SeminářČSJ Odborná skupina statistické metody 19.1.2012 Praha
Kvalita měřicího procesu - Chyby měření a měřicích přístrojů Doc. Ing. Olga Tůmová, CSc. Tůmová 2
Murfyho zákony doporučují 1. měřit se nemá! 2. když už se měří, tak jen 1-krát!! 3. měří-li se víckrát, pak se výsledkům nedivit!!! 3
C h y b y měření a měřicích přístrojů 19.1.2012 Tůmová 4
Proč a jak měříme měřic icím zařízen zením a zvolenou metodou se na měřen eném objektu určuje uje velikost jisté veličiny iny vlivem zpětn tného působen sobení měřic icího zařízen zení na měřený objekt dochází ke změnám m poměrů v měřen eném objektu to má za následek, že e nelze měřen ením zjistit skutečnou hodnotu veličiny iny při každém reáln lném procesu dochází k chybám obecně platí požadavek, aby absolutní chyba co nejmenší 0! Poznámka: Z filologického hlediska se pochopitelně nejedná o chyby, ale o odchylky od skutečné hodnoty 19.1.2012 Tůmová 5
Rozdělen lení chyb podle příčin p vzniku chyby metody ( ( m, δ m ) většinou korigovatelné systematické chyby, vznikají vzájemným působen sobením měřic icího přístroje a měřen eného obvodu: a) zapojením přístroje do obvodu se připoj ipojí přídavný R, L nebo C (podle charakteru přístr str.) b) měřic icí přístroj koná v obvodu práci, proto odebírá energii z měřen eného signálu: spotřeba přístroje je udána výrobcem ve W, VA, W/V 19.1.2012 Tůmová 6
jsou dány vlastnostmi přístroj strojů, nedokonalostí jejích výroby i vlivem okolí: a) základn kladní chyby měřic icích ch přístroj strojů zahrnuty v třídě přesnosti; tj. maximáln lní možná chyba, pokud se přístroj používá podle pokynů a za podmínek udaných výrobcem (teplota, tlak, vlhkost vzduchu, cizí elmg. pole, poloha) b) přídavn davné chyby měřic icích ch přístroj strojů vznikají, pokud nejsou nebo nemohou být dodrženy podmínky stanovené výrobcem; tyto chyby mohou být i několikan kolikanásobn sobně větší než chyby základn kladní 19.1.2012 chyby měř m ěřic icích ch přístroj p strojů ( p, δ p ) Tůmová 7
chyby člen lenů měř ěřic icího obvodu jsou způsobeny nepřesnostmi esnostmi vyrovnání a kalibrace etalonů; pro velmi přesn esná měřen ení je udávána největší dovolená odchylka od jmenovité hodnoty chyby způsoben sobené rušivými vlivy jsou obtížně korigovatelné; (rušiv ivá napětí, C- nebo L- vazby, R- vodičů, atd.) 19.1.2012 Tůmová 8
chyby čten tení způsobeny pozorovatelem celkové chyby měř m ěřen ení jsou výsledkem větší šího počtu dílčích chyb 19.1.2012 Tůmová 9
Rozdělen lení chyb podle zdrojů chyby objektivní způsoben sobené objektivními příčinami chyby subjektivní zavin aviněné např. obsluhou 19.1.2012 Tůmová 10
Rozdělen lení chyb podle způsobu výskytu chyby systematické (soustavné) při opakování tého hož experimentu mají stále stejné znaménko nko na příslu slušné úrovni sledované veličiny iny způsobeny členy v měř ěřic icím řet etězci a měř ěřic icí metodou, např. spotřebou přístroj strojů, nepřesnost esností etalonů, vlivem frekvence, teploty apod. teoreticky lze eliminovat zavedením početn etních korekcí při zpracování výsledku měřen ení nebo úpravou měřic icího systému 19.1.2012 Tůmová 11
