SKOŘEPINY Skořepiny jsou plošné konstrukce jejich tloušťka je mnohonásobně menší než zbývající dva rozměry jejich střednicová plocha je zakřivená Používají se jako nosné části konstrukcí ohraničující nějaký objem (báně, střechy, kapotáž) jako samostatné konstrukce s objemem (nádrže, potrubí, tlakové nádoby). Při daném zatížení vznikají po tloušťce skořepiny napětí, jejichž charakter a průběh je obdobný jako u stěn a desek. Integrací napětí po tloušťce skořepiny lze vyjádřit vnitřní síly vztažené ke střednicové ploše normálové síly, posouvající síly a ohybové momenty. y N x Ny M y M x Qy 0 Q x M xy M yx N N xy yx p z N yx M yx N xy Q y M xy M y Q x M x N y N x x z
Jedná se tedy opět o převedení výpočtu v trojrozměrném prostoru (3D) na úlohu v dvojrozměrném prostoru (2D). Na rozdíl od desek a stěn na element skořepiny působí všechny vnitřní síly, proto u skořepin mluvíme o tzv. deskostěnovém působení konstrukce. Napjatost skořepin Membránový stav napjatosti. - Vlivem tvaru skořepiny a také charakteru zatížení se v některých případech téměř na celé skořepině vliv ohybových momentů neuplatňuje (jsou nulové nebo zanedbatelně malé) - významných hodnot nabývají zejména normálové síly a částečně posouvající či smykové síly. Momentový stav napjatosti vlivem tvaru a charakteru zatížení se výrazně uplatňují ohybové momenty silně se uplatňují také posouvající síly a normálové síly
Rozdíl je zřejmý z definice vnitřních sil: - Při momentovém stavu napjatosti se normálová napětí (která jsou pro namáhání konstrukce nejvýznamnější) po tloušťce mění (se vzdáleností od střednicové plochy). - Při membránovém stavu napjatosti se normálová napětí po výšce nemění, jsou konstantní. V místě podepření skořepiny, tj. v okrajových řezech, dochází k porušení membránového stavu napjatosti a v hraniční oblasti vzniká momentový stav napjatosti. Ten se zpravidla s rostoucí vzdáleností od kraje rychle utlumí. Podobně dochází k lokálnímu porušení pouze membránové napjatosti vlivem defektů skořepiny (náhlá změna tloušťky v omezené oblasti, lokální zboulení) nebo při zatížení osamělými silami či momenty.
Membránová teorie a) Rotační skořepiny Tvar skořepiny vzniká rotací meridiánu kolem osy. Uplatňují se v řadě technických aplikací, např. nádrže, zásobníky, tlakové nádoby, kupole).
Rovnice pro výpočet vnitřních membránových sil se odvozují z podmínek rovnováhy na elementu skořepiny. p r r N r N rr p N r N r rn rr p N r N r rn 2 1 1 1 1 1 1 1 0 cos 0 cos V praktických úlohách se často vyskytuje osová symetrie zatížení (tlak plynu, vody apod.), takže úloha se zjednoduší a mluvíme o tzv. rotačně symetrické napjatosti. p r r N r N rr p N r rn d d 2 1 1 1 0 cos
Příklady rotačních skořepin: kupole tlaková nádoba nádrž Zvláštním případem rotačně symetrických skořepin jsou trouby s vnitřním (vnějším) přetlakem. Jsou tzv. cylindrické (válcové) skořepiny s uzavřeným průřezem. p N p N x r N pr
b) Skořepina libovolného tvaru Střednicová plocha je popsána v soustavě pravoúhlých souřadnic funkcí y x f z,. Rovnice pro řešení skořepiny se dostanou z rovnic rovnováhy sil na elementu: x xy x p y N x N y y xy p y N x N y z p x z p p y z N y x z N x z N y x z y xy x 2 2 2 2 2 2
Příklady eliptický paraboloid konoid hyperbolický paraboloid rotační hyperbolický paraboloid (část)
c) Ploché skořepiny Tvar skořepiny popsaný funkcí z f x, y je důležitý pro to, zda řešící rovnice složitý nebo jednodušší tvar. V technické praxi jsou významné tzv. ploché skořepiny, u nichž poměr vzepětí skořepiny k menšímu půdorysnému rozměru je menší než 1/5. Potom tvar rovnic pro vnitřní síly je jednodušší a řešení méně obtížné. Momentová teorie K narušení membránové napjatosti dochází vlivem zatížení a okrajových podmínek. Příklady: Částečné naplnění trouby tekutinou. V úrovni hladiny dochází k vzniku ohybových momentů.
Vznik ohybových momentů u válcové nádrže ve vetknutí stěny do dna. Uzavření tlakové válcové nádoby dnem ve tvaru kulového vrchlíku. Na spojení válce a vrchlíku vznikají ohybové momenty, které se ve větší vzdálenosti utlumí.
