ŠKODA AUTO VYSOKÁ ŠKOLA, O.P.S. DIPLOMOVÁ PRÁCE Ing. Markéta Černá

ŠKODA AUTO VYSOKÁ ŠKOLA, O.P.S. DIPLOMOVÁ PRÁCE 2015 Ing. Markéta Černá

ŠKODA AUTO VYSOKÁ ŠKOLA, O.P.S. Studijní program: N6208 Ekonomika a management Studijní obor: 6208T088 Podniková ekonomika a management provozu POKROČILEJŠÍ METODY REGULACE PROCESU Ing. Markéta ČERNÁ Vedoucí práce: doc. Ing. Eva Jarošová, CSc.

Tento list vyjměte a nahraďte zadáním diplomové práce

Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracovala samostatně s použitím uvedené literatury pod odborným vedením vedoucího práce. Prohlašuji, že citace použitých pramenů je úplná a v práci jsem neporušila autorská práva (ve smyslu zákona č. 121/2000 Sb., o právu autorském a o právech souvisejících s právem autorským). V Mladé Boleslavi dne 6. 1. 2015 3

Děkuji doc. Ing. Evě Jarošové, CSc. za odborné vedení diplomové práce, poskytování informačních podkladů a cenných rad a vstřícnost při konzulacích. 4

Obsah Seznam použitých zkratek a symbolů... 7 Úvod... 8 1 Proces a jeho regulace... 10 1.1 Shewhartovy diagramy... 12 1.2 CUSUM... 16 1.3 EWMA... 19 2 Testování předpokladů... 22 2.1 Testování normality... 22 2.2 Testování autokorelace dat... 25 2.3 Analýza rozptylu... 26 3 Způsobilost procesu... 28 3.1 Ukazatele způsobilosti procesu... 29 3.2 Způsobilost procesu v případě nenormálního rozdělení hodnot... 34 3.3 Výkonnost procesu... 35 3.4 Způsobilost systému měření... 35 3.5 Způsobilost a výkonnost procesu v automobilovém průmyslu... 37 4 Představení společnosti ŠKODA AUTO a.s. a analyzovaného procesu... 39 4.1 Popis procesu... 40 5 Proces 1... 42 5.1 Testování normality... 42 5.2 Testování autokorelace... 44 5.3 Metoda EWMA... 45 5.4 Způsobilost procesu 1... 48 6 Proces 2... 50 6.1 Testování normality... 50 6.2 Testování autokorelace... 52 6.3 Shewhartovy regulační diagramy... 52 6.4 Metoda EMWA... 54 6.5 Metoda CUSUM... 55 6.6 Porovnání metod z hlediska citlivosti... 58 5

6.7 Způsobilost procesu 2... 60 7 Analýza současného stavu a návrh řešení... 62 Závěr... 65 Seznam literatury... 68 Seznam obrázků a tabulek... 70 Seznam příloh... 72 6

Seznam použitých zkratek a symbolů a.s. AIAG ARL CL CUSUM Akciová společnost Automotive Industry Action Group Průměrná délka přeběhu Centrální přímka Cumulative Sum č. Číslo ČSN EWMA FIR ISO LCL LSL LWL SPC TQM UCL USL UWL Česká technická norma Exponentially Weighted Moving Average Fast Initial Response International Organization for Standardization Dolní regulační mez Dolní mez daná specifikací Dolní varovná mez Statistical Process Control Total Quality Management Horní regulační mez Horní mez daná specifikací Horní varovná mez 7

Úvod Kontrola a neustálé zlepšování kvality je součástí firemní strategie mnoha společností. Toto tvrzení platí bez výjimky i ve vysoce konkurenčním prostředí automobilového průmyslu, kde je kvalita považována za konkurenční výhodu. Počátky statistické kontroly procesu spadají do období průmyslové revoluce, ve které došlo k prudkému nárůstu objemu výroby, ale i složitosti výrobních procesů. Na to reagovala i kontrola jakosti; nebylo možné kontrolovat každý výrobek, proto bylo nutné najít optimum mezi náklady vynaloženými na kontrolu a úrovní jakosti. Ve dvacátých letech 20. století byly do praxe uvedeny Shewhartovy diagramy, které monitorují variabilitu procesu. Velký posun ve statistické kontrole jakosti byl spojen s rozvojem počítačů a softwarových programů monitorujících kvalitu na konci 80. let 20. století. Díky tomu bylo možné zavést při kontrole jakosti i pokročilejší metody, které by byly dříve, vzhledem k složitosti jejich výpočtu, nemožné. Mezi ně patří i metoda kumulativních součtů (CUSUM) a exponenciálně vážených klouzavých průměrů (EWMA), které budou z teoretického i praktického hlediska představeny v této diplomové práci. Metody EWMA a CUSUM oproti Shewhartovým diagramům zohledňují všechna předchozí pozorování, zatímco Shewhartovy diagramy zkoumají jednotlivá pozorování izolovaně. Z tohoto důvodu jsou výše jmenované pokročilejší metody schopny detekovat i malý posun procesu. Díky tomu je možné dříve odhalit příčinu větší variability a odstranit ji. Zvláště vhodné jsou v případě statistické regulace procesu, v níž se analyzují individuální pozorování a ne tzv. logické podskupiny. Modifikovanou metodu EWMA lze použít i v případě autokorelace dat, ostatní metody jsou v tomto případě nevhodné. Cílem této diplomové práce je představit vybrané pokročilejší metody statistické regulace procesu a aplikovat je na vybraný výrobní proces ve ŠKODA AUTO a.s. V rámci této práce budou porovnány Shewhartovy diagramy s metodami EWMA a CUSUM. Diplomová práce se skládá ze dvou celků, teoretické a praktické části. V teoretické části bude nejprve v krátkosti přiblížen výrobní proces a možnosti jeho statistické kontroly, příčiny variability a druhy regulačních diagramů podle typu kontroly (srovnáváním a měřením). Dále bude pozornost věnována třem metodám 8

statistické regulace procesu, Shewhartovým diagramům, metodě EWMA a CUSUM, a to jak z hlediska jejich principu, tak také z hlediska výhod a nevýhod použití. Při sestrojování regulačních diagramů je nutné testovat, zda mají data normální rozdělení, nejsou ovlivněna autokorelací a mají konstantní střední hodnotu. Proto autorka zařadila do teoretické části také kapitolu týkající se testování těchto předpokladů. Poslední kapitola teoretické části je věnována způsobilosti a výkonnosti procesu. V praktické části bude analyzován vybraný výrobní proces. Konkrétně se bude jednat o dva časové úseky procesu, ve kterém je regulovanou veličinou poloha závitového čepu pro uchycení zadního nárazníku. Na základě testování předpokladů a průběhu dat bude aplikována nejvhodnější metoda statistické regulace procesu. V prvním úseku procesu, ve kterém byla data ovlivněna autokorelací, bude použita metoda EWMA a její modifikovaná verze. V druhém úseku procesu bude statistická stabilita procesu sledována pomocí všech tří metod představených v teoretické části. Jednotlivé metody budou porovnány z hlediska jejich citlivosti na základě interpretace výsledných regulačních diagramů, ale také na základě výpočtu průměrné délky přeběhu ARL(δ). U obou úseků bude také spočítána způsobilost procesu. Na základě analýzy tohoto procesu uvádí autorka v závěru praktické části návrh, jak zlepšit dosavadní statistickou regulaci procesů ve ŠKODA AUTO a.s. 9

