4EK213 Lineární modely. 10. Celočíselné programování
|
|
|
- Vítězslav Tobiška
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 4EK213 Lineární modely 10. Celočíselné programování
2 10.1 Matematický model úlohy ILP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n R b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n R b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n R b 3 a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n R b m za podmínek nezápornosti x j 0, j = 1, 2,, n Úloha LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2
3 10.1 Matematický model úlohy ILP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n R b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n R b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n R b 3 a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n R b m za podmínek nezápornosti x j 0, j = 1, 2,, n x j celé, j = 1, 2,, n Úloha ILP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 3
4 10.1 Matematický model úlohy ILP Nalézt extrém účelové funkce z = c T x na soustavě vlastních omezení Ax R b za podmínek nezápornosti x 0, a podmínek celočíselnosti (bivalence) x celé (binární). Úloha ILP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 4
5 10.1 Matematický model úlohy ILP LP Úlohy lineárního programování ILP Úlohy celočíselného lineárního programování PILP Úlohy ryze celočíselného lineárního programování MILP Úlohy smíšeně celočíselného lineárního programování Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 5
6 10.2 Množina přípustných řešení V úlohách LP bez podmínek celočíselnosti je množina přípustných řešení spojitá Z této spojité množiny vybereme body, které vyhovují podmínkám celočíselnosti proměnných Vznikne celočíselná mřížka (množina izolovaných bodů) Množina přípustných řešení úlohy ILP je diskrétní Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 6
7 Celočíselné řešení Z max OPTIMUM (2) (1) (3) (4) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 7 x 1 Množina přípustných řešení
8 10.2 Metody řešení úloh ILP Metody pro řešení úloh LP Pokud je nalezené OŘ úlohy LP celočíselné, je zároveň OŘ úlohy ILP Pokud celočíselné není, musíme použít některou metodu pro ILP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 8
9 Zaokrouhlit? Celočíselné řešení Z max OPTIMUM x = (105, 7.5) (2) (1) (3) (4) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 9 x 1 Množina přípustných řešení
10 10.2 Metody řešení úloh ILP Úlohu ILP nelze tedy řešit SM, kde celočíselnost OŘ není zaručena Neceločíselné řešení nelze ani jednoduše zaokrouhlit: zaokrouhlené řešení nemusí být vždy PŘ úlohy ILP zaokrouhlené řešení může být sice PŘ, ale nemusí být OŘ úlohy ILP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 10
11 10.2 Metody řešení úloh ILP Metody pro řešení úloh LP Pokud je nalezené OŘ úlohy LP celočíselné, je zároveň OŘ úlohy ILP Metody pro řešení úloh ILP Grafické řešení Metody řezných nadrovin (Gomoryho metoda) Kombinatorické metody (metoda větvení a mezí) Dekompoziční metody Heuristické metody Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 11
12 x 2 Grafické řešení 3 x 1 3 [2, 2] 2 2 x x x 1 [0,0]
13 10.3 Metody řezných nadrovin Vypočteme simplexovou metodou OŘ (bez ohledu na podmínky celočíselnosti) Je-li řešení celočíselné, máme hledané OŘ Pokud není, z množiny PŘ odřízneme část tak, aby neobsahovala žádný celočíselný bod Znovu hledáme OŘ bez ohledu na celočíselnost Reprezentantem těchto metod je Gomoryho metoda Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 13
14 10.3 Gomoryho metoda Vypočteme OŘ úlohy ILP bez ohledu na podmínky celočíselnosti Označme s index Gomoryho iterace a položme s = 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 14
15 10.3 Gomoryho metoda 1. Test optima (celočíselnosti) Pokud je OŘ celočíselné, výpočet končí Nalezli jsme hledané OŘ úlohy ILP Pokud není OŘ celočíselné, položíme s = s + 1 a pokračujeme ve výpočtu Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 15
