0.1 Úvod do matematické analýzy

Transkript

1 Matematika I (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q D(f) = R H(f) = R k... směrnice q... absolutní člen Příklady lineárních funkcí f(x) = 3x 2 k = 3, q = 2 f(x) = 2x 5 k = 2, q = 5 f(x) = 5x + 1 k = 5, q = 1 f(x) = 3x + 1 k = 3, q = 1 Grafem lineární funkce je přímka. Na obrázcích jsou uvedeny grafy funkcí f(x) = 2x 1 a f(x) = x + 4. (a) Graf funkce f(x) = 2x 1 (b) Graf funkce f(x) = x + 4 Obrázek 1: Grafy lineárních funkcí Shrnutí Mějme lineární funkci f(x) = kx + q. Hodnota q odpovídá funkční hodnotě pro x = 0. Je tedy q = f(0). Graf lineární funkce protíná svislou osu ve výšce q.

2 2 Matematika I (KMI/PMATE) Hodnota směrnice k je rovna změně funkční hodnoty v případě, že hodnota x se zvětší o jednotku. Hodnota směrnice k ovlivňuje sklon grafu lineární funkce - čím větší hodnota k, tím větší sklon dané přímky. Obecně je k = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1. Limita funkce Mějme funkci f(x) = x + 4. Jak se chová f(x), jestliže se hodnota proměnné x blíží k číslu 5? Přibližování zleva x 4,9 4,99 4,999 4,9999 f(x) = x + 4 8,9 8,99 8,999 8,9999 Přibližování zprava x 5,1 5,01 5,001 5,0001 f(x) = x + 4 9,1 9,01 9,001 9,0001 Závěr: Čím blíž je x číslu 5, tím blíž je f(x) číslu 9. Tento druh závislosti označujeme symbolem (x + 4) = 9 x 5 a čteme: Limita funkce f(x) = x + 4 pro x jdoucí k pěti je rovna devíti.. Proč to děláme tak složitě? Proč pouze nedosadíme za x číslo 5 do předpisu funkce f(x) = x + 4? Odsud přece rovnou dostaneme f(5) = = 9. Příklad Vypočtěte x 2 x 2. Snadno ověříme, že bod x = 2 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(2). x 1,9 1,99 1, ,001 2,01 2,1 f(x) 3,9 3,99 3,999? 4,001 4,01 4,1 Tabulka napovídá, že zřejmě bude platit x 2 x 2 = 4. Proč nás zajímá hodnota v bodě x = 2? Proč je ita rovna právě 4? Odpověd na první otázku Limity nám pomáhají např. najít extrémní (největší a nejmenší) funkční hodnoty. Využíváme přitom pojem tečny grafu funkce. Připomeňme, že směrnici přímky, která prochází body o souřadnicích [a, f(a)] a [x, f(x)] lze vypočítat dle vzorce f(x) f(a) k =. x a

3 Matematika I (KMI/PMATE) 3 Odpověd na druhou otázku Pro všechna x 2 je x 2 (x 2)(x + 2) =. x 2 (x 2)(x + 2) x 2 = x + 2. x 1,9 1,99 1, ,001 2,01 2,1 f(x) 3,9 3,99 3,999? 4,001 4,01 4,1 Vysvětlení Pokud uvažujeme hodnoty f(x) pro x blížící se 2 (a tedy x 2), potom lze výraz nahradit výrazem x + 2, u kterého je zřejmé, že čím blíž jsme k hodnotě x = 2, x 2 tím víc se hodnota f(x) blíží ke čtyřem. Je tedy: Nakreslete graf funkce f(x)! Příklad ( Vypočtěte x + x ). x x 2 x 2 = (x + 2) = 4. x 2 Snadno ověříme, že bod x = 0 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(0). x -0,1-0,01-0, ,001 0,01 0,1 f(x) -1,1-1,01-1,001? 1,001 1,01 1,1 ( Je x + x ) ( = 1, x + x ) = 1 x + x Při přibližování zleva dostáváme jiné hodnoty, než při přibližování zprava (nakreslete Neformální definice Necht platí, že pro x blížící se číslu a (zleva i zprava) se funkční hodnoty funkce f(x) blíží jednomu číslu b. Potom říkáme, že f(x) se blíží b pro x jdoucí k a, resp. že ita f(x) pro x a je (rovna číslu) b. Píšeme f(x) = b. Jestliže se hodnoty f(x) neblíží k jedné konkrétní hodnotě b pro x jdoucí k číslu a (zprava i zleva), potom říkáme, že funkce f(x) nemá itu pro x a. Je důležité, aby se funkční hodnoty f(x) blížily k jednomu stejnému číslu, když se hodnota x blíží k číslu a z obou stran. Pokud se například f(x) blíží hodnotě 1 pro x 2, tj. pro x = 1, 9; 1, 99; 1, 999,..., blíží hodnotě 3 pro x 2 +, tj. pro x = 2, 1; 2, 01; 2, 001,..., potom ita f(x) pro x 2 neexistuje.

