Doc. Ing. Tomáš Šubrt, Ph.D. PEF ZU v Praze MODELY OPTIMÁLNÍHO DLENÍ ZAKÁZEK
MODELY OPTIMÁLNÍHO DLENÍ ZAKÁZEK Osnova prezentace Charakteristika problému Matematický model pro lineární problém Matematický model pro nelineární problém Možnosti ešení nelineárního modelu
CHARAKTERISTIKA PROBLÉMU Cílem píspvku je odvození a návrh ešení modelu matematického programování pro optimální dlení dodávek v logistické síti. Východiskem modelu je eistence logistické sít ve form orientovaného grafu, kde první vrchol reprezentuje dodavatelské stedisko a ostatní vrcholy odbytová centra. Každé centrum vyžaduje urité množství zboží, každá spojnice mezi uzly trasa je ohodnocena vlastní nákladovou funkcí, ve form jednotkových náklad pepravy.
CHARAKTERISTIKA PROBLÉMU Strukturu sít a požadavk odbytových center vymezuje soustava lineárních omezujících podmínek. V pípad dopravy s pevažujícími finími náklady lze pedpokládat lineární nákladovou funkci. V pípad dopravy s pevažující variabilní složkou náklad se dá pedpokládat konkávní nákladová funkce (s rozsahem pepravy degresivn klesají jednotkové náklady). Cílem je nalézt optimální pepravované množství na konkrétních trasách (s minimálními náklady).
CHARAKTERISTIKA PROBLÉMU Je dána logistická dopravní sí, kde jediný zdroj zásobuje všechny zákazníky (cíle). Zdroj je schopen uspokojit požadavky zákazník.(požadavky v jednotkách zboží jsou uvedené ve vrcholech). Nosnost dopravních prostedk je neomezená. Zásilky lze libovoln dlit.
CHARAKTERISTIKA PROBLÉMU Vymezení stavového prostoru soustava omezujících podmínek ve form lineárních rovnic. íklad 1: 5 15 10 1+2+3 = 80 1 4 2+3+4+5 = 65 Zdroj 2 20 7 2+3+4+7 = 55 3 6 3+6+7 = 35 i aj, k 1, 2,..., n1 i množství materiálu pepravovaného po hran i ie k jv k 35 a j požadavek j-tého zákazníka E k množina hran incidujících s uzly vpravo od ezu k V k množina uzl vpravo od ezu k
DOPRAVA S PEVAŽUJÍCÍMI FIXNÍMI NÁKLADY Minimalizaní lineární kriteriální funkce Jednotkové náklady nezávisí na velikosti epravy funkce jednotkových náklad je konstantní funkce celkových náklad je lineární z m i1 min ešení standardními algoritmy LP i
DOPRAVA S PEVAŽUJÍCÍMI VARIABILNÍMI NÁKLADY Jednotkové náklady klesají s rozsahem epravy Každá hrana (úsek dopravní cesty) charakterizován jinou funkcí jednotkových náklad Funkce jednotkových náklad je konkávní, obvykle ve tvaru ri zi( i) s i i
DOPRAVA S PEVAŽUJÍCÍMI VARIABILNÍMI NÁKLADY Funkce celkových náklad má tvar z m m r z i i i i i s i1 i1 i i ( ) min Funkce celkových náklad po úprav m z rs i1 i i i min
DOPRAVA S PEVAŽUJÍCÍMI VARIABILNÍMI NÁKLADY ešitelnost úlohy Úloha nelineárního programování s minimalizaní konkávní funkcí Obecn: heuristika, metaheuristika Stavový prostor je vymezen lineárními rovnicemi i neomezené minimalizaci prohledáváme celý stavový prostor (pohybujeme se po celém povrchu parabolické kuželu) i omezení lineární rovností se mžeme pohybovat pouze v rámci omezující nadroviny. ešitelnost gradientními metodami nap. metodami projekce gradientu na omezení (Rosenova metoda).
DOPRAVA S PEVAŽUJÍCÍMI VARIABILNÍMI NÁKLADY ešitelnost úlohy SW realizace nap. s využitím Solver Frontline Systems - Premium Solver Platform, menší problémy Ecel Slover íklad 1 (pokraování) Funkce jednotkových náklad dílích tras: 2 1 3 5 1 z1( 1) ; z2( 2) ; z3( 3) ; z4( 4) ; z5( 5) ; z6( 6) 1; z7( 7) 1; 2 4 2 1 2 3 4 5 Funkce celkových náklad po úprav z( ) 2 0,5 2 0,75 5 0,5 1 2 3 4 5 6 7
DOPRAVA S PEVAŽUJÍCÍMI VARIABILNÍMI NÁKLADY Výsledková zpráva Solver Nastavovaná buka (Min) Buka Název vodní hodnota Konená hodnota $J$13 Celk. nakl. Z 0 19,18047654 1 5 15 10 né buky Buka Název vodní hodnota Konená hodnota $C$13 1 0 25,000001 $C$14 2 0 20 $C$15 3 0 35 Zdroj 2 3 20 $C$16 4 0 0 $C$17 5 0 10,00000018 $C$18 6 0 0 $C$19 7 0 0 35 Omezující podmínky Buka Název Hodnota buky Vzorec Stav Odchylka $L$5 D1 80,000001 $L$5=$M$5 Neplatí 0 $L$6 D2 65,00000018 $L$6=$M$6 Neplatí 0 $L$7 D3 55 $L$7=$M$7 Neplatí 0 $L$8 D4 35 $L$8=$M$8 Neplatí 0
DOPRAVA S PEVAŽUJÍCÍMI VARIABILNÍMI NÁKLADY U problém s pevažujícími variabilními náklady se se nikdy nevyplatí dlit zakázky! kaz Zvolme 1 výchozí uzel (zdroj) a 1 cílový uzel (zákazník) Mezi tmito uzly ureme 2 cesty tak, aby jedna vedla pímo a druhá nepímo, tj. pes alespo jeden jiný uzel. Ustanovme promnnou vyjadující podíl zboží dodaného pes jiného zákazníka ku veškerému dodanému zboží do cíle
DOPRAVA S PEVAŽUJÍCÍMI VARIABILNÍMI NÁKLADY Po substituci za jednotlivé promnné z omezujících podmínek dostáváme jedinou nákladovou funkci, jejíž volný etrém na oboru D(f) = <0;1> hledáme. Funkce má lokální etrém vždy na hranicích D(f), tedy bu pro =0 nebo =1 veškeré zboží povezeme bu pímo, nebo nepímo (dle tvaru dílích nákladových funkcí), ale nikdy po ástech!
DOPRAVA S PEVAŽUJÍCÍMI VARIABILNÍMI NÁKLADY Zdroj 1 2 3 2 3 3 4 4 3 2 2 4 44 4(1 ) 1 1 1 2 z z z 2 3 8 4 1/2 1 1 1/2 2 2 3 3 1 4(1 ) 8 4(1 ) z 2 (1 ) 6 (1 ) 4
DOPRAVA S PEVAŽUJÍCÍMI VARIABILNÍMI NÁKLADY z 0 8 0,05 8,097467 0,1 8,189717 0,15 8,276488 0,2 8,357453 0,25 8,43222 0,3 8,500311 0,35 8,561145 0,4 8,614012 0,45 8,658038 0,5 8,69213 0,55 8,714902 0,6 8,724555 0,65 8,718694 0,7 8,694016 0,75 8,645751 0,8 8,566563 0,85 8,444084 0,9 8,254176 0,95 7,934489 1 6,828427 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 z z
MODELY OPTIMÁLNÍHO DLENÍ ZAKÁZEK kuji za pozornost