Hybnost a energie při vzájemném působení těles

Hybnost a energie při vzájemném působení těles Studijní text FO pro kategorii D Josef Jírů Obsah Úvod 2 Dokonale nepružný ráz 3 2 Dokonale pružný ráz 5 3 Nedokonale pružný ráz 23 4 Úlohy 25 Výsledky 29 Literatura 32

Úvod Všude kolem nás na sebe vzájemně působí tělesa a mění svůj pohybový stav. Silovým polem se vzájemně přitahují či odpuzují, srážejí se a odrážejí se při vzájemném dotyku. Budeme se zabývat pohybovými účinky těchto působení a zkoumat základní přeměny energie. Přitom nebudeme popisovat průběh srážky, to znamená dobu působení, působící síly a jejich časový či dráhový průběh, který může být i velmi složitý(např. odpálení tenisového míčku raketou), nýbrž nás bude zajímat pouze pohybový stav těles před vzájemným působením a po něm.připopisusivystačímesdvěmaveličinami shybnostíaenergií. S popisovanými jevy se můžeme setkat nejen při chování těles v našem okolí(míčové hry, dopravní nehody, výstřel ze zbraně, exploze granátu, činnost reaktivního motoru, vzájemné přitažení a odstrčení bruslařské dvojice, srážky kulečníkových koulí, zatloukání hřebíku), ale též v oblasti mikrosvěta či vesmíru. V jaderném reaktoru narážejí rychlé neutrony vzniklé při jaderné reakci na jádra atomů, v urychlovačích posíláme proti sobě částice a zkoumáme výsledky vzájemných srážek. Srážejí se molekuly plynu a odrážejí se od stěn nádoby. Při elektrickém výboji dochází ke srážkám urychlovaných elektronů a iontů s neutrálními molekulami. Modelovým příkladem pro zkoumání srážek těles je ráz koulí. Zabýval se jímičeskýpřírodovědec,lékařafilozofjanmarekmarcizlanškrouna(595- -667).Vroce639vycházíjehofyzikálníspisOúměrnostipohybu...obsahující systematický výklad poznatků mechaniky včetně původní analýzy rázu pružných a nepružných těles. Jedna z jeho osmi tezí o pružných rázech uvádí např.toto: Narazí-livětšíkoulevpohybunamenší,přičemžpoměrhmotností převáží nad impulsem menší koule, odrazí ji a pohybuje se dále. Význam Marciho díla vynikne, uvážíme-li, že v té době se fyzikální veličiny teprve vyvíjely (pojem energie znám ještě nebyl) a že Newtonovo stěžejní dílo Philosophiae naturalis principia mathematica, které dalo základ klasické mechanice, vyšlo teprve v roce 687. Text je určen středoškolským studentům, kteří se seznámili především s Newtonovými pohybovými zákony, s hybností a s mechanickou energií a kteří zvládají základní algebraické úpravy výrazů se zlomky a s druhou mocninou a odmocninou. V textu je minimální množství teorie, naopak závěry jsou většinou vyvozovány přímo v řešených příkladech. U dalších matematických dovedností, jako je užití souřadnic a vektorů, převládá intuitivní přístup. 2

Dokonale nepružný ráz V izolované soustavě těles, tedy v soustavě, na kterou z vnějšku nepůsobí žádná síla nebo výslednice všech vnějších sil je nulová, platí zákon zachování hybnosti(dále jen ZZH). Tělesa v izolované soustavě však na sebe vzájemně působit mohou. Těmito silami se mění jejich hybnosti, avšak celková hybnost soustavy jako celku se nemění. Také energie se v izolované soustavě těles zachovává. Pokud se přeměňuje pouze mechanická forma energie opět na mechanickou formu energie, platí zákon zachování mechanické energie. Jestliže se však přeměňuje mechanická energie na nemechanickou nebo naopak, potom mechanická energie soustavy se změní, ale celková energie soustavy zůstane konstantní. V každé izolované soustavě těles tedy vždy platí zákon zachování(celkové) energie. Příklad : Vagónohmotnosti m 20tsepohybujepřímočarýmpohybempovodorovnýchkolejíchrychlostíovelikosti v 4,0m s anarazídostojícíhovagónu ohmotnosti m 2 30t.Posrážcesevagónyautomatickyspojí. a) Určete rychlost(tj. směr rychlosti a velikost rychlosti) soupravy po srážce. b) Určete, jaká část původní kinetické energie se ve formě kinetické energie po srážce zachovala. Řešení: a) Během srážky, která trvá od okamžiku dotyku nárazníků do okamžiku dosažení stejné rychlosti, vagóny na sebe vzájemně působí akcí a reakcí. Jednou silou působí první vagón na druhý a druhou silou stejné velikosti a opačného směrupůsobídruhývagónnaprvní.každáztěchtosilmánapříslušnývagón pohybový účinek. Tímto účinkem je u prvního vagónu jeho zpomalení a u druhého jeho uvedení do pohybu. Podle ZZH se hybnost soustavy během děje nemění, to znamená, že hybnost soustavy před srážkou a po srážce je stejná (má stejnou velikost a stejný směr). Platí: m v ( )v. Vektorová rovnice říká, že směr obou rychlostí je shodný(hmotnosti jsou kladné), proto pro velikosti hybností platí Z rovnice plyne m v ( )v. v m v. () Sevzorcitohototypusimůžemetrochupohrát.Napravéstranějezlomek udávající poměr nějakých hmotností, tedy číslo bez jednotky, kterým pak násobíme velikost rychlosti. Hodnota zlomku je nezávislá na volbě jednotek. Zlomek 3

má stejnou hodnotu, ať hmotnosti dosadíme v kilogramech, v tunách nebo třeba v librách. Zvolená jednotka však musí být u každé hmotnosti stejná, nelze je kombinovat. Velikost výsledné rychlosti pak bude mít stejnou jednotku jako je jednotka dosazované velikosti rychlosti, tedy dosadíme-li hodnotu v kilometrech za hodinu, vyjde výsledná velikost rychlosti též v kilometrech za hodinu. Pokud ovšem si tyto skutečnosti neuvědomíme nebo nemáme jistotu, raději dosadíme všechny hmotnosti v kilogramech a velikost rychlosti v metrech za sekundu. Nyní dosadíme, nejprve pouze za hmotnosti, poté i za velikost rychlosti: v 2 5 v,6m s. Výsledek po částečném dosazení říká, že velikost rychlosti soupravy tvoří 0,4 násobek velikosti rychlosti prvního vagónu před srážkou. b) Označme kinetickou energii přednárazem 2 m v 2, ponárazu E k 2 (m + m 2 )v 2. Nyní na základě výsledku úlohy a) bychom mohli obě energie číselně vypočítat a výsledky dát do poměru. Řešení však provedeme obecně, tj. do rovnice E k 2 (m + m 2 )v 2 2 m v 2 dosadíme za velikost rychlosti v výraz z rovnice() a upravíme. Dostaneme popř. E k 2 (m m + m 2 ) 2 ( ) 2 v2 2 m v 2 E k m. m, Obecnývýsledekjevelicejednoduchý,podosazenívychází E k 0,4,popř. E k 0,4.Znamenáto,žeběhemsrážkyse40%původníkinetickéenergieve formě kinetické energie soustavy zachová a zbývajících 60% původní kinetické energie se přemění na vnitřní energii soustavy(projeví se poněkud zvýšenou teplotou v oblasti nárazníků). Z obecného řešení též plyne, že výsledek nezávisí na velikosti rychlosti přijíždějícího vagónu při daném poměru hmotností se vždy zachová 40% jeho původní kinetické energie. Řešení se nazývá proto obecné, že nám umožní rychle vyřešit danou úlohu 4