16 10.3 Gomoryho metoda 2. Zdrojový řádek Vypočteme celočíselné zbytky všech pravých stran (zbytek po celočíselném dělení 1) r i0 = β i β i, i = 1,, m Najdeme řádek s největším zbytkem g = max r i0 = r p0 i Tento p-tý řádek je zdrojový Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 16
17 3. Gomoryho řez 10.3 Gomoryho metoda Vypočteme celočíselné zbytky koeficientů zdrojového řádku r pj : r pj = α pj α pj, j = 1, 2,, n + m + s Formulujeme m + s té omezení: n+m+s j=1 ( r pj x j ) + x n+m+s = r p0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 17
18 10.3 Gomoryho metoda 4. Řešení duálně simplexovou metodou Klíčovým řádkem je Gomoryho omezení (jediná záporná pravá strana) Klíčový sloupec podle t = min j,α qj <0 z j α qj Pokud jsou všechna α qj 0, OŘ neexistuje, výpočet končí Jinak transformujeme tabulku a vracíme se k bodu 1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 18
19 10.3 Gomoryho metoda Příklad Gomoryho metoda Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 19
20 10.3 Gomoryho metoda Příklad Gomoryho metoda Řešení úlohy simplexovou metodou Ručně, pomocí LINGO či graficky Optimální řešení: x (0) = 3, 9/5 T, z (0) = 45 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 20
21 10.3 Gomoryho metoda 1. Test optima (celočíselnosti) Optimální řešení x (0) = 3, 9/5 T, z (0) = 45 není celočíselné Není tedy OŘ původní úlohy Pokračujeme ve výpočtu Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 21
22 10.3 Gomoryho metoda 2. Zdrojový řádek Vypočteme celočíselné zbytky všech pravých stran r 10 = = 4 5 r 20 = 3 3 = 0 Najdeme řádek s největším zbytkem g = max i r i0 = 4 5 = r 10 Řádek s indexem p = 1 je zdrojový (první řádek) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 22
23 3. Gomoryho řez 10.3 Gomoryho metoda Vypočteme celočíselné zbytky koeficientů zdrojového řádku r pj Formulujeme m + s té omezení: n+m+s Jaké? j=1 ( r pj x j ) + x n+m+s = r p0 0 x x x 3 + ( 3 5 x 4) + x 5 = 4 5 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 23
24 10.3 Gomoryho metoda 4. Řešení duálně simplexovou metodou Klíčový řádek je třetí, tj. Gomoryho omezení (jediná záporná pravá strana) Zákl.prom. x1 x2 x3 x4 x5 βi x /5-2/5 0 9/5 x x /5-3/5 1-4/5 zj Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 24
25 10.3 Gomoryho metoda Zákl.prom. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 β i x /3 0-2/3 7/3 x /3 0 5/3 5/3 x /3 1-5/3 4/3 z j 0 0 1/3 0 25/3 115/3 Řešení není celočíselné Gomoryho omezení pro druhý řádek 0 x x x 3 + ( 0 x 4 ) + ( 2 3 x 5) + x 6 = 2 3 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 25
26 10.3 Gomoryho metoda Klíčový řádek je čtvrtý, tj. Gomoryho omezení (jediná záporná pravá strana) Zákl.prom. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 β i x /3 0-2/3 0 7/3 x /3 0 5/3 0 5/3 x /3 1-5/3 0 4/3 x /3 0-2/3 1-2/3 z j 0 0 1/3 0 25/ /3 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 26
27 10.3 Gomoryho metoda Zákl.prom. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 β i x /3 2 x /3 2 x /3 1 x /3 1 z j /3 38 Řešení je celočíselné a tedy optimální x (3) = 2, 2, 1, 1 T, z = 38 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 27
28 x 2 Žabák Integer Gomory 2 3 [2,2] x 1 3 [3, 9/5] 2 x x GŘ2 x 1 [0,0] Gomoryho metoda GŘ1
29 10.3 Metody řezných nadrovin Nevýhody: Koeficienty Gomoryho omezení jsou zvláště v dalších iteracích velmi malá čísla, blízká nule Při eliminaci proto vznikají zaokrouhlovací chyby Ty mohou způsobit to, že výpočet nerozezná optimální řešení a zkolabuje Proto programové systémy používají většinou kombinatorické metody Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 29
30 10.4 Metody větví a mezí Metoda větvení a mezí Metoda větví a mezí Metoda větvení a hranic Metoda větví a hranic Metoda B and B Branch and bound method Branches and bounds method Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 30
