MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Diplomová práce Brno 2015 Ekaterina Pushkareva

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY R/S analýza kursů, finančních aktiv Diplomová práce Ekaterina Pushkareva Vedoucí práce: RNDr. Václav Studený, Ph.D. Brno 2015

Bibliografický záznam Autor: Název práce: Studijní program: Studijní obor: Vedoucí práce: Ekaterina Pushkareva Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky R/S analýza kursů, finančních aktiv Matematika Statistika a analýza dat RNDr. Václav Studený, Ph.D Akademický rok: 2014/2015 Počet stran: vii + 64 Klíčová slova: R/S analýza; finance; dlouhodobé časové řady; finanční trh; Hurstův exponent; V-statistika; persistentní vlastnosti časový řad

Bibliographic Entry Author: Title of Thesis: Degree programme: Field of Study: Supervisor: Ekaterina Pushkareva Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics R/S analysis of financial assets Mathematics Statistics and Data Analysis RNDr. Václav Studený, Ph.D Academic Year: 2014/2015 Number of Pages: vii + 64 Keywords: R/S analysis; finances; long-term time series; financial market; Hurst exponent; V-statistics; persistence properties of time series

Abstrakt Táto diplomová práce se věnuje R/S analýze finančních aktiv, jimiž jsou v tomto případě ceny akcií. První kapitola je zaměřena na historii problematiky, především na stručný popis existujících druhů analýz finančních aktiv. V další části této práce se odvádí vztahy k výpočtu Hurstova exponentu a V-statistiky. Také jsou zmíněny důležité vlastnosti R/S-analýzy. Poslední kapitola je věnována R/S analýze dlouhodobých časových řad reprezentujících ceny akcií vybraných společností. Prozkoumané a shrnuté výsledky analýzy dávají údaje, jejž mohou být použité při práce na finančním trhu. Abstract The thesis is dedicated to R/S analysis of financial assets, which are mainly stock prices. The first chapter is devoted to the historical development of other analyses of financial assets. The following chapter describes the development of formulas for Hurst exponent and V-statistics. Main properties of R/S analysis are also given in this chapter. The last chapter is focused on R/S analysis that studies long term time series, which represent stock prices of world well-known corporations. Studied and summarized results of the analysis are given as certain data that could be used in stock markets and sectors.

Poděkování Na tomto místě bych chtěla poděkovat vedoucímu mé diplomové práce RNDr. Václavu Studenému, Ph.D. za odborné rady, pomoc a trpělivost, za čas, který mi věnoval. V neposlední řadě bych také chtěla poděkovat svým rodičům, sestře a manželovi za podporu, pomoc a lásku. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji diplomovou práci vypracovala samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. Brno 5. ledna 2015 Ekaterina Pushkateva

Obsah Úvod... 1 Kapitola 1. Finanční trh, metody analýzy finančních aktiv... 2 1.1. Finanční trh a riziko... 2 1.2. Statistická analýza a Teorie efektivních trhů... 3 1.3. Technická analýza... 8 Kapitola 2. R/S-analýza finančních aktiv... 18 2.1. Objevení a vývoj R/S-analýzy... 18 2.1.1. Wienerův proces... 19 2.1.2. Výpočet Hurstova exponentu... 21 2.2. Druhy časových řad podle hodnoty Hurstova exponentu... 25 2.3. Vyhledávání cyklů časové řady pomocí R/S-analýzy... 28 Kapitola 3. Použití R/S-analýzy... 35 3.1. Analýza cen akcií společnosti Apple Inc.... 36 3.2. Analýza cen akcií společnosti IBM Corp.... 39 3.3. Analýza cen akcií společnosti BP plc.... 42 3.4. Analýza cen akcií společnosti Wal-Mart Stores Inc.... 46 3.5. Analýza cen akcií společnosti McDonald s Corporation... 48 3.6. Analýza cen akcií společnosti General Electric... 52 3.7. Analýza cen akcií společnosti Johnson & Johnson... 55 3.8. Zobecnění... 57 Závěr... 60 Seznam použité literatury... 61 Příloha 1... 63 vii

Úvod Tato diplomová práce se zaměřuje na analýzu dlouhodobých časových řad reprezentujících ceny akcií mezinárodních korporací. Předmět výzkumu byl zvolen tak proto, že současná teorie analýzy finančních aktiv není úplná. Předpoklad, že změny cen jsou nezávislé a mají Gaussovo rozdělení, neodpovídá v plné míře skutečné situaci na finančních trzích. Rozvoj teorie fraktálů vnesl nové nástroje k analýze finančních aktiv. Fraktaln9 model změny cen a kurzů měn dal impulz k výzkumu financí z hlediska uspořádaného chaosu. Fraktální model dobře popisuje změny cen finančních aktiv. Hlavním představitelem nové teorie, a zároveň i její zakladatelem, se stal Benoît Mandelbrot. Jeho výzkum navazuje na publikace Edwina Hursta, Vilfreda Pareta, na Cantorovy, Peanovy, Hilbertovy, Hausdorfovy a Kochovy výsledky ze začátku století a vlastní teorii fraktálů. Mandelbrot jako první přišel s novým způsobem analýzy finančních aktiv, která se zabývala především dlouhodobými časovými řadami. Později se věnoval této teorii i Edgar Peters, jež ji rozšířil o nové poznatky. Fraktální analýza je založená na předpokladu, že změny hodnot finančních aktiv jsou chaotické, ale jsou podřízené zákonitostem. Jedním z nástrojů fraktální analýzy je R/S-analýza, která je popsána v dané diplomové práci. První kapitola této diplomové práce se zaměřuje na vysvětlení základních pojmů, jako jsou např. finanční trh a riziko. Dále se zabývá historií rozvoje analýzy finančních trhů se stručným popisem vybraných druhů analýz. Z hlediska technické analýzy, kterou používají tradeři ve svých analýzách, budou v této části práce analyzovány dlouhodobé časové řady. Další kapitola se zabývá R/S-analýzou, jejím objevením a rozvojem a popisem jedné její důležité vlastnosti, která pomáhá objevit neperiodicky se opakující kolísání cen v dlouhodobých časových řadách. Část kapitoly se věnuje dvěma základním přístupům výpočtu Hurstova exponentu a jeho hodnotě pro persistentní a antipersistentní procesy. Třetí kapitola se zabývá cenami akcií sedmi vybraných společností působících na mezinárodním trhu. K analýze a objevení cyklů ve zkoumaných časových řadách je využita hodnota Hurstova exponentu, která je popsána ve druhé kapitole. Práce je založená především na výzkumech Benoîta Mandelbrota ([7], [8], [9]) a Edgara Petersa ([15], [16]) s použitím některých definicí z Otevřené encyklopedie Wikipedie (https://cs.wikipedia.org) 1