korigovatelné tehdy, známe me-li příčiny a zákonitosti jejich vzniku nebo pokud je můž ůžeme s jistou pravděpodobnost podobností určit kontrolním měř ěřen ením Např. (chyby aditivní,multiplikativn,multiplikativní,, linearity) Problém: v praxi mohou být značně velké, někdy nekorigovatelné > není-li k dispozici přesn esnější kontrolní měřen ení nebo teoretickým rozborem nelze určit příčiny systematické chyby. 19.1.2012 Tůmová 12
chyby náhodn n hodné (nahodilé) jejich příčiny neznáme a jejich vliv lze zmenšit jen opakovaným měřen ením za stejných podmínek Např. nepravidelné kolísání teploty, změna odporu vlivem oteplení vodičů průchodem proudu, chyba reverzibility apod. opakováním se metoda měřen ení nezpřesn esní, zpřesn esní se jen výsledek měřen ení při opakovaném měřen ení náhodn hodné chyby rozloženy při N-rozd rozdělen lení symetricky kolem skutečné (konvenční) hodnoty Poznámka: ve výjimečných případech padech mohou někter která opakovaná měřen ení mohou vykazovat i jiná rozdělen lení pravděpodobnosti podobnosti 19.1.2012 Tůmová 13
chyby hrubé (omyly) Příčiny: nesprávn vné měřen ení, (velká nepřesnost esnost nebo porucha měřic icího přístroje stroje) nebo selhání pozorovatele Dosáhnou někdy i velikosti, že e zcela zkreslí a znehodnotí výsledek zpravidla jsou snadno rozeznatelné od ostatních hodnot, je nutné je vyloučit ze souboru naměřených hodnot Poznámka: hrubé chyby nesmíme me zaměňovat s odlehlými hodnotami tam musíme me zjistit, proč došlo k takové změně 19.1.2012 Tůmová 14
Vyhodnocení náhodných chyb N(0,σ 2 ) Gaussova křivka - graf. vyjádřen ení rozložen ení náhodných chyb Gaussův rozdělen lení N(0,σ 2 ), předpokl edpokládá se, že e platí Gauss zákon y = h π e ( ) 2 h 2 X kde y hustota rozdělen lení pravděpodobnosti, podobnosti, že 19.1.2012 nastane chyba velikosti X Tůmová 15
X velikost náhodn hodné chyby σ 2 rozptyl normáln lního rozdělen lení h míra přesnosti 1 h = 2σ středn ední hodnota náhodných n chyb je dána vztahem 1 n n i = 1 X i = 0 19.1.2012 Tůmová 16
pravděpodobn podobná chyba P určuje uje interval ± P, kde leží pravá hodnota s pravděpodobnost podobností P = 50% směrodatn rodatná odchylka s výběrov rová (dříve zvaná S středn ední kvadratická chyba) určuje uje interval ±1σ, kde leží pravá hodnota s pravděpodobnost podobností P = 68,27 %, určuje uje také polohu inflexního bodu S = X 1 2 + X n 2 +... 1 2 ( ) + X n 2 19.1.2012 Tůmová 17
kde n počet naměř ěřených hodnot ( ) X X 2 ( X ) 2 = i i X i i-tá naměř ěřen ená hodnota X aritmetický průměr krajní chyba K určuje uje interval, kde leží pravá hodnota s pravděpodobnost podobností P = 99,73 % a je definována na = 3σ 3 K S 19.1.2012 Tůmová 18
C h y b y m ěř e n í výsledky měřen ení se získ skávaj vají: - přímo (údaj měřic icího přístroje stroje, např. měřen ení odporu ohmetrem), - nepřímo (dosazením naměřených hodnot do matematických vztahů, např. měřen ení odporu Ohmovou metodou) Tůmová 19
Chyby naměř ěřených hodnot hodnota veličiny, iny, kterou zjistíme danou měřic icí metodou, značíme naměř ěřen ená hodnota N hodnota skutečná S (pravá, konvenční) - zjistíme ji přesn esnější metodou nebo teoretickým výpočtem Poznámka: tj. hodnota, která je nejbli bližší objektivní pravdě v daném čase (kterou však nikdy nezjistíme souvisí s postupně se zlepšuj ujícími přístroji i vyhodnocováním metod měřen ení) mezi nimi existuje vztah: S = N Tůmová 20
