5. Odhady parametrů. KGG/STG Zimní semestr

Transkript

1

2 Základní soubor Výběr, výběrový (statistický) soubor Náhodný výběr

3 Princip Odhad neznámých parametrů základního souboru na základz kladě charakteristik výběru. Přecházíme z části na celek, zevšeobec eobecňujeme závěry (statistická indukce).

4 Princip Neznámé charakteristiky základnz kladního souboru odhadujeme pomocí příslušných výběrových charakteristik s určitou přesnostp esností a spolehlivostí. Přesnost odhadu dané charakteristiky je určena násobkem středn ední výběrov rové chyby, kterou je směrodatn rodatná odchylka příslup slušné charakteristiky ze všech teoreticky možných. Spolehlivost odhadu je dána d pravděpodobnost podobností,, se kterou je možné určitý odhad považovat ovat za správný.

5 Princip Určen ení přesnosti a spolehlivosti odhadu předpokládá znalost rozdělen lení výběrových charakteristik. Rozlišujeme výběry s malým a velkým rozsahem (hranice n = 30). U velkých výběrů se výběrov rové rozdělen lení aproximuje většinou v normáln lním rozdělen lením.

6 Princip Reprezentativnost výběru dosahujeme nejčast astěji náhodným výběrem. Náhodný výběr r s opakováním x bez opakování

7 Výběr x základní soubor a i µ σ - i-tý prvek základnz kladního souboru - aritmetický průměr r základnz kladního souboru - směrodatn rodatná odchylka základnz kladního souboru

8 Výběr x základní soubor x i x s - i-tý výběrový prvek - výběrový aritmetický průměr - výběrov rová směrodatn rodatná odchylka

9 Výběr x základní soubor Průměr r výběrových průměrů µ X 1 r = r i= 1 x i

10 Výběr x základní soubor Směrodatn rodatná odchylka výběrových průměrů σ x = r i= 1 ( x ) 2 i µ x r

11 Bodové odhady µ σ

12 Bodové odhady Pro bodový odhad směrodatn rodatné odchylky platí: n 1 ( ) 2 σ = x x n 1 i i= 1

13 Bodové odhady n 1 σ = ( x x) 2 n 1 i i= 1 Bodový odhad směrodatn rodatné odchylky Směrodatn rodatná odchylka n 1 s = ( x x) 2 i n i = 1

14 Bodové odhady Pro bodový odhad směrodatn rodatné odchylky výběrových průměrů platí : σ = x σ n σ s σ = x n = n 1

15 Bodové odhady Bodový odhad aritmetického průměru: ru: µ 1 n = n i= 1 x i

16 Bodové odhady Dohromady: Charakteristiky základnz kladního souboru jsme odhadovali pomocí jedné hodnoty.

17 Intervalové odhady Princip: Určujeme interval, v němžn bude ležet et parametr.

18 Z teorie normáln lního rozdělen lení: V intervalu: µ ± σ µ ± 2σ µ ± 3σ leží 68,28 % všech hodnot leží 95,45 % všech hodnot leží 99,73 % všech hodnot

19 Z teorie normáln lního rozdělen lení: Naopak: 95 % hodnot odpovídá intervalu µ ± 1,65σ 99 % hodnot odpovídá intervalu µ ± 2,58σ

20 Intervaly, meze spolehlivosti µ ± σ µ ± 2σ µ ± 3σ

21 Intervaly, meze spolehlivosti Kritický obor Oblast zamítnut tnutí

22 Nejčast astěji používan vané intervaly spolehlivosti Násobky směrodatné odchylky Přijetí Předem určená oblast Zamítnutí ±1, % 5 % ±2, % 1 % ±3,291 99,9 % 0,1%

23 Intervalové odhady velké rozsahy výběru Předpoklad: Rozdělen lení výběrových průměrů lze považovat ovat za normáln lní. µ σ µ x x x 2,576. x + 2,576. σ x

24 Intervalové odhady velké rozsahy výběru Nahradíme me-li násobek n směrodatn rodatné odchylky hodnotou u p, kde index p vyjadřuje pravděpodobnost, podobnost, s nížn náhodná veličina ina překrop ekročí kritickou hodnotu 0,01 =±2,576, dostaneme : u 0,01 µ u σ µ x u. x +. σ p x x p x

25 Intervalové odhady velké rozsahy výběru Po dosazení: u σ µ µ u. x +. p n p σ n

26 Intervalové odhady velké rozsahy výběru Řešením m předchozp edchozí nerovnosti dostaneme: x u σ µ u. x +. p n p σ n

27 Intervalové odhady velké rozsahy výběru Protože e hodnotu směrodatn rodatné odchylky obvykle neznáme, nahradíme ji jejím m odhadem a pracujeme s výběrovými charakteristikami. Dostaneme: s s x u. µ x + u. p p n 1 n 1

28 Intervalové odhady velké rozsahy výběru x s s u. µ x + u. p n 1 p n 1 Tento interval se nazývá INTERVAL SPOLEHLIVOSTI

29 Intervalové odhady malé rozsahy výběru Kritické hodnoty normáln lního rozdělen lení nahradíme kritickými hodnotami t rozdělen lení: x s s t. µ x + t. p n 1 p n 1

30 Intervalový odhad parametru σ Odhadujeme pomocí σ 2

31 Intervalový odhad parametru σ Předpoklad: Odhadovaná veličina ina mám rozdělen lení chí kvadrát s n-1 stupni volnosti. χ 2 1 0,5 p 2 ns 2 σ 2 0,5 p 2 ns σ 2 Výrazy na levých stranách jsou kritické hodnoty náhodné veličiny chí kvadrát s n-1 stupni volnosti. χ

32 Intervalový odhad parametru σ Po vyjádřen ení dostaneme: ns χ ns σ 2 χ 2 0,5 p 1 0,5 p

33 Příklad: Stanovit intervalový odhad průměru ru a směrodatn rodatné odchylky základnz kladního souboru pro 95% a 99% interval spolehlivosti. Výběrový soubor průměrn rné roční teploty v letech x = = 9,42 C s = 0,92 C

34 x s s u. µ x + u. p n 1 p n 1 ns ns σ χ 2 χ 2 0,5 p 1 0,5 p