s libovolným číselným zadáním, ale také popsat některé speciální případy. Obecné řešení úlohy, která přestavuje tzv. dokonale nepružnou srážku dvou těles E k m (2) nám umožní udělat další úvahy: Vpřípaděstejnýchhmotností,tj. m m 2,dostaneme: E k m m 2 m 2 + m 2 m 2 2m 2 2, což znamená, že právě polovina původní kinetické energie zachová a zbývající polovina se přemění na vnitřní energii. Přijinévolbě,např. m 0,5m 2,dostaneme: E k m 0,5m 2 0,5m 2 + m 2 3, tedy jedna třetina původní kinetické energie se zachová a zbývající dvě třetiny se přemění na vnitřní energii. Obecněvpřípadě m < m 2 sezachovámenšíčástenergienežpřemění. V krajním případě, kdy letící těleso má mnohem menší hmotnost než těleso vklidu,tedy m m 2,senavnitřníenergiipřeměnínaprostávětšinapůvodní kinetické energie. Případ je typický pro střelu, která zasáhne mnohem hmotnější živý objekt. Způsobí především destrukci jeho tkáně, nikoliv uvedení do pohybu. Obecněvpřípadě m > m 2 senaopakvětšíčástenergiezachovánežpřemění. V krajním případě, kdy letící těleso má mnohem větší hmotnost než tělesovklidu,tedy m m 2,senavnitřníenergiipřeměnízanedbatelnáčást původní kinetické energie. Příkladem může být rychle jedoucí automobil, který narazínamouchu,aobětělesapakpokračujívpohybupřitéměřnezměněnékinetické energii(přeměněná nepatrná část kinetické energie je však pro mouchu příliš velká). Lepší porovnání umožní následující příklad. Příklad 2: Nacílovépáscesedíholubohmotnostikg.Porovnejtenásledek srážky holuba v klidu se střelou (sadou broků) o hmotnosti 36 g letící rychlostí 400m s snásledkemsrážkybezodrazusesprintujícímběžcemohmotnosti 62,5 kg, který má stejnou kinetickou energii jako letící střela. Využijte přímo obecné řešení příkladu. Řešení: Pro představu vypočítáme číselně velikost rychlosti běžce. Kinetická energie běžceastřelyjestejná 2 m bv 2 b 2 m sv 2 s 2 0,036 4002 J2880J. 5

Velikost rychlosti běžce s touto energií je 2 2 2880 v b 9,6m s. m b 62,5 Následky srážky porovnáme pomocí přeměněné energie, kterou označíme U E k (nazývámejipřírůstekvnitřníenergiesoustavytěles).svyužitím vztahu(2) platí: U E k E k V případě zásahu střelou se tak přemění energie U m m 2. m 2 0,036+ 000 036 0,965 2780J. V případě nárazu běžce se přemění energie U m 2 62,5+ 0 635 0,057 45J, což je pro holuba mnohem přijatelnější. Příklad 3: Vagónohmotnosti m 20tsepohybujepřímočarýmpohybempovodorovnýchkolejíchrychlostíovelikosti v 4,0m s anarazídovagónuohmotnosti m 2 30t,kterýsepohybujerychlostíovelikosti v 2 3,0m s proti směru pohybu prvního vagónu. Po srážce se vagóny automaticky spojí. a) Určete rychlost(tj. směr rychlosti a velikost rychlosti) soupravy po srážce. b) Určete, jaká část původní kinetické energie se ve formě kinetické energie po srážce zachovala. Řešení: a) Podle ZZH se hybnost během děje nemění, tj. hybnost soustavy před srážkou aposrážcejestejná(tj.mástejnouvelikostastejnýsměr).platí: m v + m 2 v 2 ( )v. (3) Tentokrát není hned zřejmý směr pohybu soupravy. Můžeme však vypočítat velikost hybnosti každého vagónu před srážkou: p m v 80000kg m s, p 2 m 2 v 2 90000kg m s. Jelikož p 2 > p,másoustavatělesposrážcesměrhybnostitotožnýsesměrem pohybu druhého vagónu, proto se bude celá souprava pohybovat v tomto směru. Takto jsme zjistili směr pohybu soupravy po srážce, tedy určili jsme směr rychlosti v. Velikost v rychlosti po srážce získáme přepisem vektorové rovnice(3) 6

do skalárního tvaru, který dává do rovnosti velikost hybnosti soustavy před srážkou a velikosti hybnosti po srážce: znížplyne m 2 v 2 m v ( )v, v m 2v 2 m v. (4) Číselněvychází v0,20m s. Elegantní však bude, když i směr rychlosti získáme z obecného řešení. Za tímúčelemoznačme xosuskladným směremtotožným sesměrem pohybuprvníhovagónu, v x souřadnicirychlostiprvníhovagónu, v x2 souřadnicirychlostidruhéhovagónuav x souřadnicirychlostisoupravyposrážce. Znaménko souřadnice rychlosti je kladné, pohybuje-li se vagón ve směru osy x, a záporné, pohybuje-li se proti směru osy x.přinaší volběje v x >0, v x2 <0,tedy v x 4m s, v x2 3m s. v x >0 v x2 <0 m v v 2 m 2 v x? v x Vektorovou rovnici(3) zapíšeme souřadnicově vyjádříme souřadnici hledané rychlosti m v x + m 2 v x2 ( )v x, v x m v x + m 2 v x2, (4 ) dosadíme číselné hodnoty a vypočteme: v x 20000 4+30000 ( 3) 20000+30000 m s 0,2m s. Výsledekříká,žesoupravasepohybujerychlostíovelikosti0,2m s proti směru osy x, tedy proti směru pohybu prvního vagónu. b) Tentokrát je kinetická energii vagónů před nárazem 2 m v 2 + 2 m 2v 2 2. 7

Bez ohledu na směr rychlosti se kinetické energie jednotlivých těles soustavy sčítají, neboť energie je skalární veličina. Kinetická energie soupravy po srážce vagónů je E k 2 (m + m 2 )v 2. Řešení provedeme opět obecně, tj. do rovnice E k 2 (m + m 2 )v 2 2 m v 2 + 2 m 2v 2 2 dosadímevelikost vrychlostizrovnice(4)nebosouřadnici v x rychlostizrovnice(4 ): ( ) (m 2v 2 m v ) 2 (m + m 2 ) 2 m v 2+ m 2v2 2 Po úpravě dostaneme nebo ( ) (m v x + m 2 v x2 ) 2 (m + m 2 ) 2 m v 2+ m 2v2 2. E k (m 2 v 2 m v ) 2 ( )(m v 2+ m 2v2 2) (5) nebo E k (m v x + m 2 v x2 ) 2 ( )(m v+ 2 m 2 v2) 2. (5 ) Tentokrátobecnývýsledektakjednoduchýnení.Podosazenívychází E k 0,0035,tedyzachovásepouze0,35%kinetickéenergievagónůpředsrážkou. Podívejme se i nyní na některé speciální případy. Zvolíme-li v rovnici(5) například v 2 0, dostaneme po úpravách výsledek příkladu b), tedy rovnici(2). Zvolíme-livrovnici(5 ) m m 2,dostanemepoúpravách E k (v x+ v x2 ) 2 2(v 2 + v2 2 ). Je-linavíc v x v x2,tj.vagónyseshodnýmihmotnostmisepohybujíproti soběrychlostmistejnévelikosti,dostaneme E k 0.Veškerákinetickáenergie se přeměnila na vnitřní energii a souprava zůstává na místě. Je-li naopak 8

