Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics

Transkript

1 Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice Drahomíra Holubová Resume Polookruhy, které nejsou okruhy, mají významné zastoupení ve školské matematice. Tento příspěvek uvádí příklady komutativních a nekomutativních polookruhů, které nejsou okruhy. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics Resume The semi-rings, which are not rings, play a considerable role in educational mathematics. This article show examples of commutative and of non-commutative semirings, which are not rings.

2 Algebraická struktura polookruh je z hlediska četnosti výskytu ve školské matematice základní školy nejvýznamnější algebraickou strukturou se dvěma operacemi. Bude proto tato část příspěvku věnována přehledu pojmů týkajicích se především algebraických operací a algebraických struktur se dvěma operacemi. Definice 1. Binární (algebraická) operace o v (neprázdné) množině M je zobrazení z množiny M M do množiny M.Místo [ xyz o,, ] píšeme x o y = z a místo binární (algebraická) operce budeme obvykle říkat jen operace. Definice 2. Vlastnosti binární operace o v množině M : a) ND: neomezeně definovaná právě když pro každé prvky x, y M existuje z M, že x o y = z. b) K: komutativní právě když pro každé prvky x, y M platí x oy = yo x. c) A: asociativní právě když pro každé prvky x, yz, M platí ( x oy) o z = = x o( yo z). d) EN: v množině M existuje neutrální prvek vzhledem k operaci o - právě když existuje e M, že pro každé x M platí x oe= eo x= x; e je neutrální prvek množiny M vzhledem k operaci o. e) EI: v množině M ke každému prvku existuje prvek inverzní vzhledem k operaci o - právě když ke každému x M existuje x M, že platí x ox = xox= e; x je inverzní prvek k prvku x M vzhledem k operaci o. f) ZR: v množině M jsou řešitelné základní rovnice vzhledem k operaci o - právě když ke každým prvkům ab, M existuji prvky x, y M, že platí ao x= b a yo a= b. Pro každou operaci o v množině M platí: Existuje nejvýše jeden neutrální prvek v množině M vzhledem k operaci o. Je-li operace asociativní, pak ke každému prvku existuje nejvýše jeden prvek inverzní. Aby operace o mohla mít některou z vlastností K, A, ZR musí mit vlastnost ND ( K ND, A ND, ZR ND ). Aby operace o mohla mít vlastnost EI, musí mít vlastnost EN ( EI EN ). Jestliže má operace o vlastnost A pak má vlastnost EI právě tehdy, když má vlastnost ZR ( A ( EI ZR) ). D o : jsou-li v množině M definovány dvě binární operace o a a pro každé tři prvky x, yz, M platí: x ( yoz) = ( x y) o ( x z) a ( yoz) x= ( y x) o ( z x), pak říkáme, že operace je distributivní vzhledem k operaci o. Definice 3. Algebraické struktury typu ( M,, ) se dvěma operacemi: a) polookruh operace má vlastnosti K a A, operace má vlastnost A a platí D, b) okruh polookruh, jehož operace má vlastnost EI, neutrální prvek množiny M vzhledem k operaci nazýváme nulový a začínáme o, c) těleso okruh, kde platí ( M { o}, ) je grupa ( značí tentokrát tzv. restrikci, tj. zúžení původní operace ze struktury ( M,, ) na množinu M {}) o.

3 Je-li operace komutativní, půjde vždy o algebraickou strukturu komutativní, v opačném případě o nekomutativní. Operace, po řadě nazýváme sčítání a násobení.prvky inverzní u operace nazýváme opačné.u operace nazýváme neutrální prvek jednotkový, značíme 1, inverzní prvky nazýváme převrácené. V předcházejícím odstavci jsme se seznámili s některými důležitými typy algebraických struktur se dvěma operacemi.ve školské matematice, jmenovitě v aritmetice, nalézáme pouze polookruhy komutativní (pro úplnost uvedeme na závěr odstavce i příklad nekomutativního polookruhu).proto po uvedení příkladů polookruhů majících širší a základní působnost sestavíme přehled nejdůležitějších vlastností komutativních polookruhů. Příklady komutativních polookruhů, které nejsou okruhy a jsou, případně mohou být studovány ve školské matematice (a to i na základní škole), jsou přehledně uvedeny v [3], kde jsou též stručně připomenuty jejich základní vlastnosti. Výčet uvedených příkladů doplníme ještě několika dalšími příklady komutativních polookruhů, které nejsou okruhy, uvedenými v [2]. Je-li množina všech nezáporných reálných čísel, pak algebraická struktura (, +, ), kde +, jsou obvyklá sčítání a násobení reálných čísel, je komutativní polookruh, který není okruh, s nulovým a jednotkovým prvkem a s neomezeně proveditelným dělením. Je-li množina všech kladných reálných čísel, pak algebraická struktura (, +,, ) kde +, jsou obvyklá sčítání a násobení reálných čísel, je komutativní polookruh, který není okruh, bez nulového prvku, s jednotkovým prvkem a s neomezeně proveditelným dělením. Algebraická struktura, kde je množina všech racionálních čísel, + a jsou obvyklá sčítání a násobení racionálních čísel, je komutativní polookruh, který není okruh, bez nulového prvku a bez jednotkového prvku (a nemůže tedy být s neomezeně proveditelným dělením). Algebraická struktura, kde je množina všech reálných čísel, + a obvyklá sčítání a násobení reálných čísel, je komutativní polookruh, který není okruh, bez nulového prvku a bez jednotkového prvku. Dále uvedeme některé vlastnosti komutativního polookruhu ( M,, ): Sčítání i násobení jsou obecně komutativní a obecně asociativní operace v množině M (tzn., že například n sčítanců můžeme v libovolném pořadí a libovolně uskupené do závorek sečíst a dostaneme vždy stejný výsledek). Násobení je obecně distributivní vzhledem ke sčítání (tzn. násobíme-li m sčítanců n sčítanci, vynásobíme po řadě každý z m sčítanců každý z n sčítanců a všechny vzniklé součiny dvou prvků sečteme). Pro každé prvky a,b,c libovolného komutativního polookruhu ( M,, uvedených vět je v [1], kde jsou některé i dokázány): ) platí (většina Existuje-li rozdíl a b, pak platí (a b) b= a,( a c) ( b c) = a b ( a b) b= a.

