2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
|
|
- Jana Sedláčková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. 1
2 Úvodní pojmy Metody na podporu rozhodování lze obecně dělit na: Eaktní metody metody zaručující nalezení optimální řešení, např. Littlův algortimus, Hakimiho algoritmus atd. Heuristické metody metody, které nezaručují nalezení optimálního řešení, např. Metoda nejbližšího dosud nenavštíveného vrcholu atd. 2
3 Úvodní pojmy Přípustné řešení je každé řešení, které splňuje omezující podmínky úlohy. Optimální řešení je přípustné řešení, pro které nabývá hodnota optimalizačního kritéria etrému (maima či minima). Optimalizační kritérium je hledisko, pomocí kterého posuzujeme kvalitu jednotlivých přípustných řešení. Je-li optimalizační kritérium formulováno jako funkční vztah, hovoříme o účelové funkci. 3
4 Matematické modelování Předmětem matematického modelování je sestava a řešení matematických modelů reálných problémů. Matematické modelování patří mezi eaktní metody. Matematické modely lze členit podle mnoha kritérií. Podle toho, zda matematický model obsahuje náhodné proměnné, dělíme: Deterministické modely (proměnné modelu nemají charakter náhodných proměnných). Stochastické modely (proměnné modelu mají charakter náhodných proměnných). 4
5 Matematické modelování Podle toho, je-li do modelu včleněn čas, dělíme modely na: Statické (neobsahující čas, umožňují rozhodnout se v konkrétní situaci, nikoliv výhledově). Dynamické (obsahující čas, umožňují rozhodovat výhledově). 5
6 Matematické programování Je třeba provést nějaké rozhodnutí (např. jak naplánovat přepravy určitého materiálu ze skladů k zákazníkům tak, abychom minimalizovali celkové náklady na přepravu). Účelem matematického programování je sestava a řešení rozhodovacích úloh, hledáme optimální řešení vzhledem k definovanému optimalizačnímu kritériu. 6
7 Matematické programování Modely matematického programování dělíme na: Lineární (podmínky úlohy jsou vyjádřeny lineárními rovnicemi nebo nerovnicemi). Nelineární (podmínky úlohy jsou vyjádřeny nelineárními rovnicemi či nerovnicemi; o nelineární model se jedná i tehdy, je-li část podmínek nelineární a zbytek lineární). 7
8 Lineární programování Budeme se zabývat jednoduchými lineárními matematickými modely a to statickými a deterministickými. Požadavky na matematický model: Model musí co nejpřesněji vystihovat modelovanou situaci. Model musí být co nejjednodušší. 8
9 Lineární programování K aplikacím lineárního programování např. patří již uvedené stanovení objemů přeprav mezi zdroji a zákazníky při minimalizaci celkových nákladů za přepravu, stanovení výrobního plánu náhradních dílů do dopravních prostředků při maimalizaci zisku, stanovení střižného plánu plechů při minimalizaci získaného odpadu atd. 9
10 Lineární programování Každý matematický model je tvořen: Soustavou omezujících podmínek (vymezují množinu přípustných řešení). Účelovou funkcí, která umožňuje posuzovat kvalitu jednotlivých přípustných řešení z pohledu optimalizačního kritéria (např. minimalizace nákladů apod.). 10
11 Lineární programování Omezující podmínky úlohy dělíme na: Strukturální podmínky (zajišťují splnění podmínek plynoucích ze zadání konkrétního problému). Obligatorní podmínky (specifikují definiční obory proměnných vystupujících v modelu). 11
