Aplikace multifraktální geometrie na finančních trzích

Transkript

1 Aplikace multifraktální geometrie na finančních trzích 5. studentské kolokvium a letní škola matematické fyziky Stará Lesná Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská ČVUT, Praha

2 Úvod náhodné procesy - důležitá součást modelování nejrůznějších problémů v oblastech fyziky, biologie,ekonomie aj. nejjednodušší model - náhodná procházka Brownův pohyb - základní proces, který ale ne vždy dokáže dobře modelovat chování komplexních systémů naším cílem je nalézt zobecnění Brownova pohybu, které lépe odpovídají realitě společné vlastnosti na první pohled různých procesů - (multi)-fraktální geometrie

3 Úvod náhodné procesy - důležitá součást modelování nejrůznějších problémů v oblastech fyziky, biologie,ekonomie aj. nejjednodušší model - náhodná procházka Brownův pohyb - základní proces, který ale ne vždy dokáže dobře modelovat chování komplexních systémů naším cílem je nalézt zobecnění Brownova pohybu, které lépe odpovídají realitě společné vlastnosti na první pohled různých procesů - (multi)-fraktální geometrie

4 Úvod náhodné procesy - důležitá součást modelování nejrůznějších problémů v oblastech fyziky, biologie,ekonomie aj. nejjednodušší model - náhodná procházka Brownův pohyb - základní proces, který ale ne vždy dokáže dobře modelovat chování komplexních systémů naším cílem je nalézt zobecnění Brownova pohybu, které lépe odpovídají realitě společné vlastnosti na první pohled různých procesů - (multi)-fraktální geometrie

5 Úvod náhodné procesy - důležitá součást modelování nejrůznějších problémů v oblastech fyziky, biologie,ekonomie aj. nejjednodušší model - náhodná procházka Brownův pohyb - základní proces, který ale ne vždy dokáže dobře modelovat chování komplexních systémů naším cílem je nalézt zobecnění Brownova pohybu, které lépe odpovídají realitě společné vlastnosti na první pohled různých procesů - (multi)-fraktální geometrie

6 Úvod náhodné procesy - důležitá součást modelování nejrůznějších problémů v oblastech fyziky, biologie,ekonomie aj. nejjednodušší model - náhodná procházka Brownův pohyb - základní proces, který ale ne vždy dokáže dobře modelovat chování komplexních systémů naším cílem je nalézt zobecnění Brownova pohybu, které lépe odpovídají realitě společné vlastnosti na první pohled různých procesů - (multi)-fraktální geometrie

7 Konkrétní příklad - finanční trhy lem [ / ] Last Volume (millions): 6,557, Volatility() : I III V VII IX XI XII

8 Konkrétní příklad vývoj akcií Lehman brothers - prudký pokles před začátkem finanční krize v modelu s náhodnou procházkou krajně nepravděpodobné mnohonásobně překonána směrodatná odchylka modelu potřeba jiných procesů - modelování extrémních situací

9 Brownův pohyb - Definice klasická náhodná procházka: p - pravděpodobnost kroku doprava q - pravděpodobnost kroku doleva n - počet kroků po n krocích je pravděpodobnost chodce na pozici m: p(m, n) = n! p n+m ( n+m n m 2 )!( 2 )! 2 (1 p) n m 2 limita pro n : podle Centrální limitní věty dostáváme Gaussovo rozdělení

10 Brownův pohyb - Definice klasická náhodná procházka: p - pravděpodobnost kroku doprava q - pravděpodobnost kroku doleva n - počet kroků po n krocích je pravděpodobnost chodce na pozici m: p(m, n) = n! p n+m ( n+m n m 2 )!( 2 )! 2 (1 p) n m 2 limita pro n : podle Centrální limitní věty dostáváme Gaussovo rozdělení