31 10.4 Metody větví a mezí Mohou se použít pro řešení všech úloh IP i MIP Podmínkou je celočíselnost koeficientů účelové funkce (lze splnit vždy) Různé varianty této metody Jsou založeny na efektivním prohledávání množiny přípustných řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 31
32 10.4 Metoda větví a mezí výchozí řešení Úlohu LP bez podmínek celočíselnosti označíme LP (0) Množinu přípustných řešení úlohy LP (0) označíme X (0) Simplexovou metodou vypočteme optimální řešení x (0) = x 1 0, x 2 0,, x n 0 T s hodnotou účelové funkce z (0) Jestliže x (0) vyhovuje i podmínkám celočíselnosti, je to optimální celočíselné řešení a výpočet končí Pokud ne, začneme větvení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 32
33 10.4 Metoda větví a mezí větvení Z vektoru x (0) = x 1 0, x 2 0,, x n 0 T vybereme libovolnou proměnnou, která porušuje podmínku celočíselnosti Označíme ji x k a její hodnotu x k 0 větvící proměnná Množinu přípustných řešení X (0) rozdělíme podle proměnné x k na dvě podmnožiny větve levá větev Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 33 pravá větev
34 10.4 Metoda větví a mezí větvení levá větev K úloze LP (0) přidáme podmínku x k [x k 0 ] a vytvoříme tak úlohu LP (1) pravá větev K úloze LP (0) přidáme podmínku x k x k 0 a vytvoříme tak úlohu LP (2) + 1 Tyto úlohy opět řešíme SM bez ohledu na podmínky celočíselnosti a případně dále větvíme Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 34
35 10.4 Metoda větví a mezí meze V každé větvi je odvozována horní mez hodnoty účelové funkce (za předpokladu maximalizace) celočíselného řešení: h (s) = [z (s) ] v úlohách PILP h (s) = z (s) v úlohách MILP kde s... je index úlohy LP (s), tj. s-té větve, z (s)... je optimální hodnota účelové funkce LP (s) Mez h (0) = [z (0) ] je horní mezí hodnoty účelové funkce celočíselného řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 35
36 10.4 Metoda větví a mezí konec větve 1. Celočíselné řešení Výpočet v s-té větvi se ukončí, je-li v úloze LP (s) nalezeno OŘ x (s), které je celočíselné Toto řešení je přípustným řešením (PŘ) původní úlohy LP (0) s podmínkami celočíselnosti Označme nejlepší dosud nalezené PŘ x ( ) a jeho hodnotu účelové funkce z ( ) Je-li z (s) > z ( ), máme nové nejlepší PŘ a z ( ) = z (s) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 36
37 10.4 Metoda větví a mezí konec větve 2. Nepřípustné řešení Výpočet v s-té větvi se ukončí, neexistuje-li v úloze LP (s) žádné PŘ Pak zde nemůže existovat ani PŘ původní úlohy LP (0) s podmínkami celočíselnosti Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 37
38 10.4 Metoda větví a mezí konec větve 3. Nízká horní mez Výpočet v s-té větvi se ukončí, je-li h (s) < z ( ) Pak ve větvi LP (s) nemůže existovat lepší PŘ původní úlohy, než řešení x ( ) již nalezené v jiné větvi Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 38
39 10.4 Metoda větví a mezí konec Algoritmus končí, jestliže jsou uzavřeny všechny větve Nejlepší dosud nalezené PŘ x ( ) je hledaným optimálním řešením x celočíselné úlohy Jeho hodnota účelové funkce je z = z ( ) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 39
40 10.4 Metoda větví a mezí Příklad větve a meze Označme tuto úlohu (bez celočíselnosti) LP (0) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 40
41 10.4 Metoda větví a mezí Příklad větve a meze Řešení úlohy LP (0) simplexovou metodou Ručně, pomocí LINGO či graficky Optimální řešení: x (0) = 3, 9/5 T, z (0) = 45 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 41
42 Příklad - meze 10.4 Metoda větví a mezí Optimální řešení x (0) = 3, 9/5 T, z (0) = 45 není celočíselné Hodnota účelové funkce z (0) = h (0) = [45] je horní mezí hodnoty účelové funkce celočíselné úlohy Řešení úlohy znázorníme graficky Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 42
43 x 2 LP (0) 3 x [3, 9/5] 2 x x x 1 [0,0] Řešení úlohy LP (0)
