Vlastní čísla a vlastní vektory

Transkript

1 Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus) A Ptáme se, jestli existuje vektor, který při tomto zobrazení nemění směr(pouze velikost nebo orientaci) Pokud takový vektor existuje, mají stejnou vlastnost všechny nenulové násobky tohoto vektoru Těmto vektorům pak říkáme vlastní vektory lineárního zobrazení A 2PříkladVR 2 jedánatransformace Aobrazybáze(B)=((1,0),(0,1)) A(1,0) = (4,2) A(0,1) = ( 3, 1) Přitétotransformacisevektor(1,1)zobrazínavektor(1,1)avektor(3,2)navektor(6,4)=2 (3,2)Tyto dvavektoryjsoulineárněnezávislé,tvořítedybázi R 2 Maticetransformace Avzhledemkuspořádanébázi ((1,1),(3,2))je ( Matice je diagonální, je to vlastně matice změny měřítka(dvojnásobek) v druhé souřadnici Ne všechny transformace ale zachovávají nějaký směr Například rotace o úhel α (0, π) zřejmě žádný směr nezachovává V této části se tedy budeme zabývat otázkou, zda nějaká transformace zachovává nějaký směr a zda lze najít uspořádanou bázi, vzhledem k níž je transformace pouze změnou měřítka Z předchozího víme, že lineární zobrazení úzce souvisí s maticí vzhledem k nějaké uspořádané bázi Budeme se tedy nejprve zabývat maticemi 3 Definice Nechť A je čtvercová matice Charakteristickou maticí matice A budeme rozumět matici A λe a charakteristickým polynomem matice A determinant její charakteristické matice(tedy det(a λe)) Kořenům charakteristického polynomu říkáme vlastní čísla(také charakteristická čísla) matice A, násobností vlastního čísla nazveme jeho násobnost jako kořene charakteristického polynomu Spektrum matice A je soubor vlastních čísel matice A, každé vlastní číslo je v něm zastoupeno tolikrát, kolik činí jeho násobnost 4 Poznámka Je zřejmé, že i reálná matice může mít komplexní vlastní čísla Protože jsme lineární prostor definovali pouze nad tělesem reálných čísel, budeme uvažovat, pokud to bude možné, pouze reálná vlastní čísla Jak jsme uvedli již na začátku, lze lineární prostor definovat nad jakýmkoli komutativním tělesem, tedy i nad tělesem komplexních čísel Všechny věty a konstrukce v následujícím textu lze zobecnit i na komplexní čísla 5VětaNechťAječtvercovámaticeřádu n,potomplatí: 1 CharakteristickýpolynommaticeAmástupeň n,koeficientunejvyššímocninyje( 1) n,jehoabsolutní členjerovendetaakoeficientuλ n 1 jeroven( 1) n 1 (a 11 + a a nn )=( 1) n 1 tra,kde tra=a 11 + a a nn senazývástopamaticea 2 Pokud má charakteristický polynom matice A pouze reálné kořeny(i vícenásobné), je tr A součtem a det A součinem všech prvků spektra matice A 6 Pozorování Nechť A je čtvercová matice Potom je ekvivalentní: 1 Ajeregulární 2 Charakteristický polynom matice A má nenulový absolutní člen 3 Nula není vlastním číslem matice A 7 Pozorování(Reálné) číslo λ je vlastním číslem matice A právě tehdy, když je matice A λe singulární (determinant je roven nule) To znamená, že homogenní soustava s maticí A λe má netriviální řešení, tj existujevektor v R n takový,že ) (A λe) v T = o T, neboli A v T = λ v T Připomeňme, že to také znamená, že pokud λ není vlastním číslem matice A, má homogenní soustava s maticí A λe pouze triviální řešení(nulový vektor)