Kapitola 1 Finanční trh, metody analýzy finančních aktiv Tato kapitola je věnována základním pojmům finančního trhu, metodám analýzy finančních aktiv a historii jejich rozvoje. Kapitola je zpracována na základě [7] a [16] s použitím obrázků z [16] nebo nakreslených pomocí softwaru Maple 18. Soubory zanalyzovaných dat jsou stáhnuty se serveru www.google.com/finance. 1.1. Finanční trh a riziko Definice 1.1. Finanční trh je systém institucí a instrumentů zabezpečující pohyb peněz a kapitálu (nabízeného ve formě cenných papírů) ve všech jeho formách mezi různými ekonomickými subjekty; a to na základě poptávky a nabídky. Poptávka na finančním trhu má pro pořizovaný kapitál tři kritéria, kterými jsou riziko, likvidita a výnosnost [11]. Definice 1.2. Riziko představuje pravděpodobnost, že návratnost investice bude jiná než návratnost očekávaná [11]. Definice 1.3. Trend je dominantní směr na trhu v rámci zobrazeného časového rámce. Rozlišuje se vzestupný trend, sestupný trend a pohyb do strany [22]. Během 20. století se finančníci a ekonomové snažili zanalyzovat a pochopit rizika finančních trhů, objevit jejich původ, kvantitativně je ohodnotit a získat výhodu. Pro tyto potřeby byla analytiky dlouhou dobu využívána tzv. fundamentální analýza. Definice 1.4. Fundamentální analýza je jedna z nejstarších analýz finančních aktiv. Říká, že hlavní důvody, proč kurz cenných papírů roste či klesá, je třeba hledat ve společnosti, která je vlastní, v oblasti, ve které společnost působí, či je kurz závisí na ekonomické situaci v dané oblasti. Důkladný průzkum pomůže nejen objevit důvod, ale i předpovědět další změnu ceny. Kurzy akcií, obligací, opcí a měn se mění proto, že trh je vystaven vnějším vlivům. Tím pádem je fundamentální analýza založena na předpokladu, že pokud je znán důvod změny ceny, lze předpovědět další změny a předcházet rizikům [7]. Bohužel skutečnost není tak jednoduchá. V současné době jsou totiž předmětem obchodu i informace. Proto mohou být některá fakta, data a události přístupné jen malému počtu subjektů. Důležité informace jsou často zatajovány, či převraceny. Přesto 2

Kapitola 1. Finanční trh, metody analýzy finančních aktiv 3 stále působí na finanční trh a objekty obchodu. Zprávy o válkách, přírodních katastrofách, spojení společností, výrobě nových produktů se hodnotí každým účastníkem trhu subjektivně. Někdo předpokládá růst akčních cen nebo hodnoty měn, jiní naopak předpovídají pokles. Co se však děje ve skutečnosti? Fundamentální analýza se toto zkouší předpovídat, avšak takový odhad není zcela přesný. Je pochopitelné, že účastníci finančního trhu vždy potřebovali co největší přesnost finančních předpovědí. A tedy i nové nástroje k analýze trhu. Nová generace analytiků začala používat metody z teorie pravděpodobnosti a statistiky. Základní koncepce nové školy prohlašovala, že ceny jsou náhodné a nepředvídatelné, avšak jejich kolísání lze popsat matematickými zákony. Následující paragraf se zabývá podrobným popisem tohoto přístupu, jeho historií, výhodami a nevýhodami a pro lepší pochopení je uvedeno několik příkladů. 1.2. Statistická analýza a Teorie efektivních trhů Statistická analýza finančních aktiv je založená na výpočtu statistických měr, kterými jsou střední hodnota, směrodatná odchylka, kvantily atd. K tomu se používá především normální rozdělení. Nejprve si připomeňme základní definici. Definice 1.5. Normální (Gaussovo) rozdělení je rozdělení určené hustotou 2 N(, ) s parametry a 0 2 ( x ) 2 2 1 f x e, x(, ) 2 (1.1) Rozdělení N (0,1) s parametry 0 a 1 se nazývá normované normální rozdělení. Tedy hustota je určená vztahem 2 x 2 1 x e, x(, ) 2 (1.2)

Kapitola 1. Finanční trh, metody analýzy finančních aktiv 4 Obrázek 1.1. Hustota normálního rozdělení pravděpodobnosti pro různá (, ). Za zakladatele nové analýzy finančního trhu se považuje francouzský vědec Louis Bachelier, který použil model Brownova pohybu pro finanční aktiva ve své disertační práci Teorie spekulací (francouzsky Théorie de la spéculation). Bachelier psal, že se ceny mohou zvýšit nebo klesnout se stejnou pravděpodobností, a porovnal tento proces s házením mince, kdy orel nebo panna mohou padnout se stejnou pravděpodobností. Z toho vyplývá, že změny cen na finančním trhu jsou náhodným procesem s nulovou střední hodnotou a přírůstky cen tak mohou být odhadnuty [7], [16]. Za tohoto předpokladu zkusil Bachelier použít normální rozdělení k popsání změny cen. Je 68 % změn menších než jedna směrodatná odchylka od střední hodnoty, 95 % změn patří do intervalu ( 2, 2 ) a 98 % do intervalu ( 3,3 ). Obrázek 1.2. Rozdělení dat do -intervalů

Kapitola 1. Finanční trh, metody analýzy finančních aktiv 5 Ze zkušenosti víme, že relativní četnost změn větších než 3 je vetší, než by měla být, kdyby se tyto změny řídily normálním rozdělením. Je známo, že výnosy či změny cen mají více velkých výkyvů a proto neodpovídají normálnímu rozdělení přesně. Ale při analýze aktiv se takové údaje zanedbávají, aby bylo možné pokračovat s použitím normálního rozdělení. Ačkoliv Bachelier navrhl statistickou analýzu finančního trhu již na začátku 20. století, do praxe se dostala až o několik desítek let později. Dalším krokem rozvoje statistické analýzy se stala Teorie efektivních trhů (anglicky Efficient Market Theory EMH), navržena americkým ekonomem Eugenem Famou. Definice 1.6. Uvažujeme prostor tržních situací,. Nechť { S } t t 0 nazývá efektivním, jestliže (,, P), kde je množina elementárních je σ-algebra podmnožin prostoru, P je pravděpodobnostní míra na je prostor cen indexů cenných papírů. Kapitálový trh 0 E St St k, kde S S S tk tk tk1 (,, P) Teorie efektivních trhů je jednou z teorií, která se pokouší popsat chování kurzů cenných papírů se zaměřením na akcie. Tato teorie předpokládá, že kurzy cenných papírů jsou ovlivňovány pouze objektivními informacemi, očekávanými zisky, dividendami, možnými riziky a dalšími kurzotvornými informacemi. Tržní cena akcií na trhu pak představuje objektivní hodnotu, akcie jsou v každém okamžiku správně oceněny a na trhu nelze najít podhodnocené nebo nadhodnocené tituly. Z toho vyplývá, že úspěšnost obchodování není možno zvýšit fundamentální či technickou analýzou, ani studiem historických údajů. Trh reaguje jen na nové informace a je tak zcela nepředvídatelný [14]. Je hodně stoupenců a odpůrců Teorie efektivních trhů. Hlavním argumentem odpůrců je fakt, že na rozdíl od teorie, skutečnost není ideální. V podstatě jde o to, že ceny nejsou objektivní, neboť se na trhu nachází velké množství nadhodnocených a podhodnocených cenných papírů. Změny cen nejsou náhodné veličiny. Ceny mají tzv. paměť, tj. dnešní cena má vliv na budoucí. Jestliže se dnes cena významně zvýší, pravděpodobnost, že bude růst pokračovat i zítra, je velmi vysoká [7]. Nejlépe je prozkoumána krátkodobá závislost. Pod tímto pojmem rozumíme vliv kolísání ceny v daném okamžiku na kolísání ceny v určitém blízkém časovém období. Blízkost budoucího okamžiku záleží na časovém horizontu výzkumu. Nejčastěji se využívá časový horizont několika hodin, dní, týdnů či let. Zkoumání krátkodobé závislosti změny cen ukazuje na efekt setrvačnosti [7]. Ten spočívá v tendenci zachování trendu: jestli cena akcií roste/klesá v daném časovém období, patrně bude růst/pokles pokračovat ještě nějakou dobu. Přičemž čím rychlejší [5]. se