44 Příklad - větvení 10.4 Metoda větví a mezí x (0) = 3, 9/5 T, z (0) = 45 Proměnná x 2 porušuje podmínku celočíselnosti, vybereme ji jako větvící proměnnou Vytvoříme levou větev: x 2 [x 2 ], tj. x 2 1, a pravou větev: x 2 [x 2 ] + 1, tj. x 2 2. Formulujeme úlohy LP (1) a LP (2) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 44
45 10.4 Metoda větví a mezí Příklad větvení úlohy LP (0) Levá větev: LP (1) Pravá větev: LP (2) 2x 1 + 5x x 1 + 5x 2 15 x 1 3 x 1 3 x 2 1 x 2 2 x j 0 x j 0 j = 1, 2 j = 1, 2 z = 9x x 2 max. z = 9x x 2 max. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 45
46 10.4 Metoda větví a mezí Příklad řešení úlohy LP (1) K OŘ úlohy LP (0) přidáme omezení x 2 1 Jak musíme omezení upravit? Odečteme první omezení! Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 46
47 10.4 Metoda větví a mezí Příklad řešení úlohy LP (1) Řešíme duálně simplexovou metodou Optimální řešení úlohy LP (1) je celočíselné: x (1) =(3, 1, 4, 0), z (1) = 37 Dosadíme z*= 37 KONEC VĚTVE Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 47
48 3 x 2 LP (0) x [3, 9/5] [3,1] 2 x x x 2 1 x 1 [0,0] Řešení úlohy LP (1)
49 LP (0) x (0) = (3; 9/5) z (0) = 45 Mez = 45 x 2 1 x 2 2 LP (1) x (1) = (3; 1) z (1) = 37 z * = 37 KONEC VĚTVE Úloha LP (1)
50 10.4 Metoda větví a mezí Příklad řešení úlohy LP (2) K OŘ úlohy LP (0) přidáme omezení x 2 2 Jak musíme omezení upravit? Přičteme první omezení! Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 50
51 10.4 Metoda větví a mezí Příklad řešení úlohy LP (2) Řešíme duálně simplexovou metodou Optimální řešení úlohy LP (2) není celočíselné: x (2) = (5/2, 2, 0, 1/2, 0), z (2) = 85/2 h (2) = [85/2] > z*= 37 větvíme LP (2) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 51
52 3 x 2 LP (0) x [5/2,2] [3, 9/5] x [3,1] 2 x x 2 15 x 2 1 x 1 [0,0] Řešení úlohy LP (2)
53 LP (0) x (0) = (3; 9/5) x (0) = 45 Mez = 45 x 2 1 x 2 2 LP (1) x (1) = (3; 1) x (1) = 37 z * = 37 LP (2) x (2) = (5/2; 2) x (2) = 42,5 Mez = 42 KONEC VĚTVE Úloha LP (2)
54 10.4 Metoda větví a mezí Příklad větvení úlohy LP (2), x 1 = 5/2 Levá větev: LP (3) Pravá větev: LP (4) 2x 1 + 5x x 1 + 5x 2 15 x 1 3 x 1 3 x 2 2 x 2 2 x 1 2 x 1 3 x j 0 x j 0 j = 1, 2 j = 1, 2 z = 9x 1 +10x 2 max. z = 9x 1 +10x 2 max. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 54
55 10.4 Metoda větví a mezí Příklad řešení úlohy LP (3) K OŘ úlohy LP (2) přidáme omezení x 1 2 Řešíme duálně simplexovou metodou Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 55
56 10.4 Metoda větví a mezí Příklad řešení úlohy LP (3) Řešíme duálně simplexovou metodou Optimální řešení úlohy LP (2) není celočíselné: x (3) =(2, 11/5, 0, 1), z (3) = 40 h (3) = [40] > z*= 37 větvíme LP (3) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 56
57 3 x 2 [5/2,2] LP (2) x x x x 2 15 x 1 [0,0] Řešení úlohy LP (3)
58 x 2 1 LP (0) x (0) = (3; 9/5) z (0) = 45 Mez = 45 x 2 2 LP (1) x (1) = (3; 1) z (1) = 37 z * = 37 KONEC x 1 2 LP (3) x (3) = (2; 11/5) z (3) = 40 Mez = 40 LP (2) x (2) = (5/2; 2) z (2) = 42,5 Mez = 42 Úloha LP (3)
59 10.4 Metoda větví a mezí Příklad řešení úlohy LP (4) K OŘ úlohy LP (2) přidáme omezení x 1 3 Úloha LP (4) nemá žádné přípustné (ani optimální) řešení KONEC VĚTVE Řešíme duálně simplexovou metodou Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 59
60 3 x 2 [5/2,2] LP (2) x x x x 2 15 x 1 [0,0] Obr. 5.5 Řešení úlohy LP (4)
61 LP (0) x (0) = (3; 9/5) x (0) = 45 x 2 1 Mez = 45 x 2 2 LP (1) x (1) = (3; 1) x (1) = 37 z * = 37 KONEC VĚTVE LP (3) x 1 2 x (3) = (2; 11/5) x (3) = 40 Mez = 40 LP (2) x (2) = (5/2; 2) x (2) = 42,5 Mez = 42 x 1 3 LP (4) x (4) Nepřípustné řešení KONEC VĚTVE Úloha LP (4)
62 10.4 Metoda větví a mezí Příklad větvení úlohy LP (3), x 2 = 11/5 Levá větev: LP (5) Pravá větev: LP (6) 2x 1 + 5x x 1 + 5x 2 15 x 1 3 x 1 3 x 2 2 x 2 2 x 1 2 x 1 2 x 2 2 x 2 3 x j 0 x j 0 j = 1, 2 j = 1, 2 z = 9x 1 +10x 2 max. z = 9x 1 +10x 2 max. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 62
63 10.4 Metoda větví a mezí Příklad řešení úlohy LP (5) K OŘ úlohy LP (3) přidáme omezení x 2 2 Řešíme duálně simplexovou metodou Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 63