4 4 Matematika I (KMI/PMATE) Může se stát, že funkční hodnota f(x) se nepřibližuje k žádné konkrétní hodnotě při přibližování x k a z obou stran. Potom říkáme, že ita f(x) pro x a neexistuje. V uvedené neformální definici používáme poněkud nepřesný pojem přibližovat se k.... Je nutné tuto definici upřesnit. Poněkud přesnější definice Řekneme, že f(x) = b, je-li možné učinit funkční hodnotu f(x) blízkou hodnotě b s libovolnou přesností (tj. s libovolně malou odchylkou od hodnoty b) vhodnou volbou x dostatečně blízkého hodnotě a. Korektní definice ity funkce Řekneme, že f(x) = b, jestliže existuje takové číslo b, že ke každému reálnému číslu ε > 0 existuje reálné číslo δ > 0 takové, že když x (a δ, a) (a, a + δ), potom je f(x) (b ε, b + ε). Definice (jednostranné) ity funkce zleva Řekneme, že f(x) = b, jestliže existuje takové číslo b, že ke každému reálnému číslu ε > 0 existuje reálné číslo δ > 0 takové, že když x (a δ, a), potom je f(x) (b ε, b + ε). Definice (jednostranné) ity funkce zprava Řekneme, že f(x) = b, + jestliže existuje takové číslo b, že ke každému reálnému číslu ε > 0 existuje reálné číslo δ > 0 takové, že když x (a, a + δ), potom je f(x) (b ε, b + ε). Příklad Necht je f(x) = x + x x. Potom je f(x) = 1 f(x) = +1 + f(x) neexistuje

5 Matematika I (KMI/PMATE) 5 Příklad - nevlastní ita ( ) 1 Vypočtěte x 2. Snadno ověříme, že bod x = 0 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(0). Zleva: x -0,1-0,01-0,001-0,000 1 f(x) Zprava: x 0,1 0,01 0,001 0,000 1 f(x) Z předchozích dvou tabulek bylo vidět, že když se hodnota x dostane dostatečně blízko k 0 (zleva i zprava), potom funkční hodnoty f(x) rostou bez omezení - nade všechny meze. Vlastní ita f(x) pro x 0 neexistuje, nebot neexistuje číslo, které by vykazovalo vlastnost itní hodnoty b. Takovéto typy it označujeme jako nevlastní ity a říkáme, že divergují k +, resp. k. f(x) =, Definice nevlastní ity f(x) =, 1 x 2 = Řekneme, že f(x) =, jestliže ke každému reálnému číslu K > 0 existuje reálné číslo δ > 0 takové, že když x (a δ, a) (a, a + δ), potom je f(x) > K. Ukažte podle definice, že Viz graf funkce. ( ) 1 x 2 =. V některých případech sledujeme, jak se vyvíjejí funkční hodnoty, pro hodnoty x rostoucí nade všechny meze, tj. do nekonečna. Příklad - ita v nevlastním bodě 2x Určete hodnotu x x Řešení: Hodnotu dané ity (prozatím) odhadneme z tabulky: x f(x) f(x) 3,5 2,0297 2,0003 2,0000 Je patrné, že pro x se funkční hodnota blíží číslu 2.

6 6 Matematika I (KMI/PMATE) Definice ity v nevlastním bodě Řekneme, že x f(x) = b, jestliže existuje takové číslo b, že pro všechna reálná čísla ε > 0 existuje reálné číslo x 0 takové, že když x (x 0, ), potom je f(x) b < ε. Obecný náhled: Jestliže se hodnoty funkce mění plynule, tj. bez náhlých skoků, říkáme, že daná funkce je spojitá. (a) Funkce f(x) je nespojitá v bodě a. (b) Funkce f(x) je nespojitá v bodě a. (c) Funkce f(x) je spojitá v bodě a. Obrázek 2: Různé případy (ne)spojitosti Definice spojitosti funkce v bodě Necht f(x) je funkce a číslo a je prvkem definičního oboru funkce f(x). Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a, jestliže existuje vlastní ita f(x) platí rovnost f(x) = f(a) Řekneme, že funkce je spojitá na otevřeném intervalu I, jestliže je spojitá v každém bodě intervalu I. Definice jednostranné spojitosti funkce v bodě Necht f(x) je funkce a číslo a je prvkem definičního oboru funkce f(x). Řekneme, že funkce f(x) je spojitá zleva v bodě a, jestliže existuje ita zleva f(x) platí rovnost f(x) = f(a) Řekneme, že funkce f(x) je spojitá zprava v bodě a, jestliže existuje ita zprava + f(x) platí rovnost + f(x) = f(a)

7 Matematika I (KMI/PMATE) 7 Řekneme, že funkce je spojitá v uzavřeném intervalu a, b, jestliže je spojitá v každém bodě otevřeného intervalu (a, b) a dále je spojitá zprava v bodě a a současně je spojitá zleva v bodě b. Která z uvedených funkcí je spojitá na svém definičním oboru? { x + 1 pro x 2, f(x) = 5 x pro x > 2 g(x) = { x + 1 pro x < 2, 6 x pro x > 2 h(x) = 1 { x 1/x pro x 0, k(x) = 0 pro x = 0 Z definice spojitosti funkce v bodě plyne, že pokud víme, že v bodě a je funkce f(x) spojitá, potom lze itu f(x) vypočítat ze vztahu f(x) = f(a). Každá funkce, která vznikne z mocninné funkce, a dále pak z goniometrických, cyklometrických, exponenciálních a logaritmických funkcí pomocí konečného počtu početních operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a skládání, je spojitá na svém definičním oboru. Pravidla pro počítání s itami V následujících vzorcích předpokládáme, že existují ity Potom platí následující vzorce: sin x x = 1 e x 1 x = 1 a x 1 = ln a x ln(1 + x) = 1 x m (1 + x) n 1 = n x m f(x), a g(x). [f(x) + g(x)] = f(x) + g(x) [f(x) g(x)] = f(x) g(x) [f(x) g(x)] = f(x) g(x) f(x) g(x) = f(x) g(x) ( 0)

8 8 Matematika I (KMI/PMATE) Sendvičová věta Předpokládejme, že existuje okolí bodu a takové, že pro všechna x a z tohoto okolí jsou splněny nerovnosti f(x) g(x) h(x). Dále předpokládejme, že jsou splněny rovnosti f(x) = h(x) = b. Potom existuje i ita g(x) a platí g(x) = b.