Kapitola 1. Finanční trh, metody analýzy finančních aktiv 6 byl růst/pokles v prvním období, tím bude pravděpodobnost zachování trendu v následujícím období vyšší. Avšak ve střednědobé perspektivě (tři až osm let) panuje opačná situace. Akcie, jejichž ceny během několika předchozích let rostly, budou s největší pravděpodobností v následujících letech klesat, a naopak. Tuto zákonitost objevili Eugen Fama a Kenneth French v roku 1988 [2]. Dalším důvodem ke kritice klasické statistické analýzy je rozdíl mezi rozdělením změn ceny a grafem hustoty normálního rozdělení. Riziko, že dojde k velkým změnám hodnot, je větší, než ukazuje normální rozdělení. Podle normálního rozdělení, pravděpodobnost, že nastane událost větší než, činí 0,5 %. Pravděpodobnost, že nastane událost větší než by měla být 0,01 %. Nicméně, skutečné změny neodpovídají daným předpokladům. 4 Edgar Peters [15] prozkoumal velké soubory dat a zjistil, že pravděpodobnost, že nastane událost větší než 3, je 2,4 %, 4 1 %. Jako příklad lze uvést změnu hodnot Dow Jonesova indexu za období od 2. ledna 1888 do 31. prosince 1991. Do grafu vyneseme hodnoty hustoty rozdělení 5-denních a 90-denních výnosů a porovnáme je s hustotou normálního rozdělení. Výsledek lze vidět na obrázku 1.3. 3 Obrázek 1.3. Hustota rozdělení výnosů, Dow Jonesův index 1888-1991 [16] Obě dvě rozdělení mají ostrý vrchol ve střední hodnotě a tlusté konce. Navíc 5- denní a 90-denní výnosy mají skoro stejný tvar rozdělení s ostrou špičkou a relativně velkými pravděpodobnostmi výrazných změn. Podle Petersa mají shodný tvar rozdělení výnosy i pro jiné časové horizonty. Obrázky 1.4-1.6 ukazují rozdíl mezi rozdělením hustoty výnosů a hustoty normálního rozdělení.

Kapitola 1. Finanční trh, metody analýzy finančních aktiv 7 Obrázek 1.4. Rozdíl hustoty rozdělení jednodenních výnosů a hustoty normálního rozdělení, Dow Jonesův index 1888-1991 [16] Obrázek 1.5. Rozdíl hustoty rozdělení 30-denních výnosů a hustoty normálního rozdělení, Dow Jonesův index 1888-1991 [16]

Kapitola 1. Finanční trh, metody analýzy finančních aktiv 8 Obrázek 1.6. Rozdíl hustoty rozdělení 90-denních výnosů a hustoty normálního rozdělení, Dow Jonesův index 1888-1991 [16] Na každém grafu lze vidět, že pravděpodobnost změny ceny v hodnotě 4σ je dost vysoká. Nezáleží na tom, se kterým časovým horizontem pracuje trader, všichni mají skoro stejné riziko narazit na velký výkyv cen. Většina traderů nepoužívá v praxi statistickou analýzu, ale dává přednost technické analýze trhů. 1.3. Technická analýza Definice 1.7. Technická analýza je systematick7m zkoumáním, analyzováním a vyhodnocováním starších i současných dat. Používá se na předpovídání budoucích cenových pohybů. Tato metoda je používána u všech finančních produktů, včetně cenných papírů, futures kontraktů a úrokových produktů. Na rozdíl od fundamentální analýzy využívá pouze údaje tvořené trhem, jako je např. cena, objem, množství otevřených kontraktů na trhu, popřípadě mezitržní korelace. Technická analýza se proto nezabývá takovými jevy a skutečnostmi, jako jsou zveřejněná ekonomická data, politická situace, daňová politika státu nebo ekonomické prostředí [12]. Ve skutečnosti se technická analýza stává analýzou grafů. Existuje velký počet různých druhů grafů, které ukazují změny cen, jejich přírůstků, objem transakcí, jejich střední hodnoty, volatilitu, atd. Analytici se řídí pravidly která říkají Ceny

Kapitola 1. Finanční trh, metody analýzy finančních aktiv 9 se nepohybují náhodně, ale v trendech a Historie má tendenci se opakovat. Proto hledají trendy a na základě svých odhadů se snaží předpovědět vývoj ceny. V následující části práce budou použity metody technické analýzy a prozkoumány vybrané časové řady. Vzhledem k tomu, že další výzkum se bude zabývat časovými řadami s velkým počtem pozorování, bude také provedena grafická analýza těchto časových řad. Pro účely této práce byly vybrány záznamy o cenách akcií sedmi mezinárodních společností, jež působí na trhu minimálně třicet let. Těmi jsou Apple Inc., IBM Corp., BP plc. (dřív British Petroleum), Wal-Mart Stores Inc., McDonald s Corporation, General Electric, Johnson & Johnson. Společnosti byly zvoleny tak, aby se jejich činnost týkala různých oblastí. Apple Inc. a IBM Corp. působí na trhu digitálních technologií, BP plc. je energetická společnost, Wal-Mart Stores Inc. je řetězec obchodních domů, McDonald s Corporation je světově proslulý řetězec restaurací, General Electric vyniká v oblasti technologie a Johnson & Johnson je globální americká farmaceutická firma. Čtyři z sedmi výše uvedených společností patří do struktury Dow Jonesova indexu. Byly analyzovány ceny akcií společnosti Apple Inc. za období od 2. ledna 1981 do 31. října 2014. Jedná se o soubor 8 534 nejvyšších denních cen, jejichž hodnoty jsou zobrazeny na obrázku 1.7. Obrázek 1.7. Ceny akcií Apple Inc., 1981-2014

Kapitola 1. Finanční trh, metody analýzy finančních aktiv 10 Z vývoje cen akcií je vidět, že kolísání cen není na začátku sledovaného období výrazné a v porovnání s dnešními hodnotami, je tehdejší cena akcií velmi nízká, v podstatě zanedbatelná. Pro tuto situaci je vhodnější zobrazit změny na logaritmické stupnici. Výhodou používání logaritmické stupnice je, že umožňuje názorně zobrazovat veličiny v rozpětí mnoha řádů. Díky tomu diagramy uvádí skutečnou tržní situaci během daného období. Na obrázku 1.8 logaritmická funkce nabývá nejen kladné, ale i záporné hodnoty, což odpovídá skutečnosti, kdy akcie Apple Inc. stály méně než jeden americký dolar. Kolísání cen je tak výraznější než na obrázku 1.7, přičemž můžeme pozorovat značné skoky ceny, kdy např. v roce 1987 došlo k výraznému nárůstu a naopak v roce 2001 k poklesu. Obrázek 1.8. Ceny akcií Apple Inc. na logaritmické stupnici, 1981-2014 Obrázek 1.9. Přírůstky cen akcií Apple Inc., 1981-2014

Kapitola 1. Finanční trh, metody analýzy finančních aktiv 11 Graf na obrázku 1.9 znázorňuje turbulentní vlastnost finančního trhu: čím dále se pohybujeme po časové ose, tím můžeme pozorovat větší přírůstky v cenách. Lze vidět, že během zkoumaného období nastávaly výrazné poklesy a růsty. Podle níže uvedeného vzorce byl poté vytvořen graf relativních přírůstků: Y t X X X t1 t t (1.3) Obrázek 1.10. Relativní přírůstky cen akcií Apple Inc., 1981-2014 Na obrázku 1.10 lze zřetelně pozorovat, že ostré změny ceny akcií nastávaly nepředvídatelně po obdobích relativního klidu. Pro další společnosti budou vykresleny pouze grafy cen na logaritmické stupnici a grafy relativních přírůstků. Analýza vývoje cen akcií společnosti IBM Corp. byla provedena za období od 3. ledna 1978 do 31. října 2014. Celkem bylo použito 9 293 hodnot. Obrázek 1.11. Ceny akcií IBM Corp. na logaritmické stupnici, 1978-2014