1 Proces a jeho regulace V současné době, kdy na trhu panuje velká konkurence, je nutné, aby firmy vyráběly to, co zákazníci požadují a výroba byla co nejefektivnější. Z tohoto důvodu zavádí firmy celou řadu metod organizace výroby jako například Lean, Poka-Yoke nebo TQM, v nichž figuruje i kontrola a zlepšování jakosti. Total Quality Management (TQM) vychází z neustálého zlepšování ve všech oblastech fungování organizace. John S. Oakland v knize Statistical Process Control identifikuje tři základní prvky TQM dobrý systém managementu, týmovou práci a nástroje statistické kontroly procesu (SPC) (Oakland, 2003) Existuje sedm nástrojů statistické kontroly procesu (Montgomery, 2009): - histogram a číslicový diagram (Stem-and-Leaf plot); - kontrolní seznam (Check list); - Paretův diagram; - Ishikawův diagram (diagram příčin a následků); - diagram afinity (Defect concentration diagram); - korelogram; - regulační diagramy. Jednou z definic zlepšení kvality je i snížení variability produktu nebo procesu (Montgomery, 2009, str. 7). Variabilita je součástí všech procesů, vyvolávají ji dva druhy příčin, zvláštní a inherentní. Zvláštní příčiny jsou ty, které nejsou procesu vlastní a neovlivňují všechny jednotky. Jedná se například o užití špatného nástroje, nevhodného materiálu či nesprávného postupu. V takovém případě regulační diagramy indikují, že proces není pod statistickou kontrolou a je nutná nápravná akce, která odstraní tuto příčinu. Asi 15 % problémů procesů je způsobeno zvláštními příčinami (Mitra, 2008). Inherentní příčiny jsou procesu vlastní a ovlivňují všechny jednotky. Jedná se o drobná vychýlení procesu, která jsou zapříčiněna například vibrací strojů nebo změnou pracovních podmínek. Pokud se jedná o nepravidelné drobné kolísání procesu, pak je proces pod statistickou kontrolou. Zvláštní příčiny mohou odstranit zaměstnanci, k odstranění inherentních příčin je nutný zásah managementu. 10

V případě výrobního procesu lze proces definovat jako systém, ve kterém figurují vstupy a výstup. Některé vstupy lze snadno ovlivnit (např. teplota, tlak), jiné lze ovlivnit velice složitě nebo je dokonce nelze ovlivnit vůbec (např. kvalita surovin, pracovní prostředí, ). Ve výrobním procesu se přemění tyto vstupy na výstup, u kterého se zjišťuje, zda jeho znaky kvality odpovídají specifikaci zákazníka (Montgomery, 2009). Regulační diagramy jsou nejexaktnější metodou statistické kontroly procesu, proto se také v praxi užívají nejvíce. Skládají se z centrální přímky (CL) a regulačních mezí (UCL a LCL). Na základě umístění jednotlivých pozorování v diagramu se rozhoduje, zda je proces pod statistickou kontrolou či nikoliv. Pokud se bod nachází mimo regulační meze nebo se body vyskytují ve zvláštních uskupeních, je to signálem, že se v procesu objevila zvláštní příčina variability, kterou je nutné najít a odstranit. Data nebo znaky kvality mohou mít dvě podoby: atributy a proměnné (variables). Proměnné jsou většinou spojité veličiny, které lze měřit, např. hmotnost nebo rozměr. U atributivních znaků kvality lze buď rozhodnout, zda odpovídají nebo neodpovídají specifikaci zákazníka nebo kolik je neshod na jedné jednotce výstupu. Na základě toho se dají regulační diagramy rozdělit podle způsobu kontroly měřením (variable control charts) či srovnáváním (atributes control charts). Při kontrole měřením se analyzují měřitelné proměnné, což je výhodné, jelikož mají diagramy vyšší vypovídající hodnotu (konkrétní hodnota versus ano/ne u kvalitativního výstupu). Při kontrole měřením se používají tyto typy regulačních diagramů: x -diagram (diagram pro průměr), x-diagram (diagram pro individuální hodnoty), R-diagram (diagram pro rozpětí), MR-diagram (diagram pro klouzavá rozpětí), s-diagram (diagram pro směrodatnou odchylku), s 2 -diagram (diagram pro rozptyl). Při kontrole srovnáváním se používají atributivní znaky kvality. Sběr dat bývá levnější a snazší než při regulaci měřením. V tomto případě se používají tyto typy regulačních diagramů: p-diagram (pro podíl neshodných jednotek), np-diagram (pro počet neshodných jednotek), c-diagram (pro počet neshod), u-diagram (pro počet neshod na jednotku) (Česká společnost pro jakost, 2006; Montgomery, 2009). Koncept regulačních diagramů poprvé představil v roce 1924 Walter A. Shewhart v Bell Telephone Laboratories, což bývá označováno za počátek statistické 11

regulace procesu. Význam statistické regulace procesů v průmyslové výrobě vzrostl až v době druhé světové války. Vedle Shewhartových diagramů se dnes používají i další metody, které jsou schopny detekovat menší posuny, nebo které lze použít v podmínkách, kdy Shewhartův diagram není vhodný. Mezi ně patří například: CUSUM, EWMA, Shewhartovy diagramy s modifikovanými mezemi, diagram pro opotřebení nástroje (Toolwear), ARIMA diagramy, přejímací regulační diagramy, regulační diagramy pro krátké série nebo zónové regulační diagramy. V této diplomové práci bude věnována pozornost kromě Shewhartových diagramů jen prvním dvěma zmíněným pokročilejším metodám, CUSUM a EWMA. 1.1 Shewhartovy diagramy Nejpoužívanější metodou statistické regulace procesu jsou Shewhartovy diagramy, které byly poprvé do praxe zavedeny ve 20. letech 20. století. Jedná se o grafické znázornění procesu, kde jsou do grafu vynášeny výběrové charakteristiky pro jednotlivé podskupiny, které jsou v pravidelných intervalech odebírány z procesu. Diagramy lze sestrojit i pro individuální hodnoty (rozsah podskupiny 1), ale jsou méně účinné než v případě podskupin. Proto se pro individuální hodnoty doporučují jiné metody, například CUSUM nebo EWMA diagramy. Velikost podskupin a interval, ve kterém jsou odebírány, se musí volit s ohledem na charakter procesu. Rozsah podskupin se volí tak, aby byla variabilita v rámci podskupiny co nejmenší, to znamená, aby se v nich neprojevil vliv zvláštních příčin. Obvykle se volí čtyři nebo pět jednotek tvořících podskupinu. Při větším rozsahu podskupin Shewhartovy diagramy reagují rychleji. Menší rozsah podskupin se volí tehdy, když by bylo testování příliš drahé nebo by při něm docházelo k destrukci. Frekvence testování by měla být při zavádění kontroly procesu a jeho nastavení vyšší. Když je proces pod statistickou kontrolou, je možné frekvenci snížit (Oakland, 2003). Shewhartovy diagramy jsou tvořeny přímkami, které tvoří meze (viz obr. 1). Centrální přímka CL je očekávaná střední hodnota procesu. Horní a dolní 3 regulační mez (UCL a LCL) se nachází ve vzdálenosti od centrální přímky, n to znamená, že pokud má proces normální rozdělení, pak by se mělo 99,73 % 12

