4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování
|
|
|
- Libuše Müllerová
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 4EK212 Kvantitativní management 2. Lineární programování
2 1.7 Přídatné proměnné Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení Přídatná proměnná v omezení typu ukazuje objem nevyužité kapacity Přídatná proměnná v omezení typu ukazuje velikost překročení požadavku Cena přídatné proměnné je vzhledem k její ekonomické interpretaci rovna nule Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2
3 1.8 Základní pojmy LP Přípustné řešení úlohy LP je vektor x = x 1, x 2,, x n+m T, jehož složky splňují vlastní omezení úlohy a podmínky nezápornosti Počet přípustných řešení (PŘ): protože v ESR je počet proměnných (n+m) větší než počet rovnic (m), má úloha LP buď: 1. nekonečně mnoho přípustných řešení nebo 2. žádné přípustné řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 3
4 x (2) x 1 (1) (3) (4) Množina přípustných řešení (konvexní polyedr) -90 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 4
5 1.8 Základní pojmy LP Průsečík každých dvou omezení odpovídá tzv. Základnímu řešení ekvivalentní soustavy rovnic (ESR) Vrcholy konvexního polyedru (množiny přípustných řešení) Jsou také základními řešeními Jsou navíc řešeními přípustnými a zobrazují tzv. Základní přípustná řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 5
6 x D 0 A C B (2) x 1 (1) (3) (4) Množina Základní přípustných přípustná Základní řešení ESR řešení řešení úlohy LP -90 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 6
7 1.8 Základní pojmy LP Výpočet základních přípustných řešení: Bod A: (3) + (x 2 0) A = 90, 0, x = 90, 0, 30, 90, 0, 20 T Bod B: (4) + (x 2 0) B = 110, 0, x = 110, 0, 10, 70, 20, 0 T Bod C: (1) + (4) C = 110, 5, x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T Bod D: (1) + (3) D = 100, 10, x = 100, 10, 0, 40, 0, 10 T Lis: 1 x x [min] Balení: 1 x x [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] SD karty: 1 x x [krabiček] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krabiček] 1 x x 2 + x 3 = 120 min 1 x x 2 + x 4 = 180 min 1 x 1 1 x 2 x 5 = 90 [krabiček] 1 x x 2 + x 6 = 110 [krabiček] x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 7
8 1.8 Základní pojmy LP Optimální řešení úlohy LP je takové přípustné řešení x = x 1, x 2,, x n+m T, které má nejvyšší (nejnižší) hodnotu účelové funkce. Optimální řešení (OŘ): Přípustné řešení s nejlepší hodnotou účelové funkce Nejlepší přípustné řešení Z grafického zobrazení je zřejmé, že existuje-li, musí ležet na hranici množiny přípustných řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 8
9 1.8 Základní pojmy LP Počet optimálních řešení: Optimální řešení úlohy LP je přípustné řešení s nejlepší hodnotou účelové funkce. Pokud úloha LP nemá žádné přípustné řešení Nemá žádné optimální řešení Pokud má úloha LP nekonečně mnoho přípustných řešení Pak je optimální to s nejlepší hodnotou účelové funkce Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 9
10 1.8 Základní pojmy LP Musí OŘ existovat? Musí být jediné? Může jich být více? Dokážeme ho vždy najít? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 10
11 O počtu optimálních řešení rozhoduje: Množina přípustných řešení Počet přípustných řešení (žádné, nekonečně mnoho) Tvar množiny přípustných řešení (prázdná, omezená, neomezená) Účelová funkce 1.8 Základní pojmy LP Sklon účelové funkce Extrém účelové funkce Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 11
12 a) MPŘ - prázdná Žádné OŘ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 12
13 b) MPŘ - omezený konvexní polyedr z... max. x 2 OPTIMUM Jedno OŘ x 1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 13
14 b) MPŘ - omezený konvexní polyedr x 2 z... max. Nekonečně OPTIMUM mnoho OŘ OPTIMUM x 1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 14
15 c) MPŘ - neomezená konvexní množina x 2 z... max. Jedno OŘ OPTIMUM Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 15 x 1
16 c) MPŘ - neomezená konvexní množina x 2 z... max. Nekonečně OPTIMUM mnoho OŘ OPTIMUM Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 16 x 1
17 x 2 c) MPŘ - neomezená konvexní množina z... max. Žádné OŘ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 17 x 1
