Kombinace s opakováním

Transkript

1 9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: , 9, 92 Pedagogicá poznáma: Časová náročnost této hodiny je podobná hodině předchozí. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou definici. Definice ombinace bez opaování -členná ombinace z n prvů je neuspořádaná -tice sestavená z těchto prvů ta, že aždý se v ní vysytuje nejvýše jednou. Př. : Sestav definici -členné ombinace s opaováním z n prvů. -členná ombinace s opaováním z n prvů je neuspořádaná -tice sestavená z těchto prvů ta, že aždý se v ní vysytuje nejvýše -rát. Příladem vytváření taových ombinací je napřílad známý přílad na výpočet počtu částe, teré je možné zaplatit pomocí tří jedno, dvou a pětiorunových mincí. Př. 2: Vypiš všechny částy, teré je možné zaplatit třemi mincemi, poud máš dispozici tři jednoorunové, tři dvojorunové a tři pětiorunové mince. Budeme vypisovat jednotlivé trojice mincí a jejich celovou hodnotu:,, 3,, 2 4,,5 7,2,2 5, 2,5 8,5,5 2,2,2 6 2, 2,5 9 2,5,5,5, 5 5 celem 0 možných částe { 3;4;5;6;7;8;9;;2;5 }. V předchozím příladu jsme vytvářeli supiny, ve terých nezáleželo na pořadí (šlo pouze o to, že ve supině máme dvě oruny a jednu dvouorunu, ne o to, terou minci jsme vybrali jao první), jednotlivé prvy se mohly opaovat vytvářeli jsme tříčlenné ombinace ze tří prvů s opaováním. Náš přístup nebyl příliš ombinatoricý. Všechny možnosti jsme nejdříve vypsali a pa je spočítali (dosud jsme to vždycy dělali obráceně). Taový postup nepůjde apliovat u vícečlenných ombinací z většího počtu prvů. Musíme vymyslet postup, terý umožňuje určit počet ombinací s opaováním podobně, jao jsme to udělali v jiných případech. Tri: Kombinace s opaováním nahradíme permutacemi s opaováním. Tři mince, ze terých sestavujeme naše ombinace, budeme brát ze tří přihráde, podle toho, ze teré přihrády minci vezmeme, víme, zda to je, 2 nebo 5 oruna. Rozdělení můžeme znázorňovat pomocí oleče tří oleče (mince) a dvou přepáže, teré rozdělí mince to tří přihráde, onrétně napřílad tato:,,5.

2 Př. 3: Namodeluj pomocí tří oleče a dvou přepáže zbývající ombinace vytvořené v příladu 2.,,,,2,,5,2,2,2,5,5,5 2,2,2 5,5,5 2,2,5 2,5,5 Každé ombinaci z příladu 2 odpovídá jeden obráze s mincemi a přihrádami a naopa obrázů i ombinací je stejně. Koli obrázů můžeme sestavit? Jde o uspořádané pětice ze tří oleče a dvou přepáže 5! permutace s opaováním: P ( 3;2) = = = 5 2 = 0. 3! 2! Výslede odpovídá počtu ombinací, teré jsme vytvořili v příladu 2. Př. 4: Urči počet pětičlenných ombinací s opaováním ze tří prvů, pomocí předchozího modelu s olečy a přepážami. Pětičlenné ombinace pět oleče, ze tří prvů tři přihrády dvě přepážy, vytváříme permutace s opaováním z pěti oleče a dvou přepáže 7! 2! 5! = 2 Poznáma: Je dobré si uvědomit, že pětičlenné ombinace ze tří prvů bez opaování není možné sestavit. Pedagogicá poznáma: Občas se objeví nědo, do si neuvědomí, že sestavujeme ombinace s opaováním a právě vůli fatu z předchozí poznámy považuje předchozí přílad za nesmyslný. Nejčastější chyby: prohození významu a n, nerozlišování mezi přihrádami a přepážami a tudíž dosazování větší hodnoty do výsledného zlomu. Př. 5: Urči počet tříčlenných ombinací s opaováním z pěti prvů, pomocí modelu s olečy a přepážami. Tříčlenné ombinace tři oleča, z pěti prvů pět přihráde čtyři přepážy, vytváříme permutace s opaováním ze tří oleče a čtyř přepáže 7! 3! 4! = 35 2