12 Lineární programování Do matematického modelu vstupují dvě skupiny veličin: Veličiny konstantní, jejichž hodnoty se v průběhu výpočtu nemění. Veličiny, jejichž hodnoty se v průběhu výpočtu mění proměnné. Pomocí proměnných modelujeme jednotlivá rozhodnutí, z hodnot proměnných musí být po ukončení výpočtu jasné, jaká rozhodnutí máme udělat. 12
13 Lineární programování V lineárním programování rozlišujeme podle oboru hodnot proměnných dva typy úloh: Úlohy spojitého lineárního modelování. Úlohy celočíselného lineárního modelování. V lineárním programování rozeznáváme tři základní typy oborů hodnot proměnných: Obor nezáporných reálných čísel. Obor nezáporných celých čísel. Obor hodnot 0 a 1. 13
14 Lineární programování Budeme-li např. rozhodovat o tom, kolik vyrobit šroubků M12, přičemž výrobní jednotkou bude tuna, budou definičním oborem příslušné proměnné nezáporná reálná čísla. Budeme-li rozhodovat o tom, kolik vyrobit automobilů, potom budou definičním oborem proměnné celá nezáporná čísla. Budeme-li rozhodovat o tom, které úseky zařadit do minimální Hamiltonovy kružnice, potom bude definiční obor proměnných {0,1}. 14
15 Lineární programování V lineárním programování je dovoleno sčítat a odečítat proměnné a násobit proměnné reálnou konstantou. V lineárním programování je dovoleno používat relační znaménka =, a. 15
16 Dopravní úloha Definice dopravní úlohy: Máme m zdrojů o kapacitách a i, kde i 1,2,..., ma n spotřebitelů s požadavky b j, kde j 1,2,..., n, mezi kterými se přepravuje homogenní typ zásilek. Dále je dána matice sazeb C ij jednotkové náklady na přepravu z i tého zdroje k j tému spotřebiteli. Úkolem dopravní úlohy je potom určit jednotlivé objemy přeprav z i tého zdroje k j tému spotřebiteli tak, aby se minimalizovaly celkové náklady na přepravu. 16
17 Dopravní úloha Rozeznáváme 3 typy dopravní úlohy: Dopravní úloha vybilancovaná - a i bj. Dopravní úloha nevybilancovaná s přebytkem kapacit zdrojů - a i b. i1 j1 Dopravní úloha nevybilancovaná s nedostatkem kapacit zdrojů - a i bj. m m i1 n n j1 j m i1 n j1 17
18 Vlastnosti vybilancované dopravní úlohy 1. Množina přípustných řešení vybilancované dopravní úlohy je konvení. Obecně platí, že množina přípustných oblastí může být tvořena: Prázdnou množinou. Konvením polyedrem (bod je považován za konvení polyedr). Neohraničenou konvení oblastí. 18
19 Vlastnosti vybilancované dopravní úlohy Oblast přípustných řešení Oblast přípustných řešení Konvení polyedr Neohraničená konvení oblast 19
20 Vlastnosti vybilancované dopravní úlohy 2. Vybilancovaná dopravní úloha má vždy přípustné řešení. 20
21 Vlastnosti vybilancované dopravní úlohy Důkaz Pro vybilancovanou úlohu platí ij ij A. Zvolme ij a i b A j pro všechna i,j. Musíme ověřit, zda je toto řešení přípustným. i j Jelikož a, b, A 0, potom platí, čili obligatorní podmínky jsou splněny. m n i1 j1 b A i j ij 0 a 21
22 Vlastnosti vybilancované dopravní úlohy Dále platí pro všechna i, jsou tedy splněny podmínky pro zdroje. Platí pro všechna j, jsou tedy splněny podmínky pro zákazníky. 22 i m j j i n j j i n j ij a A b a A b a j m j i j m i j i m i ij b A a b A b a 1 1 1
23 Vlastnosti vybilancované dopravní úlohy Jelikož jsou splněny všechny omezující ai podmínky úlohu, zvolené řešení ij všechna i,j je řešením přípustným. A b j pro 23
24 Vlastnosti vybilancované dopravní úlohy 3. Vybilancovaná dopravní úloha má vždy optimální řešení. 4. Jsou-li všechny kapacity zdrojů a požadavky spotřebitelů celá nezáporná čísla, každé základní řešení se skládá pouze z celých čísel. 24
25 Vlastnosti vybilancované dopravní úlohy Oblast přípustných řešení Základní řešení 25
