Přednáška 8 Od principů symetrie k základním interakcím

Pavel Cejnar Ústav částicové a jaderné fyziky MFF UK Přednáška 8 Od principů symetrie k základním interakcím Fyzika jako dobrodružství poznání MFF UK v Praze letní semestr 5

Symetrie a rupy Weylova definice symetrie " thin is symmetrical if there is somethin that you can do to it so that after you have finished doin it it still looks the same as it did before you did it." Hermann Weyl 885-955 Maurits Cornelis Escher 898-97

Symetrie a rupy Teorie rup.. 3. 3 Weylova definice symetrie " thin is symmetrical if there is somethin that you can do to it so that after you have finished doin it it still looks the same as it did before you did it." rupou nazýváme množinu definována binární operace násobení s následujícími vlastnostmi: Ne nutně: 3... asociativita jednotkový element inverzní elementy komutativita na níž je 3 Hermann Weyl 885-955 Euler 77-83 auss 777-855 bel 8-9 alois 8-3 von Dyck 856-934 ie 84-99 Cartan 869-95 3

Symetrie a rupy Teorie rup Weylova definice symetrie " thin is symmetrical if there is somethin that you can do to it so that after you have finished doin it it still looks the same as it did before you did it." Příklad: rotační symetrie čtverce Prvky: φ = otočení o φ=n 9 Operace: skládání otočení 3 3 4 9º = 3 8º = 3 4 Hermann Weyl 885-955 Euler 77-83 auss 777-855 bel 8-9 alois 8-3 von Dyck 856-934 ie 84-99 Cartan 869-95 4 4 3 3 4 3 3 7º = 4 36º =

ieovy rupy Sophus ie 84-99 n k k k i e n m m klm l k k l l k k k enerátory: Realizace pomocí unitárních operátorů v nějakém Hilbertově prostoru: rupa lebra: strukturní koeficienty rupa U rupa U komutační relace: Spojitě nekonečné množství prvků rozlišených parametry: Požadavek diferenco- vatelnosti zobrazení: 3 i i i e z operace z Operace neměnící z z z z z z z z neměnící 3 e k k k i 3 enerátory: 4 parametry: enerátor: parametr: n 3 3 3 hermitovské operátory reálná vlastní čísla m m klm l k k i ] [ ] [

Zákony zachování a prostoročasové symetrie Vnitřní symetrie a tvar fundamentálních interakcí

Noetherové teorém Emmy Noether 88-935 Každé spojité třídě symetrií fyzikálního systému odpovídá nějaký zákon zachování. symetrie vzhledem k ieově rupě o n parametrech eneruje n zachovávajících se veličin E. Noether Nachr. D. Köni. esellsch. D. Wiss. Zu öttinen Math-phys. Klasse 98 35 57; "Invariante Variationsprobleme" symetrie veličina n translace v prostoru hybnost 3 posun v čase enerie rotace v prostoru moment hybnosti 3

Noetherové teorém Emmy Noether 88-935 t Důkaz vychází z aranovy formulace dynamiky: laranián zobecněné souřadnice pohybové rovnice dt d Pro systém se spočetnou množinou stupňů volnosti lze přímo zobecnit i na kontinuum Každé spojité třídě symetrií fyzikálního systému odpovídá nějaký zákon zachování. symetrie vzhledem k ieově rupě o n parametrech eneruje n zachovávajících se veličin ~ Transformace zobecněných souřadnic kde ζ je spojitý parametr Posun času kde η je spojitý parametr ] [ ~ ~ ~ ~ ~ ~ dt d t d d dt d dt d t t t ~ ] [ ~ dt d t d d dt d t dt d zákon zachování H hamiltonián

Zákony zachování v kvantové fyzice Otázka platnosti zákonů zachování v kvantové fyzice: Nemají zde jen statistický charakter? V roce 94 James Chadwick v roce 93 pak objevitel neutronu zjistil že spektrum elektronů emitované z β radioaktivních jader je spojité. To se zdálo být ve sporu se zákonem zachování enerie: Z mc F.. Scott Phys. Rev. 48 935 39 Q Bi = Radium E E Z mc Wolfan Pauli & Niels Bohr 9-58 885-96 sledují káču Niels Bohr dopis Heisenberovi 98: amow has late occupied himself thorouhly with the continuous β-ray spectra; but every search for other solutions has hitherto strenthened my conviction that the difficulties lie very deep. In spite of Pauli s warnins I am also still prepared for a further limitation of the applicability of the enery concept.

