Vlastní čísla a vlastní vektory

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Vlastní čísla a vlastní vektory"

Transkript

1 Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus) A Ptáme se, jestli existuje vektor, který při tomto zobrazení nemění směr(pouze velikost nebo orientaci) Pokud takový vektor existuje, mají stejnou vlastnost všechny nenulové násobky tohoto vektoru Těmto vektorům pak říkáme vlastní vektory lineárního zobrazení A 2PříkladVR 2 jedánatransformace Aobrazybáze(B)=((1,0),(0,1)) A(1,0) = (4,2) A(0,1) = ( 3, 1) Přitétotransformacisevektor(1,1)zobrazínavektor(1,1)avektor(3,2)navektor(6,4)=2 (3,2)Tyto dvavektoryjsoulineárněnezávislé,tvořítedybázi R 2 Maticetransformace Avzhledemkuspořádanébázi ((1,1),(3,2))je ( Matice je diagonální, je to vlastně matice změny měřítka(dvojnásobek) v druhé souřadnici Ne všechny transformace ale zachovávají nějaký směr Například rotace o úhel α (0, π) zřejmě žádný směr nezachovává V této části se tedy budeme zabývat otázkou, zda nějaká transformace zachovává nějaký směr a zda lze najít uspořádanou bázi, vzhledem k níž je transformace pouze změnou měřítka Z předchozího víme, že lineární zobrazení úzce souvisí s maticí vzhledem k nějaké uspořádané bázi Budeme se tedy nejprve zabývat maticemi 3 Definice Nechť A je čtvercová matice Charakteristickou maticí matice A budeme rozumět matici A λe a charakteristickým polynomem matice A determinant její charakteristické matice(tedy det(a λe)) Kořenům charakteristického polynomu říkáme vlastní čísla(také charakteristická čísla) matice A, násobností vlastního čísla nazveme jeho násobnost jako kořene charakteristického polynomu Spektrum matice A je soubor vlastních čísel matice A, každé vlastní číslo je v něm zastoupeno tolikrát, kolik činí jeho násobnost 4 Poznámka Je zřejmé, že i reálná matice může mít komplexní vlastní čísla Protože jsme lineární prostor definovali pouze nad tělesem reálných čísel, budeme uvažovat, pokud to bude možné, pouze reálná vlastní čísla Jak jsme uvedli již na začátku, lze lineární prostor definovat nad jakýmkoli komutativním tělesem, tedy i nad tělesem komplexních čísel Všechny věty a konstrukce v následujícím textu lze zobecnit i na komplexní čísla 5VětaNechťAječtvercovámaticeřádu n,potomplatí: 1 CharakteristickýpolynommaticeAmástupeň n,koeficientunejvyššímocninyje( 1) n,jehoabsolutní členjerovendetaakoeficientuλ n 1 jeroven( 1) n 1 (a 11 + a a nn )=( 1) n 1 tra,kde tra=a 11 + a a nn senazývástopamaticea 2 Pokud má charakteristický polynom matice A pouze reálné kořeny(i vícenásobné), je tr A součtem a det A součinem všech prvků spektra matice A 6 Pozorování Nechť A je čtvercová matice Potom je ekvivalentní: 1 Ajeregulární 2 Charakteristický polynom matice A má nenulový absolutní člen 3 Nula není vlastním číslem matice A 7 Pozorování(Reálné) číslo λ je vlastním číslem matice A právě tehdy, když je matice A λe singulární (determinant je roven nule) To znamená, že homogenní soustava s maticí A λe má netriviální řešení, tj existujevektor v R n takový,že ) (A λe) v T = o T, neboli A v T = λ v T Připomeňme, že to také znamená, že pokud λ není vlastním číslem matice A, má homogenní soustava s maticí A λe pouze triviální řešení(nulový vektor)

