapová měření 4,0 3,0 2,0 25 20 ΔZ [mm] 1,0 15 0,0 10 0. et 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. -1,0 5-2,0 T [ C] ΔX T -3,0 0 Obr. 3.5 Závislost posunu v ose Z na teplotě na bodě 11 4,0 3,0 2,0 25 20 ΔZ [mm] 1,0 15 0,0 10 0. et 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. -1,0 5-2,0 T [ C] ΔX T -3,0 0 Obr. 3.6 Závislost posunu v ose Z na teplotě na bodě 21 32

4. Celodenní měření 4. Celodenní měření 4.1 Průběh měření Cílem celodenního měření je zjistit vliv oslunění na náklony jižní věže baziliky sv. Jiří. Měření probíhalo dne 26. 4. 2012 ze stanoviska S4 v hodinových intervalech od osmé hodiny ranní do sedmnácté hodiny večerní. Z naměřených veličin byly vypočteny relativní posuny vztažené k nulté etapě měřené v osm hodin. Měření vodorovných směrů, zenitových úhlů a šikmých délek ve dvou skupinách, jako u etapového měření, by bylo z časových důvodů nevhodné. Časová náročnost změření jedné etapy by přesáhla jednu hodinu, což byl zvolený interval mezi etapami. Proto bylo použito měření pouze v jedné skupině s dvojím cílením. Tím dojde ke snížení času nutného ke změření jedné etapy na polovinu. Díky dvojímu cílení na každý bod lze odhalit hrubé chyby, které by při měření bez dvojího cílení nemusely být odhaleny, například špatné zacílení na odrazný terč. Výsledky měření byly porovnány s měřením Ing. Lenky Mimrové, uskutečněným v rámci její diplomové práce, které proběhlo dne 22. 9. 2010. Z jejího měření mi byla poskytnuta měřená data v elektronické podobě. Ta jsem zpracoval a z nich jsem spočítal velikost posunů. Více informací o její diplomové práci v [5]. 4.2 Rozbory přesnosti pro vodorovné úhly 4.2.1 Rozbory přesnosti před měřením Jak již bylo řečeno, při celodenním měření se měří úhly a délky pouze v jedné skupině s dvojím cílením. Odvození přesnosti pro tento případ je stejné jako v kapitole 3.2.1. Přesnost vodorovného úhlu měřeného v jedné skupině s dvojím cílením je uvedena v rovnici číslo 3.12 (4.1) 4.2.2 Rozbory přesnosti při měření Při měření v jedné skupině není možné přesnost posuzovat dle rozborů přesnosti při měření odvozených pro etapová měření. Aby byla možnost určité kontroly v průběhu měření, sleduje se rozdíl mezi prvním a druhým cílením v první i druhé poloze. 33

4. Celodenní měření Určení mezního rozdílu vychází z přesnosti udávané výrobcem pro směr měřený v obou polohách dalekohledu, která je. Směrodatná odchylka jednoho cílení v jedné poloze dalekohledu je (4.2) Pro rozdíl dvou cílení platí (4.3) derivací se určí skutečné chyby (4.4) a umocněním se přejde na směrodatné odchylky (4.5) Předpokládá se stejná přesnost obou cílení, poté (4.6) a po odmocnění je směrodatná odchylka rozdílu dvou cílení (4.7) Hodnota mezního rozdílu se určí vynásobením směrodatné odchylky rozdílu dvou zacílení koeficientem spolehlivosti u p. I v tomto případě se volí koeficient u p = 2, proto (4.8) Pokud rozdíl mezi zacíleními překročí mezní hodnotu, měření je překontrolováno a případně opraveno. 4.2.3 Rozbory přesnosti po měření Přesnost celodenního měření lze určit pomocí velikostí jednotlivých uzávěrů. Uzávěr je rozdíl dvou naměřených směrů na zvolený počáteční bod, měří se na něj na začátku a na konci měření v každé poloze. Přesnost jeho určení je stejná jako u ostatních úhlů, která je uvedená ve vzorci 4.1, tedy. Mezní velikost uzávěru se spočte vynásobením směrodatné odchylky koeficientem pravděpodobnosti u p (4.9) 34