18 1.8 Základní pojmy LP Počet optimálních řešení: Žádné optimální řešení Prázdná množina přípustných řešení nebo Neomezená hodnota účelové funkce Má jediné optimální řešení MPŘ je omezená ve směru hledaného optima a Účelová funkce se MPŘ dotkne v jediném bodě Má nekonečně mnoho optimálních řešení MPŘ je omezená ve směru hledaného optima a Účelová funkce je rovnoběžná s hranou (stěnou) MPŘ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 18
19 1.8 Základní pojmy LP Má-li úloha LP optimální řešení: Buď je toto optimální řešení jediné MPŘ je omezená ve směru hledaného optima a Účelová funkce se MPŘ dotkne v jediném bodě OŘ je ve vrcholu konvexního polyedru je ZPŘ Nebo je optimálních řešení nekonečně mnoho MPŘ je omezená ve směru hledaného optima a Účelová funkce je rovnoběžná s hranou (stěnou) MPŘ Alespoň jedno OŘ je ve vrcholu konvexního polyedru ZPŘ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 19
20 1.8 Základní pojmy LP Má-li úloha LP optimální řešení, pak má také základní optimální řešení Základní věta lineárního programování (ZVLP) Věta nic neříká o případu, kdy úloha LP nemá optimální řešení! Pokud existuje OŘ, pak existuje také základní OŘ. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 20
21 1.8 Základní pojmy LP Základní optimální řešení: Základní řešení Optimální řešení Přípustné řešení Řešení s nejlepší hodnotou účelové funkce Základní optimální řešení = základní přípustné řešení s nejlepší hodnotou účelové funkce Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 21
22 1.8 Základní pojmy LP Důsledek základní věty lineárního programování: Má-li úloha LP optimální řešení, pak alespoň jedno z nich je základní přípustné řešení. Význam základní věty lineárního programování: Optimální řešení stačí hledat mezi základními přípustnými řešeními. Jakou ZPŘ je to konečný má výhodu? počet Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 22
23 1.8 Základní pojmy LP Výpočet základních přípustných řešení: A = 90, 0, x = 90, 0, 30, 90, 0, 20 T B = 110, 0, x = 110, 0, 10, 70, 20, 0 T C = 110, 5, x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T D = 100, 10, x = 100, 10, 0, 40, 0, 10 T Lis: 1 x x [min] Balení: 1 x x [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] SD karty: 1 x x [krabiček] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krabiček] Zisk: z = 40 x x 2 max [Kč] z A = 40 x x 2 = = 3600 z B = 40 x x 2 = = 4400 z C = 40 x x 2 = = 4700 z D = 40 x x 2 = = 4600 Optimální řešení: x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T z = 4700 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 23
24 1.9 Příklad matematický model Lis: 1 x x [min] Balení: 1 x x [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] SD karty: 1 x x [krabiček] Nezápornost:x 1, x 2 0 [krabiček] Zisk: 40 x x 2 max [Kč] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 24
25 x 2 60 Grafické řešení úlohy LP OPTIMUM (2) x 1 (1) Z max -90 (3) (4) Množina 1 x 1 x , přípustných 2 x 2 x řešení 40 1 x Osy x 1 a 1 x x x max Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 25
26 1.9 Grafické řešení úlohy LP Optimální řešení zadané úlohy leží na průsečíku dvou hraničních přímek omezení (1) a (4): x 1 + 2x 2 = 120 x 1 = 110 Odtud je x 1 = 110, x 2 = 5 Bod optimálního řešení je tedy x = 110, 5 Hodnota účelové funkce je po dosazení z = 40x x 2 = = 4700 Lis: 1 x x [min] Balení: 1 x x [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] SD karty: 1 x x [krabiček] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krabiček] Zisk: 40 x x 2 max [Kč] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 26
27 x 2 60 Řešení dle základní věty LP 45 D 0 A C B (2) x 1 (1) (3) (4) Množina Základní přípustných přípustná Základní řešení ESR řešení řešení úlohy LP -90 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 27
28 1.9 Řešení dle základní věty LP Výpočet základních přípustných řešení: A = 90, 0, x = 90, 0, 30, 90, 0, 20 T B = 110, 0, x = 110, 0, 10, 70, 20, 0 T C = 110, 5, x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T D = 100, 10, x = 100, 10, 0, 40, 0, 10 T Lis: 1 x x [min] Balení: 1 x x [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] SD karty: 1 x x [krabiček] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krabiček] Zisk: 40 x x 2 max [Kč] z A = 40 x x 2 = = 3600 z B = 40 x x 2 = = 4400 z C = 40 x x 2 = = 4700 z D = 40 x x 2 = = 4600 Optimální řešení: x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T z = 4700 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 28