2 8DefiniceNechťAječtvercovámaticeřádu naλ RjejejímvlastnímčíslemKaždýnenulovývektor v R n,prokterýplatía v T = λ v T nazvemevlastnímvektorem(takécharakteristickýmvektorem)matice A příslušným vlastnímu číslu λ 9 Pozorování Všechny vlastní vektory příslušející témuž vlastnímu číslu λ matice A tvoří spolu s nulovým vektoremlineárnípodprostorprostoru R n (množinařešeníhomogennísoustavylineárníchrovnic) 10DefiniceNechťAječtvercovámaticeřádu naλ RjejejímvlastnímčíslemLineárnípodprostor všechřešenírovnicea v T = λ v T (obsahujevšechnyvlastnívektorymaticeapříslušnévlastnímučíslu λ spolu s nulovým vektorem) nazýváme charakteristický(také invariantní) podprostor matice A příslušný vlastnímu číslu λ 11VětaNechťA,Bjsoučtvercovématiceřádu npotomplatí 1 Jestliže λ RjevlastníčíslomaticeAa vpříslušnývlastnívektor,potomprokaždé k Nje λ k vlastníčíslomaticea k a vjepříslušnývlastnívektor 2 NechťjematiceAregulárníPotomje λ RvlastnímčíslemmaticeAprávětehdy,kdyžječíslo λ 1 vlastnímčíslemmaticea 1 Vektor vjevlastnímvektoremmaticeapříslušnýmvlastnímučíslu λ právětehdy,kdyžjetakévlastnímvektoremmaticea 1 příslušnýmvlastnímučíslu λ 1 3 MaticeABaBAmajístejnávlastníčísla 12 Definice Nechť L je lineární prostor, A: L L lineární zobrazení Reálné číslo λ nazveme vlastním číslemzobrazení A,jestližeexistujevektor v L \ { o}takový,že A( v)=λ vvektor v,kterývyhovuje uvedené rovnici, se nazývá vlastním vektorem lineárního zobrazení A příslušným vlastnímu číslu λ 13 Poznámka Vlastní vektor lineárního zobrazení A si můžeme představit jako vektor, který při lineárním zobrazení Aměnípouzesvou velikost,nikoli směr Koeficientzměnyvelikostijerovenvlastnímučíslu, k němuž daný vlastní vektor přísluší 14DefiniceNechť Ljelineárníprostor, A:L Llineárnízobrazení, λ Rvlastníčíslotohotozobrazení Množina všech vlastních vektorů zobrazení A příslušných vlastnímu číslu λ spolu s nulovým vektorem tvoří lineární podprostor prostoru L, který se nazýva charakteristický podprostor zobrazení A příslušný vlastnímu číslu λ 15VětaNechť Ljelineárníprostor, A:L Llineárnízobrazení,Amaticetohotozobrazenívzhledem k nějaké uspořádané bázi(b) Reálné číslo λ je vlastním číslem lineárního zobrazení A právě tehdy, když je vlastním číslem matice A Vektor v L je vlastním vektorem zobrazení A příslušným vlastnímu číslu λ právě tehdy, když jeho vektor souřadnic vzhledem k bázi(b) je vlastním vektorem matice A příslušným vlastnímu číslu λ 16PoznámkaNechť Ljelineárníprostor, A:L Llineárnízobrazení,Amaticetohotozobrazení vzhledem k nějaké uspořádané bázi(e) Nechť(F) je také uspořádanou bazí prostoru L Matice B lineárního zobrazení Avzhledemkbázi(F)jeB=P 1 A P,kdePjematicípřechoduoduspořádanébáze(E) k uspořádané bázi(f) Matice A a B mají stejná vlastní čísla Jsou totiž maticemi stejného lineárního zobrazení a podle předchozí věty mají stejná vlastní čísla jako toto zobrazení 17 Definice Řekneme, že čtvercové matice A a B řádu n jsou podobné, jestliže existuje regulární matice P taková,žeplatíb=p 1 A P 18 Poznámka Relace podobnosti je zřejmě reflexivní, symetrická a transitivní, je to tedy ekvivalence Množina všech čtvercových matic řádu n se tak rozpadá na disjunktní třídy navzájem podobných matic V každé tétotříděmůžemevybratreprezentanta-matici,kterábudemítconejjednoduššístrukturu-co nejbližší diagonální matici Takové matici se říká Jordanova matice a bázi lineárního prostoru, vzhledem k níž je to matice určitého endomorfismu(lineární transformace), se říká Jordanova kanonická báze Podrobněji se budeme se zabývat pouze nejjednodušším případem, kdy Jordanova matice je opravdu diagonální 19 Věta Podobné matice mají stejné charakteristické polynomy 20 Poznámka Opačné tvrzení ( neplatí-) existují ( matice, ) které mají stejné charakteristické polynomy a přesto nejsou podobné Např matice a majístejnécharakteristicképolynomy(λ 1) ,ale přesto nejsou podobné Jednotková matice je totiž podobná jen sama sobě, protože P 1 E P=(P 1 E) P=P 1 P=E