absolutní chyba měř m ěřen ené veličiny iny vyjadřuje vztah mezi naměř ěřenou a skutečnou hodnotou; musí se u ní zachovat znaménko nko! = N S = K korekce (oprava) K hodnota, kterou musíme me k naměřen ené hodnotě N přičíst a získ skáme hodnotu pravou S, - je opakem absolutní chyby: K = S N Tůmová 21
relativní chyba měř m ěřen ené veličiny inyδ (vzta tažen ená ke skutečné hodnotě) δ = S. 100 (%) aby mělo měřen ení smysl, volíme takovou měřic icí metodu, kdy předpokl edpokládáme, že δ 0 při přesn esnější ších měřen eních je N S, a relativní chyba δ = N. 100 (%) Tůmová 22
pravá hodnota S měřen ené veličiny iny obvykle není předem známa a nelze potom určit přímo ani velikost chyby pokud je výsledkem měřen enířada přibli ibližných hodnot, jejichž mezní velikosti jsou N 1 a N n, lze použít místo skutečné hodnoty S hodnotu S /, které se říká středn ední aproximace / ( N ) S 0,5 + = 1 N n Tůmová 23
Chyby přímých p měřm ěření výsledek přímých měřen ení se získ skáčten tením údaje příslu slušného měřic icího přístroje největší možná absolutní chyba měř m ěřen ení T rovna součtu absolutní chyby údaje přístroje U a absolutní chyby metody M T = U + M největší možná relativní chyba měř m ěřen eníδ T k naměřen ené hodnotě N δ T = N T. 100 (%) je vztažena Tůmová 24
Př.: Voltmetrem o třídě přesnosti TP = 1,5 a rozsahu 300 V je naměřeno napětí 225 V. Jaká je největší možná dovolená absolutní a největší možná relativní chyba údaje měřen ení? ± skutečná hodnota napětí U = 4, 5 V U = ( 225 ± 4, 5 )V a největší možná relativní chyba údaje tohoto měřen ení δ U 4, 5 225 Poznámka: pro stanovení celkové (totální) chyby měření je nutné stanovit ještě chybu metody = ± 100 Tůmová 25 = ± 2 %
Chyby nepřímých měřm ěření při nepřímém m měřen ení je dán výsledek matematickou funkcí nezávislých proměnných jejich hodnoty jsou obvykle zjištěny přímými měřen eními, která jsou zatížena chybami je-li měřen ená veličina ina Y dána Y = f(x, X 1 2, X n ), pak absolutní chyba měřen ené veličiny iny Y je přibli ibližně rovna vztahu ( tot totáln lní diferenciál ) Tůmová 26
= f X f X ( Y ) ( X ) ( X ) 1 1 + 2 2 +...... + f X n ( X n ) z dané rovnice lze určit pravidla pro určen ení absolutních nebo relativních chyb při základn kladních matematických operacích ch určen ení relativní chyby měřen ení, je-li měřen ená funkce Y = f(a, B): 27
Funkce Relativní chyba Y = A + B δ Y = A A + + B B Y = A B A + B δ Y = A B A Y = AB ; Y = δ Y = δ A + δ B B Y = A Y = n δ = Y n δ m Y A δ 1 = m δ A A 28
Výsledky opakovaných měřm ěření pro zpřesn esnění výsledku měřen ení (abychom mohli určit výsledek co nejbližší skutečné hodnotě S), opakují se měřen ení několikr kolikrát za stejných podmínek výsledky jednotlivých měřen ení (v obr. označen ené +) mohou být vůči hodnotě S různ zné 29
výsledky nejsou přesn p esné (nejsou správn vné ani shodné), je-li vzájemn jemná shoda výsledků špatn patná + + + + + + + S výsledky jsou shod s hodné, ale nejsou správn vné, výsledky mezi sebou shodují, ale výrazně se liší od skutečné hodnoty + + + + + + + S 30
výsledky přesn esné (správn vné a shodné současn asně) + + + + + + + + + + + + S výsledky odlehlé se výrazně liší od ostatních + + + + + + + + S 31