Kapitola 1. Finanční trh, metody analýzy finančních aktiv 12 Na obrázku 1.11 můžeme vidět docela výrazné změny ceny. Přičemž je těžké předpovědět, jakým směrem bude vývoj ceny pokračovat v následujících letech. Obrázek 1.12. Relativní přírůstky cen akcií IBM Corp., 1978-2014 Obrázek 1.12 názorně ukazuje, že ostré změny nastávaly docela často a občas i nečekaně. Stejné časové období jako v případě společnosti IBM Corp. je předmětem analýzy i u následující společnosti, kterou je BP plc. Celkem bylo využito 9 294 záznamů o výši denních cen akcií této společnosti. Zase začneme z pohybu cen za dané období na logaritmické stupnici. Obrázek 1.13. Ceny akcií BP plc. na logaritmické stupnici, 1978-2014 Situace je stejná: existují zde náhlé změny ceny a to jak směrem dolů, tak i nahoru. Menších změn je poté evidováno poměrně značné množství. To potvrzuje i graf relativních přírůstků.

Kapitola 1. Finanční trh, metody analýzy finančních aktiv 13 Obrázek 1.14. Relativní přírůstky cen akcií BP plc., 1978-2014 Společnost Wal-Mart Stores Inc. působí na trhu od roku 1962. Pro analýzu cen akcií bylo vybráno období od 3. ledna 1984 do 31. října 2014, což činí celkem 7 776 záznamů. Toto období je zvoleno tak proto, aby odpovídalo našemu požadavku délky (nejméně 30 let) a ceny při tom byly vyšší než 1 dolar. Situace, kdy jsou ceny akcií nižší než jeden dolar, byla znázorněna na příkladu společnosti Apple Inc. Na logaritmické stupnici je níže znázorněn pohyb cen akcií společnosti Wal-Mart Stores Inc. Obrázek 1.15. Ceny akcií Wal-Mart Stores Inc. na logaritmické stupnici, 1984-2014 V porovnání s předchozími grafy (obrázky 1.8, 1.11, 1.13) nemá graf na obrázku 1.15 natolik výrazné poklesy nebo růsty. V posledním desetiletí je kolísání cen poměrně stabilní. Podobnou situaci lze sledovat také v období 1993 až 1998. Od roku 1998 do roku 2000 pak období relativního klidu střídá období, kdy dochází k poměrně výraznému nárůstu cen akcií. Můžeme očekávat náhlý růst i v současné době? Nebo dojde naopak k poklesu? Jsou akcie Wal-Mart Stores Inc. vhodné k dlouhodobému investování? Nebo nemá vůbec smysl přidávat dané aktivity do portfolia cenných papírů? Bohužel ani technická analýza nám nedokáže odpovědět na tyto otázky. Bez ohledu na růst cen na konci 20.století jsou relativní přírůstky docela nízké.

Kapitola 1. Finanční trh, metody analýzy finančních aktiv 14 Obrázek 1.16. Relativní přírůstky cen akcií Wal-Mart Stores Inc., 1984-2014 Také pro společnost McDonald s Corporation bylo zvoleno období cen akcií od 3. ledna 1984 do 31. října 2014, jedná se celkem o 7 776 záznamů. Kreslí se pohyb cen za dané období na logaritmické stupnici. Obrázek 1.17. Ceny akcií McDonald s Corporation na logaritmické stupnici, 1984-2014 Vývoj ceny akcií ukazuje jak na její růst, tak i na její pokles. Na obrázku 1.18 jsou pak vidět velké skoky v relativních přírůstcích cen.

Kapitola 1. Finanční trh, metody analýzy finančních aktiv 15 Obrázek 1.18: Relativní přírůstky cen akcií McDonald s Corporation, 1984-2014 Pro ceny akcií společnosti General Electric bylo analyzováno období od 3. ledna 1984 do 31. října 2014, počet záznamů činí 7 777. Na rozdíl od předchozích grafů pohybu cen akcií, je situace na grafu 1.19 odlišná. V letech 2008 a 2009 lze sledovat výrazný pokles cen akcií, který nebyl, v takové míře, u předchozích společností zaznamenán. Obrázek 1.19. Ceny akcií General Electric na logaritmické stupnici, 1984-2014 Obrázek 1.20. Relativní přírůstky cen akcií General Electric, 1984-2014

Kapitola 1. Finanční trh, metody analýzy finančních aktiv 16 Na obrázku 1.20 je vidět, že většinou byly malé změny cen, ale došlo i k docela výrazným skokům směrem nahoru a dolů. Tedy je zřejmá turbulence kolísání a lze vidět velké výkyvy ceny. Poslední analýza se týká společnosti Johnson & Johnson, pro kterou je k dispozici celkem 9 293 záznamů z období od 3. ledna 1978 do 31. října 2014. Obrázek 1.21. Ceny Johnson & Johnson na logaritmické stupnici, 1978-2014 Obrázek 1.22. Relativní přírůstky cen akcií Johnson & Johnson, 1978-2014 Na obrázcích 1.21-1.22 je patrná jistá turbulence v kolísání cen akcií. Ačkoliv má graf na obrázku 1.21 rostoucí trend, neznamená to však, že bude tento trend zachován i v následujícím období. Na výše uvedených grafech je vidět trendy, ale na základě historických údajů není možné přesně předpovědět, kdy začne korekce ceny a směr trendu se změní. Dobrým příkladem je společnost General Electric. V období, kdy akcie ostatních firem rostou, u GE dochází k výraznému poklesu. Kdybychom se však na tyto grafy dívali

Kapitola 1. Finanční trh, metody analýzy finančních aktiv 17 v roce 2000, mohli bychom předpokládat, že růst akcií General Electric bude pokračovat. Z výše uvedených grafů lze vypozorovat, že k výraznému růstu a kolísání cen akcií docházelo ve všech případech v 90. letech 20. století. Jak by to bylo možné vysvětlit? Jedním z předpokladů je fakt, že v 80. letech zavedli některé burzy systémy prodeje malého množství aktiv. V 90. letech pak, s rozmachem informačních technologií, získalo velké množství lidí snadný přístup k internetu a pomocí on-line brokerů mohlo začít obchodovat na finančních burzách. Tím pádem se počet subjektů trhu mnohonásobně zvýšil a kontrola cen akcií se stala komplikovanější. Odhad rizika je komplikovaný a investor nemůže vědět, jak velké budou výnosy a ztráty. Nesmíme zapomenout, že oceňování rizika je nejdůležitější věc pro investora. Statistická a technická analýzy mohou pomoci zkušenému triedru odhadnout trend. Ale nemohou dát odpověď na otázku, kolik investor ztratí v případě špatného odhadu. Odpověď na tuto otázku nám dává R/S-analýza. V této kapitole jsme se seznámili s historií rozvoje analýzy finančního trhu a uvedli několik příkladů ukazujících, že se klasická technická analýza ne vždy hodí k pochopení chování cen akcií. Také byla provedena základní analýza časových řad odpovídajících cenám akcií sedmi korporací, které působí na trhu již delší dobu. V následujících kapitolách se seznámíme s docela novou metodou analýzy velkých časových řad R/S-analýzou a zkusíme prozkoumat dané časové řady tímto způsobem.