11 Brownův pohyb - Definice klasická náhodná procházka: p - pravděpodobnost kroku doprava q - pravděpodobnost kroku doleva n - počet kroků po n krocích je pravděpodobnost chodce na pozici m: p(m, n) = n! p n+m ( n+m n m 2 )!( 2 )! 2 (1 p) n m 2 limita pro n : podle Centrální limitní věty dostáváme Gaussovo rozdělení

12 Náhodná procházka pro n=1000

13 Wienerův proces - spojitá náhodná procházka Definice: stochastický proces ξ(t) je množina náhodných veličin parametrizována parametrem t (často čas) stochastický proces W (t) se nazývá Wienerův, právě když: 1 W (0) = 0 skoro jistě, 2 funkce t W (t) je skoro jistě spojitá, 3 pro všechna t, s: W (t) W (s) N(0, t s ) 4 W (t) má nezávislé přírůstky na t Wienerův proces není skoro nikde diferencovatelný!

14 Wienerův proces - spojitá náhodná procházka Definice: stochastický proces ξ(t) je množina náhodných veličin parametrizována parametrem t (často čas) stochastický proces W (t) se nazývá Wienerův, právě když: 1 W (0) = 0 skoro jistě, 2 funkce t W (t) je skoro jistě spojitá, 3 pro všechna t, s: W (t) W (s) N(0, t s ) 4 W (t) má nezávislé přírůstky na t Wienerův proces není skoro nikde diferencovatelný!

15 Wienerův proces - spojitá náhodná procházka Definice: stochastický proces ξ(t) je množina náhodných veličin parametrizována parametrem t (často čas) stochastický proces W (t) se nazývá Wienerův, právě když: 1 W (0) = 0 skoro jistě, 2 funkce t W (t) je skoro jistě spojitá, 3 pro všechna t, s: W (t) W (s) N(0, t s ) 4 W (t) má nezávislé přírůstky na t Wienerův proces není skoro nikde diferencovatelný!

16 ukázka Wienerova procesu

17 Lévyho rozdělení - definice stabilní rozdělení - takové že: p(a 1 x + b 1 ) p(a 2 x + b 2 ) = p(ax + b) Věta: stabilní rozdělení jsou limitní rozdělení nekonečných sum nezávislých náhodných proměnných obecný tvar stabilního rozdělení ve Fourierově obraze (Lévy, Kchintchin): ln L αβ (k) = ick γ k α (1 + iβsgn(k)ω(k, α)) kde: 0 < α 2, 1 β 1, γ 0, c R, { tan(πα/2) if α 1 ω(k, α) = 2 ln k if α = 1. π Pro x : L α (x) 1 x 1+α pro α < 2 je rozptyl nekonečný - třída α-stabilních Lévyho rozdělení

18 Lévyho rozdělení - definice stabilní rozdělení - takové že: p(a 1 x + b 1 ) p(a 2 x + b 2 ) = p(ax + b) Věta: stabilní rozdělení jsou limitní rozdělení nekonečných sum nezávislých náhodných proměnných obecný tvar stabilního rozdělení ve Fourierově obraze (Lévy, Kchintchin): ln L αβ (k) = ick γ k α (1 + iβsgn(k)ω(k, α)) kde: 0 < α 2, 1 β 1, γ 0, c R, { tan(πα/2) if α 1 ω(k, α) = 2 ln k if α = 1. π Pro x : L α (x) 1 x 1+α pro α < 2 je rozptyl nekonečný - třída α-stabilních Lévyho rozdělení

19 Lévyho rozdělení - definice stabilní rozdělení - takové že: p(a 1 x + b 1 ) p(a 2 x + b 2 ) = p(ax + b) Věta: stabilní rozdělení jsou limitní rozdělení nekonečných sum nezávislých náhodných proměnných obecný tvar stabilního rozdělení ve Fourierově obraze (Lévy, Kchintchin): ln L αβ (k) = ick γ k α (1 + iβsgn(k)ω(k, α)) kde: 0 < α 2, 1 β 1, γ 0, c R, { tan(πα/2) if α 1 ω(k, α) = 2 ln k if α = 1. π Pro x : L α (x) 1 x 1+α pro α < 2 je rozptyl nekonečný - třída α-stabilních Lévyho rozdělení