v x v x2,dostaneme E k.veškerákinetickáenergiesezachovala,kesrážce vagónů vůbec nedošlo, neboť se pohybují za sebou stejnou rychlostí. Předpokládejme ještě např. současnou platnost podmínek m 2m 2, v x v x2,tedydvavagónyspoměremhmotností2:jedouprotisoběrychlostmistejnévelikosti.nynívyjde E k 9. Příklad 4: Dvětělesaohmotnostech m 0,0kg, m 2 0,40kgsepohybujívnavzájem kolmýchsměrechrychlostmiovelikostech v 3,0m s, v 2 2,0m s a srazí se tak, že se nadále pohybují společně jako jedno těleso. a) Určete rychlost(tj. směr rychlosti a velikost rychlosti) tělesa vzniklého po srážce. b) Určete, jaká část původní kinetické energie se ve formě kinetické energie po srážce zachová. Řešení: a) Tentokrát se tělesa nepohybují v jedné přímce, nýbrž ve dvou přímkách navzájem kolmých. Hybnosti těles před srážkou jsou p m v, p 2 m 2 v 2, hybnost tělesa vzniklého po srážce je p( )v. Podle zákona zachování hybnosti platí: pp + p 2, tedy výslednou hybnost po srážce dostaneme složením(vektorovým součtem) původních hybností těles před srážkou. Z obrázku plyne, že velikost výsledné hybnosti lze získat z Pythagorovy věty. Pro velikosti vektorů platí dosazením dostaneme p 2 p 2 + p 2 2, p [( )v] 2 (m v ) 2 +(m 2 v 2 ) 2. Z rovnice plyne pro velikost hledané rychlosti (m v ) v 2 +(m 2 v 2 ) 2. Číselněvychází v,7m s. Směr rychlosti určíme např. úhlovou odchylkou α konečné rychlosti v (hyb- α p p 2 9

nosti p)odrychlosti v 2 (hybnosti p 2 ).Podleobrázkuplatí: tg α p p 2 m v m 2 v 2. Podosazeníavýpočtuvychází α2. b) Kinetická energie těles před nárazem je kinetická energie spojených těles je Poměr hledaných energií pak je 2 m v 2 + 2 m 2v 2 2, E k 2 (m + m 2 )v 2. E k 2 (m + m 2 )v 2 2 m v+ 2. 2 m 2v2 2 Zlomek zkrátíme a dosazením za velikost v rychlosti dostaneme E k ( ) (m v ) 2 +(m 2 v 2 ) 2 (m + m 2 ) 2 m v+ 2 m 2 v2 2 (m v ) 2 +(m 2 v 2 ) 2 ( )(m v 2 + m 2 v 2 2) 0,58. Problémové intermezzo )AlešaTomášřešiliúlohu:Zevzduchovkyohmotnosti3,kgbylvystřelen nábojohmotnosti0,54grychlostí70m s.určetepráci,kterouvykonal stlačený vzduch. Alešřešilúlohutakto: Vykonanáprácejerovnakinetickéenergiizískané střelou.stačípoužítvzorec W mv 2 /2amášto. Tonemáš,namítlTomáš: Prácebylavětší,protožejsizapomnělzapočítat kinetickou energii vzduchovky těsně po výstřelu. Má pravdu Aleš, nebo má pravdu Tomáš? Porovnejte číselné výsledky každého z nich. 2)OvíkendusiAlešsTomášemchtěliodpočinoutodfyzikyavydalisekrybníku.Každýnasedldojednéloďky.Kdyžbylizáděmiusebe,Alešnaprvní loďceocelkovéhmotnosti m 60kgodstrčilpádlemdruhouloďkusTomášemocelkovéhmotnosti m 2 00kg.Druháloďkasetakuvedladopohybu rychlostíovelikosti v 2 0,80m s.určetepráci W,kterouAlešvykonal,a poměr 2 / kinetickýchenergiídruhéaprvníloďky.řeštenejprveobecně, pak pro dané hodnoty. 3) Kdykoliv se nějaké těleso uvede do pohybu působením tělesa pevně spojeného se Zemí, uvede se podle Newtonových pohybových zákonů do pohybu i 0

Země. Proč do vykonané práce nezapočítáváme kinetickou energii, kterou získala Země? Výsledky jsou uvedeny na straně 29. Příklad 5: Krasobruslařohmotnosti m 76kgakrasobruslařkaohmotnosti m 2 57kg tvořípár.obajsouzasebouvklidu,partnerpartnerkuodstrčítak,žejejí rychlostmávelikost v 2 3,2m s,přičemžsebruslemineopíráoled(nijak se nebrání vlastnímu pohybu). a) Určete velikost rychlosti partnera. b) Určete práci vykonanou partnerem. Řešení: a)podlezzhjecelkováhybnostpředpůsobenímipopůsobenístejná,vnašem případě nulová. Platí: m v + m 2 v 2 0. Z rovnice tentokrát vyjádříme přímo hledanou rychlost: v m 2 m v 2. Z rovnice plyne, že směr pohybu partnera je opačný než směr pohybu partnerky. Velikost rychlosti partnera je v m 2 m v 2. (6) Jiná možnost řešení: Bruslaři si z klidu udělí stejně velké hybnosti opačného směru. Z porovnání velikostí hybností m v m 2 v 2 dostanemevelikost v hledanérychlosti,tj.vzorec(6).číselněvychází v 0,75v 2 2,4m s. b) Práce vykonaná partnerem je rovna součtu kinetických energií obou bruslařů: W 2 m v 2 + 2 m 2v 2 2. Užitím vztahu(6) a po úpravě dostaneme W ( ) 2 2 m m2 v 2 + m 2 m 2v2 2 (m + m 2 )m 2 v2 2 2m. Číselněvychází W50J.