3 21VětaNechťAječtvercovámaticeřádu n, λ 1, λ 2,, λ n R, v 1, v 2,, v n R n OznačmePmatici, jejímižsloupcijsoupostupněvektory v 1, v 2,, v n addiagonálnímatici,kterámánahlavnídiagonálečísla λ 1, λ 2,, λ n Potomplatí,žečísla λ 1, λ 2,, λ n jsouvlastnímičíslymaticeaavektory v 1, v 2,, v n jsou vlastnímivektorypříslušnýmitěmtovlastnímčíslůmprávětehdy,kdyžp D=A P 22DůsledekNechť λ 1, λ 2,,λ n Rjsouvlastníčísla(nenutněrůzná)čtvercovématiceAřádu na v 1, v 2,, v n R n jimpříslušnélineárněnezávislévlastnívektorypotomjematiceapodobnádiagonální matici 23VětaNechť λ 1, λ 2,,λ n RjsounavzájemrůznávlastníčíslačtvercovématiceAřádu n,potomjsou jimpříslušnévlastnívektory v 1, v 2,, v n R n lineárněnezávislé 24 Důsledek Nechť A je čtvercová matice řádu n Pokud má tato matice n navzájem různých vlastních čísel, je podobná diagonální matici 25 Poznámka Předchozí tvrzení nelze obrátit Existují matice(např jednotková), které jsou podobné diagonální matici, ale jejich vlastní čísla mohou být násobná(navzájem různých vlastních čísel je méně, než je řád matice 26LemmaNechťAječtvercovámaticeřádu naλ 1, λ 2,,λ k Rjsoujejínavzájemrůznávlastníčísla Nechť v 1, v 2,, v k R n jsouvektoryzcharakteristickýchpodprostorůpříslušnýchodpovídajícímvlastním číslům,prokteréplatí v 1 + v v k = opotom v 1 = v 2 = = v k = o 27VětaNechťAječtvercovámaticeřádu naλ 1, λ 2,,λ k Rjsoujejínavzájemrůznávlastníčísla Nechť S 1, S 2,, S k jsoulineárněnezávislémnožinyvektorůzcharakteristickýchpodprostorůpříslušných odpovídajícímvlastnímčíslůmmnožina S= S 1 S 2 S k jelineárněnezávislá 28 Důsledek Čtvercová matice A je podobná diagonální matici právě tehdy, když násobnost každého jejího vlastního čísla je rovna dimensi jemu příslušného charakteristického podprostoru 29DůsledekNechť Ljelineárníprostor, A:L LlineárnízobrazeníBázelineárníhoprostoru L, vzhledem k níž je matice zobrazení diagonální, existuje právě tehdy, když násobnost každého jejího vlastního čísla je rovna dimensi jemu příslušného charakteristického podprostoru Tato báze je sjednocením bazí charakteristických podprostorů příslušných jednotlivým vlastním číslům Zobecněné vlastní vektory a Jordanův kanonický tvar matice 30DefiniceNechťAječtvercovámaticeřádu nnenulovývektor v R n nazvemezobecněnýmvlastním vektorem(takézobecněnýmcharakteristickýmvektorem)maticea,jestližeexistuje λ Rak N + tak,že platí (A λe) k v T = o T 31 Poznámka Nechť v je zobecněným vlastním vektorem matice A a k nejmenší přirozené číslo, pro které je(a λe) k v T = o T Potom(A λe) k 1 v T o T Označíme-li(A λe) k 1 v T = v T 1,potom (A λe) v T 1 = ot,vektor v 1 jetedyvlastnímvektoremmaticeapříslušnýmvlastnímučíslu λ 32 Definice Nechť v je zobecněným vlastním vektorem matice A a k nejmenší přirozené číslo, pro které je (A λe) k v T = o T Položme v 1 T = (A λe) k 1 v T v 2 T = (A λe) k 2 v T v k 1 T = (A λe) v T v k T = v T Uspořádanou k-ticivektorů( v 1, v 2, v k )nazývámeřetězcemzobecněnýchvlastníchvektorůmaticeapříslušných vlastnímu číslu λ, číslo k nazýváme délkou řetězce 33 Poznámka Samotný vlastní vektor matice je ve smyslu této definice považován za řetězec délky 1