hodnot nacházet v oblasti ohraničené mezemi UCL a LCL. Horní a dolní varovná mez (UWL a LWL) jsou umístěny ve vzdálenosti statistická společnost, 2009; Wheeler, 2004). 2 od centrální přímky (Česká n Zdroj: Česká statistická společnost, 2009, str. 9 Obr. 1 Shewhartův regulační diagram důležité meze Pro podskupiny mají vzorce pro UCL, LCL a CL tento tvar (Wheeler, 2004): CL x (1) 3ˆ UCL, LCL x (2) n kde x je průměr procesu, ˆ je odhad směrodatné odchylky, n je rozsah podskupiny. V případě individuálních hodnot, kdy je rozsah podskupiny roven jedné, mají centrální přímka CL a regulační meze UCL a LCL tento tvar (Wheeler, 2004): CL x (3) UCL, LCL x 3ˆ (4) Aplikace Shewhartových diagramů lze rozdělit do několika fází. Nejprve je nutné přesně definovat proces a určit, jaký znak kvality se bude sledovat a jakým způsobem se bude měřit. Dále je nutné rozhodnout, zda budou při posuzování 13

statistické regulace použity individuální hodnoty nebo budou data rozdělena do podskupin, a dále jaký rozsah budou tyto podskupiny mít. V další fázi se spočítají příslušné výběrové charakteristiky. Dále se sestrojí regulační diagram, tedy centrální přímka a regulační meze a zanesou se výběrové charakteristiky pro jednotlivé podskupiny nebo individuální hodnoty. Pokud jsou všechny body uvnitř regulačních mezí, pak lze takto sestrojené zkušební meze považovat za konečné. Pokud ne, tak je nutné zkoumat příčinu výskytu bodu mimo regulační meze a případně přepočítat regulační meze bez těchto hodnot. V dalším kroku se již zakreslují do regulačního diagramu výběrové charakteristiky dalších sledovaných podskupin (nebo individuálních hodnot) a zkoumá se, zda je proces pod statistickou kontrolou (body jsou v rámci regulačních mezí) či nikoliv. V Shewhartových digramech se zkoumá kromě překročení regulačních mezí i zvláštní seskupení bodů, což je první varování, že se mohla změnit sledovaná charakteristika procesu (např. střední hodnota nebo rozptyl), takže se může zasáhnout dříve (Wheeler, 2004). ČSN ISO 8258 popisuje následujících osm případů, které signalizují změnu v procesu: 1. Jeden bod leží mimo regulační meze; 2. Devět hodnot leží na téže straně centrální přímky; 3. Šest hodnot za sebou roste nebo klesá; 4. Čtrnáct bodů v řadě pravidelně kolísá; 5. Dvě ze tří hodnot jsou od centrální přímky dále než 2σ; 6. Čtyři z pěti hodnot jsou na stejné straně centrální přímky ve vzdálenosti větší než 1σ; 7. Patnáct hodnot je v intervalu ±1σ okolo centrální přímky; 8. Osm hodnot za sebou leží po obou stranách centrální přímky, vždy však mimo interval ±1σ (ČSN ISO 8258). Závěry plynoucí z regulačních diagramů jsou analogií testování hypotéz, regulační meze UCL a LCL tvoří hranice mezi zamítnutím a přijetím nulové hypotézy. Pokud se hodnota ocitne nad UCL nebo pod LCL, pak se zamítá nulová hypotéza, že parametry procesu zůstaly konstantní. Hrozí ale riziko chyby 1. nebo 2. druhu. 14

Chyba 1. druhu, tzv. falešný signál, nastává v situaci, kdy je proces označen jako statisticky nestabilní (bod je mimo regulační meze), i když ve skutečnosti stabilní je. Pravděpodobnost falešného signálu je vzhledem k vzdálenosti regulačních 3 mezí od centrální přímky 0,0027. Chyba 2. druhu, tzv. chybějící signál, n nastává v situaci, kdy je proces považován za stabilní, i když ve skutečnosti není. To znamená, že ačkoliv došlo k změně v procesu, tak se signál neobjevil. Vzdálenost regulačních mezí od centrální přímky ovlivňuje pravděpodobnost výskytu chyby prvního a druhého druhu. S rostoucí vzdáleností regulačních mezí od centrální přímky klesá pravděpodobnost falešného signálu, ale roste pravděpodobnost chybějícího signálu. S klesající pravděpodobností chyby prvního druhu roste pravděpodobnost chyby druhého druhu. Chyba druhého druhu je závislá také na rozsahu souboru (n). S rostoucí velikostí souboru jsou regulační meze blíže a pravděpodobnost chyby druhého druhu klesá (Mitra, 2008). Walter 3 Shewhart zvolil pro diagramy vzdálenost regulačních mezí od centrální n přímky na základě empirického pozorování. Při této vzdálenosti jsou regulační diagramy dostatečně citlivé a riziko falešného signálu je malé, takže nedochází k plýtvání zdroji, které by musely být vynaloženy na detekci problému, který ve 2 skutečnosti neexistuje. Menší vzdálenost regulačních mezí ( nebo n 2,5 od n centrální přímky) se volí v případě, že je nutné co nejrychleji odhalit malé změny i za cenu vyšší pravděpodobnosti falešného signálu (Mitra, 2008; Wheeler, 2004). Důležitou vlastností regulace procesu je průměrná délka přeběhu (ARL = Average run length), což je průměrný počet jednotek (nebo podskupin) mezi vznikem vymezitelné příčiny a signálem, že proces není pod statistickou kontrolou. V případě statisticky regulovaného procesu je vhodné, aby průměrná délka přeběhu ARL(0) byla vysoká, jelikož bod mimo regulační meze je falešným signálem (chybou prvního druhu) (5). V případě statisticky nestabilního procesu je naopak žádoucí mít ARL( ) co nejmenší, jelikož je snahou detekovat problém co nejrychleji od jeho vzniku. Pro Shewhartovy diagramy (vzdálenost regulačních 3 mezí od centrální přímky) dosahuje ARL(0) hodnoty 370 (Mitra, 2008, n str. 277). 15

ARL ( 0) 1/ (5) ARL ( ) 1/(1 ) (6) kde je pravděpodobnost chyby 1. druhu, je pravděpodobnost chyby 2. druhu. Shewhartovy diagramy nelze použít vždy. Výše uvedené vlastnosti platí v případě, že je proces statisticky zvládnutý (konstantní μ i σ) a je splněn předpoklad normálního rozdělení N(μ,σ 2 ) dat. Data také nesmí být korelována. Hlavním nedostatkem této metody je především malá citlivost a hlavně neúčinnost při analýze individuálních hodnot. Z tohoto důvodu se zavádí pokročilejší metody (např. EWMA či CUSUM), které jsou složitější, ale citlivější, takže mohou odhalit menší posuny procesu. CUSUM diagramy jsou schopny odhalit relativně malé změny procesu (0,5σ až 2σ), protože využívají informací ze všech dosud získaných pozorování, takže se změna procesu projeví výrazněji než u Shewhartových diagramů. Na druhou stranu, detekce větších změn procesu může pomocí této metody trvat déle než při použití Shewhartových diagramů (Česká statistická společnost, 2009; Mitra, 2008). 1.2 CUSUM Metoda CUSUM (Cumulative Sum = kumulativní součet) se od Shewhartových diagramů liší tím, že uvažuje informace ze všech dosud získaných pozorování. Proto je i malý posun procesu patrný. Shewhartovy diagramy posuzují jednotlivá pozorování izolovaně. Podobně jako u Shewhartových diagramů se mohou i při této metodě uvažovat podskupiny nebo individuální pozorování. Kumulativní součet pro m-té pozorování v případě individuálních hodnot (podskupina o rozsahu n = 1) se spočítá pomocí vzorce (Mitra, 2008): m S m ( Xi 0) Sm 1 Xm 0 (7) i1 kde S m je kumulativní součet v okamžiku m-tého pozorování X m, kde m=1,2,, 0 je cílová hodnota procesu. Absolutní hodnota kumulativního součtu není tak důležitá jako trend hodnot S m, který signalizuje, zda je proces pod statistickou kontrolou či nikoliv. Křivka hodnot 16