Momentová teorie opět byla rozpracována pro základní typy skořepin technické praxe. Řešení se zavedením fyzikálních rovnic převádí na řešení průhybu a posunutí bodů střednicové plochy (obdoba deskové a stěnové rovnice) a funkce napětí pro vyjádření membránových sil.
Příklad plochy se zápornou Gaussovou křivostí Plocha se zápornou Gaussovou křivostí
Odbavovací hala autobusového nádraří Hradec Králové
Opera v Sydney
Stabilita skořepinových konstrukcí Ztráta stability (zboulení) tenkostěnné skořepinové konstrukce: dojde vlivem zatížení v její stěně k nadměrnému tlakovému napětí dochází k přerozdělení rovnováhy v tlaku na rovnováhu v tlaku a ohybu, tzv. bifurkace rozdvojení rovnováhy tuhost membránová je mnohem větší než ohybová dochází k přeměně membránové energie napjatosti na společnou membránovou a ohybovou energii napjatosti vznikají výrazné deformace v podobě vln a výrazné snížení únosnosti Jsou popsány dva základní typy boulení - lineární, při kterém dochází v bifurkačním bodě k rozdvojení rovnováhy o skořepina se zdeformuje do nového tvaru, který odpovídá kritickému zatížení o úloha se převede na problém vlastních čísel nebo tvarů, kterým odpovídá pro nejmenší hodnotu kritické břemeno o kritická hodnota je pouze teoretická, v praxi jí nemůže být dosaženo a je korigována redukčním součinitelem
- nelineární kolaps (prolomení, snap-through) o namáhání je již zpočátku částečně membránové i momentové o tuhost skořepiny vlivem membránových tlakových sil klesá o po dosažení vrcholu se konstrukce prolomí B L bod bifurkace OAC rovnovážná křivka OB N1 D, OB N2 E sekundární křivky nového rovnovážného stavu Závislost posunutí na růstu zatížení skořepinové konstrukce
Příklady ztráty stability válcových zásobníků
Na hodnotu kritického zatížení má vliv geometrie skořepiny, použitý materiál, okrajové podmínky a také výrobní imperfekce nedokonalosti tvaru. Kritické hodnoty zatížení se zjišťují: - experimentálně - numerickou simulací Příklad stanovení kritického zatížení kuželové skořepiny (Ing. Doubravka Středová 2012) Experiment Zkušební zařízení Zkušební vzorek po experimentu
Numerická simulace metodou konečných prvků Numerické modely celého a komolého modelu
Zatěžovací analýza geometricky i materiálově nelineární analýza
Grafické výstupy Výsledná posunutí krok výpočtu 7 Výsledná posunutí krok výpočtu 12 Výsledná posunutí krok výpočtu 150 Výsledná posunutí krok výpočtu 250
Hodnotu kritického zatížení lze někdy zvýšit vyztužením skořepiny
Produktovody Tranzitní plynovody Základní napjatost kotlový vzorec vnitřní přetlak plymu p N p N x r N pr Napětí obvodové v troubě pr t Základní napjatost narušují další vlivy Výrobní imperfekce ovalita Korozní vady Chyby v uložení potrubní linie Sesuvné území
Nekruhovitost (ovalita) průřezu Ovalita průřezu má výrazný vliv na změnu stavu napětí a deformace v potrubí. Je definována vztahem: U D D 0 0 200 kde: 0 D D 0 U D D jeovalita v procentech je maximální průrůměprůrůřezu ubky je minimální průrůměprůrůřezu ubky Při experimentálních měřeních je obtížné ovalitu zkušebních tlakových nádob přesně měřit. Proto se úvahy o vlivu ovality obracejí k numerickým metodám. Základní předpoklad je, že průřez trubky má tvar elipsy. Pro malé ovality do 5% lze potom uvažovat ve výpočtu, že při stejném obvodu kružnice a elipsy jsou rozdíly velké a malé poloosy elipsy od poloměru kružnice stejné. Potom změna poloměru U. D U. r 400 200
Přídavné napětí od vyrovnání ovality ( tzn.od ohybového momentu, vyvolaného změnou křivosti průřezu trubky přechodem elipsy na kruh ) Et 2 21 2 8 12D kde pro vedlejší poloosu elipsy D D 2 2 2 8 12D pro hlavní poloosu elipsy D D 2 2 D D D / 2 je průměr střednice ideální trubky bez ovality. r je poloměr ideální trubky bez ovality t je tloušťka stěny potrubí
size of semiaxis [ mm ] stress f [MPa] 500 268 266 400 264 300 262 260 200 258 100 256 254 0 252 0 2 4 6 8 10-100 0 2 4 6 8 press of gas [ MPa ] press of gas [ MPa ] major semiaxis ( 2% ovality ) outer surface ( 2% ovality ) minor semiaxis ( 2% ovality ) inner surface ( 2% ovality ) major semiaxis ( 5% ovality ) outer surface ( 5% ovality ) minor semiaxis ( 5% ovality ) inner surface ( 5% ovality ) napětí dle kotlového vzorce Vyrovnávání délek poloos eliptického průřezu s růstem vnitřního tlaku plynu Maximální obvodové napětí y při růstu vnitřního tlaku do teoretického vyrovnání ovality