Zákony zachování v kvantové fyzice Otázka platnosti zákonů zachování v kvantové fyzice: Nemají zde jen statistický charakter? V roce 94 James Chadwick v roce 93 pak objevitel neutronu zjistil že spektrum elektronů emitované z β radioaktivních jader je spojité. To se zdálo být ve sporu se zákonem zachování enerie: Z mc F.. Scott Phys. Rev. 48 935 39 Zbytek enerie převezme antineutrino Q Bi = Radium E E mc Z antineutrino Wolfan Pauli dopis Meitherové a eierovi 93: Dear Radioactive adies and entlemen I have hit upon a desperate remedy to save the law of conservation of enery. Namely the possibility that there could exist in the nuclei electrically neutral particles that I wish to call neutrons which have spin /. The mass of the neutrons should be not larer than. proton masses. The continuous beta spectrum would then become understandable by the assumption that in beta decay a neutron is emitted in addition to the electron such that the sum of the eneries of the neutron and the electron is constant... I aree that my remedy could seem incredible because one should have seen those neutrons very earlier if they really exist. But only the one who dare can win Wolfan Pauli & Niels Bohr 9-58 885-96 sledují káču

Zákony zachování v kvantové fyzice Otázka platnosti zákonů zachování v kvantové fyzice: Nemají zde jen statistický charakter? Ne! Zákony zachování v Q fyzice striktně platí! Stejně jako v klasické fyzice se odvíjejí od symetrií Symetrie kvantového systému vůči spojité rupě znamená že operace rupy komutují s evolucí systému: n i k k i k Ht e e ] t k [ [ H m t iht / e e t iht / e m iht / iht / e t m m k k Pokud nějaký operátor komutuje s Hamiltoniánem Ĥ pak se rozdělení psti pro naměření různých hodnot dané veličiny nemění => se zachovává! Momenty náhodné veličiny m=3 : m ] H ĝ ĝ P a e i Ht i H e t e ĝ i H t a

Spojité prostoročasové symetrie Fundamentální symetrie našeho prostoru a času Poincarého rupa Obsahuje transformace které nemění časoprostorový interval Δ s = c Δ t Δ x Rotace v prostoru 3 enerátory = moment hybnosti + orentzovy transformace boosts 3 enerátory + Translace v čase a prostoru 4 enerátory = enerie & hybnost orentzova rupa zachování momentu hybnosti eneruje jen triviální zákon zachování poloha těžiště v t= Podrupa Rotace v prostoru + orentzovy transformace boosts zachování enerie a hybnosti Henri Poincaré 854-9 Hendrik orentz 853-98 Podrupa Rotační rupa Rotace v prostoru

Skaláry čtyřvektory x x x x x ct Totéž platí pro všechny další čtyřvektory takže skaláry jsou např.: Další složitější kombinace jako např.: j j t c x x t c 3 x ct x x x ct orenzovsky invariantní jsou však i výrazy obsahující čtyřvektory tvořící skalární kombinace j v sčítací konvence Pterophyllum Scalare Koi Nejjednodušší veličiny zaručující symetrii vůči operacím Poincarého rupy jsou skaláry např. skalární polní funkce x p E p p p E c c V V c c j c j j j c čas-souřadnice a derivace: elm. čtyřpotenciál: enerie-hybnost: hustota-proud: Skalárem je např. výraz: a a Transformace čtyřvektoru: matice transformace