Kapitola 2 R/S-analýza finančních aktiv V této kapitole je popsána historie objevení a rozvoje R/S-analýzy, metody výpočtu hlavního parametru R/S-analýzy, tzv. Hurstova exponentu (H), třídění časových řad podle hodnoty H. Dále jsou zde uvedeny příklady použití R/S-analýzy a zmíněny jsou také její důležité vlastnosti. Kapitola je vypracována především na základě [6], [7] a [16] s použitím obrázků z těchto zdrojů. 2.1. Objevení a vývoj R/S-analýzy Historie R/S-analýzy a Hurstova exponentu sahá již do začátku 20. století, avšak tehdy měla s finanční matematikou jen pramálo společného. V roce 1906 přijel anglický vědec Harold Hurst do Egypta. Účelem jeho návštěvy bylo postavit na řece Nil velkou Asuánskou přehradu. Hlavním úkolem Hursta bylo stanovit výšku přehrady tak, aby v případě záplav nepřekročila hladina výšku hráze a také aby bylo v přehradě dostatečné množství vody i v obdobích sucha. Náročnost úkolu spočívala v tom, že nebylo možné rozsah povodně předpovědět. Nil má velmi složitý vodní režim, průtok se nepředvídatelně mění každý rok. Deštivé roky se seskupují bez zřejmých period, což platí i v případě roků suchých [13]. Hurst měl k dispozici roční data minimálních hladin řeky od roku 622 do roku 1469 (celkem 847 údajů) a všiml si, že existují neperiodické cykly ve změně průtoku. Hurst tedy došel k závěru, že hodnoty hladiny řek nejsou nezávislé a záplavy z minulých let mají vliv na současnou situaci [16]. Standardní analýza však neprokázala vzájemný vztah mezi pozorováními. Hurst tak vynalezl novou metodu analýzy, která pak byla modifikovaná Benoîtem Mandelbrotem. Své výklady Hurst začal ze standardního předpokladu: hodnoty časové řady jsou náhodné a nezávislé. To znamená, že daná časová řada je náhodnou procházkou. Víme, že jednorozměrný případ náhodné procházky můžeme simulovat házením mince. Pravděpodobnost, že padne panna nebo orel je stejná a rovná se 0.5. Vždy, kdy padne panna, zvětšíme svůj výsledek o jeden bod, kdy padne orel, zmenšíme výsledek o jeden bod. Při dost velkém počtů házení vidíme, že existují periody, kdy pořád padá panna, a také dochází k periodám, kdy několikrát po sobě padne orel. Jak můžeme spočítat 18

Kapitola 2. R/S-analýza finančních aktiv 19 výsledek? Použijme Wienerův proces, který je matematickým modelem Brownova pohybu. Ale předem si uveďme několik základních definicí. Definice 2.1. Rozsah je rozdíl mezi nejmenší a největší hodnotou veličiny, která se v daném případě může objevit. Definice 2.2. Směrodatná odchylka je statistickou mírou, která ukazuje průměr druhých mocnin odchylek hodnot znaku od jejich aritmetického průměru a je určená vztahem E( X ) ( E( X )) 2 2 (2.1) Definice 2.3. R/S-analýza je jedna z metod analýzy finančních trhů. Je založena na výpočtu poměru mezi rozsahem časové řady na daném intervalu a odhadem směrodatné odchylky, který je úměrný počtu pozorování na daném intervalu umocněnému na nějakou konstantu H: R c N H S, (2.2) kde R je rozsah časové řady, S je směrodatná odchylka, N je počet pozorování, c je konstanta. Definice 2.4. Parametr H ze vztahu (2.2) se nazývá Hurstův exponent, nabývá hodnoty 0 1, je charakteristickou mírou pro dlouhou paměť v časových řadách. H 2.1.1. Wienerův proces Definice 2.5. Wienerův proces s přírůstky nezávislými na poloze, který splňuje: 1. W0 0. W t 2. W t je téměř skoro jistě spojitý. 3. W t t je stochastický proces spojitého času má na poloze nezávislé přírůstky s rozdělením W W N t s Wienerův proces 2 s ~ (0, ( )) pro 0 s t. W t lze chápat jako limitu náhodné procházky při zmenšování časového a prostorového kroku x a t (tj. x 0, t 0 ). Ukažme, že t 2 ( x) (2.3)

Kapitola 2. R/S-analýza finančních aktiv 20 Nechť 1 P( X i 1) P( X i 1) 2 nezávislé náhodné veličiny s náhodná procházka. Nechť EX ( ) 0 i a, kde X,.. X,... Var( X ) 1 i i, n S 0 jsou stejně rozdělené je standardní symetrická S S X X X n 0 1 2.. n (2.4) t n t (tedy Zvolíme délku časového kroku n t t ) definujeme proces: t a velikost prostorového kroku x. Pro S S ( X X.. X ) x t n t 1 2 n (2.5) Z nezávislosti přírůstků X j plyne, že ES ( ) 0 t a Var( S ) ( x) n ( x) t 2 2 t t (2.6) Zjistíme, jak se chová tento proces při závislost mezi a. Stanovme pro x t p 0 x 0 a t 0. Uvažujeme mocninnou t ( x) p (2.7) Tudíž pro t 0 máme možnosti: 0, pro p 2 2 ( x) Var( St ) t t, pro p 2 t, pro p 2 (2.8) plyne, že Tedy konečný nenulový rozptyl dostaneme pro p 2, tj. platí (2.3) [4]. Z toho 1 x ( t) 2 (2.9) Zobecněním (2.9) dostaneme vzorec k výpočtu vzdálenosti mezi nejlepším a nejhorším výsledkem: 1 R ct 2 (2.10) kde R je rozsah, T je čas, c je kladná konstanta.

Kapitola 2. R/S-analýza finančních aktiv 21 Hurst použil tento vzorec na hodnoty výšky hladiny Nilu a zjistil, že vztah neodpovídá skutečnosti. V podstatě se rozsah zvětšoval rychleji než druhá odmocnina z počtu pozorování. Tento fakt podnítil Angličana k vymyšlení vlastního vztahu závislosti mezi rozsahem a časem. V následující části je popsán výpočetní postup. 2.1.2. Výpočet Hurstova exponentu Uvažujeme časovou řadu vzorce: X X, i 1,.., N i. Střední hodnota se počítá podle EX X.. X 1 N X 1 N N N i 1 i (2.11) Směrodatná odchylka je: 1 2 N S N ( X EX ) i1 i 2 (2.12) Normovanou řadu dostaneme pomocí vzorce: Z X EX, i 1,.., N (2.13) i i hodnotu: Pomocí (2.11) ukažme, že získaná řada Z Z, i 1,.., N i má nulovou střední N N N 1 1 1 1 EZ Z X EX EX N EX 0 N N N N (2.14) i i i1 i1 i1 V dalším kroku vytvoříme kumulovanou časovou řadu: t Y Z ( X EX ) X X.. X t EX i i i 1 2 t i1 i1 t X t EX, t 1,.., N i1 i t (2.15) Všimneme si, že poslední člen takto definované časové řady vždy bude nulový: N N N 1 Y X EX X N EX N X N EX (2.16) N i i i i1 i1 N i1 N EX N EX 0