Příklad 6: Krasobruslařohmotnosti m 72kgakrasobruslařkaohmotnosti m 2 54kg tvořípár.obajedouzasebourychlostíovelikosti v,7m s,onavpředu, on vzadu. V jednom okamžiku partner partnerku odstrčí tak, že se sám uvede dopohybuvopačnémsměrurychlostíovelikosti v,0m s. a) Určete rychlost partnerky. b) Určete práci vykonanou partnerem. Řešení: a).způsob vzhledemkevztažnésoustavěspojenésledem:podlezzhje hybnost před působením i po působení krasobruslařů stejná. Platí ( )v m v + m 2 v 2. Z rovnice vyjádříme přímo hledanou rychlost: v 2 (m + m 2 )v m v m 2. Prosouřadniceplatí v x2 (m + m 2 )v x m v x m 2. Přivolběsměruosy xtotožnéhosesměrempohybudvojicejepodlezadání v x,7m s, v x,0m s.dosazenímdostaneme v x2 (72+54),7 72 ( ) 54 m s 5,3m s. Partnerkasepohybujevpůvodnímsměrurychlostíovelikosti5,3m s. 2. způsob ve vztažné soustavě spojené s těžištěm bruslařů, které se vzhledem k ledu pohybuje rychlostí v: Před odstrčením je každý z dvojice vzhledem ktěžištivklidu,pooddělenízískajívzhledemktěžištirychlosti u, u 2 splňující rovnice v v+ u, v 2 v+ u 2. Vtétovztažnésoustavějetedyrychlostpartnera u v vaprojejísouřadnici platí u x v x v x,0m s (,7m s ) 2,7m s. PodleZZHjesplněnarovnice m u + m 2 u 2 0, znížplyne u 2 m m 2 u. Souřadnice rychlosti partnerky vzhledem k těžišti páru je u x2 m m 2 u x 4 3 u x 4 3 ( 2,7)m s 3,6m s. 2

Souřadnice rychlosti partnerky vzhledem k ledu pak je v x2 v x + u x2,7m s +3,6m s 5,3m s. b) Práce vykonaná partnerem je rovna rozdílu kinetické energie soustavy oddělených bruslařů po vzájemném působení a kinetické energie páru před působením: W 2 m v 2 + 2 m 2v 2 2 2 (m + m 2 )v 2 60J. Do vzorce jsme přímo dosadili číselné hodnoty, obecné řešení je příliš složité. Příklad 7: Lovec stojí v gumovém člunu na rybníku a střílí brokovnicí na letící divokou kachnu. Hmotnost člunu s lovcem a zbraní je 20 kg, hmotnost vystřelených broků0,030kgavelikostrychlostibroků400m s.určetevelikostrychlosti člunu po výstřelu, jestliže vystřelil šikmo vzhůru pod úhlem svírajícím shladinourybníka30. y p y p α p x p x2 α O p y2 x p 2 Řešení: Zvolme soustavu souřadnic podle obrázku, označme indexem parametry střely aindexem2parametryloďkyslovcemasezbraní.podlezzhjehybnost soustavy před výstřelem i po výstřelu stejná a je rovna nulovému vektoru: p + p 2 0, neboli p 2 p. Tělesa si tak akcí a reakcí udělila hybnosti stejné velikosti a navzájem opačnéhosměru.střelasepohybuješikmovzhůru,člunslovcemasezbraníšikmo dolů tovšakvypadánarozporsnašízkušeností.vímepřece,žečlunse bude pohybovat pouze vodorovně po hladině. Zdánlivý rozpor vysvětlíme tím, že proti pohybu člunu svisle dolů působí při ponořování vztlaková síla, která 3

svislý pohyb zastaví, člun se ve svislém směru rozkmitá a vlivem třecích sil kmity ustanou. Svislá složka hybnosti člunu zdánlivě zanikne, ve skutečnosti se zachová v soustavě se Zemí. Člun se tak bude pohybovat pouze ve vodorovném směruscelkovouhybnostíovelikosti p 2 p x2.pro x-ovésouřadnicehybnosti platí: p x p cosαm v cosα, p x2 m 2 v x2, p x2 p x. Z rovnic dostaneme v x2 m v cosα 0,03 400 cos30 m 2 20 Velikostrychlostičlunuje v 2 v x2 0,087m s. m s 0,087m s. 4

2 Dokonale pružný ráz Ve všech předchozích příkladech se buď dvě tělesa srazila a vytvořila jedno těleso, nebo naopak se jedno těleso rozdělilo na dvě části, které se pak pohybovaly samostatně. Z hlediska fyzikálního popisu jsou oba děje ekvivalentní, neboť pokud např. druhý děj, tj. odstrčení či odmrštění těles, nafilmujeme a takto natočený děj promítneme pozpátku, dostaneme první děj, tj. srážku dvou těles, která zůstanou u sebe. Všechny dosavadní děje lze tak zahrnout pod pojem dokonale nepružný ráz. Tělesa tvořila izolovanou soustavu, kdy z vnějšku žádné další těleso na soustavu nepůsobilo, naopak jediné působení bylo mezi tělesy soustavy navzájem. Celková hybnost soustavy se během proběhnutí děje nezměnila. Energie soustavy se odstrčením zvětšila o práci vykonanou akcí a reakcí, srážkou se zmenšila o práci spotřebovanou akcí a reakcí(obvykle se přeměnila na vnitřní energii). Mechanická energie soustavy se tím změnila, celková energie soustavy se však zachovala. Existují však děje, kdy se při srážce těles v izolované soustavě zachová hybnost i mechanická energie. Takový děj se nazývá dokonale pružný ráz a budeme se jím zabývat v následujících příkladech. Obecně však srážka bývá různě pružná, na vnitřní energii se přemění menší či větší část mechanické energie. Tento obecný případ se nazývá nedokonale pružný ráz a zabývat se jím budeme v 3. kapitole. Dokonale nepružný a dokonale pružný ráz jsou vlastně jeho krajní případy. Při dokonale pružném rázuseodsebetělesaodrazínejpružněji,jakjetojenmožné mechanická energie se zcela zachová. U dokonale nepružného rázu se tělesa od sebe vůbec neodrazíazůstanouusebe navnitřníenergiisepřeměnízadanýchpodmínek maximální možná část mechanické energie. Jednotlivé druhy rázů si můžeme představit při dopadu různých těles tvaru koule na tvrdou podlahu. Dopad kuličky vymodelované z plastelíny je dokonale nepružný, kulička se vůbec neodrazí. Pružný míček zvaný hopík se naopak odrazítak,ževystoupátéměřdopůvodnívýšky-odrazseblížíkdokonalepružnému. Tenisový, basketbalový, volejbalový či fotbalový míč se odrazí obecně různě a jsou příkladem nedokonale pružného rázu. Příklad 8: Vagónohmotnosti m 20tsepohybujepřímočarýmpohybempovodorovnýchkolejíchrychlostíovelikosti v 4,0m s anarazídostojícíhovagónu ohmotnosti m 2 30t.Přisrážcesevagónydokonalepružněodrazí.Určete rychlost(tj. směr rychlosti a velikost rychlosti) každého vagónu. Řešení: Označmerychlostikaždéhovagónuposrážce u, u 2.Jelikožpřinárazumusímepřipustitvpřímceobamožnésměrypohybu,budemepodoznačením u a u 2 chápatpřímosouřadnicehledanýchrychlostí.abyúlohabylajednoznačně 5