20 Lévyho rozdělení - definice stabilní rozdělení - takové že: p(a 1 x + b 1 ) p(a 2 x + b 2 ) = p(ax + b) Věta: stabilní rozdělení jsou limitní rozdělení nekonečných sum nezávislých náhodných proměnných obecný tvar stabilního rozdělení ve Fourierově obraze (Lévy, Kchintchin): ln L αβ (k) = ick γ k α (1 + iβsgn(k)ω(k, α)) kde: 0 < α 2, 1 β 1, γ 0, c R, { tan(πα/2) if α 1 ω(k, α) = 2 ln k if α = 1. π Pro x : L α (x) 1 x 1+α pro α < 2 je rozptyl nekonečný - třída α-stabilních Lévyho rozdělení

21 Lévyho rozdělení - definice stabilní rozdělení - takové že: p(a 1 x + b 1 ) p(a 2 x + b 2 ) = p(ax + b) Věta: stabilní rozdělení jsou limitní rozdělení nekonečných sum nezávislých náhodných proměnných obecný tvar stabilního rozdělení ve Fourierově obraze (Lévy, Kchintchin): ln L αβ (k) = ick γ k α (1 + iβsgn(k)ω(k, α)) kde: 0 < α 2, 1 β 1, γ 0, c R, { tan(πα/2) if α 1 ω(k, α) = 2 ln k if α = 1. π Pro x : L α (x) 1 x 1+α pro α < 2 je rozptyl nekonečný - třída α-stabilních Lévyho rozdělení

22 Lévyho rozdělení

23 Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se vnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítka neformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel fraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jiné objekty než variety možný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí o poloměru δ, které pokryjí fraktál F pro variety s dimenzí n: N δ (F ) cδ n Mřížková (Box counting) dimenze: dim B F = lim δ 0 ln N δ (F) ln 1 δ formální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší než topologická

24 Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se vnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítka neformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel fraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jiné objekty než variety možný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí o poloměru δ, které pokryjí fraktál F pro variety s dimenzí n: N δ (F ) cδ n Mřížková (Box counting) dimenze: dim B F = lim δ 0 ln N δ (F) ln 1 δ formální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší než topologická

25 Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se vnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítka neformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel fraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jiné objekty než variety možný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí o poloměru δ, které pokryjí fraktál F pro variety s dimenzí n: N δ (F ) cδ n Mřížková (Box counting) dimenze: dim B F = lim δ 0 ln N δ (F) ln 1 δ formální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší než topologická

26 Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se vnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítka neformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel fraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jiné objekty než variety možný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí o poloměru δ, které pokryjí fraktál F pro variety s dimenzí n: N δ (F ) cδ n Mřížková (Box counting) dimenze: dim B F = lim δ 0 ln N δ (F) ln 1 δ formální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší než topologická

27 Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se vnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítka neformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel fraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jiné objekty než variety možný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí o poloměru δ, které pokryjí fraktál F pro variety s dimenzí n: N δ (F ) cδ n Mřížková (Box counting) dimenze: dim B F = lim δ 0 ln N δ (F) ln 1 δ formální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší než topologická

28 Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se vnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítka neformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel fraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jiné objekty než variety možný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí o poloměru δ, které pokryjí fraktál F pro variety s dimenzí n: N δ (F ) cδ n Mřížková (Box counting) dimenze: dim B F = lim δ 0 ln N δ (F) ln 1 δ formální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší než topologická

29 Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se vnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítka neformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel fraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jiné objekty než variety možný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí o poloměru δ, které pokryjí fraktál F pro variety s dimenzí n: N δ (F ) cδ n Mřížková (Box counting) dimenze: dim B F = lim δ 0 ln N δ (F) ln 1 δ formální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší než topologická