4. Celodenní měření K překročení této hodnoty nedošlo v žádné z etap. Vypočtené velikosti uzávěrů pro všechny etapy, změřené teploty vzduchu a časy začátku měření etap jsou uvedeny v tabulce 4.1. Tab. 4.1 Uzávěry a teploty pro jednotlivé etapy celodenní měření 26. 4. 2012 Etapa Čas Teplota Uzávěr Etapa Čas Teplota Uzávěr 0. 8 hod 11,6 C 0,08 mgon 5. 13 hod 23,8 C 0,08 mgon 1. 9 hod 12,1 C -0,15 mgon 6. 14 hod 23,5 C 0,25 mgon 2. 10 hod 14,0 C 0,10 mgon 7. 15 hod 23,3 C 0,15 mgon 3. 11 hod 17,4 C 0,18 mgon 8. 16 hod 23,5 C 0,13 mgon 4. 12 hod 21,8 C 0,15 mgon 9. 17 hod 23,4 C -0,38 mgon Druhou možností, jak určit přesnost měření vodorovných úhlů, je spočtením směrodatných odchylek měření na vztažné body 54, 55 a 56. U těchto bodů se předpokládá neměnnost jejich polohy. Přesto lze v tabulce 4.2 pozorovat drobnou změnu ve velikosti měřeného úhlu na body 55 a 56, která může naznačovat jejich posun. Ten pravděpodobně vznikl kvůli postupnému ohříváním fasády baziliky. Tab. 4.2 Vodorovné úhly měřené na vztažné body a jejich opravy od průměru Bod 55 56 54 Etapa ω [gon] v i [mgon] ω [gon] v i [mgon] ω [gon] v i [mgon] 0. 10,16165 0,59 29,43773 0,42 0,00007-0,02 1. 10,16223 0,01 29,43785 0,30-0,00015 0,21 2. 10,16245-0,21 29,43803 0,12 0,00010-0,04 3. 10,16223 0,01 29,43815 0,00 0,00017-0,12 4. 10,16223 0,01 29,43833-0,18 0,00015-0,09 5. 10,16218 0,06 29,43828-0,13 0,00007-0,02 6. 10,16228-0,04 29,43820-0,05 0,00025-0,19 7. 10,16265-0,41 29,43838-0,23 0,00015-0,09 8. 10,16228-0,04 29,43840-0,25 0,00013-0,07 9. 10,16223 0,01 29,43815 0,00-0,00038 0,43 Průměr 10,16224 29,43815 0,00006 Z oprav, spočtených rozdílem mezi velikostí měřeného a průměrného úhlu, se vypočte směrodatná odchylka vodorovného úhlu měřeného na daný bod Mezní směrodatná odchylka vodorovného úhlu se spočte (4.10) (4.11) 35

4. Celodenní měření V tabulce 4.3 je uvedeno porovnání mezních a směrodatných odchylek pro měřené vodorovné úhly na vztažné body. Je patrné, že požadavky na přesnost měření vodorovných úhlů byly při celodenním měření splněny. Tab. 4.3 Porovnání směrodatných a mezních směr. odchylek pro vodorovné úhly Bod s [mgon] s mez [mgon] Splňuje 55 0,25 ANO 56 0,22 0,44 ANO 54 0,18 ANO 4.3 Rozbory přesnosti pro zenitové úhly Zenitové úhly se také měří v jedné skupině, proto se použije směrodatná odchylka určená v rozborech přesnosti v rámci etapového měření ve vzorci 3.36, kde (4.12) Rozbory přesnosti při měření jsou shodné s rozbory pro vodorovné úhly uvedenými v kapitole 4.2.2. Mezní hodnota rozdílu dvou cílení je (4.13) Přesnost zenitového měření se také určí z měření na vztažné body. Vypočte se průměrný zenitový úhel pro každý bod, z rozdílu jednotlivých naměřených úhlů od průměrného se vypočtou opravy. Zenitové úhly a opravy od průměru jsou uvedeny v tabulce 4.4. Směrodatná odchylka měření zenitových úhlů na daný bod se spočte (4.14) Tab. 4.4 Zenitové úhly měřené na vztažné body a jejich opravy od průměru Bod 54 55 56 54 Etapa ξ [gon] v i [mgon] ξ [gon] v i [mgon] ξ [gon] v i [mgon] ξ [gon] v i [mgon] 0. 98,80190 0,60 99,01168 0,31 99,02270 0,18 98,80193 0,44 1. 98,80260-0,10 99,01153 0,46 99,02263 0,26 98,80233 0,05 2. 98,80273-0,23 99,01188 0,11 99,02313-0,24 98,80293-0,56 3. 98,80288-0,38 99,01263-0,64 99,02313-0,24 98,80278-0,41 4. 98,80245 0,05 99,01203-0,04 99,02283 0,06 98,80223 0,14 5. 98,80225 0,25 99,01198 0,01 99,02303-0,14 98,80215 0,22 6. 98,80263-0,13 99,01248-0,49 99,02290-0,02 98,80228 0,09 7. 98,80243 0,07 99,01185 0,14 99,02285 0,03 98,80228 0,09 8. 98,80248 0,02 99,01208-0,09 99,02325-0,37 98,80235 0,02 9. 98,80265-0,15 99,01178 0,21 99,02240 0,48 98,80248-0,11 Průměr 98,80250 99,01199 99,02288 98,80237 36