29 1.10 Řešení pomocí softwaru Graficky lze řešit úlohy LP, které obsahují dvě (max. tři) proměnné Dle základní věty LP lze řešit i mnohem větší úlohy Tzv. metoda hrubé síly Vyčíslení všech ZŘ ESR (kolik jich je?) Redukce na ZPŘ úlohy LP Výpočet hodnoty účelové funkce pro všechna ZPŘ Výběr optimálního řešení I ZPŘ však může být opravdu mnoho m = 4, n = 2, ZŘ 14 ZPŘ 4 m = 100, n = 10, ZŘ téměř 47 bilionů ZPŘ cca 14 bilionů Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 29
30 V praxi se však používá efektivní prohledávání množiny základních přípustných řešení pomocí simplexové metody (či metody vnitřního bodu, apod.) Historické optimalizační softwary STORM DS Win Současné nástroje LINGO, MPL Řešitel pro MS Excel a další 1.10 Řešení pomocí softwaru Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 30
31 1.10 LINGO Firma LINDO Systems, Inc. LINDO (Linear INteractive and Discrete Optimizer) LINGO (verze 16.0, 17.0) Windows, Mac, Linux Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 31
32 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 32
![1.10 LINGO - model Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krab.](/docs-images/99/140919472/images/33-0.jpg "] SD karty: 1 x 1 + 0 x 2 110 [krab. ] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krab. ] Zisk: z = 40 x 1 + 60 x 2 max [Kč] Mgr.")
33 1.10 LINGO - model Lis: 1 x x [min] Balení: 1 x x [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krab. ] SD karty: 1 x x [krab. ] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krab. ] Zisk: z = 40 x x 2 max [Kč] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 33
34 1.10 LINGO - řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 34
35 1.10 LINGO výstup řešení Hodnota účelové funkce Proměnné Omezení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 35
36 1.10 LINGO - proměnné Názvy Hodnoty Redukované ceny Proměnné Proměnné Procesy Redukovaná cena Pokud se proces nerealizuje (hodnota strukturní Hodnoty Intenzity procesůco udávají? proměnné = 0), udává, o kolik se musí zlepšit cena, aby bylo výhodné proces realizovat. Pokud se proces realizuje (hodnota strukturní proměnné > 0), je redukovaná Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. cena nulová (není třeba cenu zlepšovat). 36
37 Předpokládejme nyní v příkladu zavedení výroby třetího výrobku (speciální SD karty na zakázku) Lisování 5 minut Balení 5 minut Zisk 10 Kč Optimální řešení: x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T z = Redukovaná cena Lis: 1 x x [min] Balení: 1 x x [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krab. ] SD karty: 1 x x [krab. ] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krab. ] Zisk: z = 40 x x 2 max [Kč] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 37
38 1.10 Redukovaná cena Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 38
39 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 39
40 1.10 Redukovaná cena O kolik je třeba zlepšit současný cenový koeficient (10 Kč), aby byl příslušný proces realizován. O kolik se zhorší hodnota účelové funkce, když budeme nuceni realizovat příslušný proces s jednotkovou intenzitou. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 40
41 Současná cena: c 3 = 10 Redukovaná cena: u = 140 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 41
42 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 42 Současná cena: c 3 = 10 Současný zisk: z = 4700 Redukovaná cena: u = 140
43 Stínová cena (duální cena, duální proměnná) Pokud je omezení 3.4 LINGO splněno na - hraně, omezení tj. jako rovnost (hodnota přídatné proměnné = 0), udává, o kolik se zlepší z, pokud se kapacita uvolní o jednotku. Omezení Činitelé Pokud je omezení splněno s rezervou (hodnota přídatné proměnné > 0), je Hodnoty stínová cena přídatných nulová (malá proměnných změna kapacity Rezerva nezpůsobí změnu z). Hodnoty přídatných proměnných Názvy Stínové ceny Omezení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 43
44 Stínová cena Pokud je omezení splněno s rezervou (hodnota přídatné proměnné > 0), je stínová cena nulová (malá změna kapacity nezpůsobí změnu z). Optimální řešení: x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T z = 4700 Lis: 1 x x [min] Balení: 1 x x [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krab. ] SD karty: 1 x x [krab. ] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krab. ] Zisk: z = 40 x x 2 max [Kč] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 44