řešitelná, musíme pro tyto dvě neznámé souřadnice rychlostí napsat dvě rovnice. Tentokrát kromě zákona zachování hybnosti je splněn i zákon zachování mechanické energie. Pro hybnost platí m v m u + m 2 u 2. kde vektory rychlostí leží v přímce, tedy pro jejich souřadnice dostaneme Pro kinetickou energii platí m v m u + m 2 u 2. (7) 2 m v 2 2 m u 2 + 2 m 2u 2 2. (8) m v m 2 u? u 2? m u m 2 u 2 x Z rovnic(7) a(8) vyjádříme poměr hmotností m 2 v u v2 u 2. m u 2 Z rovnosti druhého a třetího výrazu plyne u 2 v + u. Dosazením do rovnice(7) a dalšími úpravami nakonec dostaneme Číselně vychází u 2 2 u m m 2 v, u 2 2m v. u 5 v 0,8m s, u 2 4 5 v 3,2m s, tedy najíždějící vagón se bude po srážce pohybovat rychlostí o velikosti 0,8m s vopačnémsměruastojícívagónseuvededopohyburychlostí ovelikosti3,2m s vesměrupohybuprvníhovagónu. Právě uvedený příklad je modelový příklad dokonale pružného rázu, kdy tělesoohmotnosti m pohybujícíserychlostíosouřadnici v narazínatěleso 6

ohmotnosti m 2,kteréjevklidu.Souřadnicerychlostí u, u 2 každéhotělesapo rázu jsou na základě předchozího příkladu dány rovnicemi: u m m 2 v u 2 2m v (9),(0) Proveďme rozbor možných výsledků z hlediska hmotností těles: )Jestliže m m 2,pak u 0, u 2 v,tedyprvnítělesosezastaviloadruhé převzalo jehorychlost. 2)Jestliže m > m 2,pak u >0, u 2 >0, u < u 2,tedyobětělesapokračují v pohybu ve směru pohybu prvního tělesa a vzájemně se vzdalují. Pokud navíc m m 2,nebolihmotnost m 2 jezanedbatelnávzhledemkhmotnosti m,pak vychází u v, u 2 2v,tedyprvnítělesorychlosttéměřnezmění,druhése uvede do pohybu téměř s dvojnásobnou rychlostí prvního tělesa před rázem. 3)Jestliže m < m 2,pak u <0, u 2 >0,tedyprvnítělesozměnilosměrpohybu na opačný a druhé se pohybuje ve směru pohybu prvního tělesa. Pokud navíc m m 2,nebolihmotnost m jezanedbatelnávzhledemkhmotnosti m 2,pak vychází u v, u 2 0.Jdeodokonalepružnýodrazodmnohonásobně hmotnějšího tělesa(v limitním případě má těleso zanedbatelné hmotnosti před odrazemsouřadnicirychlosti v apoodraze v ). Dálenapř.přivolbě m 2 3m dostaneme u 2 v, u 2 2 v. V dalším příkladu vyřešíme dokonale pružný ráz dvou těles, která se obě pohybují. Příklad 9: Vagónohmotnosti m 25tsepohybujepřímočarýmpohybempovodorovnýchkolejíchrychlostíovelikosti2,8m s anarazídovagónuohmotnosti m 2 45t,kterýjedevtémžesměrurychlostíovelikosti2,m s.posrážce se vagóny dokonale pružně odrazí. a) Určete rychlost(tj. směr rychlosti a velikost rychlosti) každého vagónu po srážce. b) Porovnejte velikosti vzájemné rychlosti před srážkou a po srážce. Řešení: a)označmerychlostikaždéhovagónupředsrážkou v, v 2,posrážce u u 2. Podoznačením v, v 2, u, u 2 budemeopětchápatpřímosouřadnicerychlostí, tedypřivolběkladnéhosměrupohybuprvníhovagónuje v 2,8m s, v 2 2,m s.prohybnostplatí: m v + m 2 v 2 m u + m 2 u 2. 7

pro souřadnice hybnosti dostaneme Pro kinetickou energii platí m v + m 2 v 2 m u + m 2 u 2. () 2 m v 2 + 2 m 2v 2 2 2 m u 2 + 2 m 2u 2 2. (2) Z rovnic() a(2) vyjádříme poměr hmotností m 2 v u v2 u 2 m u 2 v 2 u 2 2. v2 2 Z rovnosti druhého a třetího výrazu plyne u 2 + v 2 v + u. (3) Vyjádříme-li u 2 adosadímedorovnice(),dostanemesouřadnicirychlosti prvního vagónu: u m m 2 v + 2m 2 v 2. (4) Obdobněvyjádřením u zrovnice(3)adosazenímdorovnice()dostaneme souřadnici rychlosti druhého vagónu: u 2 2m v + m 2 m v 2. (5) Řešení můžeme též provést pomocí skládání rychlostí. Zvolme soustavu pevně spojenou např. s druhým vagónem, pak každá souřadnice rychlosti je zmenšena osouřadnici v 2 : v v v 2, v 2 v 2 v 2 0, u u v 2, u 2 u 2 v 2. Vtétosoustavěpakplatírovnice(9)a(0)vetvaru Dosazením dostaneme u m m 2 v, u 2 2m v. u u + v 2 m m 2 v + v 2 m m 2 (v v 2 )+v 2, u 2 u 2 + v 2 2m v + v 2 2m (v v 2 )+v 2. Po úpravě dostaneme obecné řešení dané opět rovnicemi(4) a(5). Číselně vychází u 2 7 v + 9 7 v 2,9m s, u 2 5 7 v + 2 7 v 22,6m s. 8

Tedy každý z vagónů směr svého pohybu zachová, pojedou opět v původních směrech,prvnírychlostíovelikosti,9m s adruhýrychlostíovelikosti 2,6m s. b) Úpravou rovnice(3) dostaneme u 2 u (v 2 v ), tedy vzájemná rychlost vagónů před srážkou a po srážce má stejnou velikost a opačný směr. V našem případě se před srážkou druhý vagón pohyboval vzhledem k prvnímu vagónu(přibližoval se) rychlostí o souřadnici v 2 v 2,m s 2,8m s 0,7m s, po srážce se druhý vagón pohyboval vzhledem k prvnímu(vzdaloval se) rychlostí o souřadnici u 2 u 2,6m s,9m s 0,7m s. V uvedeném příkladu jsme odvodili vzorce pro dokonale pružný ráz dvou pohybujícíchsetěles.srazí-lisetělesoohmotnosti m pohybujícíserychlostí osouřadnici v stělesemohmotnosti m 2 pohybujícímserychlostíosouřadnici v 2,jsousouřadnicerychlostí u, u 2 každéhotělesaporázunazákladěpředchozího příkladu dány rovnicemi: u m m 2 v + 2m 2 v 2 u 2 2m v + m 2 m v 2 Současně mezi souřadnicemi rychlostí před rázem a po rázu platí vztah u 2 u v v 2 (6) který, jak plyne z odvození rovnice(3), je při automatické platnosti zákona zachování hybnosti ekvivalentní se zákonem zachování mechanické energie. Podívejme se na některé vlastnosti a zvláštní případy: )Je-lijednoztělespředrázemvklidu,pakzpětnýmdosazením v 2 0do (4)a(5)dostanemerovnice(9)a(0). 2)Přistejnýchhmotnostechtěles,tj.dosazením m m 2 do(4)a(5)dostaneme u v 2, u 2 v,tedytělesasivzájemněvyměnísouřadnicerychlosti. 3) Má-li jedno z pohybujících se těles zanedbatelnou hmotnost vzhledem k druhémutělesu,zvolmenapř. m m 2,pakdosazením m 0do(4)a(5) dostaneme limitní souřadnice rychlostí u m 2 m 2 v + 2m 2 m 2 v 2 v +2v 2, (7) u 2 2 0 m 2 v + m 2 m 2 v 2 v 2, (8) 9

