in artificial market Matematicko fyzikalní fakulta Univerzity Karlovy v Praze ÚTIA AV ČR 26. listopadu 2009
Motivace Co je to neuronová sít? pokus vytvořit umělou inteligenci inspirováno přírodou mozkem schopnost učit se a zobecňovat Použití NN rozpoznávání vzorů předpovídání ČŘ komprese optimalizace
Výhody a nevýhody při předpovídání ČŘ Pro můžeme aproximovat libovolnou funkci schopnost zobecňovat robustnost Proti volba topologie učení sítě černá skříňka
Proč umělý trh? nekonvenční soutěž v obchodování, ne v "trefení" správné ceny Nevýhody 1. zdlouhavé 2. jen pro určité modely
Perceptron Značení: vektor vstupů...x = (1, x 1,..., x n ) T výstup...y vektor vah...w = (w 0,..., w n ) T práh...θ w 0 aktivační funkce...f n f ( x i w i θ) = f (x T.w) = y i=1
Aktivační funkce Obrázek: I {x 1} Obrázek: signum Obrázek: sigmoida Obrázek: tanh
Třívrstvá dopředná neuronová sít Notation: vstupní vrstva...x skrytá vrstva...w j, j = 1,..., h, u = (u 1,..., u h ) T, f výstupní vrstva...y, v značení...η = (w T 1,..., wt h, vt ) T Dynamika sítě 1. u i = f (x T w i ), i = 1,..., h 2. y = u T v = ψ h (x, η)
Hornik, Stinchcombe, White Věta Necht f : R [0, 1] ryze rostoucí s lim x f (x) = 0 a lim x + f (x) = 1. Necht J = {ψ h (x, η); h 1, η R (n+1)h+h+1 }. Potom: 1. Pro každou borelovsky měřitelnou funkci g : R n R existuje posloupnout ψ k J, k 1, taková, že µ(x; g(x) ψ k (x) > ε) 0 pro k +, ε > 0, kde µ je libovolná pstní míra na B(R n ). 2. Pro každou rostoucí funkci g : R n R existuje posloupnout ψ k J, k 1, taková, že sup x C g(x) ψ k (x) 0 pro k +, kde C je libovolná kompaktní podmnožina R n.
Motivace Podstatou práce není zkoumat trh samotný Podobnost se skutečným trhem "Hrací hřiště" jeden agent = jedna strategie Agenti předpovídání jedna ze strategií FNN, SRN, VAR, VARMA různý počet vstupů dva výstupy dividenda a změna ceny akcie počáteční peníze počáteční počet akcií snaha co nejvíce rozmnožit počáteční bohatství všichni stejně rizikově averzní
h i,t+1 = E i,t[p t+1 + d t+1 ] (1 + r)p t 2 Stavba trhu Prostředí trhu Bezrizikové aktivum s pevnou mírou výnosnosti r Rizikové aktivum 1. cena v čase t...p t 2. dividenda v čase t...d t = d + ρ(d t 1 d) + ε d,t Agent i Počet akcií, které drží v čase t... h i,t Předpověd budoucí ceny rizikového aktiva E i,t [p t+1 ] a budoucí dividendy E i,t [d t+1 ] v čase t h i,t+1 t + 1 počet akcií, které by chtěl agent i držet v čase Předpoklad CARA užitkové funkce a normálního rozdělení předpovědí
σ 2 i,t Vzorec pro podmíněný rozptyl předpovědi (pro všechny stejný): σ 2 i,t = (1 θ)σ2 t 1 n + θ(p t + d t E i,t 1 [p t + d t ]) 2, kde s σ 2 t n σ 2 t n = n 1 j=0 [P t j P t n ] 2 n 1 P t n = je historická volatilita. n 1 (1) j=0 P t j. (2) n
Vývoj počtu akcií agentů a ceny rizikového aktiva I Značení: { h b i,t+1 = i,t+1 h i,t, hi,t+1 h i,t, 0, jinak. { hi,t h a i,t+1 = i,t+1, h i,t+1 < h i,t, 0, jinak. B t+1 = A t+1 = N i=1 N i=1 b i,t+1 a i,t+1
Vývoj počtu akcií agentů a ceny rizikového aktiva II Kolik bude mít agent i v čase t + 1 akcií? h i,t + b i,t+1 a i,t+1, B t+1 = A t+1, h i,t+1 = h i,t + A t+1 B t+1 b i,t+1 a i,t+1, B t+1 > A t+1, h i,t + b i,t+1 B t+1 A t+1 a i,t+1, B t+1 < A t+1. Jak se změní cena akcií? p t+1 = p t (1 + β(b t+1 A t+1 )) + ε r,t, kde β je např. tanh a ε r,t má např. N(0, σ 2 r ) šum.