Bispinory Objekty pro něž transformace Poincarého rupy mají tvar: S matice odvozená z matice orentzovy transformace 3 3 Transformace při prostorových rotacích má jednu zvláštnost: Rotace o 36 např. kolem osy z e i J3 8 částice se spinem ½ 54 8 36 Diracova rovnice: [ i mc] x ct 3 x 3 3 y 3 3 3 3 33 z 3 bispinor ct x y z x 4-vektor souřadnice-času M.C. Escher 36 = bosony fermiony 7 = struktura podobná Möbiově pásce

Diskrétní časoprostorové symetrie Zrcadlení : P = inverze prostoru T = inverze času C = nábojové sdružení P symetrie: experimentální důkaz narušení prostorové parity při β rozpadu atomového jádra [madam Wu 957] emitovaná částice spin jádro P zrcadlo spin jádro emitovaná částice CP symetrie: experimentální důkaz narušení kombinované parity při rozpadech neutrálních mezonů [Cronin Fitch 964] mezon rozpad CP zrcadlo oscilace CPT symetrie však podle současných teorií platí: antimezon rozpad Každá z těchto předpokládaných symetrií je narušena ve slabých interakcích 6 Co 6 Ni e e T symetrie je sama také narušena potvrzeno C P T

Zákony zachování a prostoročasové symetrie Vnitřní symetrie a tvar fundamentálních interakcí

aranovský formalismus pro pole Uvažujme skalární pole dané polní funkcí V kvantové teorii přecházíme k operátoru působící v Hilbertově prostoru stavů pole. Dynamika pole je určena jeho laraniánem: Po dosazení polní funkce Ψx μ dostaneme hustotu laraniánu x 3 Interací přes prostor získáme laranovu funkci času t d x x Interací přes celý časoprostor získáme akci S d 4 x x Euler aranovy rovnice odvozené z principu minima akce: Příklad: ] [ komplexní skalární pole d dt [ ] Cf. E rovnice klas.mechaniky x x času a souřadnic. operátorové funkci kinetický člen potenciální hmotový člen * mc * [ mc ] Klein-ordonova rovnice

Kalibrační symetrie Klasická elektrodynamika: Výpočet elektrické intenzity a manetické indukce pomocí skalárního & vektorového potenciálů B E Výsledky invariantní vůči transformaci V V V t f t f Historické milníky kalibrační invariance: J.C. Maxwell 864 klasická elektrodynamika Hermann Weyl 99 v kontextu obecné relativity Vladimir Fok 96 Fritz ondon 97 kvantová mechanika Hermann Weyl 98

Kalibrační symetrie Klasická elektrodynamika: Výpočet elektrické intenzity a manetické indukce pomocí skalárního & vektorového potenciálů Pohyb nabité kvantové částice v elm. poli p p - v rovnicích zaměň: i i e B E Výsledky invariantní vůči transformaci V Např. Klein-ordonova rovnice: [ e e mc ] i i Kalibrační transformace pole x mění řešení x => není to symetrie Rovnice je ale invariantní vůči e kombinaci transformací: i f x * & x x e lokální změna fáze nabitého pole * t f

Kalibrační symetrie Elm.pole se při kalibrační transformaci mění standardním způsobem čímž dojde ke kompenzaci členů vzniklých derivováním exponenciály by polní rovnice byly invariantní vůči této transformaci musíme přejít ke kovariantním derivacím D i Kalibrační transformace = lokální fázové otočení e i Ime x i Ree x i e e f x f Obrázky: F. Wilczek Nature 433 5 39

Kalibrační symetrie Důsledky: kvantová elektrodynamika QED Elm. interakce Společně s komplexním nabitým polem se vždy objevuje také elm. pole Interakce mezi oběma poli je určena tvarem kovariantní derivace Např. pro Klein-ordonův laranián * mc * : D i e int ~ ie * * c j j e základní vertex elm. interakce Poznámka: Člen je kompenzací kalibrační neinvariance členu μ j μ je to jistá zvláštnost skalárního pole která nenastává u pole Diracova. Elementární skalární částice jsou neutrální proto se interakční vertex odpovídající tomuto členu neobjevuje mezi fundamentálními interakcemi