4. Celodenní měření Mezní směrodatná odchylka pro zenitové úhly se vypočte (4.15) V tabulce 4.5 je srovnání směrodatné a mezní odchylky pro zenitové úhly. V případě měření na bod 55 byla mezní směrodatná odchylka překročena, a to o tři setiny miligonu. Toto překročení může být způsobeno posunem či zkroucením stativu v průběhu dne, k čemuž mohlo dojít i přes jeho stínění slunečníkem. U vodorovných úhlů se malé posuny hlavy stativu, které ovlivní velikosti měřeného úhlu, mohou částečně vyrušit redukcí směrů na počátek. U zenitových úhlů se ale jakákoliv změna výšky hlavy stativu projeví ve změně velikosti úhlu. Tab. 4.5 Porovnání směrodatných a mezních směr. odchylek pro zenitové úhly Bod s [mgon] s mez [mgon] Splňuje 54 0,27 ANO 55 0,34 NE 0,31 56 0,26 ANO 54 0,29 ANO 4.4 Výsledky celodenního měření 4.4.1 Očekávaná přesnost posunů Vzorce pro výpočet mezních posunů odvozené v kapitole 3.4 se použijí ve stejné podobě, avšak dosazované veličiny se změní v závislosti na jiných hodnotách určených v rozborech přesnosti před měřením pro celodenní měření. Protože se při celodenním měření nehýbe se stativem, neuvažuje se vliv chyby z centrace. Tab. 4.6 Průměrné hodnoty měřených veličin a jejich směrodatné odchylky ω si ξ si d' si σ ω σ ξ σ d 20 gon 85 gon 100 m 0,3 mgon 0,21 mgon 1 mm Dosazením hodnot z tabulky 4.6 se spočtou směrodatné odchylky souřadnic bodů pro celodenní měření (4.16) (4.17) (4.18) 37

4. Celodenní měření Směrodatné odchylky posunů se spočítají (4.19) a jejich vynásobením koeficientem spolehlivosti u p se vypočtou mezní hodnoty pro posun v souřadnicích (4.20) (4.21) (4.22) 4.4.2 Zhodnocení velikosti posunů Průkazné posuny jsou převážně na bodě číslo 21 ve směru osy X, po jednom posunu bylo zaznamenáno v souřadnici Y a Z. Další dva posuny jsou na bodě číslo 26 v souřadnici X. Posuny na ostatních bodech v průběhu dne nepřekročily mezní odchylku, jejich velikosti jsou uvedeny v tabulkách přiložených ke grafům s jejich vyobrazením v přílohách. Podobně jako u etapových měření lze pro hodnocení posunů použít směrodatnou odchylku délkového měření spočtenou z vodorovných délek měřených na vztažné body. Její průměrná velikost je, je tedy o trochu vyšší než při etapových měřeních. V průběhu celodenního měření není s přístrojem manipulováno, a tak se vliv chyby z centrace neuvažuje. Pro posun ve směru osy Y se z výše uvedených vztahů spočte mezní velikosti posunu (4.23) Porovnáním vypočtených posunů s touto mezní odchylkou dojde k prokázání dvou posunů na bodech číslo 22 a 27 a také tří dalších posunů na bodě číslo 21. Posuny prokázané porovnáním s těmito mezními odchylkami jsou značeny tlustě bez barevného zvýraznění. Směrodatnou odchylku délkového měření posunu ve směru osy Z lze použít i pro výpočet mezního (4.24) Ani při porovnání s touto hodnotou se nepodařilo prokázat další posun na žádném ze sledovaných bodů. 38