Vývoj bohatství agentů Značení: W i,t...bohatství agenta i v čase t M i,t...peníze agenta i v čase t h i,t...počet akcií agenta i v čase t W i,t = M i,t + h i,t p t W i,t = M i,t 1 (1 + r) + h i,t 1 (p t + d t )
Vývoj agentů I. Učení agentů jen na úrovni přepočítávání parametrů daných strategií. Jednou za k časových kroků. 1. porovnání bohatství všech agentů nabitého od minulého kontrolního okamžiku...w i,t W i,t k, 2. utvoření žebříčku agentů pořadí agenta R i,t, 3. r i,t = R i,t N je pst, že agent přepočítá parametry své strategie, protože nabyl v mezidobí malého bohatství.
Vývoj agentů II. Druhý krok Označme χ k i,t = W i,t W i,t k W i,t k míru růstu bohatství agenta i. s i,t = 1 1 + exp{χ k i,t } je pst přepočítání parametrů ve 2. kroku byl málo efektivní. celková pst, že agent přepočítá parametry své strategie: u i,t = r i,t + (1 r i,t )s i,t = R i,t N + N R i,t N 1 1 + exp{χ k i,t }
Vlastnosti umělého trhu Jaké vlastnosti by měl trh mít? 1. výnosy r t = log(p t ) log(p t 1 ) mají rozdělení s těžkými konci 2. cena rizikového aktiva odpovídá náhodné procházce {pt } má jednotkový kořen r t jsou i.i.d.
Vývoj ceny rizikového aktiva Co bylo splněno? {p t } má jednotkový kořen r t jsou i.i.d. Nelze zamítnout hypotézu, že r t mají normální rozdělení.
Výsledky pořadí strategie bohatství počet učení 1 VARMA(3,2) 3385824 36 2 VARMA(2,2) 2623202 38 3 SRN(2,2) 2234082 40 4 FNN(1,1) 2225980 27 5 VARMA(1,2) 2223562 34 6 VARMA(3,1) 2220488 37 7 FNN(1,1) 2219796 36 8 VAR(3) 2201358 36 strategy pr. konečné bohatství pr. počet učení VAR 2171119 43.6 VARMA 2226319 47.3 FNN 2064486 50.7 SRN 2047640 54.3
Nastavení simulace Market parameters Initial amount of money 100 Total amount of shares 30 interest rate r 0.001 price adjustment function tanh price adjustment β1 2 10 6 price adjustment β2 2 10 6 Price process Initial mean µ p 150 Initial variance σp 2 0.16 noise parameter σr 2 0.04 Dividend process ρ 0.95 d 0.2 σ d 0.02 Learning parameters k 150 m 180 Traders Number of traders in each group 15 Total number of traders 60 Risk aversion parameter λ 3 parameter θ 0.01333 parameter n 10
Literatura [1] Šíma, J., and Neruda, R.: Teoretické Otázky Neuronových Sítí. Matfyzpress, Praha, 1996. [2] Lütkepohl, H.: New Introduction to Multiple Time Series Analysis. Springer, 2005. [3] Chen, S., and Yeh, C.: Genetic Programming in Agent-Based Artificial Markets: Simulations and Analysis. [4] Reinsel, G. C.: Elements of Multivariate Time Series Analysis. Springer, 2003. [5] Matassini, L., and Franci, F.: On Financial Markets Trading, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 3 4 (2001), 526 542. [6] LeBaron, B.: Building the Santa Fe Artificial Stock Market. Brandeis University, 2002. [7] Saracoglu, R.: The Maximum Likelihood Estimation of Parameters in Mixed Autoregressive Moving-Average Multivariate Models. Federal Reserve Bank of Minneapolis, 1977. [8] Berndt, E. K., and Hall, B. H., and Hall, R. E., and Hausman, J. A.: Estimation and Inference in Nonlinear Structural Models, Annals of Economic and Social Measurement (1974), 653 665. [9] Dorffner, G.: Neural Networks for Time Series Processing, Neural Network World 6 (1996), 447 468. [10] Boden, M.: A Guide to Recurrent Neural Networks and Backpropagation. In the Dallas project, 2002. [11] Hamilton, J. D: Time Series Analysis. Princeton University Press, 1994. [12] Palmer, R. G., and Arthur, W. B., and Holland, J. H., and LeBaron, B., and Taylor, P.: Artificial Economic Life: A Simple Model of a Stockmarket, Physica D 75 (1994), 264 274. [13] Mcnelis, P. D.: Neural Networks in Finance: Gaining Predictive Edge in the Market. Elsevier Academic Press, 2005. [14] Franke, J., and Härdle, W. K., and Hafner, C. M.: Statistics of Financial Markets: An Introduction. Springer, 2008.
Děkuji za pozornost. Vaše dotazy.