Řešení metodou konečných prvků Druhý způsob řešení napětí a deformací v prstenci zatíženém vnitřním přetlakem je pomocí metody konečných prvků. S využitím symetrie lze modelovat čtvrtinu prstence, nejlépe s použitím rovinného prvku popisujícího rovinnou deformaci. Pracovní diagram oceli trubky f426/6 mm Model prstence
radius of the pipe [mm] 257 256 255 254 253 Změna poloos eliptického průřezu trubky f426/6 mm s 2% ovalitou 252 251 0 2 4 6 8 10 press of gas [MPa] major semiaxis minor semiaxis
stress [MPa] 400 350 300 250 200 150 100 50 0-50 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 press of gas [MPa] outer surface inner surface membrane stress Změna obvodového napětí f ve vrcholu vedlejší poloosy eliptického průřezu trubky f426/6 mm při změně vnitřního přetlaku
Po odlehčení klesají napětí prakticky lineárně, dochází k přerozdělení deformací a napětí v celém objemu a po úplném odlehčení se projevují jako zbytková napětí v průřezu. Obr.9.8. Zbytkové napětí f ve stěně trubky f 426/6 mm po odlehčení Tato zbytková napětí mohou hrát příznivou roli při následném zatěžování, kdy závislost mezi vnitřním přetlakem a napětím je podstatně déle lineární, a v případě některých korozních vad, kdy zbytková napětí vyvolávají kolem nich sevření, která působí jako bariéry proti šíření trhlin.
Studie chování korozních důlků Důležitou součástí při posuzování únosnosti a zbytkové životnosti dlouhodobě provozovaných plynovodních potrubí je vyšetření účinků koroze. Korozní vady jsou velmi častou geometrickou imperfekcí, která ovlivňuje napjatost cylindrické skořepiny. Korozní poškození můžeme rozlišovat: samostatný korozní důlek - tvar obvodu je blízký kružnici blízké důlky - středy důlků jsou vzdáleny do 1,5 násobku průměru důlku plošná koroze - plošné rozměry vady jsou větší než 3 tloušťky skořepiny Model samostatného korozního důlku na trubce pro MKP.
Průběh obvodového napětí y = f kolem osamělého důlku.
4 4 coefficient k t 3,5 3 2,5 2 coefficient k t 3,5 3 2,5 2 1,5 1,5 1 1 0,5 0,5 0 0 20 40 60 80 0 0 20 40 60 80 coordinate z [ mm ] coordinate z [ mm ] v=4mm v=3mm v=2mm v=4mm v=3mm v=2mm Grafy průběhů koeficientů k t koncentrace obvodového napětí f pro osamělý důlek.
Vliv svaru na napětí ve stěně trubky Při tlakování plynovodní trubky se spirálovým svarem byl pozorován i pouhým okem vliv svaru na změnu tvaru. Trubka se jevila jako dlouhý nafouknutý dětský balónek ovinutý provázkem. Svar působí ztužujícím vlivem, který způsobuje, že v jeho okolí má příčný průřez trouby při zatížení vnitřním přetlakem menší průměr. Experimentální měření ukázala, že v těsné blízkosti dochází ke změně obvodového a podélného napětí v plášti trouby a k natáčení os hlavních napětí. Obtížné však je určit, jaký podíl má na těchto změnách vliv svaru a jaký podíl mají další vlivy, např. geometrické imperfekce ( ovalita, mírné lokální zvlnění ), vnitřní pnutí a pod. Pro vyhodnocení vlivu svaru se opět nabízí numerický výpočet metodou konečných prvků.
. Změna vydutí trubky v okolí svaru v podélném řezu Změna obvodového napětí f v okolí svaru
Plastická zóna na okraji svaru při přechodu svaru do základního materiálu
Uvedené příklady ukazují, že: Vlivem ovality se zvyšují napětí na obvodu trouby Ve stěně trouby zůstávají zbytková napětí při zplastizování některých částí průřezu Korozní důlky a jiné korozní vady způsobují koncentrace napětí, převyšující nominální napětí od vnitřního přetlaku. Také kolem svarů díky různé kvalitě materiálu dochází ke koncentraci napětí a prudké změně napjatosti v okolí svaru. Vlivem tlakování plynu dochází k cyklické změně úrovně tlaku a tím i ke změně napjatosti a ke změnám úrovně napětí. Zjištění rozkmitu napětí v koncentracích napětí slouží k posouzení vzniku a růstu trhlin a posouzení zbytkové životnosti plynovodu.