Příklad 0: Chlapec stojící těsně u kolejí hodil hopík proti jedoucímu vagónu tak, že na přednístěnuvagónudopadlkolmorychlostíovelikosti0m s vzhledem k zemi a dokonale pružně se odrazil do protisměru. Velikost rychlosti vagónu je25m s vzhledemkzemi.hmotnosthopíkujezanedbatelnávzhledem k hmotnosti vagónu. a) Určete velikost výsledné rychlosti hopíku vzhledem k zemi. Řešte z hlediska soustavy. pevně spojené se zemí, 2. pevně spojené s vagónem. b) Určete poměr kinetických energií míčku po nárazu a před nárazem. Řešení: a). Zvolíme-li v soustavě spojené se zemí směr pohybu vagónu jako kladný, paksouřadnicerychlostimíčkuje v 0m s asouřadnicerychlosti vagónu v 2 25m s.podlevzorců(7)a(8)jepoodrazusouřadnice rychlostivagónu u 2 v 2,tedyzůstávástejná,zatímcosouřadnicerychlosti míčkuje u v +2v 2 60m s. 2.Zhlediskacestujícíhovevagónusenárazjevítak,žepřilétajícímíčekse dokonale pružně odrazí do protisměru, tedy rychlostí stejné velikosti. Při stejné volběkladnéhosměrupohybuplatí v 35m s, v 2 0.Poodrazudo protisměruje u 35m s, u 2 0.Složenímpohybuvagónuamíčkupo odrazudostanemesouřadnicirychlostimíčkuvzhledemkzemi u v 2 + u 60m s. b) Označíme-li m hmotnost míčku, pak jeho kinetická energie před nárazem je 2 mv2 aponárazu 2 mu2.podosazeníaúpravědostaneme u2 v 2 36. Příklad : Kosmická sonda Voyager 2 o hmotnosti m se při přibližování k planetě Jupiter pohybovalarychlostíovelikosti v2km s vzhledemkevztažnésoustavě spojené se Sluncem ve směru svírajícícím se směrem rychlosti planety úhel α. 45 (stavvevzdálenostizhruba4 0 6 kmodjupiteru).působenímgravitačního pole planety se směr pohybu sondy změnil přibližně na směr shodný se směrem pohybu planety. Velikost rychlosti Jupitera vzhledem ke vztažné soustavěspojenésesluncemje v j,projehohmotnost Mplatí M m. a) Určete velikost u výsledné rychlosti sondy vzhledem ke Slunci při vzdalování ve stejné vzdálenosti od Jupiteru, v jaké jsme pohyb sondy začali sledovat. b) Určete poměr kinetických energií sondy po manévru a před manévrem. Kde je zdroj přírůstku kinetické energie sondy? 20

Popsaný manévr se nazývá gravitační prak a umožní získat dostatečnou rychlost k tomu, aby se sonda dostala mimo sluneční soustavu. Sonda Voyager 2 byla takto urychlena v roce 979 a následně podobným způsobem planetou Saturn vroce98. Řešení: Pro znázornění děje použijeme obrázky získané počítačovou simulací pomocí programu Famulus. Souřadnice x, y jsou uvedeny v metrech, polohy sondy a Jupiterujsouzobrazenyvčasovýchintervalech8000s5h. a) Zvolme soustavu souřadnic pevně spojenou se Sluncem tak, že v daném okamžikumáosa xsměrtotožnýsesměrempohybujupiteraaosa ysměřuje keslunci(prvnímodel).vtétosoustavěje α 45 (rychlostsondysměřuje do4.kvadrantu)aplatí v x vcos( 45 )8,5km s, v y vsin( 45 ) 8,5km s. v v j (v) (v j ) u u v j VevztažnésoustavěpevněspojenésJupiteremzvolímeosy x, y rovnoběžné s osami x a y(druhý model). V této soustavě dostaneme souřadnice rychlosti přibližující se sondy v x v x v j (8,5 3)km s 4,5km s, v y v y 8,5km s. 2

Její velikost je v v x+ 2 v y 2 ( 4,5) 2 +( 8,5) 2 km s 9,6km s. Jupiter svým gravitačním polem změní směr rychlosti sondy přibližně do směru svého pohybu tak, že po manévru má ve stejné vzdálenosti stejnou velikost u v 9,6km s. v v v j J u Ve vztažné soustavě spojené se Sluncem(vrátíme se k prvnímu modelu) pak je uu + v j (9,6+3)km s 22,6km s. b) Kinetická energie sondy před manévrem je 2 mv2, po manévru 2 mu2.podosazeníaúpravědostaneme E k u2 v 23,5.Jelikožmechanická energie soustavy se během děje nezměnila, musí být přírůstek kinetické energie sondy roven úbytku kinetické energie Jupitera. 22

3 Nedokonale pružný ráz V předchozích dvou kapitolách jsme rozebrali dva krajní případy rázu těles. Při dokonale pružném rázu velikost vzájemné rychlosti těles po rázu zůstala stejná jako před rázem: u 2 u v v 2. kde u, u 2, v, v 2 jsousouřadnicerychlostí.přidokonalenepružnémrázubyla velikost vzájemné rychlosti po rázu nulová, neboť se obě tělesa dále pohybovala společně. Při nedokonale pružném rázu se velikost vzájemné rychlosti po rázu zmenší, což vyjádříme rovnicí u 2 u k(v v 2 ). (9) kdekonstanta ksplňujenerovnici0<k <anazývásekoeficientrestituce Současně platí ZZH: m v + m 2 v 2 m u + m 2 u 2. (20) Řešenímsoustavyrovnic(9)a(20)sneznámými u a u 2 dostaneme u m km 2 v + (+k)m 2 v 2 (2) u 2 (+k)m v + m 2 km v 2 (22) Ověříme ještě zmíněné krajní případy nedokonale pružného rázu: )Volbouk0dostanemerovnici(4 )prodokonalenepružnýráz. 2)Volboukdostanemerovnice(4)a(5)prodokonalepružnýráz. Hodnoty koeficientu restituce závisí především na materiálu, částečně též na tvaru těles a dalších parametrech. Např. v[2] se pro tělesa tvaru koule uvádí: tvrzená ocel(ložiskové kuličky) 0,98, slonovina(dříve kulečníkové koule) 0,82, litina 0,68, jilmové dřevo 0,60, olovo 0,20. Příklad 2: Vagónohmotnosti m 25tsepohybujepřímočarýmpohybempovodorovnýchkolejíchrychlostíovelikosti2,8m s asrazísesvagónemohmotnosti m 2 45t,kterýjedevtémžesměrurychlostíovelikosti2,m s.srážkaje nedokonale pružná s koeficientem restituce k 0,8. Určete rychlost(tj. směr rychlosti a velikost rychlosti) každého vagónu po srážce. Výsledek porovnejte s výsledkem příkladu 9, kde tato srážka byla dokonale pružná. 23