2 8DefiniceNechťAječtvercovámaticeřádu naλ RjejejímvlastnímčíslemKaždýnenulovývektor v R n,prokterýplatía v T = λ v T nazvemevlastnímvektorem(takécharakteristickýmvektorem)matice A příslušným vlastnímu číslu λ 9 Pozorování Všechny vlastní vektory příslušející témuž vlastnímu číslu λ matice A tvoří spolu s nulovým vektoremlineárnípodprostorprostoru R n (množinařešeníhomogennísoustavylineárníchrovnic) 10DefiniceNechťAječtvercovámaticeřádu naλ RjejejímvlastnímčíslemLineárnípodprostor všechřešenírovnicea v T = λ v T (obsahujevšechnyvlastnívektorymaticeapříslušnévlastnímučíslu λ spolu s nulovým vektorem) nazýváme charakteristický(také invariantní) podprostor matice A příslušný vlastnímu číslu λ 11VětaNechťA,Bjsoučtvercovématiceřádu npotomplatí 1 Jestliže λ RjevlastníčíslomaticeAa vpříslušnývlastnívektor,potomprokaždé k Nje λ k vlastníčíslomaticea k a vjepříslušnývlastnívektor 2 NechťjematiceAregulárníPotomje λ RvlastnímčíslemmaticeAprávětehdy,kdyžječíslo λ 1 vlastnímčíslemmaticea 1 Vektor vjevlastnímvektoremmaticeapříslušnýmvlastnímučíslu λ právětehdy,kdyžjetakévlastnímvektoremmaticea 1 příslušnýmvlastnímučíslu λ 1 3 MaticeABaBAmajístejnávlastníčísla 12 Definice Nechť L je lineární prostor, A: L L lineární zobrazení Reálné číslo λ nazveme vlastním číslemzobrazení A,jestližeexistujevektor v L \ { o}takový,že A( v)=λ vvektor v,kterývyhovuje uvedené rovnici, se nazývá vlastním vektorem lineárního zobrazení A příslušným vlastnímu číslu λ 13 Poznámka Vlastní vektor lineárního zobrazení A si můžeme představit jako vektor, který při lineárním zobrazení Aměnípouzesvou velikost,nikoli směr Koeficientzměnyvelikostijerovenvlastnímučíslu, k němuž daný vlastní vektor přísluší 14DefiniceNechť Ljelineárníprostor, A:L Llineárnízobrazení, λ Rvlastníčíslotohotozobrazení Množina všech vlastních vektorů zobrazení A příslušných vlastnímu číslu λ spolu s nulovým vektorem tvoří lineární podprostor prostoru L, který se nazýva charakteristický podprostor zobrazení A příslušný vlastnímu číslu λ 15VětaNechť Ljelineárníprostor, A:L Llineárnízobrazení,Amaticetohotozobrazenívzhledem k nějaké uspořádané bázi(b) Reálné číslo λ je vlastním číslem lineárního zobrazení A právě tehdy, když je vlastním číslem matice A Vektor v L je vlastním vektorem zobrazení A příslušným vlastnímu číslu λ právě tehdy, když jeho vektor souřadnic vzhledem k bázi(b) je vlastním vektorem matice A příslušným vlastnímu číslu λ 16PoznámkaNechť Ljelineárníprostor, A:L Llineárnízobrazení,Amaticetohotozobrazení vzhledem k nějaké uspořádané bázi(e) Nechť(F) je také uspořádanou bazí prostoru L Matice B lineárního zobrazení Avzhledemkbázi(F)jeB=P 1 A P,kdePjematicípřechoduoduspořádanébáze(E) k uspořádané bázi(f) Matice A a B mají stejná vlastní čísla Jsou totiž maticemi stejného lineárního zobrazení a podle předchozí věty mají stejná vlastní čísla jako toto zobrazení 17 Definice Řekneme, že čtvercové matice A a B řádu n jsou podobné, jestliže existuje regulární matice P taková,žeplatíb=p 1 A P 18 Poznámka Relace podobnosti je zřejmě reflexivní, symetrická a transitivní, je to tedy ekvivalence Množina všech čtvercových matic řádu n se tak rozpadá na disjunktní třídy navzájem podobných matic V každé tétotříděmůžemevybratreprezentanta-matici,kterábudemítconejjednoduššístrukturu-co nejbližší diagonální matici Takové matici se říká Jordanova matice a bázi lineárního prostoru, vzhledem k níž je to matice určitého endomorfismu(lineární transformace), se říká Jordanova kanonická báze Podrobněji se budeme se zabývat pouze nejjednodušším případem, kdy Jordanova matice je opravdu diagonální 19 Věta Podobné matice mají stejné charakteristické polynomy 20 Poznámka Opačné tvrzení ( neplatí-) existují ( matice, ) které mají stejné charakteristické polynomy a přesto nejsou podobné Např matice a majístejnécharakteristicképolynomy(λ 1) ,ale přesto nejsou podobné Jednotková matice je totiž podobná jen sama sobě, protože P 1 E P=(P 1 E) P=P 1 P=E