45 Stínová cena Pokud je omezení splněno na hraně, tj. jako rovnost (hodnota přídatné proměnné = 0), udává, o kolik se zlepší z, pokud se kapacita uvolní o jednotku. Optimální řešení: x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T z = 4700 Lis: 1 x x [min] Balení: 1 x x [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krab. ] Šroubky: 1 x x [min] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krab. ] Zisk: 40 x x 2 max [Kč] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 45
46 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 46 Současná kapacita: b 1 = 120 Současný zisk: z = 4700 Stínová cena: u = 30
47 Stínové ceny Omezení ve tvaru nerovnice typu : a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i Zvětšení pravé strany rozšiřuje množinu přípustných řešení Zlepšení řešení maximalizace zvýšení hodnoty účelové funkce minimalizace snížení hodnoty účelové funkce Omezení ve tvaru nerovnice typu : a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i Zvětšení pravé strany zmenšuje množinu přípustných řešení Zhoršení řešení maximalizace snížení hodnoty účelové funkce minimalizace zvýšení hodnoty účelové funkce Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 47
48 2. Lineární programování stabilita a celočíselnost
49 2.1 Redukované a stínové ceny Interpretace pro redukované i stínové ceny platí jen při malých změnách CO JE MALÁ ZMĚNA? Interpretace pro redukované i stínové ceny platí jen při změnách v rámci intervalu stability Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 49
50 2.1 LINGO - stabilita LINGO Options General Solver Dual Computations Prices & Ranges Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 50
51 2.1 LINGO - stabilita Vyřešit úlohu (CTRL + U) Z okna s modelem (ne s řešením) zobrazit Range report (CTRL + R) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 51
52 2.1 LINGO - stabilita Současná hodnota Povolený nárůst Povolený pokles Proměnné Omezení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 52
53 2.2 Intervaly stability cenových koeficientů Účelová funkce: z = 40 x x 2 max [Kč] c , c , 40 + c 1 30, c 2 0, 80 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 53
54 80 x c 1 30, Změna cenového koeficientu Při jakém c 1 je Lis: 1 x x min Zisk: x x 2 = z max [Kč] řešení stabilní? OPTIMUM (2) x 1 (1) Z max -90 (3) (4) Množina 1 Osy x a x 1 x -+ 1, 0 přípustných 24 + x 2 x x max řešení (z = = 4800) 3000) 2400) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 54
55 2.3 Intervaly stability pravých stran b , b 1 110, 145 b , b 2 130, b 3 90, b 3, 105 b , b 4 100, 120 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 55
56 Změna pravé strany Při jakém b 4 je b 4 100, 120 Z max OPTIMUM řešení stabilní? OPTIMUM OPTIMUM (2) (1) (3) (4) x 1 Množina přípustných řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 56
57 Celočíselné řešení Z max OPTIMUM (2) OPTIMUM (1) (3) (4) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 57 x 1 Množina přípustných řešení
58 2.4 Celočíselnost v úlohách LP Množina přípustných řešení obsahuje jen celočíselné body (mřížka) Úlohu řešíme nejprve bez podmínek celočíselnosti Pokud vyjde řešení celočíselně, máme OŘ Pokud nevyjde celočíselně, použijeme některou z metod pro hledání celočíselného řešení (větve a meze, Gomoryho apod.) oříznutí množiny PŘ LINGO: Pozor: při použití podmínek celočíselnosti ztratíme informaci o redukovaných a stínových cenách Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 58
59 2.4 LINGO - celočíselnost Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 59
60 2.4 LINGO - celočíselnost Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 60
61 Detaily k přednášce: skripta KONEC Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 61
4EK311 Operační výzkum. 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP
4EK311 Operační výzkum 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP 3.1 Příklad matematický model Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček]
4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování
4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených
4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování
4EK311 Operační výzkum 2. Lineární programování 2.2 Matematický model úlohy LP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
4EK213 Lineární modely. 4. Simplexová metoda - závěr
4EK213 Lineární modely 4. Simplexová metoda - závěr 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
4EK213 Lineární modely. 10. Celočíselné programování
4EK213 Lineární modely 10. Celočíselné programování 10.1 Matematický model úlohy ILP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a
