2.2. Homogenní binární relace

Podobné dokumenty
Markl: 2.1.Korespondence a zobrazení /ras21.doc/ Strana 1

2.4. Relace typu uspořádání

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Matematická analýza 1

Aritmetika s didaktikou I.

Princip rozšíření a operace s fuzzy čísly

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík

Teorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace

3. Algebraické systémy

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Relace. R, S vyjmenovaním prvků. Sestrojte grafy relací R, S. Určete relace

Fuzzy množiny, Fuzzy inference system. Libor Žák

Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019

Množiny, relace, zobrazení

RELACE, OPERACE. Relace

Výroková a predikátová logika - VII

Výroková a predikátová logika - VI

Množina je nejdůležitější matematický pojem, na kterém stojí veškeré další matematické pojmy.

Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.

Pojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Přijímací zkouška - matematika

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

M M. Je-li ρ M 2 relace, pak vztah (x, y) ρ zapisujeme x ρ y.

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016

Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

Vlastnosti regulárních jazyků

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se

Kapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu.

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Algebra Struktury s jednou operací

Definice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí. x y = 1, x y = 0.

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

Matematická analýza pro informatiky I.

3 Množiny, Relace a Funkce

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Úlohy k procvičování textu o svazech

I) Příklady (převeďte následující věty do formulí PL1 a ověřte jejich ekvivalenci pomocí de Morganových zákonů):

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík. Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008.

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.

PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů

ÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

Výroková a predikátová logika - II

Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy

MIDTERM D. Příjmení a jméno:

1. Množiny, zobrazení, relace

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014

0. Množiny, relace a zobrazení

Relace a kongruence modulo

ORIENTOVANÉ GRAFY, REPREZENTACE GRAFŮ

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diskrétní matematika. študenti MFF 15. augusta 2008

Výroková a predikátová logika - X

Bakalářská matematika I

5 Orientované grafy, Toky v sítích

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016

Co je to univerzální algebra?

Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}.

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Pravděpodobnost a její vlastnosti

Svazy. Jan Paseka. Masarykova univerzita Brno. Svazy p.1/37

1 Topologie roviny a prostoru

11 Vzdálenost podprostorů

19 Eukleidovský bodový prostor

Automaty a gramatiky(bi-aag) Motivace. 1. Základní pojmy. 2 domácí úkoly po 6 bodech 3 testy za bodů celkem 40 bodů

4 Pojem grafu, ve zkratce

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.

Obsah. Množiny (opakování) Relace a zobrazení (opakování) Relace Binární relace na množině Zobrazení Rozklady, ekvivalence Uspořádání

1 Lineární prostory a podprostory

Uzavřené a otevřené množiny

2. přednáška 8. října 2007

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Relační datový model. Integritní omezení. Normální formy Návrh IS. funkční závislosti multizávislosti inkluzní závislosti

Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce

10 Funkce více proměnných

Matematická analýza III.

MATEMATIKA I. Marcela Rabasová

Základy teorie množin

Cvičení 1. Úvod do teoretické informatiky(2014/2015) cvičení 1 1

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno

Základy teorie množin

Výroková a predikátová logika - VII

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování

1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení

Transkript:

Markl: 2.2.Homogenní binární relace /ras22.doc/ Strana 1 2.2. Homogenní binární relace Definice 2.2.1: Binární relace v /na/ množině X je podmnožina ρ druhé kartézské mocniny množiny X, tj. ρ X X, neboli ρ X 2. Poznámky 2.2.1: 1. Tématem této kapitoly je relační systém <{X},{ρ }>, neboli, zjednodušeně zapsáno, <X,ρ >. Jelikož předpokládáme implicitní zadání nosiče X, hovoříme pouze o r elaci ρ. 2. Homogenní binární relace /tj. binární relace na množině/ je speciální m případem obecné korespondence /heterogenní binární relace/ a platí te dy o ní vše, co o korespondenci. Definice operací inverze a kompozice a vlastnosti těchto operací se přenášejí beze změny. 3. Každou nehomogenní binární relaci <X,Y,ρ > lze převést na homogenní binární relaci <Z,Z,σ> takto: Z=X Y, ( x,y Z)[xσy x X y Y xρy] /Příklad: X,Y,Z jsou po řadě množinami žen, mužů, lidí a ρ,σ relacemi "x je manželka y"/ 4. Triviální binární relace na množině X: ω=... prázdná relace ι=x X=X 2... úplná relace δ={<x,x>: x X}... identická /diagonální/ relace Pro všechny relace ρ platí: δoρ = ρoδ = ρ ωoρ = ρoω = ω 5. Booleovské operace s binárními relacemi: x(ρ σ)y xρy xσy x(ρ σ)y xρy xσy xρay xρy 6. Binární relace na konečné množině lze reprezentovat orientovanými gra fy podle následujícího pravidla: xρy (z uzlu x do uzlu y vede orientovaná hrana). Teorii orientovaných grafů lze považovat za teorii konečných binárních relací, teorii neorientovaných grafů za teorii konečných symetrických b inárních relací /homogenních/. Věta 2.2.1: Neche ρ,σ,τ jsou libovolné binární relace na téže množině X. Potom platí: (1) (ρ σ)oτ = (ρoτ) (σoτ) (2) ρo(σ τ) = (ρoσ) (ρoτ) (3) (ρ σ)oτ = (ρoτ) (σoτ)