3 21VětaNechťAječtvercovámaticeřádu n, λ 1, λ 2,, λ n R, v 1, v 2,, v n R n OznačmePmatici, jejímižsloupcijsoupostupněvektory v 1, v 2,, v n addiagonálnímatici,kterámánahlavnídiagonálečísla λ 1, λ 2,, λ n Potomplatí,žečísla λ 1, λ 2,, λ n jsouvlastnímičíslymaticeaavektory v 1, v 2,, v n jsou vlastnímivektorypříslušnýmitěmtovlastnímčíslůmprávětehdy,kdyžp D=A P 22DůsledekNechť λ 1, λ 2,,λ n Rjsouvlastníčísla(nenutněrůzná)čtvercovématiceAřádu na v 1, v 2,, v n R n jimpříslušnélineárněnezávislévlastnívektorypotomjematiceapodobnádiagonální matici 23VětaNechť λ 1, λ 2,,λ n RjsounavzájemrůznávlastníčíslačtvercovématiceAřádu n,potomjsou jimpříslušnévlastnívektory v 1, v 2,, v n R n lineárněnezávislé 24 Důsledek Nechť A je čtvercová matice řádu n Pokud má tato matice n navzájem různých vlastních čísel, je podobná diagonální matici 25 Poznámka Předchozí tvrzení nelze obrátit Existují matice(např jednotková), které jsou podobné diagonální matici, ale jejich vlastní čísla mohou být násobná(navzájem různých vlastních čísel je méně, než je řád matice 26LemmaNechťAječtvercovámaticeřádu naλ 1, λ 2,,λ k Rjsoujejínavzájemrůznávlastníčísla Nechť v 1, v 2,, v k R n jsouvektoryzcharakteristickýchpodprostorůpříslušnýchodpovídajícímvlastním číslům,prokteréplatí v 1 + v v k = opotom v 1 = v 2 = = v k = o 27VětaNechťAječtvercovámaticeřádu naλ 1, λ 2,,λ k Rjsoujejínavzájemrůznávlastníčísla Nechť S 1, S 2,, S k jsoulineárněnezávislémnožinyvektorůzcharakteristickýchpodprostorůpříslušných odpovídajícímvlastnímčíslůmmnožina S= S 1 S 2 S k jelineárněnezávislá 28 Důsledek Čtvercová matice A je podobná diagonální matici právě tehdy, když násobnost každého jejího vlastního čísla je rovna dimensi jemu příslušného charakteristického podprostoru 29DůsledekNechť Ljelineárníprostor, A:L LlineárnízobrazeníBázelineárníhoprostoru L, vzhledem k níž je matice zobrazení diagonální, existuje právě tehdy, když násobnost každého jejího vlastního čísla je rovna dimensi jemu příslušného charakteristického podprostoru Tato báze je sjednocením bazí charakteristických podprostorů příslušných jednotlivým vlastním číslům Zobecněné vlastní vektory a Jordanův kanonický tvar matice 30DefiniceNechťAječtvercovámaticeřádu nnenulovývektor v R n nazvemezobecněnýmvlastním vektorem(takézobecněnýmcharakteristickýmvektorem)maticea,jestližeexistuje λ Rak N + tak,že platí (A λe) k v T = o T 31 Poznámka Nechť v je zobecněným vlastním vektorem matice A a k nejmenší přirozené číslo, pro které je(a λe) k v T = o T Potom(A λe) k 1 v T o T Označíme-li(A λe) k 1 v T = v T 1,potom (A λe) v T 1 = ot,vektor v 1 jetedyvlastnímvektoremmaticeapříslušnýmvlastnímučíslu λ 32 Definice Nechť v je zobecněným vlastním vektorem matice A a k nejmenší přirozené číslo, pro které je (A λe) k v T = o T Položme v 1 T = (A λe) k 1 v T v 2 T = (A λe) k 2 v T v k 1 T = (A λe) v T v k T = v T Uspořádanou k-ticivektorů( v 1, v 2, v k )nazývámeřetězcemzobecněnýchvlastníchvektorůmaticeapříslušných vlastnímu číslu λ, číslo k nazýváme délkou řetězce 33 Poznámka Samotný vlastní vektor matice je ve smyslu této definice považován za řetězec délky 1