4. Celodenní měření Změna velikosti posunů bude ukázána na změnách souřadnic bodu číslo 21, který je umístěn na kříži na vrcholu věže. Na tomto bodě se posuny způsobené vlivem oslunění věže logicky projevují nejvýrazněji. Tab. 4.7 Posuny určené na bodě 21 při celodenním měření 26. 4. 2012 Čas 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 0,00 0,56 0,34 1,55 0,40-0,74-0,90-2,13-2,75-3,06 ΔX [mm] 0,00-0,17-1,53-2,32-3,11-3,79-4,42-3,95-3,74-2,98 ΔZ [mm] 0,00-0,93-1,81-1,08-0,37 0,15-0,13 0,78 0,50 0,18-9 -8 ΔX [mm] - sever ΔX [mm] - sever -9-8 1415-7 -7-6 -6 12-5 -4 14 13-3 15 16 17 11-5 13-4 12-3 16 17 2 11 1 9 - západ 10 0 8-2 -1 0-1 -2 ΔX [mm] - jih 1 - východ -3-4 4 2 - západ 1-2 10-1 0-1 -2 90 8 ΔX [mm] - jih 1 - východ -3-4 Obr. 4.1 Posun bodu 21 26. 4. 2012 Obr. 4.2 Posun bodu 21 22. 9. 2010 Posuny bodu číslo 21 v průběhu dne vykazují postupný odklon od slunce. Ráno, kdy slunce svítí z jihovýchodního směru se bod posouvá směrem k severozápadu. Jak se slunce s postupujícím časem přesouvá přes jih k západu, vrchol věže se pohybuje přes sever směrem na severovýchod. Kdyby měření pokračovalo do setmění, nejspíše by byl patrný postupný návrat bodu číslo 21 do původní polohy určené ráno. Rozdílná velikost posunů určených měřeními dne 22. 9. 2010 a 26. 4. 2012 může být způsobena rozdílným úhlem, pod jakým slunce svítilo na věž, při podzimním měření bylo níže nad obzorem. Slunce na jaře a na podzim také vychází z trochu jiného 39

4. Celodenní měření místa. Teplotní podmínky panující při obou měřeních byly obdobné, velikost posunů by tedy neměla být ovlivněna rozdílnými teplotami. Při mém měření se v ranních hodinách objevil menší opar, díky kterému se věž nemusela dostatečně prohřát. 1,00 0,50 ΔZ [mm] 0,00-0,50-1,00-1,50 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 26.4.2012 22.9.2010-2,00-2,50-3,00 Čas [hod] Obr. 4.3 Změna výšky bodu 21 v čase Jak již bylo řečeno, z ostatních bodů se podařilo prokázat posuny jen na bodech číslo 23 a 26, a to pouze v jedné nebo dvou etapách. Na bodech číslo 22 a 27 překročily vždy dva posuny mezní hodnotu. Všechny ostatní posuny se pohybují v rámci přesnosti měření, grafické znázornění posunů na těchto bodech v průběhu dne nevykazuje ani určitou pravidelnou změnu polohy, jaká se vyskytuje na bodě číslo 21. Tato tendence postupného odklánění věže od slunce, kdy se v ranních a dopoledních hodinách věž naklání směrem na sever a ve večerních hodinách se začíná postupně vracet do své výchozí polohy, je patrnější v měření Ing. Lenky Mimrové. Jí naměřené posuny obecně dosahují větších velikostí, což může mít spojitost s rozdílnou roční dobou, ve které měření probíhala. Všechny grafy jsou barevně sjednoceny, červenou barvou jsou zobrazeny posuny vypočtené z mého měření, modrou barvou mají posuny z měření Ing. Lenky Mimrové. 40

Závěr Závěr V této bakalářské práci jsem posuzoval dosaženou přesnost měřených veličin při etapových měřeních. V první a druhé etapě na měření působily systematické vlivy, které způsobily nedodržení přesnosti u vodorovných úhlů. Po odstranění jejich vlivu byla očekávaná přesnost dodržena. Zenitové úhly nebyly těmito vlivy ovlivněny, očekávaná přesnost byla dodržena s výjimkou jednoho měření ve čtvrté etapě na stanovisku S3. Z grafických výsledků etapových měření je patrná závislost velikosti posunů na teplotě vzduchu. Většina prokázaných posunů se vyskytuje v etapách, ve kterých se podmínky při měření výrazně lišily od podmínek panujících při měření nulté etapy. Proto nelze potvrdit žádné trvalé náklony, ke kterým by došlo od počátku sledování obou věží ze stanovisek S3 a S4. Pouze je možné konstatovat, že velikost naměřeného posunu je závislá na teplotě. Celodenním měřením provedeném dne 26. 4. 2012 byl prokázán vliv teploty a oslunění na pohyb věže během jednoho dne. Z grafu pro bod umístěný na vrcholu věže je patrný jeho postupný odklon od směru, ze kterého svítí slunce. Posuny na ostatních bodech jsou v průběhu dne neprůkazné, jejich velikost se pohybuje v rámci přesnosti měření. V porovnání s měřením Ing. Lenky Mimrové jsou naměřené posuny přibližně poloviční, což může mít spojitost s rozdílným ročním obdobím, ve kterém byla měření prováděna. Proto by při určování velikosti posunů mělo být uvažováno i roční období vzhledem k postavení Slunce na obloze, a tedy i úhlu, pod kterým dopadají sluneční paprsky na věž. Přesto lze, zejména z posunů určených na bodě číslo 21, potvrdit závislost velikosti a směru posunu na teplotě a směru slunečního osvitu. 41