S m v CUSUM diagramu má rostoucí trend, když jsou charakteristiky jednotlivých pozorování větší než cílová hodnota 0. Klesající trend má tehdy, když jsou charakteristiky jednotlivých pozorování menší než zvolená hodnota 0. Proto je důležité správně zvolit 0, což může být například cílová hodnota rozměru nebo hmotnosti vyráběné součástky. Dále je nutné určit, jak velká změna trendu hodnot S m (v násobcích směrodatné odchylky) bude považovaná za významnou a bude tedy signálem pro zásah do procesu (Mitra, 2008; Oakland, 2003). Metodu CUSUM lze aplikovat ve dvou podobách, grafické a tabelární. Grafická metoda využívá tzv. V-masku (obr. 2), která se přikládá k diagramu nebo je přímo sestrojená v CUSUM diagramu počítačovým programem. Zdroj: Oakland, 2003, str. 239 Obr. 2 V-maska pro CUSUM diagramy V-maska se přikládá ke CUSUM diagramu tak, aby byla úsečka AO rovnoběžná s osou x, vrchol V-masky byl umístěn na opačné straně než je osa y, tak, aby se ramena rozevírala směrem ke starším pozorováním. Bod A se překrývá v diagramu s posledním zobrazeným pozorováním. Pokud se všechna pozorování nachází uvnitř plochy vymezené rameny V-masky, pak je proces považován za statisticky stabilní. Citlivost V-masky se odvíjí od úhlu, který svírají ramena 17

V-masky. Pokud je požadována detekce malého posunu v procesu (např. 1σ), pak ramena V-masky svírají ostrý úhel. Čím více jsou rozevřena ramena V-masky, tím méně citlivý je CUSUM diagram. V-maska se definuje pomocí úhlu θ, který svírají ramena V-masky a d, což je vzdálenost mezi bodem O (vrchol V-masky) a bodem A, který představuje poslední pozorování. Parametr d v sobě odráží informaci o pravděpodobnosti chyby prvního a druhého druhu, která se volí. V programu Statgraphics se při konstrukci CUSUM diagramu pomocí V-masky volí přímo α (pravděpodobnost chyby prvního druhu) a β (pravděpodobnost chyby druhého druhu) (Mitra, 2008; Oakland, 2003). Konstrukci a použití V-masky se věnuje ISO norma 7870-4: 2011 Control charts Cumulative sum charts v anglickém jazyce, český překlad nebyl v době psaní diplomové práce k dispozici. Grafická i tabelární metoda CUSUM je uvedena i v ISO normě ISO/TR 7871 Cumulative sum charts Guidance on quality control and data analysis using CUSUM techniques. Správná konstrukce je obtížná, proto se dává přednost tabelární metodě. Tabelární metoda vychází z výpočtu horního a dolního kumulativního součtu (Mitra, 2008): m max 0, Xm 0 K Sm 1 S (8) m max 0, 0 K Xm Sm 1 S (9) kde S m je horní kumulativní součet pro m-té pozorování, S m je dolní kumulativní součet pro m-té pozorování, X m je m-té pozorování, kde m=1,2,, 0 je cílová hodnota procesu, K je referenční hodnota, která je nejčastěji volená jako polovina rozdílu mezi 0 a střední hodnotou 1, přičemž posun 0 na 1 chceme detekovat, S O a S O se volí nulové nebo případně jiná hodnota (viz FIR CUSUM). K identifikaci kladného posunu střední hodnoty procesu, ( ) 0 > 0, slouží 1 S m, k detekci záporného posunu střední hodnoty procesu se využívá S m. Tyto hodnoty se porovnávají s hodnotou H (také tzv. rozhodný interval), která se spočítá pomocí vzorce H h, kde σ je směrodatná odchylka a hodnota h se volí obvykle rovna pěti. Pokud je hodnota S m nebo S m větší než hodnota H, pak proces není statisticky stabilní a došlo k posunu střední hodnoty. Tabelární metodu lze 18

znázornit i graficky. Regulační mez je určena hodnotou H. Pokud je hodnota větší než H, došlo k velkému kladnému posunu procesu a je nutné hledat příčinu posunu procesu. Pokud se ji podaří najít a odstranit, pak se kumulativní součty vynulují nebo se nastaví na jinou hodnotu (viz FIR CUSUM). Pokud se příčinu nepodaří odstranit, doporučuje se horní a dolní kumulativní součty neměnit (Mitra, 2008; Wheeler, 2004; Ryan, 2011). Může se ale stát, že posun procesu způsobilo více příčin a ne všechny byly odstraněny. To je nutné odhalit co nejdříve. Proto Lucas a Crosier modifikovali CUSUM metodu tak, že se po překročení regulační meze poslední hodnota nevynuluje, ale položí se rovna 2 h. Díky tomu se sníží ARL, takže se posun procesu detekuje dříve, než kdyby se kumulativní součty počítaly od nuly. Tato metoda je v literatuře označována jako FIR CUSUM (Fast Initial Response CUSUM) (Ryan, 2011). Hlavní předností metody CUSUM oproti Shewhartovým diagramům je větší citlivost. Metoda CUSUM je zvláště výhodná ve srovnání se Shewhartovými diagramy v případě individuálních hodnot. CUSUM diagramy jsou vhodné pro regulaci procesů, které jsou dlouhodobě stabilní, protože efektivně detekují malé posuny procesu, detekce velkých posunů procesu je touto metodou zdlouhavá, vhodnější je pak použít Shewhartovy diagramy nebo kombinované CUSUM-Shewhartovy diagramy. Problémem je také správné stanovení cílové hodnoty procesu 0. Jedná se o složitější metodu regulace procesu, která vyžaduje trénink obsluhy, aby byly diagramy správně vyhodnoceny, a v případě potřeby, došlo k včasnému zásahu do procesu, což pro firmu představuje náklady na školení obsluhy. Metoda CUSUM je efektivní, když data nejsou autokorelována. Pokud data autokorelována jsou, liší se skutečná hodnota ARL od očekávané. CUSUM se dá aplikovat i na jiná rozdělení než normální (Mitra, 2008; Ryan, 2011). 1.3 EWMA Metoda EWMA (Exponentially Weighted Moving Average = exponenciálně vážený klouzavý průměr) využívá stejně jako metoda CUSUM informací ze všech předchozích pozorování. Obě metody lze aplikovat jak na individuální hodnoty, tak S m S m 19