4 34 Vynásobme nyní všechny rovnice z definice zleva maticí(a λe) Dostaneme (A λe) v 1 T = (A λe) k v T = o T (A λe) v 2 T = (A λe) k 1 v T = v 1 T (A λe) v k 1 T = (A λe) 2 v T = v k 2 T (A λe) v k T = (A λe) v T = v k 1 T Tyto vztahy nám dávají návod na postupný výpočet celého řetězce zobecněných vlastních vektorů, který začínákonkrétnězvolenýmvlastnímvektorem v 1 35Postupvýpočtu:Kvlastnímučíslu λvhodnězvolímevlastnívektor v 1 Vektor v 2 spočítámejako řešení rovnice (A λe) x T = v T 1, vektor v 3 jakořešenírovnice vektor v k jakořešenírovnice (A λe) x T = v T 2,, (A λe) x T = v T k 1 Dásedokázat,žecelýprocesvýpočtumávždykonečnýpočetkroků(řešenírovnice(A λe) x T = v T k neexistuje) Jak vhodně zvolit ten počáteční vlastní vektor? V případě, že dimense charakteristického podprostoru příslušného vlastnímu číslu λ je rovna 1, vybereme jakýkoli vlastní vektor Pokud je dimense charakteristického podprostorupříslušnéhovlastnímučíslu λvětšínež1,je vhodnývektor lineárníkombinacíbázovýchvektorůtohotopodprostorukoeficientytétokombinacevolímetak,abyrovnice(a λe) x T = v T 1 mělařešení 36VětaNechť( v 1, v 2,, v k )jeřetězeczobecněnýchvlastníchvektorůmaticeapříslušnýchvlastnímu číslu λpotomjsouvektory v 1, v 2,, v k lineárněnezávislé 37DefiniceJordanovýmblokemodpovídajícímvlastnímučíslu λ j nazývámematici J j = λ j λ j λ j λ j Jordanovým kanonickým tvarem matice nazveme matici složenou z Jordanových bloků, tedy matici J 1 O O O O J 2 O O J= O O O J k Uspořádanou bázi, vzhledem k níž má lineární zobrazení matici v Jordanově kanonickém tvaru nazveme Jordanovou kanonickou bazí 38 Věta Nechť je λ m-násobné vlastní číslo matice A, pak součet délek všech řetězců zobecněných vlastních vektorů příslušných číslu λ je roven m 39 Věta Nechť pro čtvercovou matici A existuje Jordanova kanonická báze tvořená zobecněnými vlastními vektory( v 1, v 2,, v n )PotomjeApodobnámaticivJordanověkanonickémtvaruaplatíJ=P 1 A P, kdepjematice,jejímižsloupcijsou( v T 1, vt 2,, vt n)pořadíjordanovýchblokůvmaticijjeurčenopořadím řetězců, v němž jsou jejich vektory zařazeny do kanonické báze 40 Příklad 1: Matice A=

5 má tři různá vlastní čísla 1,-2, 3 Jim příslušné charakteristické podprostory mají dimensi 1, báze jsou např ((1,1,1))pro λ 1 =1,((2, 1,2))pro λ 2 = 2a(( 1,3,4))pro λ 3 =3Tytotřivektoryjsoulineárně nezávislé, matice A je tedy podobná diagonální matici D= aplatí,žed=p 1 A Ppro P= Příklad 2: Matice A= mádvěrůznávlastníčísla0a-3jimpříslušnécharakteristicképodprostorymajídimensi1a2,bázejsou např((1,1,1))pro λ 1 =0,((1, 1,0),(1,0, 1))pro λ 2 = 3Tytotřivektoryjsoulineárněnezávislé, matice A je tedy podobná diagonální matici D= aplatí,žed=p 1 A Ppro P= Příklad 3: Matice A= má jedno vlastní číslo 1 Jemu příslušný charakteristický podprostor má dimensi 1, báze je např(( 1, 1, 1)) Abychom našli řetězec zobecněných vlastních vektorů, řešíme soustavu s rozšířenou maticí: , jejímžřešenímjenapřvektor( 1,0,1)asoustavusrozšířenoumaticí , jejímžřešenímjenapřvektor( 1,1,0) Hledaným řetězcem zobecněných vlastních vektorů je tedy(( 1, 1, 1),( 1, 0, 1),( 1, 1, 0)), Jordanovou maticí je aplatí,žej=p 1 A Ppro J= P= Příklad 4: Matice A=

6 má jedno vlastní číslo 2 Jemu příslušný charakteristický podprostor má dimensi 2, báze je např(( 1, 1, 0),(0, 1, 1)) Abychom našli výchozí vektor pro řetězec zobecněnných vlastních vektorů, hledáme lineární kombinaci těchto dvou vektorů, která jako pravá strana soustavy s maticí A 2E zaručí nekonečně mnoho řešení Máme tedy α α+β β vyhovujenapř α= 1aβ=1,řešímetedysoustavusrozšířenoumaticí Řešenímjenapřvektor(1,0,0)Řetězeczobecněnýchvlastníchvektorůje((1,0,1),(1,0,0)),dalšířetězec má délku 1(jediný vlastní vektor), je jím libovolný vlastní vektor, který není násobkem vektoru(1, 0, 1), např vektor(0, 1, 1) Jordanovou maticí je matice aplatí,žej=p 1 A Ppro J= P= ,