Vliv počtu opakovaných měření na přesnost výsledku Čím větší je počet měř ěřen ení, tím více se aritmetický průměr r blíží ke skutečné (konvenční) hodnotě S Úměrn rně s počtem měř ěřen ení narůst stá potřebný čas i ekonomická náro ročnost Při zvětšov ování počtu měř ěřen ení chyba klesá zpočátku rychle, od určit itého počtu podstatně pomaleji Počet měř ěřen ení nad 20 30 je v technické praxi neopodstatnělé Doporučuje uje se, že počet opakování měř ěřen ení by neměl klesnout pod 6-5! Trend chyby aritmetického průměru ru vidět v grafu 32
Chyby analogových a digitálních přístrojů Výrobce garantuje určit ité meze chyb měř ěřic icích ch přístroj strojů (tzv. chyby základn kladní), pokud jsou tyto přístroje používan vané podle stanovených metrologických požadavk adavků a za specifických podmínek udaných výrobcem. Pokud nejsou nebo nemohou být dodrženy podmínky stanovené výrobcem, dochází k přídavným chybám, které mohou i několikan kolikanásobn sobně převý evýšit chyby základn kladní. Chyby se vyjadřuj ují v %, %o nebo ppm 19.1.2012 Tůmová 33
Chyby přístrojů Referenční podmínky zahrnují - Klimatické veličiny, iny, Mechanické veličiny, iny, Veličiny iny ovlivňuj ující napájen jení, elmg.pole.pole, popř. zářen ení Referenční podmínky jsou např.: Teplota okolního vzduchu [(20, 23 nebo 27 ) ± (1, 2, 5 nebo 10 )] o C Relativní vlhkost (45 75) % Atmosférický tlak (86 106) kpa Síťov ové napájen jení přístroj strojů (230 ± 4) V a kmitočet napájen jení (50 ± 0,5) Hz Př.: - teplota okolí 23 o C, - vnější magnetické pole B < 0,5 mt, - pracovní poloha přístroje ± 5 o. 34
Chyby přístrojů Jmenovité pracovní podmínky liší se podle typu klimatického prostřed edí, pro které je přístroj určen: Teplota okolního vzduchu v rozmezí (+5 až +40, -10 až +55, -25 až +50, -30 až +70) o C, Relativn elativní vlhkost vzduchu 80% při 25 o C, 90% při 30 o C Atmosférický tlak (70 106 nebo 60 106) kpa Síťov ové napájen jení přístroj strojů (230 ± 22) V a kmitočet napájen jení (50 ± 0,5) Hz 35
Chyby analogových přístrojů Základn kladní chyby analogových měř ěřic icích ch přístroj strojů jsou zahrnuty v třídě přesnosti. Třída přesnosti TP vyjádřena jako maximáln lní možná relativní chyba v %, pokud se přístroj používá podle stanovených metrologických požadavk adavků výrobce určených k udržen ení chyb měř ěřen ení a za specifických vztažných podmínek udaných výrobcem ve specifikovaných mezích (teplota, tlak a vlhkost vzduchu, cizí elektromagnetické pole, poloha, druh měř ěřených veličin in apod.). např. TP 1 znamená 1 % z hodnoty, kterou lze definovat 3 způsoby viz dále (způsob určen ení TP je graficky uveden na přístroji) 36
δ u = δ p + δ z Nejsou-li dodrženy vztažné podmínky, je poměrn rná chyba údaje přístroje dána: součtem poměrn rné chyby přístroje (za vztažných podmínek) a poměrnou chybou změn údaje (které vznikají, pokud přístroj nepracuje za vztažných podmínek): z δ u = δ + δ p z kde δ je souhrn změn údaje přístroje (při měř ěřen ení za jiných než vztažných podmínek), udaný v % skutečné hodnoty S. Poznámka: Dovolené chyby jsou uvedeny v normách a třídy přesnosti bývají u většiny analogových měř ěřidel normalizovány. ny. 37