4EK212 Kvantitativní management. 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP
4EK212 Kvantitativní management 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka
4EK213 Lineární modely. 5. Dualita v úlohách LP
4EK213 Lineární modely 5. Dualita v úlohách LP 5. Dualita v úlohách LP Obecné vyjádření simplexové tabulky Formulace duálního problému Formulace symetrického duálního problému Formulace nesymetrického
e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Optimalizace portfolia Investor se s pomocí makléře rozhoduje mezi následujícími investicemi: akcie A, akcie B, státní pokladniční poukázky, dluhopis A, dluhopis
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda. Distribuční úlohy
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda Dvoufázová M-úloha Duální úloha jednofázová Post-optimalizační analýza Celočíselné řešení Metoda větví a mezí Distribuční úlohy 1 OÚLP = obecná úloha lineárního
Ekonomická formulace. Matematický model
Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. GARANT KURZU Prof. Ing. Josef Jablonský, CSc. Místnost: NB 437 Konzultační hodiny: úterý 13:00 15:00 E-mail: jablon@vse.cz
Matematický model. omezující podmínky. Tab. 2.1 Prvky ekonomického a matematického modelu
16 Čeho chceme dosáhnout? Co můžeme ovlivnit? Jaké jsou překážky? Ekonomický model cíl analýzy procesy činitelé Matematický model účelová funkce proměnné omezující podmínky Příklady maximalizace zisku
Parametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení
4EK213 Lineární modely 12. Dopravní problém výchozí řešení 12. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování
1. Úloha o optimálnom výrobnom pláne (optimálne využitie výrobných faktorov)
2. cvičenie formulácia a výsledky - LINGO 1. Úloha o optimálnom výrobnom pláne (optimálne využitie výrobných faktorov) a) maximalizácia zisku NECELOČÍSELNE!zadani ucelove fce; [UCELOVA_FCE] max = 120*x1+50*x2+150*x3+100*x4;!zadani
Simplexové tabulky z minule. (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25
Simplexové tabulky z minule (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25 Simplexová metoda symbolicky Výchozí tabulka prom. v bázi zákl. proměné přídatné prom. omez. A E b c T 0 0 Tabulka po přepočtu
13. Lineární programování
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
2.2 Grafické ešení úloh LP
2. Lineární programování 21 zabránili záporným hodnotám produkce, nezabývali jsme se pípady, kdy jako výsledný objem produkce získáme desetinné číslo. Nápravu lze snadno sjednat zahrnutím tzv. podmínek
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel
Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Modul Řešitel (v anglické verzi Solver) je určen pro řešení lineárních i nelineárních úloh matematického programování. Pro ilustraci
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 1
4EK311 Operační výzkum 4. Distribuční úlohy LP část 1 4. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování (plánování
Systémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování
Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Modelování Modelování je způsob zkoumání reality, při němž složitost, chování a další vlastnosti jednoho celku vyjadřujeme složitostí, chováním a
4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech
4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech Tabulkové kalkulátory patří mezi nejpoužívanější a pro běžného uživatele nejdostupnější programové systémy. Kromě základních a jim vlastních funkcí
Matematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
4EK201 Matematické modelování. 10. Teorie rozhodování
4EK201 Matematické modelování 10. Teorie rozhodování 10. Rozhodování Rozhodování = proces výběru nějaké možnosti (varianty) podle stanoveného kritéria za účelem dosažení stanovených cílů Rozhodovatel =
Lineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU
![OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU](/thumbs/55/37186771.jpg "OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU")
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU Distanční opora RNDr. Miroslav Liška, CSc. OSTRAVA 2002 1 Simplexová metoda je iterační výpočetní postup pro nalezení optimálního
4EK311 Operační výzkum. 1. Úvod do operačního výzkumu
4EK311 Operační výzkum 1. Úvod do operačního výzkumu Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka Garant kurzu:
Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.
