SYLABUS PŘEDNÁŠKY 8 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 8 Z GEODÉZIE 1 Souřadnicové výpočty 2 1 ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G doc Ing Jaromír Procházka CSc listopad 2015 1

Geodézie 1 přednáška č8 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO BODU TRANSFORMACÍ Ve skriptech Geodézie 1 autora Ing Jana Ratiborského CSc jsou úlohy pro výpočet rovinných pravoúhlých souřadnic jednoho bodu řešeny pomocí transformačních rovnic Z měřených hodnot jsou nejprve vypočteny souřadnice v souřadnicové soustavě vložené do daných bodů staničení s a kolmice k a poté jsou transformačními rovnicemi počítány souřadnice určovaného bodu v souřadnicovém systému S-JTSK Princip řešení je uveden v následujících obrázcích a odvozeních VÝPOČET SOUŘADNIC BODU RAJÓNEM Z pravoúhlého trojúhelníka P 1 3 P 3 jsou pomocí měřených veličin ω 1 a d 13 vypočteny pravoúhlé souřadnice s 13 k 13 staničení a kolmice na spojnici P 1 P 2 : Rovnicemi shodnostní transformace přednáška č7 jsou vypočteny souřadnice určovaného bodu P 3 : a VÝPOČET SOUŘADNIC BODU PROTÍNÁNÍM VPŘED Z ÚHLŮ Princip řešení spočívá v dvojím výpočtu kolmice k 13 s využitím měřených veličin vodorovné úhly ω 1 a ω 2 a to jednak z pravoúhlého trojúhelníka P 1 3 P 3 a dále z pravoúhlého trojúhelníka P 2 3 P 3 kde jednou neznámou hodnotou je délka kolmice k 13 a druhou neznámou délka staničení s 13 V trojúhelníku P 2 3 P 3 se nahradí neznámá délka s 23 = s 12 - s 13 Obě neznámé veličiny se určí řešením dvou rovnic : kde Odtud: Dosazením první rovnice do druhé se získá: a Dále je výpočet prostřednictvím transformačních rovnic stejný jako v předchozím případě s tím že je možno jej obdobně vztáhnout i k bodu P 2 2

VÝPOČET SOUŘADNIC BODU PROTÍNÁNÍM Z DÉLEK Hodnota staničení s13 resp délka kolmice k13 se vypočte z měřené délky d13 a vrcholového úhlu ω1 který lze vypočítat z kosinové věty nebo podobně jako v předchozím případě dvojím výpočtem kolmice k13 : Odtud: a Dále je výpočet prostřednictvím transformačních rovnic stejný jako při výpočtu rajónu s tím že je možno jej obdobně vztáhnout i k bodu P2 VÝPOČET SOUŘADNIC BODU PROTÍNÁNÍM ZPĚT Ve skriptech Geodézie 1 je podrobně popsáno určení souřadnic bodu P4 protínáním zpět pomocí řešení Cassiniho Jeho princip spočívá v převedení výpočtu na protínání vpřed z úhlů které vychází z Thaletovy poučky o obvodových úhlech nad průměrem kružnice které jsou pravé obr4 Kružnice jsou proloženy vždy 2 body danými P1 P2 resp P2 P3 a bodem určovaným P4 Pomocné body T a U které jsou průsečíkem přímky proložené bodem P2 a středem Si s odpovídající kružnicí pak musí ležet na přímce společně s určovaným bodem P4 který je zároveň patou kolmice spuštěné z bodu P2 Vodorovné úhly ω1 ω2 měřené na určovaném bodě P4 leží nad tětivou P1 P2 kružnice k1 resp P2 P3 kružnice k2 a vyskytují se tedy nad stejnými tětivami u pomocných bodů T a U obr4 Souřadnice pomocných bodů se vypočtou protínáním vpřed z úhlů 100 gon 100 - ω1 resp 100 gon 100 ω2 a to z bodů P1 P2 resp P2 P3 viz odstavec Výpočet souřadnic bodu protínáním vpřed str2 a 3 této přednášky Z jejich souřadnic se vypočítá směrník σtu a dále směrník σ42 = σtu 100 gon Dále se určí vzdálenost paty kolmice bod P4 od jednoho z pomocných bodů např od bodu U Vyjde se přitom z rovnic shodnostní transformace pro bod na kolmici str2 této přednášky analogicky upravených pro značení v obr4: Byly získány dvě rovnice o dvou neznámých jejichž řešením se určí vzdálenost paty kolmice bodu P4 od bodu U tedy su4 Na levé straně rovnic se vytvoří souřadnicové rozdíly Δx2U a Δy2U a první rovnice se násobí cosσut druhá rovnice sinσut: 3