26 Vlastnosti vybilancované dopravní úlohy 5. Účelová funkce nabývá minima v krajním bodě konveního polyedru, který je množinou přípustných řešení dané úlohy. Jestliže účelová funkce nabývá minima ve více než jednom krajním bodu, dosahuje stejných hodnot ve všech bodech, které jsou konveními kombinacemi bodů, v nichž účelová funkce nabývá minima (leží tedy na spojnici těchto bodů). 26
27 Matematický model vybilancované dopravní úlohy c 11, 11 a 1 Z 1 c 12, 12 c 21, 21 S 1 b 1 a 2 Z 2 c 22, 22 c, 2 n 2n c, m2 m2 S 2 b 2 m i1 n a i b j1 j c, m1 m1 c, 1 n 1n a m Z m c, mn mn S n b n Proměnná ij objem přepravy mezi i-tým zdrojem a j-tým spotřebitelem. 27
28 Matematický model vybilancované dopravní úlohy Účelová funkce: f c c min c m1 m1 c 11 m2 11 m c mn... c mn 1n 1n c c c 2n 2n... Obligatorní podmínky: 11, 12,..., 1 n, 21, 22,..., 2n,... m 1, m2,... mn 0 28
29 Matematický model vybilancované dopravní úlohy Strukturální podmínky: Kapacita každého zdroje Požadavek každého bude zcela vyčerpána. spotřebitele bude zcela m m n 2n mn a a a m splněn n n m1 m2 mn b b b 2 n 29
30 Matematický model vybilancované dopravní úlohy Matematický model ve zkrácené podobě: min f m n i1 j1 c ij ij za podmínek: n j1 ij a i pro i 1,2,..., m m i1 ij b j pro j 1,2,..., n Vyčerpání kapacit zdrojů. Uspokojení požadavků. ij 0 pro i 1,2,..., m a i 1,2,..., n 30
31 Matematický model nevybilancované DÚ s přebytkem kapacit zdrojů c 11, 11 a 1 Z 1 c 12, 12 c 21, 21 S 1 b 1 a 2 Z 2 c 22, 22 c, 2 n 2n c, m2 m2 S 2 b 2 m i1 n a i b j1 j c, m1 m1 c, 1 n 1n a m Z m c, mn mn S n b n Proměnná ij objem přepravy mezi i-tým zdrojem a j-tým spotřebitelem. 31
32 Matematický model nevybilancované DÚ s přebytkem kapacit zdrojů Účelová funkce: f c c min c m1 m1 c 11 m2 11 m2... c... c mn mn 1n Obligatorní podmínky: n c c c 2n 2n... 11, 12,..., 1 n, 21, 22,..., 2n,... m 1, m2,... mn 0 Účelová funkce a obligatorní podmínky mají stejný tvar jako u vybilancované dopravní úlohy! 32
33 Matematický model nevybilancované DÚ s přebytkem kapacit zdrojů Strukturální podmínky: Kapacita každého zdroje Požadavek každého bude vyčerpána jenom spotřebitele bude zcela částečně nebo zcela. splněn m m n 2n mn a a a m n n m1 m2 mn b b b 2 n 33
34 Matematický model nevybilancované DÚ s přebytkem kapacit zdrojů Matematický model ve zkrácené podobě: min f m i1 j1 za podmínek: n c ij ij n j1 ij a i pro i 1,2,..., m m i1 ij b j pro j 1,2,..., n Částečné nebo úplné Uspokojení požadavků. vyčerpání kapacit zdrojů. ij 0 pro i 1,2,..., m a i 1,2,..., n 34
35 Matematický model nevybilancované DÚ s nedostatkem kapacit zdrojů c 11, 11 a 1 Z 1 c 12, 12 c 21, 21 S 1 b 1 a 2 Z 2 c 22, 22 c, 2 n 2n c, m2 m2 S 2 b 2 m i1 n a i b j1 j c, m1 m1 c, 1 n 1n a m Z m c, mn mn S n b n Proměnná ij objem přepravy mezi i-tým zdrojem a j-tým spotřebitelem. 35
36 Matematický model nevybilancované DÚ s nedostatkem kapacit zdrojů Účelová funkce: f c c min c m1 m1 c 11 m2 11 m2... c mn... c mn 1n Obligatorní podmínky: n c c c 2n 2n... 11, 12,..., 1 n, 21, 22,..., 2n,... m 1, m2,... mn 0 Účelová funkce a obligatorní podmínky mají opět stejný tvar jako u vybilancované dopravní úlohy! 36
37 Matematický model nevybilancované DÚ s nedostatkem kapacit zdrojů Strukturální podmínky: Kapacita každého zdroje Požadavek každého bude zcela vyčerpána. bude uspokojen pouze m m n 2n mn a a a m částečně nebo úplně n n m1 m2 mn b b b 2 n 37