Markl: 2.2.Homogenní binární relace /ras22.doc/ Strana 2 (4) ρo(σ τ) = (ρoσ) (ρoτ) (5) (ρ σ) -1 = ρ -1 σ -1 (6) (ρ σ) -1 = ρ -1 σ -1 (7) (ρoσ) -1 = σ -1 oρ -1 (8) ρ σ (ρoτ) (σoτ) (9) ρ σ (τoρ) (τoσ) Důkazy /ukázky/: (2) 1. x(ρo(σ τ))y levá strana 2. ( z)[xρz z(σ τ)y] definice o: 1 3. ( z)[xρz (zσy zτy)] definice : 2 4. ( z)[(xρz zσy) (xρz zτy)] p (q r) p q p r: 3 5. ( z)[xρz zσy] ( z)[xρz zτy] z[p q] zp zq: 4 6. x(ρoσ)y x(ρoτ)y definice o: 5 7. x((ρoσ) (ρoτ))y definice :6, pravá strana (7) 1. x(ρoσ) -1 y levá strana 2. y(ρoσ)x definice -1 : 1 3. ( z)[yρz zσx] definice o: 2 4. ( z)[zρ -1 y xσ -1 z] definice -1 : 3 5. ( z)[xσ -1 z zρ -1 y] p q q p: 4 6. x(σ -1 oρ -1) y definice o:5, pravá strana (9) 1. ρ σ předpoklad 2. xρy xσy přepis: 1 3. x(τoρ)y předpoklad 4. ( z)[xτz zρy] definice o: 3 5. ( z)[xτz zσy] (p r) (q p q r): 2,4 6. x(τoσ)y definice o: 5 Definice 2.2.2: Celočíselná mocnina binární relace ρ je definována /pomocí diagonální relace, operace kompozice a operace inver ze/ induktivně takto: ρ 0 =δ ρ k =ρoρ k-1, k=1,2,... ρ -k =(ρ k ) -1 Poznámky 2.2.2: 1. Je-li relace ρ na konečné množině zobrazena orientovaným grafem /jeho diagramem/, pak: xρ k y značí, že existuje orientovaná cesta délky k z uzlu x do uzlu y, xρ -k y značí, že existuje orientovaná cesta délky k z uzlu y do uzlu x. 2. Příklad: Neche xρy značí "x je rodič y" Potom: xρ 2 y... značí "x je prarodič y" xρ 3 y... značí "x je praprarodič y" xρ -1 y... značí "x je dítě y" xρ -2 y... značí "x je potomek v 2.pokolení y" Definice 2.2.3:

