VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ (1) Trezor má 6 otočných zámků s číslicemi 0 9. O kódu víme pouze to, že v něm žádná z číslic není dvakrát. O kolik možných nastavení se může jednat? Analogicky odvoďte obecné řešení. (2) Trezor má k otočných zámků s n znaky. O kódu víme pouze to, že se v něm žádný znak neopakuje dvakrát. O kolik možných nastavení se může jednat? Z řešení předchozího příkladu vyplývá: k- členná variace z n prvků je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že se v ní každý prvek vyskytuje nejvýše jednou. Označujeme ji V(k;n). Počet V(k;n) všech k-členných variací z n prvků je: V(k;n) = (3) K sestavení vlajky, která má být složena ze tří různobarevných vodorovných pruhů, jsou k dispozici látky barvy bílé, červené, modré, zelené a žluté. a) Určete počet vlajek, které lze z látek těchto barev sestavit. b) Kolik z těchto vlajek bude mít žlutý pruh nahoře? c) Kolik z těchto vlajek bude mít žlutý pruh? d) Kolik z těchto vlajek nebude mít dole modrý pruh? (4) Určete počet všech šesticiferných čísel, jejichž dekadickém zápisu se každá z číslic vyskytuje nejvýše jednou. Kolik z těchto číslic je menších než 300 000?
(5) O telefonním čísle spolužáka jste ji zapamatovali pouze, že je devítimístné, začíná trojkou, neobsahuje žádné dvě stejné číslice a je dělitelné pětadvaceti. Určete, kolik telefonních čísel připadá v úvahu. (6) každému maximálně jednu hodinu denně, má-li se skládat z osmi vyučovacích hodin a jedné hodiny volna. která může nastat až po prvních čtyřech vyučovacích hodinách. která může nastat až po prvních čtyřech vyučovacích hodinách, a první hodinu má být matematika. která může nastat až po prvních čtyřech vyučovacích hodinách, a matematika nemá být po čtvrté vyučovací hodině.
(7) Turnaje ve skoku do dálky se účastní 30 sportovců. Kolik možných variant může nastat při závěrečném ceremoniálu na stupních vítězů? (8) Pětadvaceti členná třída, v níž je 10 dívek a 15 chlapců si mezi sebou volí: mluvčího třídy, službu na třídnici, pokladníka a nástěnkáře. a) Kolika způsoby lze vybrat mluvčího třídy, službu na třídnici, pokladníka a nástěnkáře? b) Kolika způsoby je lze vybrat, aby jednu funkci měla dívka? c) Kolika způsoby je lze vybrat, aby alespoň jednu funkci měla dívka? d) Kolika způsoby je lze vybrat, aby mluvčí třídy byl hoch? e) Kolika způsoby je lze vybrat, aby mluvčí třídy byl hoch a pokladník dívka? f) Kolika způsoby je lze vybrat, aby mluvčí třídy byl hoch a pokladník dívka či obráceně? (9) Určete počet prvků, z nichž lze utvořit 240 dvoučlenných variací?
(10) Určete počet prvků, z nichž lze utvořit dvakrát více čtyřčlenných variací než tříčlenných variací. (11) Určete počet všech pěticiferných čísel s různými číslicemi, která lze sestavit z cifer 0, 1, 3, 4, 5, 7, 9. Určete počet všech sudých pěticiferných čísel s různými číslicemi, která lze sestavit z cifer 0, 1, 3, 4, 5, 7, 9. (12) Určete počet všech přirozených nejvýše pěticiferných čísel s různými číslicemi, která lze sestavit z cifer: 1, 3, 4, 5, 7, 9. Určete počet všech přirozených nejvýše pěticiferných čísel s různými číslicemi, která lze sestavit z cifer: 0, 1, 3, 4, 5, 7, 9.
VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ (řešení) (1) Trezor má 6 otočných zámků s číslicemi 0 9. O kódu víme pouze to, že v něm žádná z číslic není dvakrát. O kolik možných nastavení se může jednat? 10 9 8 7 6 5 počty možností na každém zámku Celkem = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 151 200 Analogicky odvoďte obecné řešení. (2) Trezor má k otočných zámků s n znaky. O kódu víme pouze to, že se v něm žádný znak neopakuje dvakrát. O kolik možných nastavení se může jednat? n n-1 n-2 n-3 n-4 n-5 n-k+1 k zámků celkem = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4).(n-k+1) součin k čísel Z řešení předchozího příkladu vyplývá: k- členná variace z n prvků je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že se v ní každý prvek vyskytuje nejvýše jednou. Označujeme ji V(k;n). Počet V(k;n) všech k-členných variací z n prvků je: V(k;n) = n(n-1)(n-2)(n-3) (n-k+1) (3) K sestavení vlajky, která má být složena ze tří různobarevných vodorovných pruhů, jsou k dispozici látky barvy bílé, červené, modré, zelené a žluté. a) Určete počet vlajek, které lze z látek těchto barev sestavit. celkem = V(3;5) =5 x 4 x 3 = 60 b) Kolik z těchto vlajek bude mít žlutý pruh nahoře? celkem = V(2;4) = 4 x 3 = 12 c) Kolik z těchto vlajek bude mít žlutý pruh? celkem = 3 x (2;4) = 36 d) Kolik z těchto vlajek nebude mít dole modrý pruh? celkem = V(3;5) V(2;4) = 60 12 = 48 (4) Určete počet všech šesticiferných čísel, jejichž dekadickém zápisu se každá z číslic vyskytuje nejvýše jednou. 1 9 kamkoliv, 0 kamkoliv kromě prvního místa 9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 136 080 neboli 9 x V(5;9) = 136 080 Kolik z těchto číslic je menších než 300 000? 2 x V(5;9) = 2 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 30 240
(5) O telefonním čísle spolužáka jste ji zapamatovali pouze, že je devítimístné, začíná trojkou, neobsahuje žádné dvě stejné číslice a je dělitelné pětadvaceti. Určete, kolik telefonních čísel připadá v úvahu. 3 2 5 V(6;7) = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 5 040 3 5 0 V(6;7) = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 5 040 3 7 5 V(6;7) = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 5 040 celkem = 3 x V(6;7) = 15 120 (6) každému maximálně jednu hodinu denně, má-li se skládat z osmi vyučovacích hodin a jedné hodiny volna. volné hodiny nebývají na začátku (první) ani na konci (poslední) V(9;14) 2 x V(8;13) = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 2 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 726 485 760 2 x 51 891 840 = 622 702 080 která může nastat až po prvních čtyřech vyučovacích hodinách. volné hodiny (VH) nebývají na začátku (první) ani na konci (poslední) 13 x 12 x 11 x 10 x 1(VH) x 9 x 8 x 7 x 6 = V(8;13) =51 891 840 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 1(VH) x 8 x 7 x 6 = V(8;13) 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 1(VH) x 7 x 6 = V(8;13) 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 1(VH) x 6 = V(8;13) celkem = 4 x V(8;13) = 207 567 360 která může nastat až po prvních čtyřech vyučovacích hodinách, a první hodinu má být matematika. volné hodiny (VH) nebývají na začátku (první) ani na konci (poslední) 1(MA) x 12 x 11 x 10 x 1(VH) x 9 x 8 x 7 x 6 = V(7;12) = 3 991 680 1(MA) x 12 x 11 x 10 x 9 x 1(VH) x 8 x 7 x 6 1(MA) x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 1(VH) x 7 x 6 1(MA) x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 1(VH) x 6 celkem: 4 x V(7;12) = 15 966 720 která může nastat až po prvních čtyřech vyučovacích hodinách, a matematika nemá být po čtvrté vyučovací hodině. 