38 Matematický model nevybilancované DÚ s nedostatkem kapacit zdrojů Matematický model ve zkrácené podobě: min f m n i1 j1 c ij ij za podmínek: n j1 ij a i pro i 1,2,..., m Vyčerpání kapacit zdrojů. m i1 ij 0 pro i 1,2,..., m a i 1,2,..., n ij b j pro j 1,2,..., n Částečné nebo úplné uspokojení požadavků. 38
39 Analytické řešení dopravní úlohy K řešení úloh lineárního programování se používá Simpleová metoda. Z výpočetního hlediska není tato metoda pro řešení dopravní úlohy vhodná, proto byl vyvinut G.B. Dantzigem speciální algoritmus pro řešení dopravní úlohy. 39
40 Analytické řešení dopravní úlohy Pro potřeby výpočtu musíme znát: Počet zdrojů a jejich kapacity a i, kde i 1,2,..., m. Počet spotřebitelů s požadavky. Matici sazeb (jednotkových nákladů) C, jednotlivé prvky c ij této matice odpovídají nákladům na přepravu jedné jednotky mezi i-tým zdrojem a j-tým spotřebitelem. Proměnná ij bude nezáporná. b j, kde j 1,2,..., n 40
41 Analytické řešení dopravní úlohy Vlastní algoritmus se skládá z následujících kroků: 1) Kontrola vybilancovanosti úlohy, postup na krok 2). 2) Nalezení výchozího řešení, postup na krok 3). 3) Kontrola nedegenerace úlohy, postup na krok 4). 4) Test optimality, není-li řešení optimální, postup na krok 5), v opačném případě algoritmus končí. Vyhledané řešení je řešením optimálním. 5) Transformace řešení a návrat ke kroku 3). 41
42 Analytické řešení dopravní úlohy krok 1) Algoritmus je vytvořen pro řešení vybilancované dopravní úlohy. Máme-li nevybilancovanou dopravní úlohu s přebytkem kapacit zdrojů, potom přidáme fiktivního spotřebitele S f s požadavkem b f m i1 a i n j1 b j. V případě nevybilancované dopravní úlohy s nedostatkem kapacit zdrojů přidáme fiktivní n m zdroj Z f s kapacitou a b a. f j1 j i1 i 42
43 Analytické řešení dopravní úlohy krok 2) Výchozí řešení lze určit některou ze tří metod: Metodou severozápadního rohu. Indeovou metodou. Vogelovou aproimační metodou. 43
44 Analytické řešení dopravní úlohy krok 2) Metoda severozápadního rohu: Jako první obsazujeme maimálním objemem přepravy pole odpovídající prvnímu zdroji a prvnímu zákazníkovi. V případě vyčerpání kapacity příslušného zdroje se přesouváme na další řádek, v opačném případě o jedno pole doprava. Pole obsazujeme tedy postupně od levého horního rohu (tedy severozápadu). 44
45 Analytické řešení dopravní úlohy Indeová metoda: krok 2) Postupně obsazujeme pole s nejnižší sazbou, přičemž postupujeme od sazeb nižších k sazbám vyšším. Vyskytuje-li se v tabulce více stejných sazeb, potom vybíráme libovolnou z nich. Nulové sazby (tedy ty, které odpovídají fiktivním přepravám) obsazujeme jako poslední v pořadí. 45
46 Analytické řešení dopravní úlohy krok 2) Vogelova aproimační metoda: 1) V každé řadě vypočítáme diferenci, nelze-li diference spočítat, postup na krok 4), v opačném případě jdeme na krok 2). 2) Vyhledáme řadu s maimální diferencí, v této řadě vyhledáme pole s nejnižší sazbou a to obsadíme maimálním možným objemem přepravy. Je-li více řad s maimální diferencí, potom vybíráme tu řadu, ve které je nejnižší sazba ze všech těchto řad a na toto pole umístíme maimální možný objem přepravy. Postup na krok 3). 46
47 Analytické řešení dopravní úlohy krok 2) Vogelova aproimační metoda: 3) Řadu, jejíž kapacitu nebo požadavek jsme vyčerpali, pomyslně vyškrtneme a při dalším postupu vedoucím k vyhledání výchozího řešení s ní dočasně nepracujeme, návrat na krok 1). 4) Obsadíme pole odpovídající zbylým hodnotám, vyhledané řešení je výchozím řešením. 47