a obě rovnice se sečtou: Odtud: Rajónem z bodu U směrník σut a délka su4 se vypočtou souřadnice určovaného bodu P4 str2 této přednášky Pro kontrolu se souřadnice bodu P4 vypočítají také z bodu T směrník σtu a délka st4 POLYGONOVÉ POŘADY Jednou z metod umožňujících současné určení souřadnic více bodů podrobného bodového pole jsou polygonové pořady Vycházejí a končí na bodech jejichž souřadnice jsou známy a určují souřadnice mezibodů prostřednictvím měřených vodorovných úhlů a délek obr5 Vrcholové úhly na daných i určovaných bodech se měří levostranné ve směru postupu měření a s ohledem na požadovanou přesnost v určení souřadnic se často používá trojpodstavcové soupravy trojice stativů s trojnožkami dopředu zcentrovanými na polygonových bodech do kterých se postupně vkládá přístroj a terče s hranoly k eliminaci chyby z centrace přístroje i cílů nucená centrace v trojnožce Rozdělení polygonových pořadů o Z hlediska délky stran se polygonové pořady dělí na pořady s dlouhými stranami 200 až 1500 m a s krátkými stranami 50 až 200 m o Z hlediska připojení na dané body se dělí polygonové pořady na oboustranně připojené a orientované tedy na začátku i na konci obr5 neorientované vetknuté mezi dva pevné body obr6 jednostranně připojené a orientované volné pořady připojené a orientované pouze na začátku pořadu obr7 a uzavřené pořady s orientací obr8 nebo bez orientace pořady vycházející a končící na stejném bodě obr9 o Z hlediska účelu kterému polygonové pořady slouží je možno je dělit na: polygonové pořady pro určení zhušťovacího bodu které se připojují výhradně na body ZPBP polygonové pořady pro určení ostatních bodů PPBP které se mohou připojovat na body ZPBP na zhušťovací body i na body PPBP 4

Geometrické parametry a kritéria polygonových pořadů Podle Návodu pro obnovu katastrálního operátu a převod ve znění dodatku č1 a 2 vydaného ČÚZK v roce 2009 platí pro zaměřování bodů PPBP polygonovými pořady následující požadavky: o body PPBP se zaměřují polygonovými pořady oboustranně připojenými a oboustranně orientovanými o polygonové pořady kratší než 15 km mohou být jednostranně orientované popř neorientované vetknuté o neorientované pořady mohou mít nejvýše 4 strany a je-li to možné alespoň na jednom z jeho vrcholů se zaměří orientační úhel vypočte se jeho hodnota ze souřadnic a rozdíl se porovná s mezní odchylkou v úhlu která je dána hodnotou 00100 gon pro úhel mezi bodem ZPBP nebo ZhB a bodem PPBP respektive 00300 gon pro úhel mezi body PPBP o vodorovné úhly se měří ve skupinách nejméně v jedné teodolitem zajišťujícím přesnost měřených směrů 00006 gon při délkách do 500 m je možné použít teodolit s přesností 0002 gon Mezní odchylka v uzávěru skupiny v opakovaném prvním směru osnovy a mezní rozdíl mezi skupinami je 0003 gon 5