30 Multifraktály Zavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze v různých místech objektu Zavádí se na F pomocí nějaké dané míry µ, přičemž µ(f) = 1, U i - minimální pokrytí F koulemi o poloměru δ. N δ,α (F) = #{U i µ(u i ) δ α } Definujeme f (α) - multifraktální spektrum: f (α) = lim δ 0 lim ɛ 0 log(n δ,α+ɛ (F) N δ,α ɛ (F)) log δ multifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivých dimenzí Pro takové α 0, pro které f (α 0 ) = 0 platí, že f (α 0 ) = dim B (F )

31 Multifraktály Zavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze v různých místech objektu Zavádí se na F pomocí nějaké dané míry µ, přičemž µ(f) = 1, U i - minimální pokrytí F koulemi o poloměru δ. N δ,α (F) = #{U i µ(u i ) δ α } Definujeme f (α) - multifraktální spektrum: f (α) = lim δ 0 lim ɛ 0 log(n δ,α+ɛ (F) N δ,α ɛ (F)) log δ multifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivých dimenzí Pro takové α 0, pro které f (α 0 ) = 0 platí, že f (α 0 ) = dim B (F )

32 Multifraktály Zavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze v různých místech objektu Zavádí se na F pomocí nějaké dané míry µ, přičemž µ(f) = 1, U i - minimální pokrytí F koulemi o poloměru δ. N δ,α (F) = #{U i µ(u i ) δ α } Definujeme f (α) - multifraktální spektrum: f (α) = lim δ 0 lim ɛ 0 log(n δ,α+ɛ (F) N δ,α ɛ (F)) log δ multifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivých dimenzí Pro takové α 0, pro které f (α 0 ) = 0 platí, že f (α 0 ) = dim B (F )

33 Multifraktály Zavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze v různých místech objektu Zavádí se na F pomocí nějaké dané míry µ, přičemž µ(f) = 1, U i - minimální pokrytí F koulemi o poloměru δ. N δ,α (F) = #{U i µ(u i ) δ α } Definujeme f (α) - multifraktální spektrum: f (α) = lim δ 0 lim ɛ 0 log(n δ,α+ɛ (F) N δ,α ɛ (F)) log δ multifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivých dimenzí Pro takové α 0, pro které f (α 0 ) = 0 platí, že f (α 0 ) = dim B (F )

34 Multifraktály Zavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze v různých místech objektu Zavádí se na F pomocí nějaké dané míry µ, přičemž µ(f) = 1, U i - minimální pokrytí F koulemi o poloměru δ. N δ,α (F) = #{U i µ(u i ) δ α } Definujeme f (α) - multifraktální spektrum: f (α) = lim δ 0 lim ɛ 0 log(n δ,α+ɛ (F) N δ,α ɛ (F)) log δ multifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivých dimenzí Pro takové α 0, pro které f (α 0 ) = 0 platí, že f (α 0 ) = dim B (F )

35 Lévyho proces Lévyho analog Wienerova procesu Wienerův proces lze zapsat jako t 1/2 W, kde W N(0, 1). Pak t 1/2 1 W + t 1/2 2 W = d (t 1 + t 2 ) 1/2 W kritérium striktní α-stability: t 1/α 1 Y + t 1/α 2 Y d = (t 1 + t 2 ) 1/α Y clévyho α-stabilní proces: 1 L α (0) = 0 skoro jistě 2 L α (t) má nezávislé přírůstky na t 3 L α (t) je striktně α-stabilní proces

36 Lévyho proces Lévyho analog Wienerova procesu Wienerův proces lze zapsat jako t 1/2 W, kde W N(0, 1). Pak t 1/2 1 W + t 1/2 2 W = d (t 1 + t 2 ) 1/2 W kritérium striktní α-stability: t 1/α 1 Y + t 1/α 2 Y d = (t 1 + t 2 ) 1/α Y clévyho α-stabilní proces: 1 L α (0) = 0 skoro jistě 2 L α (t) má nezávislé přírůstky na t 3 L α (t) je striktně α-stabilní proces