Řešení: Při volbě souřadnicové osy ve směru pohybu obou vagónů dosazením do rovnic (2) a(22) dostaneme ( ) 25 0,8 45,8 45 u 2,8+ 25+45 25+45 2, m s,99m s, ( ),8 25 0,8 25 u 2 2,8+45 2, m s 2,55m s. 25+45 25+45 U každého vagónu došlo k menší změně rychlosti než při dokonale pružné srážce, první vagón se méně zpomalil, druhý se méně urychlil. Současně je vidět, že velikost vzájemné rychlosti tvoří 0,8 násobek velikosti vzájemné rychlosti po dokonale pružné srážce těchto vagónů. Zvláštní případ nedokonale pružného rázu nastane, narazí-li letící koule na kouli ostejnéhmotnostivklidu.dosazením mm m 2 a v 2 0dorovnic(2) a(22) dostaneme: u k 2 v, u 2 +k v. (23) 2 Příklad 3: Na rázostroji jsou zavěšeny dvě koule o stejné hmotnosti. Po vychýlení a uvolněníjednékouleseuvededopohybutak,žedodruhékoulevklidunarazí rychlostíovelikosti v.koeficientrestituce k0,60. a) Určete rychlost koulí po srážce a ověřte rovnici(9). b) Určete, jaká část mechanické energie se přeměnila na vnitřní energii. Řešení a)dosazenímdovztahů(23)dostaneme u 0,2v a u 2 0,8v.Koulese pohybují ve směru pohybu první koule před srážkou, velikost vzájemné rychlosti koulíposrážceje u 2 u 0,6v. b) Nejprve vyjádříme poměr nepřeměněné mechanické energie po srážce a mechanické energie před srážkou, přitom opět využijeme vztahy(23): ( ) 2 ( ) 2 k v 2 2 +k + v 2 2 E k 2 mu2 + 2 mu2 2 u2 + u2 2 v 2 2 mv2 ( k)2 +(+k) 2 +k2. 4 2 Poměr přeměněné mechanické energie po srážce a mechanické energie před srážkou je U E k E k +k2 k2 0,32. 2 2 v 2 24

4 Úlohy Úloha:Nahladiněrybníkajsouvedlesebedvavory,najednomstojíchlapec styčí.hmotnostprázdnéhovoruje m,hmotnostvoruschlapcemje2m.chlapec se tyčí opře o prázdný vor a odstrčí jej. Určete poměr velikostí rychlostí, poměr velikostí hybností a poměr kinetických energií prázdného a obsazeného voru bezprostředně po odstrčení. Úloha2:Každýzedvouvagónůmáhmotnost m 0 25t,jedenjeprázdný, druhý naložený. Prázdný vagón stojí na kolejích, plný vagón se k němu blíží rychlostíovelikosti v3,4m s.posrážceseautomatickyspojíapokračují vjízdě společněrychlostíovelikosti u 2,4 m s. Určetehmotnost m nákladu. Řešte nejprve obecně, pak pro dané hodnoty. Úloha3:Vlaštovkaohmotnosti0,kgletírychlostí20m s.porovnejte následek srážky vlaštovkyspotravou(mouchou)ohmotnosti0,2gvklidu snásledkemsrážkysčlověkemohmotnosti50kgvklidu.oběsrážkypovažujte za dokonale nepružné. Využijte přímo obecně řešení příkladu. Úloha4:(FO5D-II-3) Popřímýchvodorovnýchkolejíchjedouprotisobě dva vagóny. První má hmotnost m a velikost rychlosti v, druhý má hmotnost 3krát větší a velikost rychlosti 2krát menší než první vagón. Po srážce se vagóny automaticky spojí. a) Určete, který z vagónů má před srážkou větší kinetickou energii a kolikrát. b) Určete směr pohybu vagónů po srážce. c) Určete velikost u rychlosti soupravy po srážce. d) Vyjádřete zlomkem, jaká část původní kinetické energie obou vagónů se srážkou přemění na vnitřní energii. Úloha 5(FO49D-II-3): Dva chlapci stojí proti sobě na svých skateboardech. Jedenznichdržívrukoumedicinbalohmotnosti mavrhnejejvodorovným směrem do náruče druhého rychlostí o velikosti v vzhledem k zemi. Hmotnost každéhochlapceseskateboardemje m 0. a) Určetevelikosti v a v 2 rychlostívzhledemkzemi,kterézískákaždýzchlapců. b) Určete práci, kterou první chlapec hozením medicinbalu vykoná. c) Určete, jaká část této práce se zachová ve formě kinetické energie, tj. poměr konečné kinetické energie soustavy všech těles a práce vykonané prvním chlapcem. Podrobné řešení úloh 4, 5, 7 a 9 lze nalézt v archivu úloh na stránkách FO www.fyzikalniolympiada.cz 25

Řeštenejprveobecně,pakprohodnoty m 0 60kg, m4,0kg, v2,4m s. Úloha 6:Granátohmotnosti m,0kgvrženýsvislevzhůrusevnejvyšším bodě trajektorie výbuchem roztrhl na tři části. První část o hmotnosti m 0,20kgzískalarychlostovelikosti v 60m s,druháčástohmotnosti m 2 0,4kgsevkolmémsměrupohybovalarychlostíovelikosti v 2 40m s. a) Určetevelikost v 3 rychlostitřetíčástigranátuasměrjejíhopohybu.řešte nejprve obecně, pak pro dané číselné hodnoty. b) Která část granátu měla největší kinetickou energii? Úloha 7(FO42D-I-7-část): Družice se skládá z vlastní družice o hmotnosti m 50kgaochrannéhoštítuohmotnosti m 2 0kg.Štítseodhazuje dopředu ve směru pohybu uvolněním stlačených pružin. Při pozemních zkouškáchupevněnédružicepružinyudělilyštíturychlostovelikosti v 0 6,0m s. Určete velikost w vzájemné rychlosti družice a štítu bezprostředně po oddělení na oběžné dráze. Řešte nejprve obecně, pak pro dané číselné hodnoty. Úloha 8: Fotbalový brankář o hmotnosti 67 kg byl zasažen míčem o hmotnosti 0,5kgletícímrychlostíovelikosti v9m s vokamžiku,kdysenacházel ve výskoku. a) Brankář míč zachytil. Určete velikost rychlosti brankáře bezprostředně po zachycení míče. b) Míč se po dokonale pružné srážce odrazil zpět. Určete velikost rychlosti pohybu brankáře a velikost rychlosti pohybu míče bezprostředně po odrazu. Velikost rychlosti nejprve vždy vyjádřete jako násobek velikosti v rychlosti, poté číselně v jednotce rychlosti. Předpokládejme, že míč směřoval do oblasti těžiště brankáře, to znamená, že zásah způsobil pouze posuvný pohyb brankáře, nikoliv rotační. Úloha 9(FO37-D-I-5): Po kolejích se pohybuje setrvačností lokomotiva rychlostíovelikosti v2,m s.nakolejistojíosamělývagónasoupravatří navzájem spojených vagónů. Hmotnost každého vagónu je m, hmotnost lokomotivy 6m. Lokomotiva narazí do osamělého vagónu a automaticky se s ním spojí. Pak tato souprava narazí do soustavy tří vagónů. a) Také druhé spojení proběhne automaticky. Určete rychlosti před rázem a po rázu. b) Druhé spojení nenastane a obě soupravy se rozjedou. Určete velikosti rychlostí a směr pohybu souprav po rázu. Ráz považujte za dokonale pružný. Úloha 0: Částice alfa(jádro helia) se pohybuje přímočaře ve vakuu rychlostí2 0 6 m s anarazínaproton,kterýsenacházívklidunatrajektorii 26