o délky se měří dvakrát dálkoměrem s přesností na 001 m a obousměrně není-li to vyloučeno a vždy s využitím optických odrazných systémů na cílových bodech Krátké délky lze měřit pásmem zpravidla na jeden klad Použijí se kalibrované dálkoměry a pásma Naměřené délky se opravují o fyzikální redukce z teploty a tlaku vzduchu o matematické redukce do vodorovné roviny z nadmořské výšky a o redukce do zobrazovací roviny S- JTSK Mezní rozdíl dvojice měřených délek je 002 m u délek kratších než 500 m 004 m u délek od 500 m o centrační prvky se nezavádějí při excentricitě e < 001 m V polygonových pořadech a v plošných sítích se zásadně používá trojpodstavcová souprava o geometrické parametry a kritéria přesnosti polygonových pořadů jsou uvedeny v následující tabulce č1: Tab1 Připojovací body Mezní délka Mezní délka Mezní odchylka v uzávěru pořadu strany [m] pořadu d [m] úhlová [cc] polohová [m] ZPBP ZhB 200 1500 5000 25n 1/2 00025Σd 1/2 ZPBP ZhB 50 400 3000 50n 1/2 0004Σd 1/2 PPBPZPBP ZhB 50-400 1500 100n 1/2 0006Σd 1/2 kde n je počet bodů pořadu včetně bodů připojovacích Σd je součet délek stran pořadu; pořad má nejvýše 15 nových bodů mezní poměr délek sousedních stran v polygonovém pořadu je 1:3 Poznámka: Ve výše uvedených skriptech Geodézie 1 a Geodézie 12 Návody ke cvičení jsou citována kritéria z již neplatných předpisů které byly nahrazeny Návodem z roku 2007 Jsou-li určovány polygonovými pořady souřadnice bodů vytyčovacích sítí primárního systému pro vytyčování staveb v Inženýrské geodézii musí jejich přesnost vyhovovat požadavkům kladeným na přesnost vytyčení hodnot geometrických veličin tvary a rozměry objektů či liniových staveb ČSN 73 0420-1 a 2 Přesnost vytyčování staveb Pro tyto účely tedy platí zpravidla přísnější kritéria přesnosti polygonových pořadů a přísnější požadavky na přesnost měřených veličin zvláště délek měří se na 0001 m Polygonový pořad oboustranně připojený a orientovaný Tento typ polygonového pořadu vychází z bodu P y P x P s orientací na bod A y A x A a končí na bodě K y K x K s orientací na bod B y B x B Rovinné souřadnice těchto bodů jsou známy Měří se vrcholové levostranné vodorovné úhly ω i a vodorovné délky stran d ii+1 obr10 pomocí nichž se počítají souřadnice mezilehlých polygonových bodů y i x i Vzhledem k tomu že jsou v tomto případě měřeny tři nadbytečné veličiny dva vrcholové úhly a jedna délka musí dojít při výpočtu souřadnic k vyrovnání aby souřadnice byly určeny jednoznačně Nadbytečná měření slouží jednak ke kontrole měřených veličin a výpočtu a dále zpřesňují výsledné souřadnice Vyrovnání lze provést některým z přibližných postupů nebo exaktně např metodou nejmenších čtverců ve vyšších ročnících po absolvování předmětu Teorie chyb a vyrovnávací počet Při použití přibližného postupu se vyrovnání rozdělí na dvě části a to na vyrovnání úhlové a vyrovnání souřadnicové 6

o Postup výpočtu Nejprve se vypočtou ze souřadnic směrníky jižníky orientačních stran σpa a σkb obr10 Postup výpočtu viz přednáška č7 Dále se provede úhlové vyrovnání viz skripta Geodézie1 str205 Nejprve se vypočte úhlový uzávěr: [ ] Ten se porovná s mezním uzávěrem ΔMω Při splnění nerovnosti se úhlový uzávěr rozdělí rovnoměrně na počet vrcholů k v obr10 k = 5 a o tuto hodnotu se opraví jednotlivé vrcholové úhly Znaménko oprav δω určuje znaménko úhlového uzávěru oω správná naměřená Opravy se zaokrouhlují na 01 mgon a jejich součet musí souhlasit s úhlovým uzávěrem mohou se tedy vzájemně lišit o 01 mgon Bude-li úhlový uzávěr např oω = 48 mgon a počet vrcholů 5 jednotlivé opravy budou mít hodnotu např 10 mgon 09 mgon 10 mgon 09 mgon a 10 mgon Součet potom musí být 48 mgon Z opravených úhlů se vypočtou směrníky jednotlivých polygonových stran: Kontrolou správnosti výpočtu je souhlas směrníku σkb vypočteného ze souřadnic a směrníku αkb vypočteného z opravených vrcholových úhlů a směrníku orientační strany na začátku pořadu: Dalším krokem je výpočet přibližných souřadnicových rozdílů z vyrovnaných směrníků a délek stran postupný výpočet rajónů obr11: 7