48 Analytické řešení dopravní úlohy krok 2) Použitím některé z uvedených 3 metod získáme výchozí řešení, které je základní. Řešení je základní tehdy, pokud graf, který vznikne spojením obsazených polí vodorovnými a svislými čarami, neobsahuje kružnici. 48
49 Analytické řešení dopravní úlohy krok 3) Získané řešení je nedegenerované, pokud je přepravami obsazeno (m + n 1) polí. Případnou degeneraci odstraníme tak, že chybějící počet polí obsadíme nulovými objemy přepravy, přičemž je třeba opět respektovat, aby řešení bylo základní, tedy nuly lze umisťovat pouze na pole tak, aby v grafu nevznikla kružnice. 49
50 Analytické řešení dopravní úlohy krok 4) Test optimality řešení se skládá ze 3 kroků: 1) Výpočet potenciálů u i a v j podle vztahu u i + v j = c ij. Potenciály počítáme pouze s využitím sazeb na obsazených polích počítáme (m + n) potenciálů a máme pouze (m + n 1) rovnic. Jeden potenciál položíme roven nule (doporučuje se za nulový potenciál volit ten, který odpovídá řadě s největším počtem obsazených polí). Ostatní potenciály dopočítáme podle výše uvedeného vztahu. 50
51 Analytické řešení dopravní úlohy krok 4) 2) Výpočet nepřímých sazeb c ij podle vztahu c ij ui v j. Tyto nepřímé sazby vypočítáme pro všechna pole, postupujeme-li správně, potom musí na obsazených polích platit c. ij c ij 3) Platí-li na všech polích nerovnost c ij c ij, potom je aktuální řešení optimálním. Pokud toto neplatí pro všechna pole, potom je nutno přistoupit k transformaci řešení krok 5). 51
52 Analytické řešení dopravní úlohy krok 5) Před transformací vypočteme hodnotu účelové funkce aktuálního řešení, tato hodnota se po provedení transformace řešení nesmí zvýšit. Samotnou transformaci provedeme následujícím postupem: V tabulce vyhledáme nejvyšší kladný rozdíl c ij c ij (kandidát s nejvyšší možnou úsporou) a na toto pole umístíme dosud neznámý objem přepravy t. V řešící tabulce vyhledáme uzavřený obvod, přičemž se můžeme pohybovat pouze vodorovně nebo svisle a měnit směr lze pouze na polích obsazených přepravami. V místech lomení obvodu střídavě odečítáme a přičítáme objem přepravy t. Hodnota t je rovna nejmenšímu objemu přepravy na polích, na kterých se hodnota t odečítá. 52
53 Dantzigova ε perturbační metoda V případě velké degenerovanosti úlohy lze k odstranění degenerace úlohy použít tuto metodu. Metoda spočívá v úpravě vstupů úlohy: a i ai pro i 1,2,..., m (všechny kapacity zdrojů zvýšíme o ε. b j bj pro j 1,2,..., n 1; b n bn m (všechny požadavky zůstanou stejné kromě požadavku posledního spotřebitele, který navýšíme o mε. 53
54 Dantzigova ε perturbační metoda Číslo ε se nazývá perturbační konstanta a určí se podle vztahu: k 10 2m, kde k představuje řád nejnižší kapacity zdroje, resp. nejnižšího požadavku spotřebitele. Před hledáním výchozího řešení upravíme vstupy úlohy, vyhledáme výchozí řešení a poté hodnoty podle běžných zásad zaokrouhlíme na celá čísla. Takto získáme nedegenerované řešení. 54
4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování
4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Více4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení
4EK213 Lineární modely 12. Dopravní problém výchozí řešení 12. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
VíceDiferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné - 4.1 - LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY Při hledání lokálních etrémů postupujeme podle následujícího programu Nalezneme
VíceRNDr. Sousedíková Radmila, Ph.D.
INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Eaktní metody rozhodování - operační výzkum RNDr. Sousedíková Radmila,
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
Vícex 0; x = x (s kladným číslem nic nedělá)
.. Funkce absolutní hodnota Předpoklady: 08, 07 x - zničí znaménko čísla, všechna čísla změní na nezáporná Jak vyjádřit matematicky? Pomocí číselné osy: x je vzdálenost obrazu čísla na číselné ose od počátku.
Vícee-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
VíceNumerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
VícePřiřazovací problém. Přednáška č. 7
Přiřazovací problém Přednáška č. 7 Přiřazovací problém je jednou podtřídou logistických úloh. Typickým problémem může být nejkratší převoz materiálu od dodavatelů ke spotřebitelům. spotřebitelé a i dodavatelé
Více7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém
Přiřazovací problém Přiřazovací problémy jsou podtřídou logistických úloh, kde lze obecně říci, že m dodavatelů zásobuje m spotřebitelů. Dalším specifikem je, že kapacity dodavatelů (ai) i požadavky spotřebitelů
VíceOperační výzkum. Přiřazovací problém.
Operační výzkum Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ..7/2.2./28.326
VíceLineární funkce, rovnice a nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je
VíceParametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
Více4EK213 Lineární modely. 4. Simplexová metoda - závěr
4EK213 Lineární modely 4. Simplexová metoda - závěr 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu
VícePRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ
Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční
VíceOPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB D24FZS
OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb Anotace: Optimalizace objektů pozemních staveb
Více12. Lineární programování
. Lineární programování. Lineární programování Úloha lineárního programování (lineární optimalizace) je jedním ze základních problémů teorie optimalizace. Našim cílem je nalézt maximum (resp. minimum)
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
Více4EK311 Operační výzkum. 1. Úvod do operačního výzkumu
4EK311 Operační výzkum 1. Úvod do operačního výzkumu Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka Garant kurzu:
VíceMO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
Více4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování
4EK311 Operační výzkum 2. Lineární programování 2.2 Matematický model úlohy LP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
VíceK OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy
Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku
VíceAlgebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.
Algebraické rovnice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Základní pojm 2 Metod řešení algebraických rovnic Algebraické řešení Grafické řešení Numerické řešení 3 Numerické řešení Ohraničenost
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Kvadratická funkce Autor: Kubešová
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,
VíceSoustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
VíceLineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
Více4EK212 Kvantitativní management. 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP
4EK212 Kvantitativní management 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Více3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
VíceBetonové konstrukce (S) Přednáška 3
Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Obsah Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Silové působení kabelu na beton Ekvivalentní zatížení Staticky neurčité účinky předpětí Konkordantní kabel, Lineární
VíceUrčete a graficky znázorněte definiční obor funkce
Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro
Více2.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 40, 4, 806 Pedagogická poznámka: Opět si napíšeme na začátku hodiny na tabuli (nejlépe tak, aby se zápis mohl otočit nebo jinak schovat
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Více( ) ( ) Lineární nerovnice II. Předpoklady: Jak je to s problémem z minulé hodiny? Získali jsme dvě řešení nerovnice x < 3 :
.. Lineární nerovnice II Předpoklady: 00 Jak je to s problémem z minulé hodiny? Získali jsme dvě řešení nerovnice x < : Správné řešení. x < / + x 0 < + x / < x K = ( ; ) Test možné správnosti: x = :
VíceKvantitativní metody v rozhodování. Marta Doubková
Kvantitativní metody v rozhodování Marta Doubková Seminární práce 28 OBSAH 1 LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ KAPACITNÍ ÚLOHA... 3 2 DISTRIBUČNÍ ÚLOHA... 7 3 ANALÝZA KRITICKÉ CESTY METODA CPM... 13 4 MODEL HROMADNÉ
Vícemetoda Regula Falsi 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda Regula Falsi Michal Čihák 23. října 2012 Metoda Regula Falsi hybridní metoda je kombinací metody sečen a metody půlení intervalů předpokladem je (podobně
VíceANTAGONISTICKE HRY 172
5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Více2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
2. část: Základy matematického programováí, dopraví úloha. 1 Úvodí pomy Metody a podporu rozhodováí lze obecě dělit a: Eaktí metody metody zaručuící alezeí optimálí řešeí, apř. Littlův algortimus, Hakimiho