Kapitola 2. R/S-analýza finančních aktiv 22 Definujeme upravený rozsah R N vztahem: R max Y,.., Y min( Y,.., Y ) N 1 N 1 N t max( X t EX ) min( X t EX ) i 1 t N 1 t N i 1 i 1 t i (2.17) Kumulovaná časová řada Y je normovaná k nulové střední hodnotě. Proto maximální hodnota Y je vždy větší nebo se rovná nule a minimální hodnota Y je vždy menší nebo se rovná nule. Z toho vyplývá, že upravený rozsah kladné nebo nulové hodnoty. Upravený rozsah R N R N může nabývat pouze je délkou cesty, kterou prochází systém během času N. Dále pomocí (2.10) objevil Hurst nový vztah mezí rozsahem a časem: kde c je konstanta. R N R / S c N S H, (2.18) Definice 2.6. Veličina časové řady [16]. R/ S ze vztahu (2.18) se nazývá normovaným rozsahem Hurstův exponent, který tak později nazval Benoît Mandelbrot, lze přibližně odhadnout prostřednictvím grafu s hodnotami nakreslenými proti hodnotám log( N ) log( R/ S). Používáme metodu nejmenších čtverců na základě rovnice: R S log C H log N, (2.19) kde C logc je konstanta. Kdyby zkoumaná časová řada byla náhodná a její členy nezávislé výsledkem výpočtů by byla hodnota H 0.5. Avšak se normovaný vztah zvětšuje rychleji než druhá odmocnina z času. To znamená, že systém prochází větší distancí, než za stejný čas prochází náhodný proces. Toto je možné jen v případě, kdy změny hodnot řady mají vzájemný vliv, tj. hodnoty jsou korelovány [16]. Připomeňme si, že cílem práce Hursta byla stavba vhodné vodní přehrady a jeho vzorec je stručným popisem matematického modelu pro výpočet optimální výšky přehrady a objemu nádrže. Z tradičního hlediska by měl začít z výpočtu rozsahu jako rozdílu mezi maximálními a minimálními hodnotami. Ale Hurst standardní postup vylepšil. Nejdříve odstranil trend pro časové řady s rozdílnými počátečními okamžiky a

Kapitola 2. R/S-analýza finančních aktiv 23 různou délkou a následně spočítal normovaný rozdíl. Tím zjistil, že takový rozsah se zvětšuje rychleji než druhá odmocnina z počtu pozorování (totiž z délky času) [7]. Normování upraveného rozsahu dělením na směrodatnou odchylku odstraňuje problém trendu v dlouhodobých časových řadách. Z hlediska finančních aktiv to znamená, že bez ohledu na inflaci můžeme porovnávat mezi sebou periody rozdělené dlouhou dobou [7]. Obrázek 2.1. Model cenového diagramu [7] Pro lepší a přesnější výsledky při výpočtu Hurstova exponentu se zkoumá samotná časová řada a všechny její podmnožiny. Náhodně se volí počáteční hodnota t a délka intervalu, kde. Pro každý pár se provádí výpočty podle 0 Nt ( t, ) vzorců (2.11)-(2.18). Tímto způsobem se vypočítá pro každou hodnotu soubor hodnot R/S, odpovídající každému t. Dále, pomocí bodového diagramu a regresní analýzy se zjišťuje hodnota parametru H. Zobecníme výpočet pro dlouhodobou časovou řadu, 1,.., X X i N Náhodně zvolíme počáteční bod t, 0 t N 1, a délku podmnožiny, 1 N t. Normovaná časová řada Z se definuje vztahem: i Z X EX, i 1,.., (2.20) i ti Zkonstruujme kumulovanou časovou řadu:.

Kapitola 2. R/S-analýza finančních aktiv 24 u Y Z ( X EX ) X X.. X u EX i i ti t1 t2 tu i1 i1 u X u EX, u 1,.., i1 ti u (2.21) Sumu u X t i i1, 1,..,, X X i t t i můžeme zapsat ve tvaru tu i t 1 vztah (2.17) můžeme zapsat ve tvaru: X i. Tím pádem pro částečnou řadu R( t, ) max Y,.., Y min( Y,.., Y ) 1 1 tu tu max( X u EX ) min( X t EX) i 1u 1u it1 it1 i (2.22) Střední hodnota celé časové řady může být nicméně neznámá, kdy pracujeme jen s podmnožinou této řady. Nahradíme střední hodnotu řady X střední hodnotou částečné řady X X, i t 1,.., t : i Xt ( EX ) Přeměníme (2.22) s úvahou (2.23):.. X 1 t 1 t X i (2.23) i t 1 tu tu tu tu u u R( t, ) max( X X ) min( X X ) i i i i 1u 1 u i t 1 it1 it1 it1 (2.24) řady X Podle (2.12) bychom měli normovat rozsah Rt, směrodatnou odchylkou. Nahradíme ji přepočítanou odchylkou St, ze stejného důvodu, proč jsme nahradili EX střední hodnotou částečné řady X X, i t 1,.., t i. 1 2 2 t 1 2 t t t 2 j j it1 jt1 it1 j t 1 1 1 1 S( t, ) X i X X i X (2.25) Dostáváme: R/ S Rt (, ) St (, ) (2.26)

Kapitola 2. R/S-analýza finančních aktiv 25 Pro 1 máme R t,2 / S t,2 2 R( t, ) S t, 0 a poměr R/ S je neurčitý. Pro bez ohledu na proces. Tím pádem nás zajímají hodnoty 2 máme 3 [8]. 2.2. Druhy časových řad podle hodnoty Hurstova exponentu Podle hodnoty parametru H můžeme rozlišovat tři druhy procesů: ukazuje anti-persistentní proces. To znamená, že řada mění znaménko častěji, než bychom očekávali pro náhodný proces, a prochází menší cestu než nezávislý náhodný proces. Pokud v daném časovém okamžiku systém roste, můžeme s určitou jistotou předpokládat, že v následujícím časovém okamžiku bude systém klesat a naopak; 0 H 0.5 H 0.5 znamená, že časová řada je nezávislý náhodný proces; znamená, že řada je persistentní a následuje lokální trendy. Takové řadě se říká řada s dlouhodobou pamětí, protože změny řady mají od začátku do současnosti vliv na budoucí hodnoty. 0.5 H 1 Na obrázku 2.2 jsou uvedené diagramy chování časových řad pro tří odlišné hodnoty Hurstova exponentu. Každý krok nahoru nebo dolů ukazuje změnu časové řady od jednoho časového okamžiku k dalšímu. Obrázek 2.2. Kolísání hodnot časových řad pro různá H [7]

Kapitola 2. R/S-analýza finančních aktiv 26 Ukažme si výsledné grafy R/S-analýzy pro různé druhy časových řad. Použijme příklady z Mandelbrot & Wallis [8]. Modely časových řad reprezentují tři druhy procesů: persistentní, anti-persistentní a nezávislý náhodný proces. Obrázek 2.3 ukazuje závislost N 10000. Hodnoty log( R/ S) log( R/ S) na log( ). Daná časová řada má jsou vypočtené pro {3, 4, 5, 6, 7,10,20, 40, 70,100, 200, 400, 700,1000, 2000, 4000, 7000, 9000}. Hodnoty jsou zvoleny tak, aby byly hodnoty log( ) méně stejně vzdálené. Na grafu je vidět několik hodnot rozdělené rovnoměrně na ose a byly více log( R/ S) pro každé Veličina logaritmu je vypočtená pro stejně vzdálená t. Tento výběr je způsoben časovou náročností vyčíslení pro všechna t,, pro dané. Ovšem log( R/ S) 1 t N zvětšením počtu hodnot t zlepšujeme přesnost výpočtů a stabilitu výsledků, protože používáme střední hodnotu všech hodnot. Střední hodnota každé posloupnosti hodnot je zdůrazněná na grafu malým čtvercem. log( R/ S) R/ S. Pro malé hodnoty má poměr komplikované chování. Pro vidět trend. Metoda nejmenších čtverců nám dává výsledek R/ S H 0.9. 20 lze Obrázek 2.3. Výsledný graf R/S-analýzy pro persistentní proces, H 0.9 [8] Dále uvažujeme stejně dlouhou časovou řadu, která je nezávislým náhodným procesem. Výsledný graf a trend jsou znázorněné na obrázku 2.4.