3 Postřeh: Je nutné dávat pozor na čísla n a, protože při jejich záměně můžeme zísat špatný výslede. ). Př. 6: Urči počet -členných ombinací s opaováním z n prvů (číslo K ( n) Postupujeme stejně jao s onrétními čísly: -členné ombinace oleče, z n prvů n přihráde n přepáže, vytváříme permutace s opaováním z oleče a Platí: K ( n) P ( ; n ) = = ( n + ) ( n )!!! n přepáže ( + n ) ( n )!!! Všechny výsledy připomínají ombinační čísla. Bylo by hezé mít počet ombinací s opaováním napsaný ve formě ombinačního čísla: ( n + )! ( n + )! n + K ( n) = P ( ; n ) = = =! ( n )!! ( n ) +! Počet K ( n) všech -členných ombinací s opaováním z n prvů je n + K ( n). Pedagogicá poznáma: Existuje značné procento studentů, terým přijde přechod na ombinační číslo zbytečný. Nenutím je. Př. 7: Kolia způsoby je možné naoupit 5 oplatů, poud mají v obchodě dispozici pět druhů oplatů, všechny v dostatečném množství (alespoň 5 usů). Kupujeme 5 oplatů, nehraje roli, terý jsme vybrali jao první, zajímá nás pouze to, oli oplatů terého druhu budeme mít sestavujeme neuspořádanou 5-tici z pěti prvů s opaováním jde o ombinaci s opaováním Vybíráme 5 prvů z 5 K 5 ( 5) = Př. 8: Urči olia způsoby je možné rozdat mariášové arty z plného balíču: a) pro hráče na prší (při hře rozlišujeme ja barvu, ta hodnotu), b) pro hráče na sedmu (při hře rozlišujeme pouze hodnoty aret, jejich barva nehraje roli). a) pro hráče na prší (při hře rozlišujeme ja barvu, ta hodnotu) Vybíráme 4 arty ze 32 (žádné dvě arty nejsou stejné při výběru se nemůžeme opaovat), nezáleží na pořadí sestavujeme čtyřčlenné ombinace ze 32 bez opaování 32 K4 ( 32) =

4 b) pro hráče na sedmu (při hře rozlišujeme pouze hodnoty aret, jejich barva nehraje roli) Vybíráme z osmi různých aret (osm různých hodnot) a aždou hodnotu máme dispozici čtyřirát (při výběru se můžeme opaovat), nezáleží na pořadí sestavujeme čtyřčlenné ombinace z 8 s opaováním K 4 ( 8) = Pedagogicá poznáma: Většina studentů se nachytá a neuvědomí si, že v bodě a) se jedná o ombinace bez opaování, protože není možné rozdat napřílad dvě zelená esa. Př. 9: Koli čtveřic mohou dát počty o na čtyřech nerozlišitelných, naráz hozených hracích ostách na člověče nezlob se? Kosty jsou nerozlišitelné a házíme je naráz nemůžeme říct, terá z oste je první, nerozlišujeme, oli na teré ostce padlo, pouze olirát máme, olirát 2 vytváříme neuspořádané čtveřice ze šesti čísel, terá se mohou opaovat sestavujeme 9 čtyřčlenné ombinace z 6 s opaováním K 4 ( 6) = 26 4 Př. 0: V sáču jsou červené, modré a zelené uličy. Kuličy téže barvy jsou nerozlišitelné. Urči, olia způsoby je možné vybrat pět uliče (bez rozlišení pořadí, ve terém byly vytaženy) jestliže v sáču je: a) alespoň pět uliče od aždé barvy, b) pět červených, čtyři modré a čtyři zelené uličy, c) pět červených, pět modrých a tři zelené uličy. a) alespoň pět uliče od aždé barvy Nerozlišujeme v jaém pořadí jsme táhli, pouze oli máme červených, modrých a zelených uliče vytváříme neuspořádané pětice ze tří barev sestavujeme pětičlenné ombinace 7 ze tří s opaováním K 5 ( 3) = 2 b) pět červených, čtyři modré a čtyři zelené Nemůžeme vytáhnout všechny ombinace jao v předchozím bodě (pět modrých a pět zelených nemáme dispozici) musíme tyto dvě ombinace odečíst 7 K 5 ( 3) 2 2 = 9 c) pět červených, pět modrých a tři zelené Opět nemůžeme vytáhnout všechny ombinace spočteme všechny možnosti a pa odečteme počty těch, teré nejdou vytáhnout: pět zelených možnost, čtyři zelené a jednu další barvu 2 možnosti (ja si vybrat zbývající barvu), 7 celem K 5 ( 3) 3 3 = 8 Př. : Urči olia způsoby je možné rozdat mariášové arty z plného balíču: a) pro 4 hráče na prší (při hře rozlišujeme ja barvu, ta hodnotu), 4

5 b) pro 4 hráče na sedmu (při hře rozlišujeme pouze hodnoty aret, jejich barva nehraje roli). a) pro 4 hráče na prší (při hře rozlišujeme ja barvu, ta hodnotu) Vybíráme postupně podobně jao v příladu 7 a): 32. hráč: 4 arty ze 32 K4 ( 32) možností, hráč: 4 arty ze 28 K4 ( 28) možností, hráč: 4 arty ze 24 K4 ( 24) možností, hráč: 4 arty ze 20 K4 ( 20) možností, možnosti mezi sebou násobíme celem 3,79 0 b) pro 4 hráče na sedmu (při hře rozlišujeme pouze hodnoty aret, jejich barva nehraje roli) Řešení tohoto příladu autor učebnice nezná. Na rozdíl od bodu a) nemůžeme při vybírání aret pro druhé hráče postupovat podobně jao v bodě a), protože nevíme, ja dopadlo rozdávání pro prvního hráče (všechny čtyři rozdané arty mohly mít stejnou hodnotu pa už vybíráme pouze ze sedmi hodnot atd.). Př. 2: Petáová: strana 48/cvičení 74 strana 48/cvičení 75 Shrnutí: Počty ombinací s opaováním můžeme určovat pomocí permutací s opaováním ze dvou prvů (počet vybíraných předmětů a počet přihráde na rozlišení jejich druhů). 5