podskupiny. Rozdílem ale je, že jednotlivým pozorováním je při výpočtu připisována různá váha vyjádřená pomocí parametru, který je z intervalu (0;1>. Nejvyšší váhu má poslední pozorování, váha předchozích pozorování exponenciálně klesá. Volba konkrétní hodnoty parametru ovlivňuje vlastnosti diagramu. Čím menší je hodnota, tím větší význam je přikládán předchozím pozorováním. Nízká hodnota parametru zvyšuje citlivost diagramu k malým posunům procesu a naopak, vyšší hodnota zvyšuje citlivost diagramu k větším posunům procesu. Proto také EWMA diagramy s blízkým 1 jsou podobné Shewhartovým diagramům, a při stanovení blízkým 0 se EWMA metoda podobá metodě CUSUM. Často se používá hodnota = 0,2, což znamená, že poslednímu pozorování je přiřazena váha 0,2 (Oakland, 2003; Simões, Epprecht, Costa, 2010; Noskievičová, Brodecká, 2011). Hodnota statistiky EWMA se pro individuální hodnoty vypočítá takto (Ryan, 2011): w m xm ( 1 ) wm 1 (10) EWMA diagram se skládá z centrální přímky CL a horní a dolní regulační meze (UCL a LCL), kam se pak vynáší charakteristika w m (10). Pokud se vynesené body nachází uvnitř regulačních mezí, pak je proces pod statistickou kontrolou. Regulační meze nejsou konstantní, ale závisí na pořadí pozorování. Regulační meze UCL a LCL se spočítají podle vzorce (Ryan, 2011): CL x (11) 2m UCL, LCL x 3 (1 (1 ) ) (12) 2 kde σ je směrodatná odchylka, m je pořadí pozorování, je zvolený parametr. 2m Vzhledem k tomu, že se výraz (1 (1 ) ) při vyšších hodnotách m limitně blíží k hodnotě 1, tak se někdy používají v regulačních diagramech konstantní meze (13), které se spočítají podle vzorce (Ryan, 2011): UCL, LCL x 3 (13) 2 Regulační meze jsou v případě 1 vzdáleny 3σ od centrální přímky, což je shodné s Shewhartovými diagramy. EWMA je robustní metoda, takže i v případě 20

individuálních pozorování by se na vlastnostech diagramu nemělo příliš projevit nenormální rozdělení (Montgomery, 2009). Modifikovaná podoba EWMA, tzv. dynamický diagram EWMA lze použít i v případě, že jsou hodnoty ovlivněny pozitivní autokorelací a proces má nekonstantní střední hodnotu. Regulační meze jsou překročeny jen v případě náhlé změny střední hodnoty, drobné kolísání procesu signál nevyvolá. Metoda CUSUM nebo Shewhartovy diagramy jsou v případě autokorelace neefektivní (Noskievičová, Brodecká, 2011). Modifikovaná metoda EWMA lze použít tehdy, když specifikace procesu nepožaduje konstantní střední hodnotu, ale je možné její kolísání. Využívá jednokrokovou predikci EWMA (14), která je dána vzorcem (Montgomery, 2009): ˆ w m x ˆ ( ) (14) m m1 kde x m 1 je předpověď hodnoty x pro další časový okamžik. Regulační meze jsou pak vzdáleny 3σ od této predikce EWMA. UCL ˆ m 1 wm 3 xm 1( m) 3 (15) LCL ˆ m 1 wm 3 xm 1( m) 3 (16) Do grafu se vynáší hodnoty statistiky EWMA (10) a hodnoty jednokrokové predikce statistiky EWMA (14), ty se porovnávají s modifikovanými regulačními mezemi UCL m1 a LCL m1. 21

2 Testování předpokladů Při statistické regulaci procesu je vedle sestrojení regulačních diagramů také nutné testování předpokladů. Především se jedná o testování normality, autokorelace a konstantní střední hodnoty. O těchto třech předpokladech bude pojednáno dále. Způsobilost procesu lze spočítat jen tehdy, když mají data normální rozdělení. Pokud se nachází body mimo regulační meze nebo se nachází ve zvláštních uskupeních, pak se zkoumá, zda nejsou data ovlivněna autokorelací nebo zda se nemění střední hodnota procesu. 2.1 Testování normality Pro výběr vhodné metody regulace procesu je nutné otestovat, jaké mají data z daného procesu rozdělení, zda normální N(μ,σ 2 ) či jiné. Normální rozdělení spojité náhodné veličiny je definováno pomocí funkce hustoty: 2 ( x) 1 2 2 f ( x) e (17) 2 kde μ je střední hodnota, σ 2 je rozptyl. Shewhartovy diagramy mají očekávané vlastnosti pouze v případě, že je splněn požadavek normálního rozdělení, konstantního rozptylu a konstantní střední hodnoty. Tomu ale v praxi vyhovuje pouze 2 % výrobních procesů (Michálek, 2001). K ověření předpokladu normality lze použít grafické metody nebo statistické testy, výsledek je obsažen ve výstupu ze statistických softwarových programů (p-hodnota). Grafické metody Histogram je grafické znázornění dat pomocí stejně širokých sloupců reprezentujících jednotlivé intervaly hodnot. Výška jednotlivých sloupců (znázorněná na ose y) je úměrná četnosti v jednotlivých intervalech. Pokud se jedná o normální rozdělení, pak by měl mít histogram tvar Gaussovy křivky. Počet intervalů, do kterých budou data rozdělena, závisí na počtu pozorování a na oboru hodnot. Histogram není vhodné používat při malém počtu pozorování, doporučuje se jich minimálně 100. V případě menšího počtu pozorování je histogram velice citlivý na změnu počtu a šířky jednotlivých intervalů, takže tvar histogramu a z něj plynoucí závěry mohou být zavádějící (Montgomery, 2009). 22

Obvykle se ale k ověření normality používají jiné grafické metody. V případě kvantil-kvantilového (Q-Q) grafu jsou na ose x vyneseny kvantily normálního rozdělení, na ose y jsou vyneseny výběrové kvantily. Obě stupnice jsou lineární. Pokud mají data normální rozdělení, pak body leží v blízkosti přímky y=x. Alternativou je pravděpodobností graf, což je Q-Q graf s nelineární stupnicí, kde na ose x jsou hodnoty teoretické distribuční funkce, na ose y jsou hodnoty empirické distribuční funkce. Pokud je empirické rozdělení stejné jako námi zvolené teoretické (normální), pak body tvoří přímku o směrnici 1 (Montgomery, 2009). Statistické testy Existuje celá řada statistických testů normality, pro účely této diplomové práce byly vybrány jen ty, které jsou k dispozici v programu Statgraphics, který bude využíván v praktické části. Jedná se o chí-kvadrát test dobré shody, test šikmosti a špičatosti, Shapiro Wilkův test a Kolmogorov Smirnovův test. Test šikmosti a špičatosti rozdělení vychází z faktu, že u normálního rozdělení jsou oba koeficienty rovny nule. Koeficient šikmosti je dán vztahem (Neubauer, Sedlačík, Kříž, 2012): a š n 3 ( xi x) i1 (18) 3 nsn Koeficient špičatosti je dán vztahem (Neubauer, Sedlačík, Kříž, 2012): n 4 ( xi x) a 4 i1 4 ns 3 (19) kde x je aritmetický průměr, n je počet hodnot, s n je směrodatná odchylka. Chí-kvadrát test dobré shody je metodou, která porovnává distribuční funkci sledované spojité náhodné veličiny s distribuční funkcí normovaného normálního rozdělení. Nulová hypotéza H 0 zní: data pocházejí z normálního rozdělení, alternativní hypotéza H 1 je formulována: data nepocházejí z normálního rozdělení. Testová statistika má tvar (Neubauer, Sedlačík, Kříž, 2012): n 23