Markl: 2.2.Homogenní binární relace /ras22.doc/ Strana 3 Direktní součin relací ρ a σ definovaných na množině X je relace ρ σ definovaná na množině X 2 =X X takto: <x 1,x 2 >(ρ σ)<y 1,y 2 > x 1 ρy 1 x 2 σy 2. Obecněji direktní součin n relací ρ 1,ρ 2,...,ρ n definovaných na množině X je relace ρ 1 ρ 2... ρ n definovaná na množině Xn =X X... X takto: <x 1,x 2,...,x n >(ρ 1 ρ 2... ρ n )<y 1,y 2,...,y n > x 1 ρ 1 y 1 x 2 ρ 2 y 2... x n ρ n y n Je-li speciálně ρ 1 =ρ 2 =...=ρ n =ρ, pak hovoříme o n-té direktní mocnině relace ρ. Poznámky 2.2.3: 1. Zatímco množinové operace /sjednocení, průnik, komplement, rozdíl, sy metrický rozdíl,.../ a operace kompozice a inverze /a z nich odvozená op erace mocniny/ s binárními operacemi na množině X vedou opět k binárním relacím na téže množině X, operace direktního součinu /a direktní mocnin y/ vedou k operacím s novým nosičem: místo nosiče X má nová relace nosič X n =X X... X. 2. Příklad: Je-li nosičem množina reálných čísel a označují-li symboly =,< relace rovnosti a uspořádání na této množině, pak n-té direktní mocni ny těchto relací jsou relace rovnosti a uspořádání /částečného/ na množi ně všech n-rozměrných reálných vektorů. Definice 2.2.4: Binární relace ρ na množině X se nazývá..., jestliže pro všechna x,y,z X platí: reflexivní /RE/: xρx ireflexivní /IR/: xρx symetrická /SY/: xρy yρx asymetrická /AS/: xρy yρx antisymetrická /AN/: xρy yρx x=y tranzitivní /TR/: xρy yρz xρz souvislá /SO/: xρy yρx x=y univalentní /FU/: xρy xρz y=z Poznámky 2.2.4: 1. Binární relace, se kterými se v praxi nejčastěji setkáváme, jsou větš inou charakterizovány určitou kombinací výše uvedených tzv. základních v lastností. Tak např. relace typu ekvivalence je relace, která je současn ě RE,SY,TR, nebo relace typu uspořádání /částečného, neostrého/ je relac e, která je současně RE,AN,TR. Relace s vlastnostmi RE,TR se nazývá kvaz iuspořádáním nebo tolerancí či předuspořádáním /preorder/. 2. Základní vlastnosti binárních relací byly definovany formulemi predik átové logiky. Rovnocenným způsobem lze je také definovat pomocí množinov ých vztahů: reflexivita /RE/: δ ρ, nebo δ ρ=ρ, nebo δ ρ=δ ireflexivita /IR/: ρ δa, nebo ρ δa=δa, nebo ρ δa=ρ symetrie /SY/: ρ=ρ -1 asymetrie /AS/: ρ ρ -1 =ω antisymetrie /AN/: ρ ρ -1 =δ

Markl: 2.2.Homogenní binární relace /ras22.doc/ Strana 4 3. tranzitivita /TR/: ρoρ ρ souvislost /SO/: ρ ρ -1 δ=ι Na obr.2.2.1 jsou zobrazeny základní vlastnosti RE,SY,TR pomocí grafo vých diagramů. x x y x z y Reflexivita Symetrie Tranzitivita Obr.2.2.1. Základní vlastnosti homogenních binárních relací 4. Základní vlastnosti vyjmenované v definici 2.2.4 nejsou nezávislé jak uk azuje následující věta 2.2.2. Ne všechny kombinace základních vlastností jsou tedy možné. Věta 2.2.2: (1) Relace ρ je asymetrická relace ρ je ireflexivní. (2) Relace ρ je asymetrická relace ρ je antisymetrická. (3) Relace ρ je souvislá relace ρa je antisymetrická. Důkaz: Ad (1): 1. xρy yρx předpoklad /asymetrie/ 2. xρx xρx substituce y/x: 1 3. xρx jinak by 2. neplatilo /ireflexivita/ Ad (2): 1. xρy yρx předpoklad /asymetrie/ 2. xρy yρx VI: 1 3. (xρy yρx) de Morgan: 2 4. xρy yρx x=y neboe xρy yρx neplatí - 3 /antisym./ Ad (3): 1. xρy yρx x=y předpoklad /souvislost/ 2. (xρy yρx) x=y ZI: 1 3. xρy yρx x=y De Morgan: 2 4. xρay yρax x=y definice a: 3 /antisymetrie ρa/ Věta 2.2.3: Pro všechny zákl. vlastnosti RE,IR,SY,AS,AN,TR,SO homogenních binární ch relací platí: (1) Vlastnosti jsou dědičné, tj.jejich platnost se přenáší z dané relace na každé její zúžení. (2) Má-li relace danou vlastnost, pak ji má i relace k ní inverzní. (3) Mají-li dvě relace určitou vlastnost, pak tuto vlastnost má i jejich průnik. Důkaz: Ad (1): Proměnné v definičních formulích základních vlastností /definice 2.2.4/ jsou všechny obecně kvantifikovány. Formule musí proto zůstat v platnosti i při libovolném zúžení relace. Dědičnými proto např. nejsou negace základních vlastností, např. vlastnost relace nebýt reflexivní, nebýt symetrickou a pod. Ad (2): Důkaz tvrzení např. pro vlastnost tranzitivity: 1. xρy yρz xρz 2. yρ -1 x zρ -1 y zρ -1 x 3. zρ -1 y yρ -1 x zρ -1 x