37 Lévyho proces Lévyho analog Wienerova procesu Wienerův proces lze zapsat jako t 1/2 W, kde W N(0, 1). Pak t 1/2 1 W + t 1/2 2 W = d (t 1 + t 2 ) 1/2 W kritérium striktní α-stability: t 1/α 1 Y + t 1/α 2 Y d = (t 1 + t 2 ) 1/α Y clévyho α-stabilní proces: 1 L α (0) = 0 skoro jistě 2 L α (t) má nezávislé přírůstky na t 3 L α (t) je striktně α-stabilní proces

38 Lévyho proces Lévyho analog Wienerova procesu Wienerův proces lze zapsat jako t 1/2 W, kde W N(0, 1). Pak t 1/2 1 W + t 1/2 2 W = d (t 1 + t 2 ) 1/2 W kritérium striktní α-stability: t 1/α 1 Y + t 1/α 2 Y d = (t 1 + t 2 ) 1/α Y clévyho α-stabilní proces: 1 L α (0) = 0 skoro jistě 2 L α (t) má nezávislé přírůstky na t 3 L α (t) je striktně α-stabilní proces

39 Wienerův proces - ukázka

40 Lévyho proces - ukázka

41 Fraktální dimenze Lévyho procesů reprezentativní trajektorie Wienerova procesu v prostoru R n (n 2) má fraktální dimenzi 2 reprezentativní trajektorie Lévyho α-stabilního procesu v prostoru R n (n 2) má dimenzi max{1, α} graf náhodné funkce t W (t) má dimenzi 3 2 graf náhodné funkce t L α (t) má fraktální dimenzi max{1, 2 1 α }

42 Fraktální dimenze Lévyho procesů reprezentativní trajektorie Wienerova procesu v prostoru R n (n 2) má fraktální dimenzi 2 reprezentativní trajektorie Lévyho α-stabilního procesu v prostoru R n (n 2) má dimenzi max{1, α} graf náhodné funkce t W (t) má dimenzi 3 2 graf náhodné funkce t L α (t) má fraktální dimenzi max{1, 2 1 α }

43 Fraktální dimenze Lévyho procesů reprezentativní trajektorie Wienerova procesu v prostoru R n (n 2) má fraktální dimenzi 2 reprezentativní trajektorie Lévyho α-stabilního procesu v prostoru R n (n 2) má dimenzi max{1, α} graf náhodné funkce t W (t) má dimenzi 3 2 graf náhodné funkce t L α (t) má fraktální dimenzi max{1, 2 1 α }

44 Fraktální dimenze Lévyho procesů reprezentativní trajektorie Wienerova procesu v prostoru R n (n 2) má fraktální dimenzi 2 reprezentativní trajektorie Lévyho α-stabilního procesu v prostoru R n (n 2) má dimenzi max{1, α} graf náhodné funkce t W (t) má dimenzi 3 2 graf náhodné funkce t L α (t) má fraktální dimenzi max{1, 2 1 α }

45 Frakční Brownův pohyb proces W H (t) se nazývá frakční brownův pohyb (fbm), když: 1 W H (0) = 0 s.j., 2 W H (t) má nezávislé přírůstky na t 3 W H (t) W H (s) N(0, t s 2H ) H se nazývá Hurstův exponent Pro H = Wienerův proces korelace není nula: E(W H (t)w H (s)) = 1 [ 2 t 2H + s 2H t s 2H] fbm vnáší do náhodné procházky "pamět " graf náhodné funkce t W H (t) má dimenzi 2 H -analog s Lévyho procesem

46 Frakční Brownův pohyb proces W H (t) se nazývá frakční brownův pohyb (fbm), když: 1 W H (0) = 0 s.j., 2 W H (t) má nezávislé přírůstky na t 3 W H (t) W H (s) N(0, t s 2H ) H se nazývá Hurstův exponent Pro H = Wienerův proces korelace není nula: E(W H (t)w H (s)) = 1 [ 2 t 2H + s 2H t s 2H] fbm vnáší do náhodné procházky "pamět " graf náhodné funkce t W H (t) má dimenzi 2 H -analog s Lévyho procesem