G k j1 ( n j n ) n j j 2 (20) kde k je počet intervalů, do kterých je rozdělen soubor, n je skutečná četnost, n j je očekávaná četnost, c je počet neznámých parametrů. j Hodnota testové statistiky je porovnána s tabelovanou hodnotou 1 () v, kde 2 v=k-c-1. Pokud je vypočítaná hodnota G menší nebo rovna tabelované, pak se H 0 nezamítá, pokud je vypočtená hodnota větší než tabelovaná, pak má sledovaný znak jiné než normální rozdělení. Ověřování normality rozdělení pomocí G není vhodné při malém rozsahu souboru. V tomto případě je vhodnější použít Kolmogorov Smirnovův test (Neubauer, Sedlačík, Kříž, 2012). Testová statistika je rovná největší vzdálenosti mezi distribuční funkcí F(x) určitého rozdělení (v tomto případě normálního) a distribuční funkcí výběrového souboru F n (x). d n sup F ( x) F( x) (21) x n N( xi x) Fn ( x) (22) n kde n je rozsah výběrového souboru, N( x i x) je počet hodnot menších nebo rovných x. Pokud je testová statistika (21) d n větší než tabelovaná hodnota d n,1, pak se zamítá nulová hypotéza, že výběrový soubor pochází z daného rozdělení. Pro výběr o malém rozsahu (7 n 30) lze normalitu testovat také pomocí Shapiro Wilkova testu, který je citlivější než chí-kvadrát test dobré shody. Hodnota testové statistiky W je dána vzorcem (Panik, 2005): W k j1 a ( x j n i1 ( n j1) i x ( x x) 2 ( j) ) 2 (23) 24

kde a j (n) jsou tabelované konstanty uvedené např. v Panik, 2005, str. 761, v případě sudého počtu hodnot k=n/2, v případě lichého počtu hodnot k= (n-1)/2, n je rozsah výběru, x (1) až x (n) ve vzorci znamenají jednotlivá měření seřazená vzestupně podle velikosti. Vypočtená hodnota W se porovnává s hodnotou tabelovanou, pokud je vypočtená hodnota W menší než tabelovaná, pak se zamítá nulová hypotéza o normalitě rozdělení. Využití p-hodnoty Ve statistických softwarových programech jako je např. Statgraphics, Statistica či MATLAB jsou obsaženy nástroje k ověření předpokladu normality (např. chí-kvadrát, Shapiro-Wilkův test, Kolmogorov Smirnov, Anderson Darling nebo Ryan Joiner test). Vedle hodnoty testové statistiky je uvedena i p-hodnota. Ta je definována následovně (Neubauer, Sedlačík, Kříž, 2012, str. 194): P-hodnota (p-value) je nejmenší hladina významnosti, při které je možné ještě zamítnout nulovou hypotézu H. Pokud je p-hodnota menší než námi zvolená hladina významnosti (α), pak na hladině významnosti α zamítáme nulovou hypotézu. Díky p-hodnotě není nutné hledat kritické hodnoty ve speciálních tabulkách a porovnávat je s vypočtenými testovými statistikami, při rozhodování o normalitě rozdělení stačí využít p-hodnotu. 2.2 Testování autokorelace dat Dalším porušením předpokladů může být autokorelace dat, tedy situace, kdy naměřená hodnota x i do jisté míry závisí na předešlé hodnotě x i-1, což je častý problém časových řad. Jedná se o tzv. pamět procesu. Důsledkem autokorelace je vychýlený odhad rozptylu, proto při silnější autokorelaci některé statistické metody regulace procesu ztrácí vypovídací schopnost. To je dáno tím, že vychýlený odhad rozptylu ovlivní regulační meze diagramů. Autokorelace může být negativní či pozitivní. Nejčastěji se vyskytuje autokorelace prvního řádu (náhodná složka závisí pouze na náhodné složce minulého období), která se testuje pomocí Durbin-Watsonovy statistiky (Wheeler, 2004). Durbin-Watsonova statistika je dána vzorcem (Wooldridge, 2013): 25

DW n t2 ( uˆ t n t1 uˆ uˆ 2 t1 2 t ) (24) kde û t je reziduum v čase t; reziduum je rozdíl mezi skutečnou hodnotou x a předpovědí na základě modelu. Statistika DW nabývá hodnot v intervalu <0;4>. K tomu, aby bylo možné prohlásit, zda jsou data autokorelována či nikoli, je nutné v tabulkách Durbin-Watsonovy statistiky vyhledat dolní a horní mez, d L a d U, pro příslušný počet hodnot a vysvětlujících proměnných a určit, do kterého z intervalů spadá vypočítaná hodnota DW. Pokud se vypočítané DW nachází v intervalu (0, d L ), pak se jedná o významnou pozitivní autokorelaci, pokud je DW v intervalu (4-d L, 4), jedná se o významnou negativní autokorelaci. Pokud se vypočítaná hodnota DW nachází kolem hodnoty 2, tedy v intervalu (d U, 4-d U ), pak lze přijmout nulovou hypotézu, že autokorelace neexistuje. Nedostatkem této metody zjišťování autokorelace je existence pásma neprůkaznosti, což znamená, že v těchto intervalech nelze přijmout ani zamítnout nulovou hypotézu, tedy že autokorelace neexistuje (Wooldridge, 2013). Univerzálnější metodou testování autokorelace dat je Breusch-Godfreyův test, jelikož testuje i autokorelaci vyšších řádů. Durbin-Watsonova statistika, Breusch-Godfreyův test a další testy autokorelace jsou obsaženy ve statistických programech. 2.3 Analýza rozptylu K analýze rozptylu se přistoupí tehdy, když body v regulačním diagramu naznačují v průběhu sledování změnu střední hodnoty. Na základě analýzy rozptylu (ANOVA) lze určit, zda mají jednotlivé podskupiny stejné střední hodnoty nebo zda se liší. ANOVA předpokládá normální rozdělení v každé podskupině, nezávislost měření a homogenitu rozptylů uvnitř každé podskupiny. Pokud toto není splněno, je nutné k analýze rozptylu použít jinou metodu, např. Kruskall-Wallisův test. O tom, zda mají podskupiny stejné střední hodnoty, se rozhoduje na základě F-testu. Celkový rozptyl souboru se dělí na rozptyl mezi podskupinami a rozptyl v rámci podskupiny. F-statistika se spočítá jako podíl variability mezi jednotlivými 26

podskupinami a variabilitou v rámci podskupin. Vypočtená hodnota F-statistiky se porovná s tabelovanou hodnotou, pokud je větší než tabelovaná, pak se zamítá nulová hypotéza o shodě středních hodnot. 27

3 Způsobilost procesu Způsobilost procesu je podle ISO normy 21747 charakterizována takto (ISO 21747, 2009; str. 13): statistický odhad výsledného výstupu znaku z procesu, u něhož bylo prokázáno, že je ve statisticky zvládnutém stavu; tento výsledný výstup popisuje schopnost procesu realizovat hodnotu znaku, která bude splňovat požadavky na tento proces. Způsobilost procesu tedy vyjadřuje schopnost procesu dostát daným požadavkům zákazníků, které jsou vyjádřeny prostřednictvím specifikací v podobě mezí (USL a LSL). Vedle mezí daných specifikací se v souvislosti se způsobilostí procesů definují ještě tzv. přirozené toleranční meze, které vycházejí z variability procesu a běžně se stanovují ve vzdálenosti ± 3σ od střední hodnoty procesu μ. Pokud má sledovaná charakteristika procesu normální rozdělení, pak se bude v intervalu definovaném těmto mezemi nacházet 99,73 % hodnot. Způsobilost procesu se hodnotí jen tehdy, když je proces pod statistickou kontrolou, což znamená, že veškerá variabilita (kolísání) je pouze inherentní a nezpůsobila ji žádná zvláštní příčina. Oproti tomu výkonnost procesu se sleduje bez ohledu na to, zda je nebo není proces ve statisticky zvládnutém stavu. To, do jaké míry je proces způsobilý se dá posoudit ze vztahu mezi přirozenými tolerančními mezemi a mezemi danými specifikací. Mohou nastat tři případy. Jsou-li přirozené toleranční meze menší než meze dané specifikací, znamená to, že většina hodnot (více než 99,73 %) bude odpovídat požadavkům zákazníka. Pokud se meze dané specifikací a přirozené toleranční meze rovnají, pak to znamená, že v případě normálního rozdělení a centrovaného procesu (střední hodnota μ leží přesně uprostřed USL a LSL) přesně 99,73 % výstupů procesu bude odpovídat daným specifikacím. Jsou-li meze dané specifikací uvnitř přirozených tolerančních mezí, znamená to, že i když je proces pod statistickou kontrolou, tak je inherentní variabilita procesu větší než šířka tolerančního pole, takže se mimo meze dané specifikací ocitne více hodnot než v předešlých případech. V takovém případě je nutné uvažovat o úpravě šířky tolerančního pole (po dohodě se zákazníkem) nebo snížení variability procesu (např. použitím kvalitnějších surovin, lepším vyškolením operátorů strojů, ). Tyto návrhy na změnu je nutné před jejich zavedením nejprve zhodnotit z ekonomického hlediska. 28

