RELACE, OPERACE Relace Užití: 1. K popisu (evidenci) nějaké množiny objektů či jevů, které lze charakterizovat pomocí jejich vlastnostmi. Entita je popsána pomocí atributů. Ty se vybírají z domén. Různé entity se liší aspoň v jednom atributu. Viz relační databáze. Coodova algebra pro práci s relacemi. 2. K tomu, abychom formálně popsali vlastnosti předmětů dané množiny a vztahy mezi dvěma nebo více předměty dané množiny objektů či jevů (entit). Formálně: Relace s doménami A 1, A 2,..., A n DEF každá podmnožina kartézského součinu A 1 A 2... A n. Jsou-li domény totožné nazývá se relace relací na množině A. n- ární relace na A DEF podmnožina A A... A = A n. Unární relace... Vlastnost Binární relace... Vztah dvou prvků Ternární relace... Vztah tří prvků.... Důležité vlastnosti binárních relací na množině, kterých je třeba si všímat: Symetrická relace, právě když pro všechna a, b A platí vztah a R b b R a. Pak ovšem můžeme také psát, že a R b b R a. Reflexivní relace, právě když pro všechna a A platí vztah a R a. Transitivní relace, právě když pro všechna a, b, c A platí vztah (a R b b R c) a R c. Tranzitivnost je nutný požadavek pro vyjádření preference pomocí binární relace.
Pro popření těchto vlastností se užívá přepon ne, anti případně a, jejichž význam může být odlišný. Tak například u symetričnosti se těchto předpon obvykle užívá v tomto smyslu: Nesymetrická relace je relace, pro kterou existuje alespoň jedna dvojice prvků a, b A taková, že a R b, ale neplatí b R a. Tedy relace, která není symetrická. Antisymetrická relace je relace, pro kterou pro všechna a, b A platí, že pokud a R b a současně b R a, potom je a = b. Pojmy symetrická a antisymetrická relace nejsou navzájem opakem. Existuje řada relací, které nejsou ani symetrické, ani antisymetrické. Například na množině čísel {1,2,3} relace obsahující dvojice {(1,2) (2,1) (1,3)}). Přítomnost prvků (1,2) i (2,1) vylučuje antisymetričnost, přítomnost (1,3) a nepřítomost (3,1) vylučuje symetričnost relace. Existují dokonce i relace, které jsou zároveň symetrické i antisymetrické. Například relace obsahující dvojice {(1,1) (2,2) (3,3)}. Asymetrická relace je pak relace pro všechna a, b A platí vztah a R b (b R a). Negativně transitivní relace je relace, pro kterou z neplatnosti vztahu a R b a neplatnosti vztahu b R c plyne neplatnost vztahu a R c (jinými slovy, pokud je x R y, potom pro libovolné z A je buď x R z, nebo z R y. Úplná relace, je relace, ve které pro libovolné dva prvky a, b A platí, že je buď a R b, nebo b R a. Slabě úplná relace, pokud pro každé dva různé prvky a, b A, a b, je buď a R b nebo b R a. Ekvivalence DEF relace, která je symetrická, reflexivní a tranzitivní. Určuje, které prvky jsou z určitého hlediska záměnné. Ekvivalence definuje rozklad množiny na disjunktní podmnožiny vzájemně ekvivalentních prvků.
Ostré preference a b. Popisují, že a dáváme (z jistého hlediska) přednost před b. V případě, že neplatí ani a b ani b a nevíme zda a a b jsou ekvivalentní nebo zda jsou neporovnatelné. Neostré preference a b. Popisují, že a je z daného hlediska stejně dobré nebo lepší než b. Popíšeme-li situaci pomocí neostrých preferencí a b lze neporovnatelné a ekvivalentní prvky odlišit takto: Pokud a b a současně b a jsou prvky a a b ekvivalentní, Pokud neplatí ani a b ani b a jsou prvky a, b neporovnatelné. Ostrou relaci preference lze na základě neostré definovat vztahem Ekvivalenci vztahem =. =. Proto je výhodnější užít pro popis preferencí neostré relace. Zvolímeli ostré relace je ekvivalenci nutné dodefinovat dodatečně. KVAZIUSPOŘÁDÁNÍ na množině A DEF reflexivní a tranzitivní relace na A (může obsahovat jak různé ale ekvivalentní prvky, tak i prvky neporovnatelné). ČÁSTEČNÉ USPOŘÁDÁNÍ na množině A DEF reflexivní tranzitivní a antisymetrická relace na A, tedy kvaziuspořádání, v kterém nemohou existovat dva různé, ale ekvivalentní prvky (neporovnatelné existovat mohou). SLABÉ USPOŘÁDÁNÍ na množině A DEF reflexivní tranzitivní a úplná relace na A, tedy kvaziuspořádání, v kterém jsou libovolné dva prvky porovnatelné (mohou ale být ekvivalentní). USPOŘÁDÁNÍ na množině A DEF reflexivní tranzitivní, antisymetrická a úplná relace na A, tedy relace, která je současně částečným i slabým uspořádáním (libovolné dva prvky jsou vždy porovnatelné a neexistují různé ale ekvivalentní prvky).