Chyby analogových přístrojů Třída přesnosti TP se určí jako poměr absolutní chyby a naměř ěřen ené hodnoty vyjádřen ené v %. Naměř ěřenou hodnotou můž ůže být 3 způsoby: a) měř ěřic icí rozsah M (používá se nejčast astěji) b) skutečná hodnota měř ěřen ené veličiny iny S c) délka stupnice měř ěřic icího přístroje l 38
Chyby analogových přístrojů Výpočet TP a její označen ení na přístroji: a) p TP=δ ( % ) např. 1,5 pm = 100 M p b) TP = δ ( % ) ps = 100 1,5 S c) l TP = δ 100 ( % ) 1,5 pl = l V praxi je nejčastěji třída přesnosti typu a). 39
Chyby analogových přístrojů Ukázka závislosti absolutní a relativní chyby na rozsahu analogového přístroje, je-li třída přesnosti vztažena k rozsahu M 40
Chyby analogových přístrojů Hlavními příčinami chyb analogových měř ěřic icích ch přístroj strojů s elektromechanickým měř ěřic icím ústroj strojím jsou: nepřesnost esnost výroby a nepřesnost esnost kalibrace, rušiv ivé síly a momenty, vnitřní rušiv ivá elektrická a magnetická pole, oteplení vlastní spotřebou přístroje, stárnut rnutí materiálu a součástek, stek, opotřeben ebení a poškozen kození přístroje. Každá z těchto příčin působ sobí další kombinované chyby analogových přístroj strojů 41
Chyby analogových přístrojů Veličiny, iny, které většinou vyvolávaj vají přídavn davné chyby: teplota okolí, vychýlení přístroje ze správn vné polohy, kmitočet a tvar křivky měř ěřen ené střídav davé veličiny. iny. Analogové přístroje mají většinou stupnici cejchovanou pro měř ěřen ení efektivní hodnoty harmonického ho průběhu. Poznámka: Pokud ve skutečnosti se jedná o jiný periodický průběh, je třeba výsledek na přístroji přepo epočítávat (např. pomocí činitele tvaru). Obdobně musíme me postupovat, chceme-li změř ěřit maximáln lní nebo středn ední hodnotu příslu slušné veličiny. iny. 42
Chyby analogových přístrojů a) absolutní multiplikativní chyba se zvětšuje s naměř ěřenou hodnotou (obvykle chybné nastavení hlavních měř ěřic icích ch prvků přístroje) b) absolutní aditivní chyba vzniká chybným nastavením nulové polohy přístroje nebo chybovém napětí (offsetu) zesilovače 43
Chyby analogových přístrojů a) chyba linearity (nelineárn rní charakteristiky použitých součástek stek a materiálů, nepřesnost esnost montáže), můž ůže měnit znaménko, nko, lze odstranit korekční křivkou přístroje b) chyba reverzibility (způsob sobí rozdíln lné údaje přístroje při snižov ování a zvyšov ování měř ěřen ené veličiny) iny) 44
Chyby digitálních přístrojů Spojitý analogový signál je pro měř ěřen ení digitáln lním přístrojem upravit - vznikají chyby: Chyba vzorkováním vzniká vlivem zvolené vzorkovací frekvence, nutné pro věrohodnou rekonstrukci měř ěřen eného signálu (Shannonův teorém) Chyba kvantováním - závis visí na rozlišovac ovací schopnosti zvoleného A/D převodn evodníku (viz tabulka) 45
Chyby digitálních přístrojů Základn kladní chyby digitáln lních přístroj strojů se skládaj dají ze dvou složek: 1. část chyby je udána v % údaje měř ěřen ené veličiny iny (MH nebo rdg of reading) a 2. část chyby je vztažena k maximáln lní hodnotě měř ěřic icího rozsahu (MHMR nebo FS full scale). 46