Může se totiž stát, že bude ekonomicky výhodnější proces ani meze dané specifikací neměnit i za cenu většího počtu nevyhovujících výrobků (Mitra, 2008). Dříve než se přistoupí k hodnocení způsobilosti procesu, je nutné nejprve zjistit, zda je proces statisticky stabilní (pomocí regulačních diagramů) a zda mají pozorování normální rozdělení. Na základě toho se pak volí vhodný ukazatel způsobilosti resp. výkonnosti procesu. Způsobilost procesu se vyjadřuje pomocí ukazatelů způsobilosti, které se doporučují doplnit i graficky, pomocí histogramu. Histogram je jednoduchý nástroj, který poskytuje informaci o přibližné způsobilosti procesu. K tomu, aby bylo možné na základě histogramu rozhodnout o způsobilosti nebo nezpůsobilosti procesu, je nutné, aby v něm bylo zaneseno minimálně 100 pozorování (Montgomery, 2009, str. 347). Problémem ale je, že rozhodnutí, zda, je proces způsobilý nebo ne, záleží na subjektivním posouzení diagramu. Nejobjektivnější je hodnocení na základě výpočtu ukazatelů způsobilosti procesu, což jsou bezrozměrná čísla, díky nimž je možné snadno určit, jestli je proces způsobilý, ale také porovnat mezi sebou několik procesů nebo dodavatelů (Montgomery, 2009). 3.1 Ukazatele způsobilosti procesu C p Nejjednodušším ukazatelem způsobilosti procesu je ukazatel podle vzorce (Kotz, Johson, 1993): Cp C p, který se spočítá USL LSL (25) 6 kde USL je horní mez pro sledovaný znak, LSL je dolní mez pro sledovaný znak, σ je směrodatná odchylka. Pokud není směrodatná odchylka známá, je nutné její hodnotu odhadnout, v tomto případě se Ĉ p získá dosazením do rovnice (Kotz, Johson, 1993): ˆ Cp kde ˆ je odhad směrodatné odchylky. USL LSL (26) 6ˆ Směrodatnou odchylku lze odhadnout pomocí vzorců (Ryan, 2011): 29

R ˆ (27) d 2 s ˆ (28) c 4 kde R je průměrné rozpětí procesu, s je výběrová směrodatná odchylka, d 2 a c 4 jsou konstanty, které jsou uvedené v normě ISO 8258. Kromě oboustranného ukazatele C p resp. Ĉ p se dá způsobilost procesu vyjádřit pomocí horního a dolního jednostranného ukazatele C pu a C pl (Montgomery, 2009): USL CpU (29) 3 CpL LSL (30) 3 kde USL a LSL je horní a dolní mez určená specifikací, μ je střední hodnota, σ je směrodatná odchylka. Pokud hodnoty μ a σ nejsou známy, tak se použije jejich odhad. Ukazatel C p vyjadřuje pouze potenciální způsobilost procesu, která by skutečně platila jen v případě, že by byl proces statisticky stabilní, střední hodnota procesu μ byla umístěna přesně uprostřed USL a LSL (tzv. centrovaný proces), a hodnoty by měly normální rozdělení. Když je C p rovno jedné, tak to znamená, že se mezi USL a LSL (vzdálenost ± 3σ od střední hodnoty μ) nachází 99,73 % hodnot. Pokud by nebyl proces centrovaný, tak by se mohlo stát, že i při C p větším než 1 by mimo interval vymezený mezemi USL a LSL leželo více než 0,27 % hodnot. V praxi se za způsobilý proces považuje takový, který má C p > 1,33, což znamená, že pouze 0,007 % hodnot leží mimo interval USL a LSL (Montgomery, 2009; Mitra, 2008, str. 424). I v případě jednostranných ukazatelů způsobilosti větší než jedna. Pokud je nad USL, C pu a C pl by měly být ukazatelé C pu = 1, pak to znamená, že 0,135 % hodnot se nachází C pl = 1 vyjadřuje, že 0,135 % hodnot se nachází pod LSL. To platí jen 30

tehdy, když je proces centrovaný a je splněn předpoklad normality rozdělení (Mitra, 2008). V tabulce č. 1 jsou uvedeny počty neshodných na milion (ppm) pro vybrané hodnoty C p za předpokladu, že je proces statisticky stabilní, centrovaný a je splněn předpoklad normality rozdělení. Je patrné, že počet neshodných klesá s rostoucí hodnotou C p. Pro porovnání jsou uvedeny počty neshodných pro oboustrannou i jednostrannou specifikaci ( C pu a C pl). Tab. 1 Počty neshodných v ppm pro různé hodnoty ukazatele způsobilosti Hodnota ukazatele způsobilosti Oboustranná specifikace ( C p ) Jednostranná specifikace ( C pu a C pl) 0,25 453 255 226 628 0,50 133 614 66 807 1,00 2 700 1 350 1,20 318 159 1,50 7 4 1,80 0,06 0,03 2,00 0,0018 0,0009 Zpracováno dle: Montgomery, 2009, str. 353 V tabulce č. 2 jsou doporučené hodnoty ukazatele způsobilosti procesu C p v případě jednostranné i oboustranné specifikace, kterých by měl proces minimálně dosahovat, aby byl označený za způsobilý. 31

Tab. 2 Hodnoty C p v závislosti na typu procesu Oboustranná specifikace ( C p ) Jednostranná specifikace ( C pu a C pl) Existující proces 1,33 1,25 Nový proces 1,50 1,45 Existující proces znak důležitý např. z bezpečnostního hlediska Nový proces - znak důležitý např. z bezpečnostního hlediska 1,50 1,45 1,67 1,60 Zdroj: Montgomery, 2009, str. 354 Hodnota ukazatele způsobilosti Ĉ p vychází z odhadu μ a σ, což znamená, že kdykoli se změní výběr hodnot, tak dochází k přepočítání ˆ a ˆ a s tím se i mění hodnota ukazatele. Z tohoto důvodu se někdy vyjadřuje způsobilost procesu C p pomocí tzv. konfidenčního intervalu. Ten udává, v jakém intervalu se s určitou pravděpodobností bude nacházet (Bissel, 1994): C p. 100(1-α)% konfidenční interval pro C p je Cˆ p 2 2 ( v) ( v) Cp Cˆ / 2 1 / 2 p (31) v v 2 2 kde ( v) a ( v) / 2 1 / 2 v=k(n-1) x korekční faktor (32) jsou kvantily chí-kvadrát rozdělení s v stupni volnosti, k je počet podskupin, n je rozsah podskupiny, hodnoty korekčního faktoru jsou uvedeny např. v Bissell, 1994, str. 306. C pk Ukazatel způsobilosti rozdíl od C pk se v praxi používá nejčastěji, protože zohledňuje, na C p, i umístění střední hodnoty procesu. Pokud je proces centrovaný (střední hodnota leží přesně v polovině vzdálenosti mezí LSL a USL), pak se C pk 32