Po výpočtu přibližných souřadnicových rozdílů se vypočtou souřadnicové uzávěry o x o y a to odečtením souřadnicových rozdílů počátečního a koncového bodu pořadu získaných z daných souřadnic a součtu přibližných souřadnicových rozdílů: Pro hodnocení dosažené přesnosti měření se vypočte polohový uzávěr o p : a porovná s mezní hodnotou polohového uzávěru pro mezní délky stran uvedenou v tabulce č1 na str6: Je-li splněna výše uvedená nerovnost souřadnicové uzávěry o x o y se rozdělí nejčastěji úměrně absolutním hodnotám souřadnicových rozdílů: O znaménku oprav δx ii+1 resp δy ii+1 rozhoduje znaménko o x resp o y Výpočet vyrovnaných souřadnic: Kontrola správnosti výpočtu souřadnicového vyrovnání pro obr11: Polygonový pořad neorientovaný vetknutý Vetknutý polygonový pořad vychází a končí na připojovacích bodech P a K jejichž souřadnice jsou dány Na koncových bodech není možné zaměřit orientace na jiné dané body Měří se vrcholové vodorovné úhly i a vodorovné délky d ii+1 a určují se souřadnice mezilehlých polygonových bodů obr13 8

o Postup výpočtu Nejprve se vypočtou souřadnice polygonových bodů v pomocném souřadnicovém systému s osami 2y 2x s počátkem vloženým do bodu P a kladnou poloosou +2x vloženou do polygonové strany P1 obr13 Výpočet směrníků v pomocné soustavě Směrník strany P1 ležící v kladné poloose 2x tj 2 P1 = 0 Další směrníky se počítají z měřených vrcholových úhlů ze vztahu: Výpočet souřadnicových rozdílů v pomocné soustavě Pomocí směrníků a délek se vypočtou souřadnicové rozdíly Δ2yii+1 Δ2xii+1 v pomocné soustavě obr13 zeleně resp červeně: Součty souřadnicových rozdílů ΣΔ2yii+1 ΣΔ2xii+1 udávají souřadnicové rozdíly Δ2yPK Δ2xPK v pomocné soustavě obr13: Výpočet úhlu stočení Z daných souřadnic bodů P a K v S-JTSK se vypočte směrník jižník jejich spojnice σpk v obr13 oranžově Obdobně se vypočte směrník 2 PK spojnice PK v pomocné souřadnicové soustavě v obr13 modře Úhel stočení který je dán jejich rozdílem obr13 je zároveň směrníkem jižníkem první polygonové strany P1 v souřadnicovém systému S-JTSK: Další směrníky ii+1 se již vypočtou známým způsobem: nebo se směrníky v pomocné soustavě 2 ii+1 opraví o úhel stočení Souřadnicové vyrovnání Ze směrníků jižníků ii+1 a vodorovných délek polygonových stran dii+1 se vypočtou přibližné souřadnicové rozdíly v S-JTSK: a vypočtou jejich součty: Poté se vypočítají souřadnicové uzávěry oy ox z následujících vztahů: Vypočte se polohový uzávěr op ze vztahu: 9

který se hodnotí porovnáním s mezním polohovým uzávěrem ΔMp získaným z tabulky č1 str6 Splní-li polohový uzávěr op nerovnost op ΔMp provede se souřadnicové vyrovnání rozdělení souřadnicových uzávěrů na jednotlivé souřadnicové rozdíly stejným postupem jako v polygonovém pořadu oboustranně připojeném a orientovaném předchozí odststr8 skripta Geodézie1 str207 Polygonový pořad jednostranně připojený a orientovaný volný Volný polygonový pořad vychází z bodu P s orientací na bod A jejichž souřadnice jsou dány Souřadnice dalších bodů tvořících vrcholy polygonového pořadu obr14 jsou určeny pomocí měřených vrcholových úhlů i a vodorovných délek dii+1 avšak bez možnosti vyrovnání pouze nezbytný počet měřených veličin o Postup výpočtu Po výpočtu směrníku jižníku σpa ze souřadnic se vypočtou směrníky ii+1 dalších polygonových stran pomocí vrcholových úhlů obr14: Dále se vypočítají souřadnicové rozdíly Δyii+1 Δxii+1 : a z nich souřadnice jednotlivých polygonových bodů: K úhlovému ani souřadnicovému vyrovnání nedochází Polygonový pořad uzavřený Uzavřené polygonové pořady vycházejí a končí na stejném bodě který může mít známé souřadnice V tom případě je obvykle z tohoto bodu měřena orientace na další bod s danými souřadnicemi Potom se jedná o uzavřený polygonový pořad připojený a orientovaný obr15 Pokud onen výchozí bod nemá známé souřadnice v S-JTSK jedná se o uzavřený polygonový pořad nepřipojený a neorientovaný který je řešen ve vlastní souřadnicové soustavě obr16 10