@021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské
Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
Extrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
12. Lineární programování
. Lineární programování. Lineární programování Úloha lineárního programování (lineární optimalizace) je jedním ze základních problémů teorie optimalizace. Našim cílem je nalézt maximum (resp. minimum)
OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB D24FZS
OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb Anotace: Optimalizace objektů pozemních staveb
Lineární programování
Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.
15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace
@173 15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace Jak jsme se dozvěděli v 3. lekci tohoto kurzu, je obrazem rovnice ax + by + c = 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) přímka a obrazem nerovnic ax + by + c 0, a,b,c
Úvod do celočíselné optimalizace
Úvod do celočíselné optimalizace Martin Branda Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Výpočetní aspekty optimalizace Martin Branda (KPMS
České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská OKRUHY. ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM
OKRUHY ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM Obor: Studijní program: Aplikace přírodních věd 1. Vektorový prostor R n 2. Podprostory 3. Lineární zobrazení 4. Matice 5. Soustavy lineárních rovnic
Konvexní množiny Formulace úloh lineárního programování. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Euklidovský prostor E n Pod pojmem n-rozměrný euklidovský prostor budeme rozumnět prostor, jehož prvky jsou uspořádané n-tice reálných čísel X = (x 1, x 2,...,
6 Simplexová metoda: Principy
6 Simplexová metoda: Principy V této přednášce si osvětlíme základy tzv. simplexové metody pro řešení úloh lineární optimalizace. Tyto základy zahrnují přípravu kanonického tvaru úlohy, definici a vysvětlení
Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel
Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat
4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování
4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování 4. Typické úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Směšovací problémy
4EK201 Matematické modelování. 4. Typické úlohy lineárního programování
4EK201 Matematické modelování 4. Typické úlohy lineárního programování 4. Typické úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Směšovací problémy
7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.
7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň
Příklady modelů lineárního programování
Příklady modelů lineárního programování Příklad 1 Optimalizace výroby konzerv. Podnik vyrábí nějaký výrobek, který prodává v 1 kg a 2 kg konzervách, přičemž se řídí podle následujících velmi zjednodušených
Grafické řešení úloh LP se dvěma neznámými
. přenáška Grafické řešení úloh LP se věma nenámými Moel úlohy lineárního programování, který obsahuje poue vě nenámé, le řešit graficky v rovině pravoúhlých souřaných os. V této rovině se nejprve obraí
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí
Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
Obecná úloha lineárního programování
Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné
Problém lineární komplementarity a kvadratické programování
Problém lineární komplementarity a kvadratické programování (stručný učební text 1 J. Rohn Univerzita Karlova Matematicko-fyzikální fakulta Verze: 17. 6. 2002 1 Sepsání tohoto textu bylo podpořeno Grantovou
opt [ ] Vyjádření subvektory (báz. a nebáz.) B,N Index bázových a nebázových proměnných β, ν Množina indexů veličin B,N