rovná C p. Stejně jako u C p je nutné, aby byl splněn předpoklad normality rozdělení a proces byl pod statistickou kontrolou. Pokud by tomu tak nebylo, pak by došlo k chybné interpretaci ukazatele způsobilosti. Někdy se ukazatelem aktuální způsobilosti, zatímco způsobilosti (Montgomery, 2009, str. 356). Ukazatel (Montgomery, 2009): C pk nazývá C p je ukazatelem potenciální C pk se spočítá podle vzorce USL 3 LSL 3 C pk min, min CpU, C pl (33) Proces je způsobilý, když je C pk (1,67 nebo 2,00) (Oakland, 2003, str. 266-267). C pk 1,33; v praxi se ale často vyžaduje ještě vyšší Konfidenční interval, který udává, v jakém intervalu se s 100(1-α)% pravděpodobností nachází Cˆ pk 1 u C pk, se určí podle (Bissell, 1994): 1 1 C Cˆ 1 1 / 2 pk pk 1 u1 / 2 (34) kncˆ 2 9 2v v pk 9knCˆ 2 2 pk 1 kde Ĉ pk je odhad C pk (použití ˆ a ˆ ), u je kvantil normovaného normálního rozdělení, k je počet podskupin, n je rozsah podskupiny, v je počet efektivních stupňů volnosti (viz vzorec č. 32) C pm Ukazatel způsobilosti C pm patří, stejně jako C pk, k ukazatelům tzv. druhé generace, které zohledňují polohu procesu. Jak moc je střední hodnota vzdálená od středu tolerančního pole lze posoudit porovnáním ukazatele způsobilosti že C pk s C p nebo pomocí C pm, který v sobě tuto informaci nese. Nedostatkem ale je, C pm nezahrnuje informaci o vztahu mezi střední hodnotnou procesu μ a mezemi danými specifikací. Proto je v případě, že jsou meze USL a LSL umístěny asymetricky od cílové hodnoty T, ukazatel Cpmnepřesný (Ryan, 2011, Mitra, 2008). C pm USL LSL USL LSL 6 2 6 ( T ) 2 (35) kde je odmocnina ze střední kvadratické odchylky od cílové hodnoty T podle 2 vzorce E X T 2, μ je střední hodnota, σ2 je rozptyl. 33

C pmk Ukazatel způsobilosti C pmk patří do tzv. třetí generace ukazatelů způsobilosti. Cpmk vychází z ukazatelů C pk a C pm (33, 35), takže poskytuje informaci o variabilitě procesu, umístění střední hodnoty μ a vzdálenosti střední hodnoty od cílové hodnoty procesu T. C pmk se rovná C pk, když platí μ = T. C pmk se rovná C pm, když jsou meze dané specifikací symetricky umístěné kolem μ. Pokud jsou splněny oba předpoklady (μ = T, symetrické meze USL a LSL), pak se 2011, str. 231; Mitra, 2008, str. 428). C pmk C pmc C p pk min ( USL ),( LSL) 2 2 3 ( T) C pmk rovná C p (Ryan, (36) 3.2 Způsobilost procesu v případě nenormálního rozdělení hodnot Výše uvedené ukazatele způsobilosti předpokládají normální rozdělení dat. Pokud tomu tak není, nemá ukazatel dobrou vypovídací schopnost. Proto se v případě nenormálního rozdělení volí některá z jiných možností, jak určit způsobilost procesu. První je tzv. transformace dat tak, aby odpovídala normálnímu rozdělení a následně se na ně daly aplikovat zmíněné vzorce pro ukazatele způsobilosti. Další možností je použít ukazatel způsobilosti normální rozdělení nevyžaduje. C pc (Montgomery, 2009), který C pc USL LSL 6 (37) E X T 2 Třetí možností, jak určit způsobilost procesu v případě jakéhokoliv rozdělení, je pomocí ukazatelů způsobilosti, které k výpočtu používají kvantily. Vzorce jsou uvedeny v ČSN ISO 21747. C p USL LSL (38) X 0 X,99865 0,00135 C pk L X 0,5 LSL (39) X X 0,5 0,00135 C pk U USL X 0,5 (40) X X 0,99865 0,5 34

kde 0, 99865 X, X 0, 00135 a X 0, 5 jsou 99,865% resp. 0,135% a 50% kvantil příslušného rozdělení. 3.3 Výkonnost procesu Výkonnost procesu definuje Česká technická norma (ISO 21747, 2009, str. 11) jako: statistický ukazatel výsledného výstupu znaku z procesu, o němž nemusí být prokazováno, že je ve statisticky zvládnutém stavu. Interpretace ukazatele výkonnosti procesu proto může být někdy zavádějící, protože v případě, že proces není statisticky stabilní (variabilita plyne i ze zvláštních příčin a nejen inherentních), tak není možné předpovídat budoucí chování procesu. Výpočet výkonnosti se od způsobilosti liší pouze tím, že se směrodatná odchylka σ odhadne pomocí výběrové směrodatné odchylky na základě všech naměřených hodnot, takže vyjadřuje celkovou variabilitu (kolísání) sledovaného znaku. Pokud není splněn předpoklad normality rozdělení, pak je, stejně jako u výpočtu způsobilosti procesu, možné data transformovat, aby normálnímu rozdělení odpovídala, nebo je možné výkonnost procesu spočítat pomocí kvantilů. Vzorce jsou uvedeny v ČSN ISO 21747. P p USL LSL (41) X 0 X,99865 0,00135 Ppk L X 0,5 LSL (42) X X 0,5 0,00135 Ppk U USL X 0,5 (43) X X 0,99865 0,5 kde 0, 99865 X, X 0, 00135 a X 0, 5 jsou 99,865% resp. 0,135% a 50% kvantil příslušného rozdělení. 3.4 Způsobilost systému měření Při analýze způsobilosti procesu pro měřitelné znaky kvality není celková variabilita procesu ve skutečnosti dána jen rozdíly mezi měřenými jednotkami, ale také variabilitou, která plyne ze systému měření, ta ale není v dříve uvedených ukazatelích způsobilosti zohledněna. Celkovou variabilitu lze vyjádřit následovně (Mitra, 2008): 35

(44) 2 2 2 m e kde 2 m je celková variabilita, variabilita daná rozdíly mezi měřenými jednotkami. 2 e je variabilita plynoucí ze systému měření a 2 je Obvykle se variabilita způsobená systémem měření zanedbává, což je možné jen v případě, když je způsobilost systému měření dostatečná (vyšší než 1,67). Pokud tomu tak není, je vhodnější při vykazování způsobilosti procesu místo dříve uvedené směrodatné odchylky σ raději použít k výpočtu m. 2 Variabilitu způsobenou systémem měření e lze rozdělit na několik složek, jak je znázorněno na obrázku 3. Zdroj: Mitra, 2008, str. 436 Obr. 3 Složky celkové variability Variabilita způsobená systémem měření se dělí na dvě složky (Mitra, 2008): opakovatelnost ( ) a reprodukovatelnost ( ). 2 t 2 p 2 e (45) 2 t 2 p Opakovatelnost označuje kolísání hodnot, ke kterým dochází při opakovaném měření stejné jednotky za stejných podmínek (stejné měřidlo, stejný operátor, ). 36