o Postup výpočtu u polygonového pořadu připojeného a orientovaného Jsou měřeny levostranné vrcholové úhly i a vodorovné délky dii+1 Jsou-li očíslovány polygonové body proti směru otáčení hodinových ručiček jedná se o úhly vnitřní Výpočet úhlového uzávěru Součet vnitřních úhlů v n-úhelníku: kde k je počet vrcholů n-úhelníka Při číslování polygonových bodů v opačném směru by levostranné vrcholové úhly byly vnější a jejich součet by byl: Úhlový uzávěr oω se vypočte ze vztahu: popř Úhlové vyrovnání Vyhovuje-li úhlový uzávěr mezní hodnotě úhlového uzávěru rozdělí se rovnoměrně na jednotlivé vrcholové úhly Oprava vodorovného úhlu a o tuto hodnotu se opraví vrcholové úhly Výpočet směrníků Nejprve se vypočte směrník σpa ze souřadnic daných bodů Dále se vypočtou směrníky ii+1 polygonových stran pomocí opravených vrcholových úhlů obr15 Výpočet souřadnicových rozdílů Dále se počítají z vodorovných délek dii+1 a směrníků ii+1 přibližné souřadnicové rozdíly Souřadnicové vyrovnání Protože u uzavřeného polygonového pořadu platí že bod P = K musí být součet souřadnicových rozdílů roven 0: Vlivem náhodných odchylek měřených veličin úhlů a délek vzniknou odchylky v souřadnicových uzávěrech oy ox: Ze souřadnicových uzávěrů se vypočte Pythagorovou větou polohový uzávěr op a porovná s mezním uzávěrem ΔMp získaným z tabulky č1 str6 V případě splnění nerovnosti op ΔMp se provede souřadnicové vyrovnání rozdělení souřadnicových uzávěrů na jednotlivé souřadnicové rozdíly stejným postupem jako v polygonovém pořadu oboustranně připojeném a orientovaném str8 skripta Geodézie1 str207 Z opravených souřadnicových rozdílů se vypočtou souřadnice polygonových bodů o Postup výpočtu u polygonového pořadu nepřipojeného a neorientovaného Při výpočtu tohoto typu polygonového pořadu se nejprve zvolí souřadnicová soustava V uvedeném příkladu obr16 je počátek vložen do polygonového bodu č1 a kladná větev osy x do spojnice bodů 12 11

Opět jsou měřeny levostranné vnitřní vrcholové úhly i a vodorovné délky dii+1 Výpočet úhlového uzávěru Součet vnitřních úhlů v n-úhelníku: kde k je počet vrcholů n-úhelníka Úhlový uzávěr oω se vypočte ze vztahu: Úhlové vyrovnání Úhlový uzávěr se stejně jako v předchozím případě rozdělí rovnoměrně na jednotlivé vrcholové úhly Oprava vodorovného úhlu Výpočet směrníků ve vlastní souřadnicové soustavě Směrník α12 = 0 neboť kladná poloosa +x byla vložena do polygonové strany 12 obr16 Dále se vypočtou směrníky ii+1 polygonových stran pomocí vrcholových úhlů Výpočet souřadnicových rozdílů Přibližné souřadnicové rozdíly délek dii+1 a směrníků ii+1 se počítají z vodorovných Souřadnicové vyrovnání Protože u uzavřeného polygonového pořadu platí že výchozí a koncový bod pořadu jsou stejné musí být součet souřadnicových rozdílů roven 0: Vlivem náhodných odchylek měřených veličin úhlů a délek vzniknou odchylky v souřadnicových uzávěrech oy ox: Ze souřadnicových uzávěrů se vypočte Pythagorovou větou polohový uzávěr op a porovná s mezním uzávěrem ΔMp získaným z tabulky č1 str6 V případě splnění nerovnosti op ΔMp se provede souřadnicové vyrovnání rozdělení souřadnicových uzávěrů na jednotlivé souřadnicové rozdíly stejným postupem jako v polygonovém pořadu oboustranně připojeném a orientovaném str8 skripta Geodézie1 str207 Z opravených souřadnicových rozdílů se vypočtou souřadnice polygonových bodů ve vlastní souřadnicové soustavě 12