VíceOptimalizace. Obsah přednášky. DÚ LP - Okružní problém. Lineární optimalizace. DÚ LP - Okružní problém. DÚ LP - Okružní problém
Obsah přednášky Mgr. Květuše Sýkorová Optimalizace Lineární programování Distribuční úlohy Okružní problém KI Př UJEP Ústí nad Labem Nederivační metody Metody 1D optimalizace Derivační metody Optimalizace
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceNerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru
Variace 1 Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceMetody lineární optimalizace Simplexová metoda. Distribuční úlohy
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda Dvoufázová M-úloha Duální úloha jednofázová Post-optimalizační analýza Celočíselné řešení Metoda větví a mezí Distribuční úlohy 1 OÚLP = obecná úloha lineárního
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více4EK311 Operační výzkum. 5. Teorie grafů
4EK311 Operační výzkum 5. Teorie grafů 5. Teorie grafů definice grafu Graf G = uspořádaná dvojice (V, E), kde V označuje množinu n uzlů u 1, u 2,, u n (u i, i = 1, 2,, n) a E označuje množinu hran h ij,
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VícePříklad 1/23. Pro rostoucí spojité fukce f(x), g(x) platí f(x) Ω(g(x)). Z toho plyne, že: a) f(x) Ο(g(x)) b) f(x) Θ(g(x)) d) g(x) Ω(f(x))
Příklad 1/23 Pro rostoucí spojité fukce f(x), g(x) platí f(x) Ω(g(x)). Z toho plyne, že: a) f(x) Ο(g(x)) b) f(x) Θ(g(x)) c) g(x) Θ(f(x)) d) g(x) Ω(f(x)) e) g(x) Ο(f(x)) 1 Příklad 2/23 Pro rostoucí spojité
VíceLineární klasifikátory
Lineární klasifikátory Lineární klasifikátory obsah: perceptronový algoritmus základní verze varianta perceptronového algoritmu přihrádkový algoritmus podpůrné vektorové stroje Lineární klasifikátor navrhnout
Vícerovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =
Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení
Více3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel
3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel Rovnováha mechanické soustavy Uvažujme dvě různé nehmotné lineární pružiny P 1 a P 2 připevněné na pevné horizontální tyči splývající s osou x podle obrázku: (0,0)
VíceCVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4
VíceDERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Reálná funkce dvou proměnných a definiční obor Kartézský součin R R značíme R 2 R 2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel (rovina) Prvk R 2 jsou bod v rovině
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceCVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceAlgoritmizace diskrétních. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Algoritmizace diskrétních simulačních modelů Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Při programování simulačních modelů lze hlavní dílčí problémy shrnout do následujících bodů: 1) Zachycení statických
VíceHledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012 Problém hledání kořenů rovnice f(x) = 0 jeden ze základních problémů numerické matematiky zároveň i jeden
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceSystémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování
Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Modelování Modelování je způsob zkoumání reality, při němž složitost, chování a další vlastnosti jednoho celku vyjadřujeme složitostí, chováním a
Více1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU
VíceEkonomická formulace. Matematický model
Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Více6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle
VíceCVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =
Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší
VíceCVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 2 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256.
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceVZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
VíceMgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje
VíceObr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel
Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceMatematický model. omezující podmínky. Tab. 2.1 Prvky ekonomického a matematického modelu
16 Čeho chceme dosáhnout? Co můžeme ovlivnit? Jaké jsou překážky? Ekonomický model cíl analýzy procesy činitelé Matematický model účelová funkce proměnné omezující podmínky Příklady maximalizace zisku
VícePřílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel
Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceŘešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,
Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v
Více4EK213 Lineární modely. 10. Celočíselné programování
4EK213 Lineární modely 10. Celočíselné programování 10.1 Matematický model úlohy ILP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a
Více4.3.3 Základní goniometrické vzorce I
4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě
VíceLineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
VíceÚvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav
Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové
VíceFunkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
Více