Tomu odpovídají typy ostrých preferencí: OSTRÉ ČÁSTEČNÉ USPOŘÁDÁNÍ DEF tranzitivní a asymetrická relace (taková relace je samozřejmě reflexivní) OSTRÉ SLABÉ USPOŘÁDÁNÍ DEF asymetrická a negativně tranzitivní relace (odtud lze odvodit, že je i tranzitivní) OSTRÉ USPOŘÁDÁNÍ DEF asymetrická, tranzitivní a úplná relace. Jak zaznamenat relaci: Výčtem prvků (málo přehledné): {(orchidej, orchidej), (orchidej, růže), (orchidej, karafiát), (orchidej, tulipán), (orchidej, fialka), (orchidej, bodlák), (růže, růže), (růže, karafiát), (růže, tulipán), (růže, bodlál), (karafiát, karafiát), (karafiát, bodlák), (tulipán, tulipán), (tulipán, bodlák), (fialka, fialka), (fialka, bodlák), (bodlák, bodlák)}. Tabulkou (maticí): orchidej růže karafiát tulipán fialka bodlák orchidej - o 1 1 1 1 1 1 růže - r 0 1 1 1 0 1 karafiát - k 0 0 1 1 0 1 tulipán - t 0 0 1 1 0 1 fialka - f 0 0 0 0 1 1 bodlák - b 0 0 0 0 0 1 Grafem relace Hasseho diagramem k r t o f k r t o f b Smyčky se obvykle vynechávají Jen pro tranzitivní relace! b
Uspořádání a slabé uspořádání lze pro konečné množiny a nekonečné spočetné množiny (též pro některé, ale ne všechny nekonečné nespočetné množiny) vyjádřit jedinou známkou. a b zn(a) zn(b), či zn(a) zn(b). Uspořádání a slabé uspořádání je lineární. U kvaziuspořádání, které není slabým uspořádáním to nelze. Potřebujeme více známek. Některé vztahy nelze plně popsat pomocí klasifikace: Kvaziuspořádání Částečné uspořádání Slabé uspořádání Uspořádání Například prahovou nerozlišitelnost. Vztah je blízký tak, že nemůžeme odlišit totiž není tranzitivní (není ekvivalencí).
Operace Intuitivně: Operace = Předpis, který dvěma (nebo více) vstupním hodnotám (argumentům) z dané množiny přiřazuje jednoznačně výsledek. Binární operace na množině A Ternární relace R na A, která má vlastnost: Pokud (x, y, z) R a současně (x, y, v) R, potom z = v. Jinými slovy: Binární operace na A je zobrazení z množiny A A do A. Množina A se nazývá nosič operace. Pro operace obvykle užíváme značky připomínající operace s čísly: třeba: +,, *,,,,,. Obvykle užíváme tak zvanou infixovou notaci: z = x y místo (x, y, z) Některé důležité vlastnosti binárních operací, kterých je vhodné si všímat: Binární operace s nosičem A se nazývá: Totální [total] (někdy též úplná [complete]), pokud pro libovolná a, b A existuje c A tak, že a b = c. Totální operace tedy musí mít výsledek pro libovolnou dvojici argumentů. Asociativní [associative], pokud pro libovolná a, b, c A platí a (b c ) = (a b) c. Komutativní [commutative], pokud pro libovolná a, b A platí a b = b a. S neutrálním prvkem [with neutral element] ε, pokud pro libovolné a A platí a ε = ε a = a. S inverzními prvky [with inverse element], pokud ke každému a A existuje a A takové, že platí a a = ε, kde ε je neutrální prvek.
Množina s jednou nebo několika operacemi se nazývá algebra. V matematice se vyšetřuje řada algeber. Příklad algeber s dvěma operacemi tvoří různé číselné obory: přirozená čísla, celá čísla, racionální čísla, reálná čísla, komplexní čísla s operacemi sčítání a násobení. Čím se tyto algebry liší? Přemýšlejte a hledejte rozdíly vzhledem k vlastnostem operací sčítání a násobení! Dvě důležité algebry GRUPA: operací, která má všechny zmíněné vlastnosti s výjimkou komunikativnosti (je totální, asociativní s neutrálním prvkem a ke každému prvku existuje prvek inverzní) se nazývá grupa. Pokud v grupě platí i komutativní zákon, hovoříme o Abelově grupě. Grupy jsou příkladem struktur, které se v matematice vyskytují často. Příklady grup: Celá čísla, racionální čísla, reálná čísla i komplexní čísla tvoří Abelovu grupu vzhledem k operaci sčítání. Ne však vzhledem k operaci násobení (k nule neexistuje převrácená hodnota). Příklady grup: Permutace konečné množiny a euklidovské pohyby v rovině tvoří grupu vzhledem k operaci skládání. Tyto dvě grupy nejsou Abelovy. SVAZ DEF Množina s dvěma operacemi spojení a průsek, pro které platí obdobná pravidla jako pro disjunkci a konjunkci logických hodnot nebo pro sjednocení a průnik množin. Tedy komutativní a asociativní zákon, zákony absorbce a (a b) = a, a (a b) = a a idempotence a a = a, a a = a. Příklady svazů: Booleovská algebra operace: OR a AND, Algebra všech podmnožin dané množin operace: a. Svaz lze ekvivalentně popsat pomocí částečného uspořádání, pokud je splněna podmínka, že pro libovolné dva prvky existuje nejmenší, který je větší nebo roven než oba (infimum odpovídá spojení) a největší, který je menší nebo roven oběma (infimum průsek).