4 34 Vynásobme nyní všechny rovnice z definice zleva maticí(a λe) Dostaneme (A λe) v 1 T = (A λe) k v T = o T (A λe) v 2 T = (A λe) k 1 v T = v 1 T (A λe) v k 1 T = (A λe) 2 v T = v k 2 T (A λe) v k T = (A λe) v T = v k 1 T Tyto vztahy nám dávají návod na postupný výpočet celého řetězce zobecněných vlastních vektorů, který začínákonkrétnězvolenýmvlastnímvektorem v 1 35Postupvýpočtu:Kvlastnímučíslu λvhodnězvolímevlastnívektor v 1 Vektor v 2 spočítámejako řešení rovnice (A λe) x T = v T 1, vektor v 3 jakořešenírovnice vektor v k jakořešenírovnice (A λe) x T = v T 2,, (A λe) x T = v T k 1 Dásedokázat,žecelýprocesvýpočtumávždykonečnýpočetkroků(řešenírovnice(A λe) x T = v T k neexistuje) Jak vhodně zvolit ten počáteční vlastní vektor? V případě, že dimense charakteristického podprostoru příslušného vlastnímu číslu λ je rovna 1, vybereme jakýkoli vlastní vektor Pokud je dimense charakteristického podprostorupříslušnéhovlastnímučíslu λvětšínež1,je vhodnývektor lineárníkombinacíbázovýchvektorůtohotopodprostorukoeficientytétokombinacevolímetak,abyrovnice(a λe) x T = v T 1 mělařešení 36VětaNechť( v 1, v 2,, v k )jeřetězeczobecněnýchvlastníchvektorůmaticeapříslušnýchvlastnímu číslu λpotomjsouvektory v 1, v 2,, v k lineárněnezávislé 37DefiniceJordanovýmblokemodpovídajícímvlastnímučíslu λ j nazývámematici J j = λ j λ j λ j λ j Jordanovým kanonickým tvarem matice nazveme matici složenou z Jordanových bloků, tedy matici J 1 O O O O J 2 O O J= O O O J k Uspořádanou bázi, vzhledem k níž má lineární zobrazení matici v Jordanově kanonickém tvaru nazveme Jordanovou kanonickou bazí 38 Věta Nechť je λ m-násobné vlastní číslo matice A, pak součet délek všech řetězců zobecněných vlastních vektorů příslušných číslu λ je roven m 39 Věta Nechť pro čtvercovou matici A existuje Jordanova kanonická báze tvořená zobecněnými vlastními vektory( v 1, v 2,, v n )PotomjeApodobnámaticivJordanověkanonickémtvaruaplatíJ=P 1 A P, kdepjematice,jejímižsloupcijsou( v T 1, vt 2,, vt n)pořadíjordanovýchblokůvmaticijjeurčenopořadím řetězců, v němž jsou jejich vektory zařazeny do kanonické báze 40 Příklad 1: Matice A=

5 má tři různá vlastní čísla 1,-2, 3 Jim příslušné charakteristické podprostory mají dimensi 1, báze jsou např ((1,1,1))pro λ 1 =1,((2, 1,2))pro λ 2 = 2a(( 1,3,4))pro λ 3 =3Tytotřivektoryjsoulineárně nezávislé, matice A je tedy podobná diagonální matici D= aplatí,žed=p 1 A Ppro P= Příklad 2: Matice A= mádvěrůznávlastníčísla0a-3jimpříslušnécharakteristicképodprostorymajídimensi1a2,bázejsou např((1,1,1))pro λ 1 =0,((1, 1,0),(1,0, 1))pro λ 2 = 3Tytotřivektoryjsoulineárněnezávislé, matice A je tedy podobná diagonální matici D= aplatí,žed=p 1 A Ppro P= Příklad 3: Matice A= má jedno vlastní číslo 1 Jemu příslušný charakteristický podprostor má dimensi 1, báze je např(( 1, 1, 1)) Abychom našli řetězec zobecněných vlastních vektorů, řešíme soustavu s rozšířenou maticí: , jejímžřešenímjenapřvektor( 1,0,1)asoustavusrozšířenoumaticí , jejímžřešenímjenapřvektor( 1,1,0) Hledaným řetězcem zobecněných vlastních vektorů je tedy(( 1, 1, 1),( 1, 0, 1),( 1, 1, 0)), Jordanovou maticí je aplatí,žej=p 1 A Ppro J= P= Příklad 4: Matice A=

6 má jedno vlastní číslo 2 Jemu příslušný charakteristický podprostor má dimensi 2, báze je např(( 1, 1, 0),(0, 1, 1)) Abychom našli výchozí vektor pro řetězec zobecněnných vlastních vektorů, hledáme lineární kombinaci těchto dvou vektorů, která jako pravá strana soustavy s maticí A 2E zaručí nekonečně mnoho řešení Máme tedy α α+β β vyhovujenapř α= 1aβ=1,řešímetedysoustavusrozšířenoumaticí Řešenímjenapřvektor(1,0,0)Řetězeczobecněnýchvlastníchvektorůje((1,0,1),(1,0,0)),dalšířetězec má délku 1(jediný vlastní vektor), je jím libovolný vlastní vektor, který není násobkem vektoru(1, 0, 1), např vektor(0, 1, 1) Jordanovou maticí je matice aplatí,žej=p 1 A Ppro J= P= ,