64 10.4 Metoda větví a mezí Příklad řešení úlohy LP (5) Řešíme duálně simplexovou metodou Optimální řešení úlohy LP (5) je celočíselné: x (5) =(2, 2, 1, 1), z (5) = 38 h (5) = 38 > z * z ** = 38 KONEC VĚTVE Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 64
65 x 2 1 LP (0) x (0) = (3; 9/5) z (0) = 45 Mez = 45 x 2 2 LP (1) x (1) = (3; 1) z (1) = 37 z * = 37 KONEC VĚTVE x 2 2 LP (5) x (5) = (2; 2) z ** = 38 x 1 2 LP (3) x (3) = (2; 11/5) z (3) = 40 Mez = 39 LP (2) x (2) = (5/2; 2) z (2) = 42,5 Mez = 42 KONEC VĚTVE Úloha LP (5) x 1 3 LP (4) x (4) Nepřípustné řešení KONEC VĚTVE
66 10.4 Metoda větví a mezí Příklad řešení úlohy LP (6) K OŘ úlohy LP (3) přidáme omezení x 2 3 Řešíme duálně simplexovou metodou Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 66
67 10.4 Metoda větví a mezí Příklad řešení úlohy LP (6) Řešíme duálně simplexovou metodou Optimální řešení úlohy LP (6) je celočíselné: x (6) =(0, 3, 0, 3), z (6) =30 h (6) = 30 < z ** = 38 KONEC VĚTVE Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 67
68 3 x 2 [0,3] [5/2,2] LP (3) x x x x 2 15 x 3 2 x 1 [0,0] Řešení úlohy LP (6)
69 Úloha LP (6) LP (0) x (0) = (3; 9/5) z (0) = 45 x 2 1 Mez = 45 x 2 2 LP (1) x (1) = (3; 1) z (1) = 37 Z * = 37 KONEC VĚTVE x 1 2 LP (3) x (3) = (2; 11/5) z (3) = 40 Mez = 39 LP (2) x (2) = (5/2; 2) z (2) = 42,5 Mez = 42 x 1 3 LP (4) x (4) Nepřípustné řešení x 2 2 x 2 3 LP (5) LP (6) x (5) = (2; 2) x (6) = (0; 3) z ** = 38 Mez = 30 KONEC VĚTVE KONEC VĚTVE KONEC VĚTVE
70 10.4 Metoda větví a mezí Příklad zakončení výpočtu Všechny větve jsou ukončeny Optimální hodnota účelové funkce celočíselné úlohy z ** = 38 Optimálním řešením úlohy IP je x (5) =(2, 2, 1, 1), z (5) = 38 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 70
71 Detaily k přednášce: skripta, kapitola 7 KONEC Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 71
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda. Distribuční úlohy
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda Dvoufázová M-úloha Duální úloha jednofázová Post-optimalizační analýza Celočíselné řešení Metoda větví a mezí Distribuční úlohy 1 OÚLP = obecná úloha lineárního
4EK213 Lineární modely. 4. Simplexová metoda - závěr
4EK213 Lineární modely 4. Simplexová metoda - závěr 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu
4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování
4EK212 Kvantitativní management 2. Lineární programování 1.7 Přídatné proměnné Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení
4EK213 Lineární modely 12. Dopravní problém výchozí řešení 12. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování
4EK311 Operační výzkum. 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP
4EK311 Operační výzkum 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP 3.1 Příklad matematický model Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček]
4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování
4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
Úvod do celočíselné optimalizace
Úvod do celočíselné optimalizace Martin Branda Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Výpočetní aspekty optimalizace Martin Branda (KPMS
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU
![OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU](/thumbs/55/37186771.jpg "OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU")
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU Distanční opora RNDr. Miroslav Liška, CSc. OSTRAVA 2002 1 Simplexová metoda je iterační výpočetní postup pro nalezení optimálního
4EK213 Lineární modely. 5. Dualita v úlohách LP
4EK213 Lineární modely 5. Dualita v úlohách LP 5. Dualita v úlohách LP Obecné vyjádření simplexové tabulky Formulace duálního problému Formulace symetrického duálního problému Formulace nesymetrického
1 Úvod do celočíselné lineární optimalizace