4 Existují-li rozdíly a c,b c, pak platí ( a b) c= ( a c) b= a (b c). Existují-li rozdíly b c,a b,a (b c), pak platí a (b c) = ( a c) b = = (a Ө b) c. Existuje-li rozdíl a ( b c), pak platí a ( b c) = ( a b ) c=(a c) b. Existují-li rozdíly a b,a c,b c. pak platí (a c) (b c)= ( a c) ( b c) =a b. Existuje-li podíl a b, pak platí (a b) b= a. Je-li b o, pak (a b) b = a. Existují-li podíly a c,b c, pak platí (a b) c=(a c) b= a (b c). Existují-li podíly b c,a (b c), pak platí a (b c) = (a c) b. Existuje-li podíl a (b c ) a je b o, c o, pak platí a (b c) = ( a b) c. Existuje-li podíl a b a c o, pak platí (a c ) (b c) = a b. Existují-li podíly a b, a c, b c, pak platí (a c) (b c) = a b. Lze říci, že všechny běžně studované polookruhy (zejména číselné polookruhy) ve školské matematice jsou komutativními polookruhy. Existují však i nekomutativní polookruhy, které nejsou okruhy a o kterých je možno říci, že nejsou komplikované. Pro potvrzení předcházejícího sdělení uvedeme dva takové případy: 1. případ: Je daná množina M = { ab, } a ostré lineární uspořádání a< b.binární operace a jsou definovány takto: x y = max{ x, y}, x y = y. Operační tabulky obou operací tedy vypadají následovně: Pro vlastnosti jednotlivých operací platí: : ND A K EN EI ZR : ND A K EN EI ZR Vlastnost A pro operaci a vlastnost D je asi nutné potvrdit experimentálně, zbývající vlastnosti jsou patrné z tvarů operačních tabulek operací. Můžeme proto vyslovit následující závěr:

5 Algebraická struktura ( M,, ) je konečný nekomutativní polookruh s nulovým prvkem (je to prvek a), bez jednotkového prvku, který není okruh. Ke stejnému závěru bychom zřejmě dospěli i pro případy: M = {,,} abc, ostré lineární uspořádání a< b< c; M = {,,, abcd}, ostré lineární uspořádání a< b< c< d atd. 2. případ: Je dána množina všech čtvercových matic 2. řádu nad 0 jsou po řadě sčítání a násobení matic. a binární operace, Není těžké zjistit, že operace mají tyto vlastnosti: : ND K A EN EI ZR :ND K A EN EI ZR D Tzn. že algebraická struktura ( M,, ) je nekonečný nekomutativní polookruh 0, 0 s nulovým prvkem (matice 0, 0 ) a jednotkovým prvkem (matice 1, 0 0, 1 ), který není okruh. Vezmeme-li místo množiny množinu (množina všech nenulových přirozených čísel), dostaneme nekonečný nekomutativní polookruh bez nulového a jednotkového prvku, který není okruh. Je zřejmé, že ke stejným závěrům dospějeme i v případech, když vezmeme množinu všech čtvercových matic n-tého řádu, pro n > 2. Literatura [1] Drábek, Jaroslav Liška, Jan Viktora, Václav et al.: Základy elementární aritmetiky pro učitelství 1. stupně ZŠ. 1. vydání, Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1985, 223 s. [2] Holubová, Drahomíra: Izomorfní vnoření polookruhu všech nezáporných racionálních čísel.rigorózní práce obhájena na Pedagogické fakultě Masarykovy univerzity v Brně, 124 s. [3] Viktora, Václav: Izomorfní vnoření polookruhů.in Sborník prací Pedagogické fakulty UJEP v Brně, svazek 40, Brno: UJEP v Brně, 1974, s