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,

Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

Lineární prostory. - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem

Lineární prostory. - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem Lineární prostory - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem - volné vektory a operace s nimi(sčítání, násobení reálným číslem) -ve 2 nebove 3 vázanévektorysespolečnýmpočátkem

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 15 Vlastní čísla a vlastní vektory V této a následujících kapitolách budeme zkoumat jeden z nejdůležitějších pojmů tohoto kurzu. Definice15.1 Buď A:V Vlineárnízobrazení,Vvektorovýprostornad tělesem

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY

CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY Kapitola 3 CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY Nyní se budeme zabývat vlastnostmi matic lineárních zobrazení A: V V, kde V je vektorový prostor dimenze n Protože každý komplexní n -dimenzionální vektorový prostor

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

15 Maticový a vektorový počet II

15 Maticový a vektorový počet II M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo 0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory 5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných

Více

(2) [B] Nechť G je konečná grupa tvořena celočíselnými maticemi roměru 2 2 s operací násobení. Nalezněte všechny takové grupy až na izomorfizmus.

(2) [B] Nechť G je konečná grupa tvořena celočíselnými maticemi roměru 2 2 s operací násobení. Nalezněte všechny takové grupy až na izomorfizmus. (1 [B] Nechť A : R 6 R 6 je lineární zobrazební takové, že A 26 = I. Najděte lineární prostory V 1, V 2 a V 3 takové, že R 6 = V 1 V 2 V 3 dim V 1 = dim V 2 = dim V 3 AV 1 V 1, AV 2 V 2 a AV 3 V 3 (2 [B]

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Operace s maticemi

Operace s maticemi Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012 2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci

Více

6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety

6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety 6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule. Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Podobnostní transformace

Podobnostní transformace Schurova věta 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci tak, aby se řešení úlohy

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ. Josef Janyška

GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ. Josef Janyška GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ Josef Janyška 21. února 2019 Obsah 1 LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ NA VEKTOROVÝCH PROSTORECH 1 1.1 Lineární zobrazení vektorových prostorů.............. 1 1.2 Invariantní podprostory.......................

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

6 Samodružné body a směry afinity

6 Samodružné body a směry afinity 6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a

Více

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0 Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

1 Vektorové prostory a podprostory

1 Vektorové prostory a podprostory Pro nahrazení účasti v jednotlivých cvičeních (resp. pro studenty kombinované formy) je dostačující vypracování a odevzdání tučně vyznačených příkladů. 1 Vektorové prostory a podprostory Definujte vektorový

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná

Více

Program SMP pro kombinované studium

Program SMP pro kombinované studium Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

z textu Lineární algebra

z textu Lineární algebra 2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

K2 7 E=. 2 1 Snadno zjistíme, že všechny nenulové násobky vektoru( 2, 1) jsou vlastními vektorymatice[ϕ]

K2 7 E=. 2 1 Snadno zjistíme, že všechny nenulové násobky vektoru( 2, 1) jsou vlastními vektorymatice[ϕ] . Vlastní čísla a vlastní vektory.. Uvažujme endomorfismus ϕ na reálném vektorovém prostoru R s maticí [ϕ] K = vzhledemkekanonickébázi K 6. (a) Najděte všechna vlastní čísla a všechny jim příslušné vlastní

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic

1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic 1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11

Více

1 Lineární prostory a podprostory

1 Lineární prostory a podprostory Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

(u, v) u. v. cos φ =

(u, v) u. v. cos φ = LA 3. cvičení Ortogonalita, Gramm-Schmitův ortonormalizační proces Lukáš Pospíšil, Martin Hasal,2 Ortogonální systém vektorů Poznámka: Motivace - připomeňme si Kosinovu větu v obecném tvaru kde φ je úhel

Více

Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení

Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Drsná matematika I 9. přednáška Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 4. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Projekce a ortogonální zobrazení

Více

Linearní algebra příklady

Linearní algebra příklady Linearní algebra příklady 6. listopadu 008 9:56 Značení: E jednotková matice, E ij matice mající v pozici (i, j jedničku a jinak nuly. [...]... lineární obal dané soustavy vektorů. Popište pomocí maticového

Více

Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,

Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b, Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární

Více

Soustavy linea rnı ch rovnic

Soustavy linea rnı ch rovnic [1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.

Více

Transformace souřadnic

Transformace souřadnic Transformace souřadnic Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 8.2 a 8.3 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 1/17 Minulá přednáška

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

1 Projekce a projektory

1 Projekce a projektory Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor

Více

NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny

NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více