47 Frakční Brownův pohyb proces W H (t) se nazývá frakční brownův pohyb (fbm), když: 1 W H (0) = 0 s.j., 2 W H (t) má nezávislé přírůstky na t 3 W H (t) W H (s) N(0, t s 2H ) H se nazývá Hurstův exponent Pro H = Wienerův proces korelace není nula: E(W H (t)w H (s)) = 1 [ 2 t 2H + s 2H t s 2H] fbm vnáší do náhodné procházky "pamět " graf náhodné funkce t W H (t) má dimenzi 2 H -analog s Lévyho procesem

48 Frakční Brownův pohyb proces W H (t) se nazývá frakční brownův pohyb (fbm), když: 1 W H (0) = 0 s.j., 2 W H (t) má nezávislé přírůstky na t 3 W H (t) W H (s) N(0, t s 2H ) H se nazývá Hurstův exponent Pro H = Wienerův proces korelace není nula: E(W H (t)w H (s)) = 1 [ 2 t 2H + s 2H t s 2H] fbm vnáší do náhodné procházky "pamět " graf náhodné funkce t W H (t) má dimenzi 2 H -analog s Lévyho procesem

49 Frakční Brownův pohyb proces W H (t) se nazývá frakční brownův pohyb (fbm), když: 1 W H (0) = 0 s.j., 2 W H (t) má nezávislé přírůstky na t 3 W H (t) W H (s) N(0, t s 2H ) H se nazývá Hurstův exponent Pro H = Wienerův proces korelace není nula: E(W H (t)w H (s)) = 1 [ 2 t 2H + s 2H t s 2H] fbm vnáší do náhodné procházky "pamět " graf náhodné funkce t W H (t) má dimenzi 2 H -analog s Lévyho procesem

50 Frakční Brownův pohyb proces W H (t) se nazývá frakční brownův pohyb (fbm), když: 1 W H (0) = 0 s.j., 2 W H (t) má nezávislé přírůstky na t 3 W H (t) W H (s) N(0, t s 2H ) H se nazývá Hurstův exponent Pro H = Wienerův proces korelace není nula: E(W H (t)w H (s)) = 1 [ 2 t 2H + s 2H t s 2H] fbm vnáší do náhodné procházky "pamět " graf náhodné funkce t W H (t) má dimenzi 2 H -analog s Lévyho procesem

51 ukázka fbm fbm pro H = 0, 3; 0, 5; 0, 6 a 0, 7

52 Reálné chování finančních trhů Pozorované vlastnosti na trzích: Velké fluktuace Pamět odlišné chování v různých obdobích (prosperita, krize...)

53 Reálné chování finančních trhů Pozorované vlastnosti na trzích: Velké fluktuace Pamět odlišné chování v různých obdobích (prosperita, krize...)

54 Reálné chování finančních trhů Pozorované vlastnosti na trzích: Velké fluktuace Pamět odlišné chování v různých obdobích (prosperita, krize...) Nutnost zavedení procesů s parametry závislými na čase

55 Reálné chování finančních trhů Pozorované vlastnosti na trzích: Velké fluktuace Pamět odlišné chování v různých obdobích (prosperita, krize...) Nutnost zavedení procesů s parametry závislými na čase Příklad:vývoj indexu S&P 500 v letech

56 index S&P 500 denní výnosy α parametr Hurstův exponent

57 Generování procesů s proměnným Hurstovým parametrem volatilita jako stochastický proces (double stochastic equation) volatilita jako náhodná veličina s daným rozdělením (superstatistika) čas jako (stochastický) multifraktální proces rozdíl mezi "trader s time"a "clock time" velké množství obchodů se uskuteční hned po otevření burzy a před koncem Náhlé ztráty způsobují velké výprodeje (černé dny na burze..) Objem se velmi různí generování multifraktálního času pomocí brownovských vzorů