Úvod do celočíselné lineární optimalizace Martin Branda, verze 7.. 7. Motivace Reálné (smíšeně-)celočíselné úlohy Optimalizace portfolia celočíselné počty akcií, modelování fixních transakčních nákladů,
4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování
4EK311 Operační výzkum 2. Lineární programování 2.2 Matematický model úlohy LP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
13. Lineární programování
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
Parametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 1
4EK311 Operační výzkum 4. Distribuční úlohy LP část 1 4. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování (plánování
Ekonomická formulace. Matematický model
Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest
Rozhodovací procedury a verifikace Pavel Surynek, KTIML
6 Rozhodovací procedury a verifikace Pavel Surynek, KTIML http://ktiml.mff.cuni.cz/~surynek/nail094 Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze 1 Lineární aritmetika Budeme zabývat rozhodovacími
Obecná úloha lineárního programování
Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
1.Modifikace simplexové metody
.Modifikace simplexové metody Simplexová metoda, v podobě popsané v prvním tématu, je vhodná zejména pro řešení úloh LP menších rozměrů, především pak pro ruční výpočty. Algoritmus metody je jednoduchý,
Studentská soutěžní práce
Univerzita Tomáše Bati Fakulta aplikované informatiky Ústav automatizace a řídicí techniky Studentská soutěžní práce STOČ 2011 Mobilní aplikace celočíselného programování metodou větví a mezí 2011 Adam
Problém lineární komplementarity a kvadratické programování
Problém lineární komplementarity a kvadratické programování (stručný učební text 1 J. Rohn Univerzita Karlova Matematicko-fyzikální fakulta Verze: 17. 6. 2002 1 Sepsání tohoto textu bylo podpořeno Grantovou
1 Duální simplexová metoda
1 Duální simplexová metoda Autor: Markéta Popelová Datum: 8.5.2011 Předmět: Základy spojité optimalizace Zadání Mějme matici A R m n a primární úlohu lineárního programování v normálním tvaru (P) a k ní
Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
12. Lineární programování
. Lineární programování. Lineární programování Úloha lineárního programování (lineární optimalizace) je jedním ze základních problémů teorie optimalizace. Našim cílem je nalézt maximum (resp. minimum)
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Lineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
Přiřazovací problém. Přednáška č. 7
Přiřazovací problém Přednáška č. 7 Přiřazovací problém je jednou podtřídou logistických úloh. Typickým problémem může být nejkratší převoz materiálu od dodavatelů ke spotřebitelům. spotřebitelé a i dodavatelé
4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování
4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování 4. Typické úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Směšovací problémy
Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Optimalizace portfolia Investor se s pomocí makléře rozhoduje mezi následujícími investicemi: akcie A, akcie B, státní pokladniční poukázky, dluhopis A, dluhopis
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel
Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat
Simplexové tabulky z minule. (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25
Simplexové tabulky z minule (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25 Simplexová metoda symbolicky Výchozí tabulka prom. v bázi zákl. proměné přídatné prom. omez. A E b c T 0 0 Tabulka po přepočtu
Systémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování
Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Modelování Modelování je způsob zkoumání reality, při němž složitost, chování a další vlastnosti jednoho celku vyjadřujeme složitostí, chováním a
4EK212 Kvantitativní management. 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP
4EK212 Kvantitativní management 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka
Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel
Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Celočíselné lineární programování(ilp)
Celočíselné lineární programování(ilp) Zdeněk Hanzálek, Přemysl Šůcha {hanzalek}@fel.cvut.cz ČVUT FEL Katedra řídicí techniky 2. března 2010 Z. Hanzálek (ČVUT FEL) Celočíselné lineární programování(ilp)
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
f ( x) = 5x 1 + 8x 2 MAX, 3x x ,
4. okruh z bloku KM1 - řídicí technika Zpracoval: Ondřej Nývlt (o.nyvlt@post.cz) Zadání: Lineární programování (LP), simplexová metoda, dualita v LP. Nelineární programování. Vázaný extrém. Karush-Kuhn-Tuckerova
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Extrémy funkcí Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Více dimenzí Kombinatorika Lineární programování Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Snažíme se najít extrém funkce, at už jedné
11. března Výpočet je založen na prohledávání oblasti zahrnující všechna přípustná řešení [1, 2]. Vzhledem
![11. března Výpočet je založen na prohledávání oblasti zahrnující všechna přípustná řešení [1, 2]. Vzhledem](/thumbs/55/37186522.jpg "11. března Výpočet je založen na prohledávání oblasti zahrnující všechna přípustná řešení [1, 2]. Vzhledem")
Celočíselné lineární programování Přemysl Šůcha 11. března 2004 1 Úvod Celá řada praktických problémů týkajících se optimalizace může být modelována a řešena pomocí integer (coločíselného 1 nebo také diskrétního)
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
Matematický model. omezující podmínky. Tab. 2.1 Prvky ekonomického a matematického modelu
16 Čeho chceme dosáhnout? Co můžeme ovlivnit? Jaké jsou překážky? Ekonomický model cíl analýzy procesy činitelé Matematický model účelová funkce proměnné omezující podmínky Příklady maximalizace zisku
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
P ílohy. P íloha 1. ešení úlohy lineárního programování v MS Excel
P ílohy P íloha 1 ešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této p íloze si ukážeme, jak lze ešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat
4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20
4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet
Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1
ODR - okrajová úloha Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Okrajová úloha 2. řádu Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Opakování rovnice přímky Úloha: Určete rovnici přímky procházející body A[a, f(a)] a B[b, f(b)], kde f je funkce spojitá
14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém
Přiřazovací problém Přiřazovací problémy jsou podtřídou logistických úloh, kde lze obecně říci, že m dodavatelů zásobuje m spotřebitelů. Dalším specifikem je, že kapacity dodavatelů (ai) i požadavky spotřebitelů
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012 Problém hledání kořenů rovnice f(x) = 0 jeden ze základních problémů numerické matematiky zároveň i jeden
5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
2 Spojité modely rozhodování
2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A
skladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi):
Klíčová slova: simplexová metoda 1 Simplexová metoda Postup výpočtu: 1. Nalezení výchozího řešení. 2. Test optima: pokud je řešení optimální výpočet končí, jinak krok 3. 3. Iterační krok, poté opět test
2.2 Grafické ešení úloh LP
2. Lineární programování 21 zabránili záporným hodnotám produkce, nezabývali jsme se pípady, kdy jako výsledný objem produkce získáme desetinné číslo. Nápravu lze snadno sjednat zahrnutím tzv. podmínek
Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel
Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Modul Řešitel (v anglické verzi Solver) je určen pro řešení lineárních i nelineárních úloh matematického programování. Pro ilustraci
Operační výzkum. Teorie her. Řešení maticových her převodem na úlohu LP.