Kapitola 2. R/S-analýza finančních aktiv 27 Obrázek 2.4. Výsledný graf R/S-analýzy nezávislého náhodného procesu, H 0.5 [8] H 0.3. Výrazný trend je vidět od 20, pro menší hodnoty je chování nejisté. Na obrázku 2.5 je vidět výsledný graf R/S-analýzy časové řady s parametrem Obrázek 2.5. Výsledný graf R/S-analýzy pro anti-persistentní proces, H 0.3 [8] V tomto případě není trend výrazný ani pro hodnoty připustit trend pro 70 a odhadnout H. 20. Jen zhruba můžeme

Kapitola 2. R/S-analýza finančních aktiv 28 2.3. Vyhledávání cyklů časové řady pomocí R/S-analýzy V dané části je popsána důležitá vlastnost R/S-analýzy, kterou je objevení cyklů v časové řadě. Definice 2.7. Cyklus změny cen akcií označuje pravidelné střídání relativního růstu a relativního poklesu, které trvají určitou dobu. Periodický cyklus se opakuje pravidelně s určitou frekvencí. Neperiodický cyklus nemá žádnou pevnou frekvenci. Doposud bylo provedeno mnoho pokusů, ve kterých se vědci snažili najít cykly ve změnách cen na finančním trhu. K tomu se používaly veškeré známé druhy analýz. Pomocí fundamentální analýzy, statistické analýzy, technické analýzy, Fourierovy analýzy, spektrální analýzy a ani dalších metod se nepodařilo odhalit periodické nebo neperiodické cykly. R/S-analýza je odhaduje. Důkaz této vlastnosti je založen na použití fraktální dimenzi. Lze najít ve práci B. Mandelbrota Statistical Methodology For Nonperiodic Cycles: From The Covariance To R/S-Analysis [6]. Výchozí podmínkou je předpoklad, že rozsah nemůže nikdy překročit meze amplitudy. Proto veličina dosáhne maximální hodnoty po skončení cyklu [16]. R/ S Nechť je časová řada definovaná vztahem Na každém intervalu Yt sin t. (2.27) [2 k,2 2 k], k 0,1,2,.. uvažujeme 100 pozorování. Výsledný graf R/S-analýzy časové řady (2.27) je zobrazen na obrázku 2.6. Při změna trendu zřejmá. t 100 je

Kapitola 2. R/S-analýza finančních aktiv 29 Obrázek 2.6. Výsledný graf R/S-analýzy pro časovou řaduy 100 pozorování [16] t sin t, trend se mění po Toto byl příklad časové řady s periodickým cyklem. Následující příklad ukazuje časovou řadu s neperiodickým cyklem. Zkoumá se denní hodnotu Dow Jonesova indexu za období od 2. ledna 1888 do 31. prosince 1991. Uvažují se 20-denní přírůstky, celkem je 1 320 záznamů. 20-denní údaje tvoří přibližně jeden kalendářní měsíc. Na výsledném grafu je vidět změnu trendu. Ostrý pohyb nahoru nastává přibližně při. Je možné předpokládat, že daná časová řada má cyklus rovný přibližně (log(52) 1.7) padesáti dvěma provozním měsícům, což je 1 040 provozních dnů. t 52,

Kapitola 2. R/S-analýza finančních aktiv 30 Obrázek 2.7. Výsledný graf R/S-analýzy 20-denních výnosů Dow Jonesova indexu [16] Ovšem taková mezera v trendu není výrazná a potřebuje se ověřit, zda předpoklad o existenci cyklu je správný nebo ne. K tomu se používá jiný nástroj R/Sanalýzy, který se nazývá V-statistika. Definice 2.8. V-statistika je statistická míra časové řady, která je definována vztahem R Vt (, ) ( ) /, (2.28) S kde t je čas, R S je normovaný rozsah časové řady na intervalu [ tt, ], je počet pozorování. Na graf se vynáší hodnoty Vt (, ) proti hodnotám log( ). Dále se bodový graf aproximuje vhodnou přímkou a zjišťuje se hodnota H Hurstova exponentu. Pokud časová řada prokazuje persistentní vlastnost ( V okamžiku, kdy časová řada změní svou persistentní vlastnost a přemění se v náhodnou procházku ( H 0.5 ) či antipersistentní proces ( H 0.5 ), směr grafu se změní k vodorovné přímce nebo bude klesat [16]. H 0.5), graf V-statistiky roste.

Kapitola 2. R/S-analýza finančních aktiv 31 Teď nakreslíme graf V-statistiky pro 20-denní výnosy Dow Jonesova indexu. Na obrázku 2.8 je vidět očekávanou změnu směru grafu pro t 52. Obrázek 2.8. V-statistika 20-denních výnosů Dow Jonesova indexu [16] Tím pádem je možné pokračovat v tvrzení, že výnosy Dow Jonesova indexu mají cyklus přibližně 1 040 provozních dnů, což tvoří téměř 4 roky. Čtyřletý cyklus může souviset s ekonomickými cykly, například s Kitchinovým cyklem [20]. Avšak, jestli je tento čtyřletý cyklus opravdovým cyklem a neobjevil se kvůli výpočtové chybě, měl by být nezávislý na zvolené délce časové řady. Zkoumá se stejná časová řada denních záznamu za období od 2. ledna 1888 do 31. prosince 1991. Pro 5-denní přírůstky je 5 280 hodnot. Na obrazcích 2.9 a 2.10 jsou R/S-analýza a V-statistika 5-denních výnosů. Je vidět mezeru v trendu Hurstova exponentu a změnu směru grafu V-statistiky pro hodnotu, tj. pro Přepočítáním na provozní dny se dojde k výsledku 1 045 dnů. log( t) 2.32 t 209.

Kapitola 2. R/S-analýza finančních aktiv 32 Obrázek 2.9. Výsledný graf R/S-analýzy 5-denních výnosů Dow Jonesova indexu [16] Obrázek 2.10. V-statistika 5-denních výnosů Dow Jonesova indexu [16] Tudíž se čtyřletý cyklus objevuje nezávisle na zvoleném přírůstku času. Proto lze říct, že objevení tohoto cyklu není výpočtovou chybou nebo důsledkem šumu.