Kalibrační symetrie Důsledky: kvantová elektrodynamika QED Elm. interakce Společně s komplexním nabitým polem se vždy objevuje také elm. pole Interakce mezi oběma poli je určena tvarem kovariantní derivace Např. pro Klein-ordonův laranián * mc * : D i e int ~ ie * * c j j e základní vertex elm. interakce 3 Kalibrační symetrie & teorém Noetherové => zákon zachování el.náboje

Kalibrační symetrie Silné interakce Zobecnění: Kvarky mají kromě el.náboje také barvu hraje roli náboje pro silné interakce. Kvarky mohou mít 3 barvy: červená modrá zelená. ntikvarky mají 3 antibarvy: anti červená anti modrá anti zelená. Částice které se z kvarků skládají jsou navenek bezbarvé proto silná interakce působí jen na malých vzdálenostech. Silné interakce mezi kvarky jsou odvozeny ze zobecněné kalibrační transformace: kvantová chromodynamika QCD R B i U e R B Z historie kvarků: Predikce M. ell-mann 964. Zwei 964 Barva O. reenber 964 M.-Y. Han Y. Nambu 965 Murray ell-mann *99

Kalibrační symetrie Zobecnění: f Silné interakce Kvarky mají kromě el.náboje také barvu hraje roli náboje pro silné interakce. Kvarky mohou mít 3 barvy: červená modrá zelená. ntikvarky mají 3 antibarvy: anti červená anti modrá anti zelená. Částice které se z kvarků skládají jsou navenek bezbarvé proto silná interakce působí jen na malých vzdálenostech. Silné interakce mezi kvarky jsou odvozeny ze zobecněné kalibrační transformace: kvantová chromodynamika QCD x I f x f8 x již zahrnuto v obyč. kalib.transformaci R B i U e... ell-mannovy matice enerátory unitárních transformací v dim=3 Symetrie vůči této transformaci vyžaduje existenci 8 typů kalibračních polí. Tato pole zprostředkují silné interakce. Jejich kvanta jsou luony které existují v 8 superpozicích stavů barva-antibarva R B 8

Kalibrační symetrie Zobecnění: f Silné interakce Kvarky mají kromě el.náboje také barvu hraje roli náboje pro silné interakce. Kvarky mohou mít 3 barvy: červená modrá zelená. ntikvarky mají 3 antibarvy: anti červená anti modrá anti zelená. Částice které se z kvarků skládají jsou navenek bezbarvé proto silná interakce působí jen na malých vzdálenostech. Silné interakce mezi kvarky jsou odvozeny ze zobecněné kalibrační transformace: Díky zobecněné kalibrační symetrii se barva zachovává. kvantová chromodynamika QCD x I f x f8 x již zahrnuto v obyč. kalib.transformaci R B i U e... ell-mannovy matice enerátory unitárních transformací v dim=3 Symetrie vůči této transformaci vyžaduje existenci 8 typů kalibračních polí. Tato pole zprostředkují silné interakce. Jejich kvanta jsou luony které existují v 8 superpozicích stavů barva-antibarva R B 8

Kalibrační symetrie a slabé interakce Slabých interakcí se účastní kvarky a/nebo leptony elektron mion taon neutrina. Základem je výměna intermediálních bosonů W ± a Z. Tyto interakce způsobují např. β ± rozpady jader. Z historie slabých interakcí: e 93: W. Pauli postuluje existenci neutrina 4 c potvrzeno 95 C. Cowanem a F. Reinesem 933: E. Fermi vytváří první zatím nesprávnou kvantově polní teorii β rozpadu 957: Bruno Pontecorvo předpovídá oscilace neutrin prokázáno v různých formách 998-968: S. lashow. Salam S. Weinber odvozují teorii elektroslabých interakcí s využitím intermediálních bosonů W ± a Z prokázány 983 základní vertex Enrico Fermi 9-954 β rozpad neutronu rozptyl elektronu na kvarku/neutrinu slabý rozpad pionu t