58 Generování procesů s proměnným Hurstovým parametrem volatilita jako stochastický proces (double stochastic equation) volatilita jako náhodná veličina s daným rozdělením (superstatistika) čas jako (stochastický) multifraktální proces rozdíl mezi "trader s time"a "clock time" velké množství obchodů se uskuteční hned po otevření burzy a před koncem Náhlé ztráty způsobují velké výprodeje (černé dny na burze..) Objem se velmi různí generování multifraktálního času pomocí brownovských vzorů

59 Generování procesů s proměnným Hurstovým parametrem volatilita jako stochastický proces (double stochastic equation) volatilita jako náhodná veličina s daným rozdělením (superstatistika) čas jako (stochastický) multifraktální proces rozdíl mezi "trader s time"a "clock time" velké množství obchodů se uskuteční hned po otevření burzy a před koncem Náhlé ztráty způsobují velké výprodeje (černé dny na burze..) Objem se velmi různí generování multifraktálního času pomocí brownovských vzorů

60 Generování procesů s proměnným Hurstovým parametrem volatilita jako stochastický proces (double stochastic equation) volatilita jako náhodná veličina s daným rozdělením (superstatistika) čas jako (stochastický) multifraktální proces rozdíl mezi "trader s time"a "clock time" velké množství obchodů se uskuteční hned po otevření burzy a před koncem Náhlé ztráty způsobují velké výprodeje (černé dny na burze..) Objem se velmi různí generování multifraktálního času pomocí brownovských vzorů

61 Generování procesů s proměnným Hurstovým parametrem volatilita jako stochastický proces (double stochastic equation) volatilita jako náhodná veličina s daným rozdělením (superstatistika) čas jako (stochastický) multifraktální proces rozdíl mezi "trader s time"a "clock time" velké množství obchodů se uskuteční hned po otevření burzy a před koncem Náhlé ztráty způsobují velké výprodeje (černé dny na burze..) Objem se velmi různí generování multifraktálního času pomocí brownovských vzorů

62 Wienerovský fraktální vzor Iniciátor

63 Wienerovský fraktální vzor Generátor t = x 2 x = { 2 3, 1 3, 2 3 }, t = { 4 9, 1 9, 4 9 }

64 Wienerovský fraktální vzor Rekurzivní iterování

65 Wienerovský fraktální vzor Fraktální struktura

66 Multifraktální vzor jiný generátor, náhodná volba mezi generátory při každé iteraci t = x H(t)

67 Multifraktální vzor Multifraktální vzor

68 Čas jako multifraktál Wienerův vzor generuje čas na trzích Multifraktální vzor generuje čas mimo trhy posunutí příslušných bodů v čase generuje jejich vzájemnou závislost

69 Čas jako multifraktál rozdíl časů závislost časů

70 Procesy generované multifraktálními vzory Wienerův proces multifraktální proces Můžeme generovat procesy z pohledu tržního času a pak je transformovat do běžného času 60

71 Procesy generované multifraktálními vzory Hurstův exponent

72 Procesy generované multifraktálními vzory Multifraktální spektrum

73 Závěr Brownovský pohyb je jednoduchý proces, ne vždy dobře popisuje složité systémy lepší popis - Lévyho proces, frakční Brownův pohyb... společné vlastnosti různých procesů - fraktální geometrie Multifraktální procesy - jednoduché modelování složitých procesů

74 Kenneth Falconer. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. Wiley, Inc., Benoit B. Mandelbrot. Self-affine fractals and fractal dimension. Physica Scripta, 32: , Benoit B. Mandelbrot. Fractal financial fluctuations; do the threaten sustainability? In Science for Survival and Sustainable Development. Pontificia Academia Scientiarum, Rosario N. Mantegna and H. Eugene Stanley. An Introduction to Econophysics. CUP, Cambridge, Wolfgang Paul and Jörg Baschangel. Stochastic Processes: From Physics to Finance. Springer, Berlin, Děkuji za pozornost.