Kapitola 2. R/S-analýza finančních aktiv 33 Zajímavé by bylo zjistit, zda-li existují cykly s periodou menší než 4 roky. Prozkoumají se jednodenní výnosy Dow Jonesova indexu. Je 24 900 pozorování a výsledný graf R/S-analýzy je na obrázku 2.11. Obrázek 2.11. Výsledný graf R/S-analýzy denních výnosů Dow Jonesova indexu [16] Obrázek 2.12. V-statistika denních výnosů Dow Jonesova indexu [16]

Kapitola 2. R/S-analýza finančních aktiv 34 Na obrázku 2.11 nejsou mezery pro tam můžeme nalézt. Na obrázku 2.12, který ukazuje výsledný graf V-statistiky, jsou zlomy v trendu pro t 40 a t 1250 zřejmé. Tudíž můžeme vyčlenit cyklus s periodou 1 250 dnů, což těsně odpovídá již dříve zmíněnému cyklu s periodou 4 roky. Zároveň můžeme předpokládat, že existuje cyklus s délkou přibližně 40 dnů [16]. Tento předpoklad bychom mohli ověřit, kdybychom měli například hodinové záznamy Dow Jonesova indexu a prozkoumali je. Zatím však tento cyklus ověřit nemůžeme, avšak nemáme ani důvod k jeho odmítnutí. t 40, t 250 a t 1250 výrazné, přesto je Bod mění při procházení tohoto bodu. Pro je náklon grafu shodný s náhodnou procházkou. Pro 250 1250 graf ostře roste a pak začíná klesat [16]. t 250 je označen na grafu z toho důvodu, že se trend V-statistiky také t 40 t 250 Provedla se R/S-analýza Dow Jonesova indexu za období od 2. ledna 1888 do 31. prosince 1991. Objevily se dva cykly s periodou 40 provozních dnů a 1 250 dnů. Tyto cykly je možné použít k technické analýze nebo ke konstrukci vhodného modelu pro testování historických údajů [16]. R/S-analýza je součástí fraktální analýzy, která se používá ke zkoumání chaotických struktur. Tady jsme ukázali jen malou část možností použití R/S-analýzy a jen některé výsledky. Celkový popis všech možností tohoto sice důležitého, ale docela málo známého nástroje analýzy časových řad, je předmětem rozsáhlejšího výzkumu. Edgar Peters provedl ve výzkumu R/S-analýzy obrovský kus práce, jejímž výsledkem jsou publikace Chaos and order in the capital markets : a new view of cycles, prices, and market volatility (1996) [15] a Fractal Market Analysis: Applying Chaos Theory to Investment and Economics (2003) [16]. Avšak nejsou prozkoumané všechny oblasti aplikace R/S-analýzy a různé aspekty problematiky stále čekají na své výzkumníky. V následující kapitole bude provedena R/S-analýza cen akcií sedmi společností zmíněných v první kapitole a pokusí se najít dlouhou paměť daných časových řad, jejich trend a cykly.

Kapitola 3 Použití R/S-analýzy V dané kapitole se provádí R/S-analýza cen akcií sedmi společností. K výpočtu Hurstova exponentu byl napsán program (víz příloha 1) v softwaru Maple 18. Soubory dat mají různé počty prvků, proto se k analýze časových řad používají rozdílné soubory hodnot. Pro společnosti Wal-Mart Stores Inc., McDonald s Corporation a General Electric jsou hodnoty z souboru (3.1), pro Apple Inc. z (3.2) a pro IBM Corp., BP plc. a Johnson & Johnson z (3.3). {3,5,7,10,20,25,40,60,80,140,200,400,700,1000,2000,4000,7000} (3.1) {3,5,7,10,20,25,40,60,80,140,200,400,700,1000,2000,4000,7000,8500} (3.2) {3,5,7,10,20,25,40,60,80,140,200,400,700,1000,2000,4000,7000,9000} (3.3) Jak bylo zmíněno v kapitole 2, hodnota poměru se vypočítá jako střední hodnota všech hodnot pro daný pár. Proto čím víc je počet hodnot R / S( t, ) ( t, ) R/ S t pro dané, tím je přesnější výpočty. Avšak je provádět výpočty pro všechna t časově náročné. Máme zvolit vhodný počet hodnot t tak, aby přesnost byla docela velká a zároveň výpočty trvaly rozumnou dobu. Podle Petersa [16], Mandelbrota & Wallisa [8] a vlastních pokusů byly zvolené následující kroky pro t: pro časové řady s počtem prvků se hodnota R/ S počítá pro t t0 300i pro časové řady s počtem prvků se hodnota R/ S počítá pro uvažujeme dvacet čtyři hodnot : i N 7000,..,9000 t t0 50i i, kde t0 1 N 1500,..,1800, kde t0 1 (původní časové řady) N, i 1,.., 300 ; (5-denní přírůstky), i 1,.., N 50, přičemž {3,5,7,10,15,20,25,30,40,50,60,70,80,100,140,200,300,400,500,700,750,1000,1200,1500} pro časové řady s počtem prvků se hodnota R/ S počítá pro uvažujeme devatenáct hodnot : t t0 10i i N 380,..,465 (20-denní přírůstky), t0 1, N i 1,.., 10, přičemž {3,5,7,10,12,15,20,25,30,40,50,60,70,80,100,140,200,300,350} 35

Kapitola 3. Použití RS-analýzy 36 K znázornění výsledku taky byly použité funkce softwaru Maple. Kapitola je rozdělena na osm částí, z nichž je sedm věnováno R/S-analýze cen akcií, v osmé pokusíme najít zákonitostí a shrneme výsledky analýzy. 3.1. Analýza cen akcií společnosti Apple Inc. Začneme analýzou cen akcií společnosti Apple Inc. za období od 2. ledna 1981 do 31. října 2014. Celkem máme 8 534 záznamů. Vypočteme hodnotu Hurstova exponentu pro celou časovou řadu a aproximujeme vhodnou přímkou. Obrázek 3.1. Výsledný graf analýzy cen akcií Apple Inc. Na obrázku 3.1 jsou nakreslené dvě přímky. Červená přímka aproximuje krabicový graf původní časové řady. Dále časová řada byla náhodně promíchána (k tomu se používá funkce Shuffle z softwaru Maple). Modrá přímka ukazuje trend pro promíchanou časovou řadu. Tím ukazujeme, že pořadí hodnot cen akcií je důležité a dlouhá paměť existuje jen pro toto pořadí. V případě míšení řady dlouhá paměť neexistuje a řada si chová skoro jako náhodná procházka. Lze vidět, že hodnota Hurstova exponentu je hodně velká a rovná se 0.97. Sestavíme novou časovou řadu: kde N je počet prvků původní časové řady. Zi X i1 X i, i 1,.., N 1, (3.4) Časová řada (3.4) reprezentuje denní přírůstky cen akcií. Z obrázku 3.2 je vidět, že se hodnota Hurstova exponentu blíží k hodnotě H pro nezávislý náhodný proces.

Kapitola 3. Použití RS-analýzy 37 Obrázek 3.2.Výsledný graf analýzy denních změn cen akcií Apple Inc. Zkusíme najít cykly v dané časové řadě. Na obrázku (3.2) změny trendu jsou, ale nejsou výrazné. Prozkoumáme V-statistiku denních, pětidenních a dvacetidenních přírůstků cen akcií Apple Inc. Hodnoty V-statistiky jsou vypočtený podle vzorce (2.28) a zapsány do tabulky 3.1. Tučným písmem jsou zdůrazněny hodnoty lokálních maxim a odpovídajících jím počtů dnů. Na obrázcích 3.3-3.5 jsou znázorněny grafy V-statistiky. Obrázek 3.3. V-statistika denních změn cen akcií Apple Inc.

Kapitola 3. Použití RS-analýzy 38 Obrázek 3.4. V-statistika 5-denních změn cen akcií Apple Inc. Obrázek 3.5. V-statistika 20-denních změn cen akcií Apple Inc. Na obrázku 3.3 vidíme ostrou špičku pro 7 a v tabulce 3.1 a) je zaznamenána lokální maximální hodnota V-statistiky. Analýza časových řad s větším přírůstkem času zřejmě neukáže tento cyklus. Tedy se můžeme spolehnout jen na denní přírůstky v objevení cyklu s takovou malou délkou. 1-denní přírůstky 5-denní přírůstky 20-denní přírůstky