Kalibrační symetrie a slabé interakce Slabých interakcí se účastní kvarky a/nebo leptony elektron mion taon neutrina. Základem je výměna intermediálních bosonů W ± a Z. Tyto interakce způsobují např. β ± rozpady jader. základní vertex Nelze také slabé interakce odvodit z kalibrační symetrie? Zdá se že ne! Intermediální bosony mají nenulové klidové hmoty 8-9 x hmota protonu zatímco kvanta kalibračních polí musí být nehmotná jako fotony a luony Člen polního laraniánu odpovídající klidové enerii kvant pole není invariantní vůči kalibrační transformaci mc f β rozpad neutronu rozptyl elektronu na kvarku/neutrinu slabý rozpad pionu t

Hisův mechanismus V roce 964 byl navržen způsob jak zkonstruovat hmotné kalibrační pole. Předpokládá interakci kalibračního pole μ se skalárním Hisovým polem Φ Peter His *99 François Enlert *93 Hisův mechanismus byl zabudován již do elektroslabé teorie lashowa Salama aweinbera ale experimentální důkaz byl podán až v roce 3. Sheldon lashow Steven Weinber *93 bdus Salam 96-96 *933 Rozpad Hisova bosonu na 4 leptony zaznamenáno 8.5. detektorem TS na HC v CERN

Hisův mechanismus V roce 964 byl navržen způsob jak zkonstruovat hmotné kalibrační pole. Předpokládá interakci kalibračního pole μ se skalárním Hisovým polem Φ Peter His *99 François Enlert *93 Předpokládaný laranián Hisova pole: * V kde V má tvar mexického klobouku např: 4 Stav s nejmenší enerií vakuum není Φ = ale V 4 / Hisův laranián v této formě nemá standardní kvantově polní interpretaci soustava oscilátorů. Srovnej např. s Klein-Diracovým laraniánem: * mc Im Re

Hisův mechanismus V roce 964 byl navržen způsob jak zkonstruovat hmotné kalibrační pole. Předpokládá interakci kalibračního pole μ se skalárním Hisovým polem Φ Peter His *99 François Enlert *93 Předpokládaný laranián Hisova pole: * V kde V má tvar mexického klobouku např: 4 V 4 Stav s nejmenší enerií vakuum není Φ = ale Požadavek kalibrační symetrie Hisova pole: * zavedení kalibračního pole μ pole které bude zhmotněno * i i Spontánní narušení symetrie: Re přechod do jednoho z ekvivalentních vakuí Im : i i / Im Ψ Re hmotový člen kalibračního pole!!!

laska Hihway Photo lbum @ www.explorenorth.com/ Hisův boson a co dál? kvantová ravitace temná hmota temná enerie hmoty neutrin asymetrie hmoty a antihmoty supersymetrie? strunové teorie?

Supersymetrie? Sjednocení časoprostorových a vnitřních symetrií není v netriviální formě možné v rámci obyčejných rup/aleber Coleman-Mandulův teorém 967 ale v rámci zobecněných tzv. radovaných rup/aleber lidově superrup/superaleber. Nejjednodušší superalebra se skládá ze sektorů sudého bosonového a lichého fermionového mezi nimiž platí následující komutační [ ] a antikomutační { } relace: známé částice [ sudý sudý ] = sudý [ sudý lichý ] = lichý {lichý lichý } = sudý Podle SUSY teorií má mít každý fermion bosonového partnera a naopak: a jejich SUSY partneři pozorovány všechny nepozorován žádný S. Harris Kvarky neutrina mezony. Všechny tyhle prokleté částice co se nedají uvidět mě dohnaly k pití. le TEĎ už je vidět MŮŽU!

a nature crée des symétries? Non! Symétries créent la nature! * Další čtení: D. riffiths Introduction to Elementary Particles Harper & Row 987 D. McMahon Quantum Field Theory Demystified Mcraw-Hill 8 H.J. ipkin ie roups for Pedestrians North-Holland 965 * Příroda vytváří symetrie? Ne! Symetrie vytvářejí přírodu! překlad do francouzštiny: odpovědnost oole