Chyby digitálních přístrojů Základní chyba absolutní: = ± (x % z údaje měřené hodnoty + y % z měřicího rozsahu) (Chyba rozsahu může být též vyjádřena počtem kvantovacích kroků - digitů). Základní chyba relativní: δ celková = δ čtení + δ rozsahu Je dána součtem relativní chyby měřené hodnoty a relativní chyby vztažené k maximální hodnotě rozsahu vyjádřené v procentech. celk = čtení + rozsahu = Chyby digitálních přístrojů mohou být rozšířeny o chyby, které garantuje výrobce za určitý časový úsek (např. měsíc, 3 měsíce nebo 1 rok). 47
Chyby digitálních přístrojů Absolutní chybu digitálních přístrojů lze vyjádřit dvěma způsoby: a) celková δ = 100 δ U 100 1 2. U +. x kde δ 1 je relat. chyba v % U x (údaje měř ěřen ené veličiny), iny), δ 2 je relat. chyba v % U M (hodnoty měř ěřic icího rozsahu). δ ( 1.. ) b) 100 k celková = ± U X + 3 kde δ 1 je relat. chyba v % U x (údaje měř ěřen ené veličiny), iny), ( 3.k) je absolutní chyba udaná v počtu jednotek posledního místa číslicov slicového zobrazovače, tj. počet kvantovacích ch kroků. M = 1 + 2 48
Chyby digitálních přístrojů Ukázka celkové (totální) absolutní P a relativníδ P chyby digitálního přístroje (součet chyby údaje M a chyby rozsahu R ) 49
Příklady chyb digitálních přístrojů Digitální voltmetr má pětimístný zobrazovač (99999), na rozsahu 10 V bylo změřeno 5,0000 V. a) výrobce stanovil základní chybu přístroje = ± (0,01 % údaje + 0,01 % rozsahu) pak základní absolutní chyba = ± (5.10-4 + 10.10-4 ) = ± 1,5 mv b) pokud výrobce stanovil základní chybu přístroje = ± ( 0.01 % údaje + 9 kvantovacích kroků), je základní absolutní chyba = ± (5.10-4 + 9. 10-4 ) = ± 1,4 mv. 50
Chyby digitálních přístrojů Rozlišen ení měř ěřic icích ch systémů - A/D a D/A převodu Příklady: a) osmibitový AD-převodn evodník má rozlišení 256 úrovní (2 8 úrovní), tj. 2,4 digit, 0,4 % z rozsahu, tj. 3,9 mv z rozsahu ± 1V; b) číslicový voltmetr, 3 digit odpovídá desetibitovému převodníku. S ohledem na vyráběnou řadu se použije 12-bitový AD převodník. Jeho rozlišení je 0,024 % = 244,14 ppm = 0,24 mv z rozsahu ± 1 V. 51
Rozlišení měřicích systémů (AD a DA převodu) počet bitů n počet úrovní 2 n digit D = log 2 n LSB % LSB ppm LSB mv z 1V Dynam. rozsah - db 1 2 0,3 50,0000 500 000,00 500,0000 6,0 2 4 0,6 25,0000 250 000,00 250,0000 12,0 3 8 0,9 12,5000 125 000,00 125,0000 18,1 4 16 1,2 6,2500 62 500,00 62,5000 24,1 5 32 1,5 3,1250 31 250,00 31,2500 30,1 6 64 1,8 1,5625 15 625,00 15,6250 36,1 7 128 2,1 0,7812 7 812,50 7,81250 42,2 8 256 2,4 0,3906 3 906,25 3,90625 48,2 9 512 2,7 0,1952 1 952,12 1,95212 54,0 10 1024 3,0 0,0976 976,56 0,97656 60,0 11 2048 3,3 0,0488 488,28 0,48828 66,0 12 4096 3,6 0,0244 244,14 0,24414 72,0 52
Ostatní elektrické měřicí přístroje U elektronických a speciáln lních přístroj strojů (např. webermetry, integrační měř ěřic icí přístroje, RLC můstky atd.) závis visí vyjádřen ení údaje chyby na výrobci. Pokud mají tyto přístroje zabudován v sobě ukazovací přístroj (pro čten tení údaje) s udanou třídou přesnosti, vztahuje se tato třída přesnosti pouze na ukazovací přístroj (indikátor), nikoliv na celý měř ěřic icí přístroj (např. měř ěřič zkreslení). Chyby této to skupiny měř ěřic icích ch přístroj strojů je nutné vyhledat vždy v technické dokumentaci výrobce. 53
Konec přednášky D Ě K U J I Z A P O Z O R N O S T 19.1.2012 Tůmová 54