Seznam literatury Seznam literatury [1] MERHAUTOVÁ-LIVOROVÁ, Anežka. Bazilika sv. Jiří na Pražském hradě. 1. vyd. Praha: Odeon, 1972, 71 s. Umělecké poklady; sv. 11. ISBN 01-506-72. [2] BORKOVSKÝ, Ivan. Svatojiřská bazilika a klášter na Pražském hradě. 1. vyd. Praha: Academia, 1975, 162 s. [3] RATIBORSKÝ, Jan. Geodézie 10. 2. vyd. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 2007, 234 s. ISBN 978-80-01-03332-6. [4] BAJER, Milan a PROCHÁZKA, Jaromír. Inženýrská geodézie: návody ke cvičením. Vyd. 2. Praha: Nakladatelství ČVUT, 2008, 192 s. ISBN 978-80-01-03923- 6. [5] MIMROVÁ, Lenka. Zhodnocení posunů a přetvoření věží baziliky sv. Jiří na Pražském hradě. Praha, 2011, 115 s. Diplomová práce na Stavební fakultě ČVUT na katedře speciální geodézie. Vedoucí diplomové práce Doc. Ing. Jaromír Procházka, CSc [6] PROCHÁZKA, Jaromír a kol. Stabilita historických objektů. Vyd. 1. Praha: České vysoké učení technické v Praze, 2011, 229 s. ISBN 978-80-01-04776-7. 42

Přílohy Přílohy Přesnost etapového měření Vodorovné úhly Tab. 1 Hodnocení přesnosti vodorovných úhlů 0. etapa, stanovisko S3 Bod 1. skupina [gon] 2. skupina [gon] Průměr [gon] Rozdíl [mgon] 12 5,39417 5,39345 5,39381 0,72 13 5,48545 5,48410 5,48478 1,35 14 5,64145 5,64047 5,64096 0,98 15 5,75908 5,75815 5,75861 0,92 11 7,11377 7,11337 7,11357 0,40 16 8,95783 8,95718 8,95750 0,65 17 9,06955 9,06875 9,06915 0,80 55 11,61178 11,61125 11,61151 0,53 56 30,74750 30,74625 30,74688 1,25 54 0,00015 0,00005 0,00010 0,10 Tab. 2 Hodnocení přesnosti vodorovných úhlů 0. etapa, stanovisko S4 Bod 1. skupina [gon] 2. skupina [gon] Průměr [gon] Rozdíl [mgon] 12 10,16268 10,16190 10,16229 0,78 13 22,55693 22,55675 22,55684 0,17 14 22,55720 22,55710 22,55715 0,10 15 22,81323 22,81225 22,81274 0,98 11 22,77288 22,77205 22,77246 0,83 16 24,54553 24,54445 24,54499 1,08 17 26,66685 26,66630 26,66658 0,55 55 26,66063 26,66003 26,66033 0,60 56 29,43850 29,43720 29,43785 1,30 54 0,00110 0,00002 0,00056 1,08 Tab. 3 Hodnocení přesnosti vodorovných úhlů 1. etapa, stanovisko S3 Bod 1. skupina [gon] 2. skupina [gon] Průměr [gon] Rozdíl [mgon] 12 5,39513 5,39523 5,39518-0,10 13 5,48535 5,48575 5,48555-0,40 14 5,64190 5,64263 5,64226-0,72 15 5,75968 5,76005 5,75986-0,37 11 7,11613 7,11645 7,11629-0,32 16 8,95885 8,96003 8,95944-1,17 17 9,06945 9,07133 9,07039-1,87 55 11,61158 11,61330 11,61244-1,72 56 30,74785 30,74945 30,74865-1,60 54 399,99918 0,00078 399,99998-1,60 43