Operační výzkum Řešení maticových her převodem na úlohu LP. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu
Dynamické programování
ALG 11 Dynamické programování Úloha batohu neomezená Úloha batohu /1 Úloha batohu / Knapsack problem Máme N předmětů, každý s váhou Vi a cenou Ci (i = 1, 2,..., N) a batoh s kapacitou váhy K. Máme naložit
Příklady modelů lineárního programování
Příklady modelů lineárního programování Příklad 1 Optimalizace výroby konzerv. Podnik vyrábí nějaký výrobek, který prodává v 1 kg a 2 kg konzervách, přičemž se řídí podle následujících velmi zjednodušených
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především
Aplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
Co je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï
15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných
OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB D24FZS
OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb Anotace: Optimalizace objektů pozemních staveb
ANTAGONISTICKE HRY 172
5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí
Programy pro ˇreˇsen ı ulohy line arn ıho programov an ı 18. dubna 2011
Programy pro řešení úlohy lineárního programování 18. dubna 2011 Přehled Mathematica Sage AMPL GNU Linear Programming Kit (GLPK) Mathematica Mathematika je program pro numerické a symbolické počítání.
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
Nástroje pro analýzu dat
7 Nástroje pro analýzu dat V té to ka pi to le: Ověřování vstupních dat Hledání řešení Řešitel Scénáře Citlivostní analýza Rychlá analýza Kapitola 7 Nástroje pro analýzu dat Součástí Excelu jsou nástroje
Základy spojité optimalizace
Základy spojité optimalizace 2. ledna 2013 Obsah 1 Přehled 2 1.1 Obecná úloha........................... 2 1.2 Dělení úloh............................ 2 1.3 Volný extrémem......................... 3 1.4
Konvexní množiny Formulace úloh lineárního programování. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Euklidovský prostor E n Pod pojmem n-rozměrný euklidovský prostor budeme rozumnět prostor, jehož prvky jsou uspořádané n-tice reálných čísel X = (x 1, x 2,...,
4EK201 Matematické modelování. 10. Teorie rozhodování
4EK201 Matematické modelování 10. Teorie rozhodování 10. Rozhodování Rozhodování = proces výběru nějaké možnosti (varianty) podle stanoveného kritéria za účelem dosažení stanovených cílů Rozhodovatel =
Numerické metody a programování. Lekce 4
Numerické metody a programování Lekce 4 Linarní algebra soustava lineárních algebraických rovnic a 11 a 12 x 2 a 1, N x N = b 1 a 21 a 22 x 2 a 2, N x N = b 2 a M,1 a M,2 x 2 a M,N x N = b M zkráceně A
Matice přechodu. Pozorování 2. Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např.
Matice přechodu Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např. u příkladu 7 (v ) dostaneme: Nyní bychom mohli postupovat jako u matice homomorfismu
HEURISTICKÉ ALGORITMY PRO ŘEŠENÍ ÚLOH OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO
HEURISTICKÉ ALGORITMY PRO ŘEŠENÍ ÚLOH OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO Heuristické algoritmy jsou speciálními algoritmy, které byly vyvinuty pro obtížné úlohy, jejichž řešení je obtížné získat v rozumném čase. Mezi
Transformace souřadnic
Transformace souřadnic Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 8.2 a 8.3 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 1/17 Minulá přednáška
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
Algoritmizace prostorových úloh
INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Algoritmizace prostorových úloh Grafové úlohy Daniela Szturcová Tento
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. GARANT KURZU Prof. Ing. Josef Jablonský, CSc. Místnost: NB 437 Konzultační hodiny: úterý 13:00 15:00 E-mail: jablon@vse.cz
2.7.6 Rovnice vyšších řádů
6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení
4EK201 Matematické modelování. 11. Ekonometrie
4EK201 Matematické modelování 11. Ekonometrie 11. Ekonometrie Ekonometrie Interdisciplinární vědní disciplína Zkoumá vztahy mezi ekonomickými veličinami Mikroekonomickými i makroekonomickými Ekonomie ekonomické
Princip řešení soustavy rovnic
Princip řešení soustavy rovnic Tomáš Kroupa 20. května 2014 Tento studijní materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Obsah Formulace úlohy Metody řešení
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text
Optimalizace. Obsah přednášky. DÚ LP - Okružní problém. Lineární optimalizace. DÚ LP - Okružní problém. DÚ LP - Okružní problém
Obsah přednášky Mgr. Květuše Sýkorová Optimalizace Lineární programování Distribuční úlohy Okružní problém KI Př UJEP Ústí nad Labem Nederivační metody Metody 1D optimalizace Derivační metody Optimalizace