Markl: 2.2.Homogenní binární relace /ras22.doc/ Strana 5 Ad (3): Důkaz tvrzení např. pro vlastnost symetrie: 1. (xρy yρx) (xσy yσx) 2. (xρy xσy) (yρx yσx) 3. x(ρ σ)y y(ρ σ)x Definice 2.2.5: Uzávěr relace je nejmenší nadrelace této relace, která má určitou vla stnost charakteristickou pro daný druh uzávěru.. Reflexivní uzávěr relace ρ je nejmenší relace, která relaci ρ obsahuje a současně je reflexivní. Tento uzávěr označíme ρ. Symetrický uzávěr /symetrizace/ relace ρ je nejmenší relace, která relaci ρ obsahuje a současně je symetrická. Tento uzávěr označíme ρ. Tranzitivní uzávěr relace ρ je nejmenší relace, která relaci ρ obsahuje a současně je tranzitivní. Tento uzávěr označíme ρ +. Reflexivně-tranzitivní uzávěr relace ρ je nejmenší relace, která relaci ρ obsahuje a současně je reflexivní i tranzitivní. Tento uzávěr označíme ρ *. Věta 2.2.4: (1) Reflexivní uzávěr lze vyjádřit ve tvaru: ρ =ρ δ (2) Symetrický uzávěr lze vyjádřit ve tvaru: ρ =ρ ρ -1 (3) Tranzitivní uzávěr lze vyjádřit ve tvaru: ρ + =ρ ρ 2 ρ 3... (4) Refl.-tranzit. uzávěr lze vyjádřit ve tvaru: ρ * =δ ρ ρ 2 ρ 3... Důkaz: Ad (1): Triviální - vyplývá ihned z definice. Ad (2): Třeba dokázat: a) ρ je obsažena v ρ, b) ρ je symetrická, c) ρ je nejmenší relace s oběma vlastnostmi a),b). a) Z ρ =ρ ρ -1 vyplývá ρ ρ. b) Důkazem je následující řetězec rovností: xρ y=x(ρ ρ -1 )y=xρy xρ -1 y=yρx yρ -1 x=y(ρ ρ -1 )x=yρ x. c) Neche σ je libovolná symetrická relace obsahující relaci ρ, tj. ρ σ a σ=σ -1. Máme dokázat ρ σ. Důkazem je následující řetězec vztahů: ρ =ρ ρ -1 σ σ -1 =σ σ=σ /neboe je-li ρ σ, je také ρ -1 σ -1 /. Ad (3): Třeba dokázat a),b),c) podobně jako v předchozím bodě. a) ρ ρ + b) xρ + y yρ + z xρ m y yρ n z x(ρ m oρ n )z xρ m+n y xρ + z c) Neche σ je libovolná tranzitivní relace obsahující relaci ρ, Máme dokázat ρ + σ. Důkazem je následující řetězec inkluzí a rovností: ρ + =ρ ρ 2 ρ 3... σ σ 2 σ 3... σ σ σ... =σ Ad (4): Vyplývá ihned z (1) a (3). Poznámky 2.2.5: 1. Je-li relace ρ na konečné množině zobrazena orientovaným grafem /jeho diagramem/, pak:

Markl: 2.2.Homogenní binární relace /ras22.doc/ Strana 6 (1) Diagram reflexivního uzávěru ρ vznikne z diagramu relace ρ tak, že ke každému uzlu přidáme smyčku /hranu vedoucí do téhož uzlu/, pokud tato smyčka již v grafu neexistuje. (2) Diagram relace symetrického uzávěru ρ vznikne z diagramu relace ρ tak, že ke každé hraně připojíme opačně orientovanou hranu - pokud již v diagramu neexistuje. (3) Diagram tranzitivního uzávěru ρ + získáme z diagramu relace ρ tak, že diagram obohatíme o hrany spojující každý uzel se všemi uzly, které jsou z něho dosažitelné. (4) Diagram reflexivně-tranzitivního uzávěru ρ * vznikne z diagramu tranzitivního uzávěru ρ + doplněním diagramu o elementární smyčky ke každému uzlu u kterého neexistují. 2. Příklad. Je-li ρ relace "býti rodičem", pak tranzitivní uzávěr ρ + je relací "býti předkem". Je-li ρ relace "býti dítětem", pak tranzitivní uzávěr ρ + je relací "býti potomkem".