1(MA) x 12 x 11 x 10 x 1(VH) x 9 x 8 x 7 x 6 = V(7;12) = 3 991 680 a totéž pro volné hodiny po 5., 6., 7. hodině 12 x 1(MA) x 11 x 10 x 1(VH) x 9 x 8 x 7 x 6 = V(7;12) = 3 991 680 a totéž pro volné hodiny po 5., 6., 7. hodině 12 x 11 x 1(MA) x 10 x 1(VH) x 9 x 8 x 7 x 6 = V(7;12) = 3 991 680 a totéž pro volné hodiny po 5., 6., 7. hodině 12 x 11 x 10 x 1(MA) x 1(VH) x 9 x 8 x 7 x 6 = V(7;12) = 3 991 680 a totéž pro volné hodiny po 5., 6., 7. hodině celkem = 4 x 4 x V(7;12) = 63 866 880
(7) Turnaje ve skoku do dálky se účastní 30 sportovců. Kolik možných variant může nastat při závěrečném ceremoniálu na stupních vítězů? V(3;30) = 30 x 29 x 28 = 24 360 (8) Pětadvaceti členná třída, v níž je 10 dívek a 15 chlapců si mezi sebou volí: mluvčího třídy, službu na třídnici, pokladníka a nástěnkáře. a) Kolika způsoby lze vybrat mluvčího třídy, službu na třídnici, pokladníka a nástěnkáře? V(4;25) = 25 x 24 x 23 x 22 = 303 600 b) Kolika způsoby je lze vybrat, aby jednu funkci měla dívka? dívka - mluvčí: V(3;15) = 15 x 14 x 13 = 2 730 totéž pro jinou funkci každá dívka může mít funkci celkem = 10 x 4 x V(3;15) = 109 200 c) Kolika způsoby je lze vybrat, aby alespoň jednu funkci měla dívka? V(4;25) V(4;15) = 303 600 32 760 = 270 840 (odečítáme možnosti, kdy mají funkce pouze hoši) Kolika způsoby je lze vybrat, aby mluvčí třídy byl hoch? 15 x V(3,24) = 15 x 24 x 23 x 22 = 182 160 (15 možností na mluvčího) d) Kolika způsoby je lze vybrat, aby mluvčí třídy byl hoch a pokladník dívka? 15 x 10 x V(2,23) = 150 x 23 x 22 = 75 900 (15 možností na mluvčího, 10 na pokladnici) e) Kolika způsoby je lze vybrat, aby mluvčí třídy byl hoch a pokladník dívka či obráceně? 2 x 15 x 10 x V(2,23) = 151 800 (9) Určete počet prvků, z nichž lze utvořit 240 dvoučlenných variací? V(2;n) = 240 n(n-1) = 240 n 2 n 240 = 0 n = 16 a (-15) počet prvků je 16
(10) Určete počet prvků, z nichž lze utvořit dvakrát více čtyřčlenných variací než tříčlenných variací. V(4;n) = 2 x V(3;n) n(n-1)(n-2)(n-3) = 2n(n-1)(n-2) n 3 = 2 n = 5 počet prvků je 5 (11) Určete počet všech pěticiferných čísel s různými číslicemi, která lze sestavit z cifer 0, 1, 3, 4, 5, 7, 9. V(5;7) V(4;6) = 2 160 Určete počet všech sudých pěticiferných čísel s různými číslicemi, která lze sestavit z cifer 0, 1, 3, 4, 5, 7, 9. na konci 0 V(4;6) = 360 na konci 4 V(4;6) V(3;5) = 360 60 = 300 celkem = 660 (12) Určete počet všech přirozených nejvýše pěticiferných čísel s různými číslicemi, která lze sestavit z cifer: 1, 3, 4, 5, 7, 9. V(1;6) = 6 V(2;6) = 6 x 5 = 30 V(3;6) = 6 x 5 x 4 = 120 V(4;6) = 6 x 5 x 4 x 3 = 360 V(5;6) = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 720 celkem = 1 236 Určete počet všech přirozených nejvýše pěticiferných čísel s různými číslicemi, která lze sestavit z cifer: 0, 1, 3, 4, 5, 7, 9. V(1,6) = 6 V(2;7) V(1;6) = 7 x 6 6 = 36 V(3;7) V(2;6) = 7 x 6 x 5 6 x 5 = 180 V(4;7) V(3;6) = 7 x 6 x 5 x 4 6 x 5 x 4 = 720 V(5;7) V(4;6) = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 6 x 5 x 4 x 3 = 2 160 celkem = 3 102