částice alfa. Hmotnost částice alfa je přibližně 4krát větší než hmotnost protonu. Srážku lze, na rozdíl od vagónů, považovat přesně za dokonale pružnou, neboť částice se během přiblížení odpuzují elektrickou silou a vzájemně se nedotknou. a) Určete konečné rychlosti obou částic. b) Určete, kolik procent kinetické energie převzal proton od částice alfa. Úloha : Rázostroj tvoří soustava tří dokonale pružných vzájemně se dotýkajících kuliček o hmotnostech m, 2m, 3m zavěšených na bifilárních vláknech. Těžiště všech kuliček leží na vodorovné přímce. Jednu z krajních kuliček vychýlíme a uvolníme, čímž bezprostředně před rázem získá rychlost o velikosti v. Určete velikost u rychlosti druhé krajní kuličky bezprostředně po uvedení do pohybu a poměr kinetické energie přenesené na tuto kuličku a původní kinetické energie první kuličky. Rozlište případy, kdy vychýlíme krajní kuličku o hmotnosti a) m, b) 3m. Využijte vzorce odvozené pro dokonale pružný ráz. Úloha2:Řeštepříklad9nastr.7provagónyjedoucínavzájemopačným směrem. Úloha3:Nahopíkohmotnosti m vevýšce h 0 nadpodlahoupoložímehopík ohmotnosti m 2,přičemž m 2 < m,asoustavupřidržujeme.pouvolněníoba míčky umístěné nad sebou padají. Spodní hopík se dokonale pružně odrazí od podlahy a okamžitě dokonale pružně narazí do horního hopíku. a) Přijakémpoměru m : m 2 hmotnostísedolníhopíkposrážceshorním hopíkem zastaví? b) Do jaké výšky h pak vystoupá horní hopík? Úloha4:Řeštepříklad2nas.23provagónyjedoucínavzájemopačným směrem. 27

Úloha 5: Kulička zavěšená na tenkém vlákně se dotýká druhé kuličky stejné hmotnosti položené na krajistoluvevýšce Hnadpodlahou. První kuličku vychýlíme při napnutémvláknětak,žejejívýškanadstolembude h,auvolníme.přidosažení nejnižší polohy narazí do druhé kuličky. a) Určete vzdálenost L místa dopadu od okraje stolu při dokonale pružném rázu. b) Určete vzdálenost L k místa dopadu od okraje stolu při nedokonale pružném rázu s koeficientem restituce k. Výsledek též vyjádřete ve tvaru násobku délky L zúlohya). h H L 28

Výsledky Problémové intermezzo: )Kinetickáenergiestřely: W 2 0,00054 702 J7,8J,velikost rychlostizpětnéhopohybuvzduchovky: v 2 m m 2 v 0,030m s,kinetická energievzduchovky: 2 3, 0,0302 J0,004Jjezanedbatelnávzhledem ke kinetické energii střely. 2)Alešovaloďkaseuvedladopohyburychlostíovelikosti v m 2 v m 2.Aleš vykonal práci W 2 m v+ 2 2 m 2v2 2 ( ) 2 2 m m2 v 2 + m 2 m 2v2 2 ( 2 m 2v2 2 + m ) 2 52J. m Poměr kinetických energií loděk je 2 2 m 2v 2 2 2 m v 2 m 2 v2 2 m ( ) 2,6. m2 m 2 m v m 2 3) Země má mnohonásobně větší hmotnost než běžné těleso. Označme M hmotnostzemě, v z velikostjejírychlostivokamžiku,kdypadajícítělesoohmotnosti mmávelikostrychlosti v.pakzrovnic mv Mv z, 2 mv2, z 2 Mv2 z dostaneme stejně jako v úloze s loďkami obecné řešení z 2 Mv2 z 2 mv2 Mv 2 z m( M m v z ) 2 m M. Z výsledku plyne, že kinetická energie Země je naprosto zanedbatelná vzhledem ke kinetické energii tělesa. Např. pro padající těleso o hmotnosti 6 kg je tento poměr:0 24. Ú: Poměr velikostí rychlostí 2:, poměr velikostí hybností :, poměr kinetických energií 2:. Ú2: m 2u v v u m 0,4m 0 35t. Ú3: V případě srážky s mouchou se tak přemění energie(hmotnosti dosazeny vgramech) U m 2 0,2 00+0,2 2 002 0,002 0,04J. 29

V případě nárazu vlaštovky do člověka se přemění energie U m 2 50 0,+50 000 002 0,998 9,96J. Zatímco první srážka je pro vlaštovku přijatelná a příjemná(je odměněna ulovenou potravou), druhá srážka je pro ni naopak velmi nebezpečná. Ú4: a) 2 2 mv2 2 3m ( v 2 ) 2 4 3,prvnívagónmá4 3 krátvětšíkinetickouenergii. b) p mv, p 2 3m v 2 3 2 mvvesměrupohybudruhéhovagónu mávětší hybnost. c) u 8 v. d) ( ) 2 v 2 4m 8 2 mv2 + ( v 2 3m 2 původní kinetické energie. ) 2 27. Navnitřníenergiisepřemění 28 28 Ú5: a) v m v m 0 5 v0,6m m s, v 2 v m+m 0 6 v0,5m s. b) W 2 m 0v 2 + 2 mv2 (m+m 0)m 2m 0 v 2 2,3J. c) W 3 256 0,2. 2 m 0v 2+ 2 (m+m 0)v2 2 2 m 0v 2+ 2 mv2 Ú6: (m v a) v 3 ) 2 +(m 2 v 2 ) 2 40m s m m m. 2 (m+2m 0 )m 2 2m 0 (m+m 0 ) v2 (m+m 0 )m v 2m 2 0 m(m+2m 0 ) (m+m 0 ) 2 tg α m v m 2 v 2 0,75, α37,tj.směrpohybutřetíčástijeodchýleno 27 odsměrupohybudruhéčástiao53 odsměrupohybuprvníčásti granátu. b) Třetíčást: 3 400J( 360J, 2 320J). 30

m + m Ú7: wv + v 2 2 6 v m 0 5 v 06,6m s. Ú8: a) 35 v0,4m s. b) Velikostrychlostimíče: 33 35 v8,72m s, 2 velikost rychlosti brankáře 35 v0,28m s. Ú9: a) Poprvnímspojení 6 7 v,8m s,podruhém 3 5 v,26m s. b) Lokomotivasvagónem 2 35 v0,72m s, soupravatřívagónů 6 5 v2,52m s. Ú0: a) Částicealfa,2 0 6 m s,proton3,2 0 6 m s,vestejnémsměru. b) 64%. Ú: a) u 8 5 v,64 75. b) u 8 5 v,64 75. Ú2: u 2 7 v + 9 7 v 2 3,5m s, u 2 5 7 v + 2 7 v 2,4m s. Ú3: a) m : m 2 3:, b) h4h 0. Ú4: u 2,87m s, u 2,05m s, u 2 u 3,92m s 0,8 4,9m s. Ú5: a) L2 hh, b) L k (+k) hh +k L. 2 3

Literatura []Holliday,D. Resnick,R. Walker,J.:Fyzika.Část,Mechanika.ČVUT Brno, 2000. [2]Horák,Z. Krupka,F. Šindelář,V.:Technickáfysika.SNTLPraha, 96. [3] Šedivý, P.: Modelování fyzikálních dějů numerickými metodami.(knihovnička FO č. 38). MAFY Hradec Králové, 200. [4] Štoll, M.: Jan Marek Marci- první český fyzik. In: Pokroky matematiky, fyziky a astronomie. Ročník 4(996), č. 6. [5] www.daviddarling.info/images/pioneer_voyager_trajectories.jpg 32