![opt [ ] Vyjádření subvektory (báz. a nebáz.) B,N Index bázových a nebázových proměnných β, ν Množina indexů veličin B,N](/thumbs/56/38176132.jpg "opt [ ] Vyjádření subvektory (báz. a nebáz.) B,N Index bázových a nebázových proměnných β, ν Množina indexů veličin B,N")
1 2-LP-Lineární programování Lineární funkce i omezovací podmínky opt t X c R c R b b b R...vektor limitů (kapacitních), a i i R b A...matice strukturálních koeficientů, > b! R hod = b, 0,..vektorproměnných,...vektor
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr
JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH EKONOMICKÁ FAKULTA OPERAČNÍ ANALÝZA
JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH EKONOMICKÁ FAKULTA OPERAČNÍ ANALÝZA Ing. Jana Friebelová, Ph.D. České Budějovice 2009 Operační analýza Jana Friebelová Recenzent: doc. Ing. Mgr. Martin Dlouhý,
Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel
Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat
Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ZADÁNÍ NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Matematika 017 ZADÁNÍ NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! Zopakujte si základní informace ke zkoušce: n Test obsahuje 0 úloh a na jeho řešení máte 90 minut čistého času. n V průběhu
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
1 Úvod do celočíselné lineární optimalizace
Úvod do celočíselné lineární optimalizace Martin Branda, verze 7.. 7. Motivace Reálné (smíšeně-)celočíselné úlohy Optimalizace portfolia celočíselné počty akcií, modelování fixních transakčních nákladů,
2 Spojité modely rozhodování
2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A
Úvod do optimalizace Matematické metody pro ITS (11MAMY)
Úvod do optimalizace Matematické metody pro ITS (11MAMY) Jan Přikryl (volně dle M.T. Heathe) 10. přednáška 11MAMY úterý 22. března 2016 verze: 2016-04-01 16:10 Obsah Optimalizační problém 1 Definice 1
CVIČNÝ TEST 48. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 48 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán konvexní čtyřúhelník, jehož vnitřní
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK p: a x b y c 0 q: a x b y c 0 ROVNOBĚŽNÉ PŘÍMKY (RŮZNÉ) nemají žádný společný bod, můžeme určit jejich vzdálenost, jejich odchylka je 0. Normálové
Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd. Ivana Kozlová. Modely analýzy obalu dat
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ Ivana Kozlová Modely analýzy obalu dat Plzeň 2010 Obsah 1 Efektivnost a její hodnocení 2 2 Základní
9. Soustava lineárních rovnic
@097 9. Soustava lineárních rovnic Definice: Nechť x, y, z, t,... jsou reálné proměnné, a, b, c, d,... jsou reálné konstanty. Kombinace proměnných a konstant tvaru ax+b=0, ax+by+c=0, ax+by+cz+d=0, ax+by+cz+dt+e=0,
Numerické metody a programování. Lekce 8
Numerické metody a programování Lekce 8 Optimalizace hledáme bod x, ve kterém funkce jedné nebo více proměnných f x má minimum (maximum) maximalizace f x je totéž jako minimalizace f x Minimum funkce lokální:
CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka
Lineární programování(optimalizace) a soustavy lineárních nerovností
Lineární programování(optimalizace) a soustavy lineárních nerovností 2017 tuma@karlin.mff.cuni.cz 0-1 Příklad úlohy lineárního programování najdětemaximálníhodnotufunkce x 1 +x 2 přesvšechnyvektoryx =
KVADRATICKÉ FUNKCE. + bx + c, největší hodnotu pro x = a platí,
KVADRATICKÉ FUNKCE Definice Kvadratická funkce je každá funkce na množině R (tj. o definičním ooru R), daná ve tvaru y = ax + x + c, kde a je reálné číslo různé od nuly,, c, jsou liovolná reálná čísla.
Programy pro ˇreˇsen ı ulohy line arn ıho programov an ı 18. dubna 2011
Programy pro řešení úlohy lineárního programování 18. dubna 2011 Přehled Mathematica Sage AMPL GNU Linear Programming Kit (GLPK) Mathematica Mathematika je program pro numerické a symbolické počítání.
Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,
Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v
4EK311 Operační výzkum. 5. Teorie grafů
4EK311 Operační výzkum 5. Teorie grafů 5. Teorie grafů definice grafu Graf G = uspořádaná dvojice (V, E), kde V označuje množinu n uzlů u 1, u 2,, u n (u i, i = 1, 2,, n) a E označuje množinu hran h ij,
2. kapitola: Euklidovské prostory
2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru
f ( x) = 5x 1 + 8x 2 MAX, 3x x ,
4. okruh z bloku KM1 - řídicí technika Zpracoval: Ondřej Nývlt (o.nyvlt@post.cz) Zadání: Lineární programování (LP), simplexová metoda, dualita v LP. Nelineární programování. Vázaný extrém. Karush-Kuhn-Tuckerova
Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 1. V obdélníku ABCD o stranách AB = 9, BC = 8 leží vzájemně se dotýkající kružnice k 1 (S 1, r 1 ) a k 2 (S 2, r 2 ) tak,
skladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi):
Klíčová slova: simplexová metoda 1 Simplexová metoda Postup výpočtu: 1. Nalezení výchozího řešení. 2. Test optima: pokud je řešení optimální výpočet končí, jinak krok 3. 3. Iterační krok, poté opět test
Přiřazovací problém. Přednáška č. 7
Přiřazovací problém Přednáška č. 7 Přiřazovací problém je jednou podtřídou logistických úloh. Typickým problémem může být nejkratší převoz materiálu od dodavatelů ke spotřebitelům. spotřebitelé a i dodavatelé
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz
Katedra matematiky OPERAČNÍ VÝZKUM Mgr. Andrea Kubišová
VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematiky OPERAČNÍ VÝZKUM Mgr Andrea Kubišová 214 ÚVOD Tato skripta jsou základním studijním materiálem pro volitelný předmět Operační výzkum určený převážně
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA EKONOMICKÁ Bakalářská práce Dualita úloh lineárního programování The Duality of linear programming problems Jakub Petelík CHEB 2014 Čestné prohlášení Prohlašuji,
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ
Funkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
Základní poznatky o funkcích
Základní poznatk o funkcích Tajemství černé skříňk (Definice funkce, základní pojm) 0 c, d, g, h 0 a) ANO b) NE 0 D( f )={ 6} H( f )={ 7} 0 a) D( f )={ 0 } b) H( f )={ 8 9 0 } c) f ( 0)= f ( )=9 f ( )=
Otázky ke státní závěrečné zkoušce
Otázky ke státní závěrečné zkoušce obor Ekonometrie a operační výzkum a) Diskrétní modely, Simulace, Nelineární programování. b) Teorie rozhodování, Teorie her. c) Ekonometrie. Otázka č. 1 a) Úlohy konvexního
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
1 Duální simplexová metoda
1 Duální simplexová metoda Autor: Markéta Popelová Datum: 8.5.2011 Předmět: Základy spojité optimalizace Zadání Mějme matici A R m n a primární úlohu lineárního programování v normálním tvaru (P) a k ní
Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37)
Analytická geometrie přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Název: XI 3 21:42 (2 z 37) Rovnice přímky a) parametrická A B A B C A X Název: XI 3 21:42 (3 z
Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Extrémy funkcí Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Více dimenzí Kombinatorika Lineární programování Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Snažíme se najít extrém funkce, at už jedné
Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru
Variace 1 Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz
Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2017
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Matematika T DUBNA 07 : 9. dubna 07 D : 830 P P P : 30 M. M. : 30 : 8,8 M. :, % S : -7,5 M. P : -,5 :,4 Zopakujte si základní informace ke zkoušce: n Test obsahuje 30 úloh a
ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém
Přiřazovací problém Přiřazovací problémy jsou podtřídou logistických úloh, kde lze obecně říci, že m dodavatelů zásobuje m spotřebitelů. Dalším specifikem je, že kapacity dodavatelů (ai) i požadavky spotřebitelů
3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel
3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel Rovnováha mechanické soustavy Uvažujme dvě různé nehmotné lineární pružiny P 1 a P 2 připevněné na pevné horizontální tyči splývající s osou x podle obrázku: (0,0)
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška