1 Síla, energie, hybnost

1 Síla, energie, hybnost 1. Těleso o hmotnosti 5 kg visí uprostřed lana, jehož koncové body jsou upevněny v téže vodorovné rovině ve vzdálenosti 4 m od sebe. Střed lana je o 0,6 m níže než koncové body lana (obrázek 1a). Určete, jak velkou silou je napínáno lano. Hmotnost lana zanedbejte. 2. Těleso o hmotnosti 3 kg je zavěšeno podle obrázku 1b. Vodorovný trám má délku 2,2 m a drát je upevněn ve výšce 1,2 m nad bodem, v němž je trám upevněn ke stěně. Určete síly, které působí na trám a na drát. Hmotnost trámu i drátu zanedbejte. 3. Bruslař o hmotnosti 70 kg stojí na hladkém ledu. Do pohybu se uvede tím, že ve vodorovném směru odhodí před sebe kouli o hmotnosti 3 kg rychlostí 8 m/s. Do jaké vzdálenosti bruslař po odhození koule odjede? Součinitel tření mezi ledem a bruslemi je 0,02. 4. Střela o hmotnosti 20 g zasáhla strom a pronikla do hloubky 10 cm. Jak velkou rychlostí se pohybovala před zásahem, když průměrná odporová síla dřeva stromu je 4 kn? 5. Na silnici se srazí vozík dokonale pružnou srážkou s druhým vozíkem, který byl do srážky v klidu. Po srážce se oba vozíky pohybují stejně velkými rychlostmi opačným směrem. Určete poměr hmotností obou vozíků. 6. Střela o hmotnosti m zasáhne balistické kyvadlo délky L a hmotnosti M a uvízne v něm. Kyvadlo se vychýlí z rovnovážné polohy o úhel α. Určete velikost rychlosti střely. 7. Máme homogenní desku ve tvaru čtverce o straně a, ze které odstraníme trojúhelník podle obrázku 2a. Určete polohu těžiště výsledného tělesa. 8. Máme homogenní desku ve tvaru kruhu o poloměru R, ze ve které vyřízneme kruhový otvor o poloměru R 2 podle obrázku 2b. Určete polohu těžiště výsledného tělesa. (a) (b) Obrázek 1

(a) (b) Obrázek 2 2 Mechanika tekutin 1. Vyjádřete práci 100 J v jednotkách SI. 2. Vyjádřete tlak 10 5 Pa v jednotkách SI. 3. Skleněný válec vysoký 20 cm o obsahu průřezu 30 cm 2 naplníme vodou. Na horní okraj válce přiložíme list papíru a válec obrátíme. Proč voda nevyteče? Jak velkou silou je papír přitlačován k válci při atmosférickém tlaku 10 5 Pa? 4. Jak velká část objemu ledovce zůstává skryta pod mořskou hladinou? (Hustota ledu je 920 kg m 3, hustota mořské vody 1030 kg m 3.) 5. Dva trosečníci vypluli na voru, který si zhotovili z trámů. Délka voru je 4 m, šířka 3 m a tloušt ka 30 cm. Hustota dřeva, ze kterého je vor vyroben, je 600 kg m 3. a) Potopí se vor s trosečníky, kteří i se zásobami váží 210 kg? b) Mohou trosečníci přibrat ještě jednoho trosečníka, který váží 75 kg, aniž by se potopili? c) Jakou maximální hmotnost mohou mít další trosečníci, kteří přistoupili na vor, aby se vor ještě nepotopil? 6. Jaký nejmenší poloměr musí mít balon ve tvaru koule naplněný heliem, aby unesl náklad o hmotnosti 300 kg? 7. Zlatý prsten je na vzduchu vyvážen závažím o hmotnosti 1 g a ve vodě závažím o hmotnosti 0,92 g. Je zhotoven z čistého zlata? 8. Obsahy průřezů válců hydraulického lisu jsou 20 cm 2 a 800 cm 2. Na menší píst působí síla o velikosti 100 N. Určete: a) Tlak, který tato síla vyvolá v kapalině. b) Velikost tlakové síly působící na větší píst. c) Dráhu, o kterou se posune větší píst, jestliže se menší píst posune o 8 cm.

(a) (b) Obrázek 3 d) Práci, kterou při tomto posunutí vykoná tlaková síla. 9. Vodojem vytváří ve vodovodním potrubí v přízemí panelového domu tlak 0,8 MPa. Výška jednoho patra je asi 2,5 m. V prvním patře si Lucka myje ruce a ve třetím patře Pavel napouští vodu do konvice. a) V jaké výšce nad zemí je hladina vody ve vodojemu? b) Jak velký tlak vody je v kohoutku u Lucky a jak velký je v kohoutku u Pavla? 10. Dvě kapaliny o hustotách 1000 kg m 3 a 1800 kg m 3 jsou v rovnováze v uzavřených válcových nádobách o průřezech 0,5 m 2 a 0,3 m 2, které jsou spojeny krátkou trubicí o průřezu 4 10 4 m 2 (obr. 3a). Nad hladinou kapalin je vzduch, který má v první nádobě tlak 2 10 5 Pa a ve druhé nádobě tlak 1,5 10 5 Pa. Výška hladiny v první nádobě je 2 m. Ve spojovací trubici je volně pohyblivá zátka, která zabraňuje promísení kapalin. Určete velikost tlakové síly, která působí na zátku zleva a objem kapaliny ve druhé nádobě. 11. Do vodorovné trubky jsou vloženy dvě manometrické trubice. Jedna z nich je rovná, druhá je ohnutá do pravého úhlu a obrácená otvorem proti směru proudění kapaliny (obr. 3b). V rovné trubici vystoupila voda do výšky 10 cm a v ohnuté trubici do výšky 30 cm. Jakou rychlostí proudí voda v trubce? 12. Poloměr vodorovné trubky se zužuje z 5 cm na 2 cm (obr. 4a). Trubkou proudí voda a manometrické trubice umístěné v širší a v užší části trubky ukazují rozdíl hladin 40 cm. Jakou rychlostí proudí voda v užší a v širší části trubky? 13. Z otvoru ve stěně nádoby tryská voda. Otvor se nachází 80 cm pod vodní hladinou a 20 cm nad dnem nádoby (obr. 4b). Určete a) rychlost v vody, která tryská otvorem, b) vzdálenost, do které voda na podlaze dostříkne. 14. Výsadkář o hmotnosti 80 kg vyskakuje s padákem o průměru 9 m. Na jaké hodnotě se ustálí rychlost jeho pohybu? (Součinitel odporu vzduchu je 1,2.)

(a) (b) Obrázek 4 3 Teplotní roztažnost Parametry oceli: σ p = 5 10 8 Pa mez pevnosti, E = 21 10 10 Pa Youngův modul pružnosti, α = 1,2 10 5 K 1 součinitel délkové teplotní roztažnosti. 1. Vypočítejte maximální možnou hmotnost tělesa, které můžeme zavěsit na ocelové lano o průměru 1 mm tak, aby se nepřetrhlo. Předpokládejte, že těleso a) je v klidu, b) je lanem taženo svisle vzhůru se zrychlením 1 m s 2. Koeficient bezpečnosti volíme 5. 2. Důlní výtah visí na ocelovém laně o průměru 2,5 cm. Celková hmotnost kabiny a přepravovaných lidí je 650 kg. Jaké bude prodloužení lana, a) jestliže je výtah na povrchu 12 m pod motorem výtahu, b) jestliže je výtah u dna šachty hluboké 350 m? Vlastní hmotnost lana vzhledem k hmotnosti kabiny zanedbejte. 3. Ocelová tyč se při dané teplotě oběma svými konci právě dotýká pevných stěn. Určete, o kolik může vzrůst teplota, aby tlak na stykové ploše nepřesáhl bezpečnou hodnotu 5 MPa. Předpokládejte, že změna teploty je tak malá, že chování oceli bude v tahu i v tlaku stejné. 4. Ocelový drát byl při teplotě 100 C upevněn mezi pevné svorky. Teplota prostředí je 20 C. a) Přetrhne se drát dříve, než vychladne na teplotu prostředí? b) Při jaké nejvyšší teplotě můžeme drát napnout mezi svorky, aby se při chladnutí na teplotu okolí nepřetrhl? Předpokládejte, že deformace je až do meze pevnosti pružná.

5. Délka závodní dráhy pro běh na 100 m byla naměřena ocelovým pásmem při teplotě 32 C. Na jak dlouhou vzdálenost běžci ve skutečnosti poběží? (Pásmo bylo kalibrováno při teplotě 20 C). 6. Benzen má při teplotě 0 C hustotu 900 kg m 3 a teplotní součinitel objemové roztažnosti 12 10 4 K 1. Při této teplotě plave na jeho hladině dřevěné těleso o hustotě 880 kg m 3. Při jaké teplotě začne dřevěné těleso klesat ke dnu, je-li teplotní součinitel objemové roztažnosti tohoto dřeva 2,2 10 5 K 1? 7. Při jaké délce se vlastní tíhou přetrhne olověný drát, který má všude stejný průřez? (Olovo má mez pevnosti 2 10 7 Pa a hustotu 11340 kg m 3.) 8. Doba kyvu mosazného kyvadla je při teplotě 10 C rovna 1 s. O kolik se změní doba kyvu, pokud se okolní teplota zvýší na 25 C? O kolik sekund denně se budou opožd ovat hodiny s takovým kyvadlem?

4 Termika Některé parametry: měrná tepelná kapacita vody je 4,18 kj kg 1 K 1, měrná tepelná kapacita ledu 2,10 kj kg 1 K 1, měrná tepelná kapacita olova 0,129 kj kg 1 K 1, měrné skupenské teplo tání ledu 332 kj kg 1, měrné skupenské teplo tání olova 22,6 kj kg 1, měrné skupenské teplo vypařování vody 2256 kj kg 1. 1. Kolik vody o teplotě 90 C musíme přilít do nádoby s 3 kg vody o teplotě 10 C, aby výsledná teplota byla 35 C? Teplotní kapacitu nádoby zanedbejte. 2. Do nádoby, která obsahuje 0,30 kg vody o teplotě 18 C, jsme nalili 0,20 kg vody o teplotě 60 C. Výsledná teplota vody v nádobě je 34 C. Vypočítejte tepelnou kapacitu nádoby. 3. Nádoba o tepelné kapacitě 0,10 kj k 1 obsahuje 0,47 kg vody o teplotě 14 C. Když do nádoby vložíme mosazné těleso o hmotnosti 0,40 kg, které je ohřáté na teplotu 100 C, ustálí se teplota nádoby na 20 C. Určete měrnou tepelnou kapacitu mosazi. 4. Vodu o hmotnosti 5,5 kg a o teplotě 70 C chceme ochladit na teplotu 30 C tím, že do ní hodíme led o teplotě 0 C. Kolik kilogramů ledu potřebujeme? 5. Kolik tepla musíme dodat 80 kg ledu o teplotě -20 C, aby se přeměnil v páru o teplotě 100 C? 6. Jakou nejmenší rychlost musí mít olověná střela, aby se při nárazu do ocelové desky roztavila? Teplota střely při dopadu je 27 C a teplota tání olova je 327 C. Předpokládáme, že ocelová deska neodebírá žádné teplo. 7. Ke koupání dítěte si chceme připravit 80 litrů vody o teplotě 36 C. Studená voda z vodovodu má teplotu 10 C a teplá 50 C. Kolik které vody potřebujeme? Tepelné ztráty neuvažujeme. 8. Spočítejte teplo, které projde za jednu hodinu plochou o obsahu 1 m 2 cihlové stěny o tloušt ce 0,5 m, jestliže vnitřní povrch stěny má teplotu 18 C a vnější povrch -2 C. Součinitel tepelné vodivosti stěny má hodnotu 0,84 W m 1 K 1. 9. a) Jaké teplo projde za jeden zimní den bočními stěnami dřevěného srubu (= domu)? Délka srubu je 10 m, šířka 7 m, výška stěn 3,5 m a jejich tloušt ka 50 cm. Průměrná venkovní teplota je -10 C a teplotu uvnitř udržujeme na hodnotě 18 C. Součinitel měrné tepelné vodivosti dřeva je 0,15 W m 1 K 1. b) Kolik dřeva je třeba na udržení dané vnitřní teploty spálit v kamnech s tepelnou účinností 30% za jeden den? Měrná výhřevnost dřeva je 15 MJ kg 1. c) Kolik stojí elektrické vytápění tohoto srubu za jeden den? Účinnost elektrického vytápění je 100% a průměrná cena elektrické energie je 4,30 Kč/kWh. 10. Obvodové zdi domu, které mají tloušt ku 20 cm, obložíme z vnější strany izolační vrstvou polystyrenu o tloušt ce 10 cm. Předpokládejme, že je zimní den, během kterého venkovní teplota je -10 C a teplota uvnitř

domu je topením udržována na 20 C. Určete teplotu mezi zdí a izolační vrstvou polystyrenu. Kolikrát tato izolační vrstva zmenší únik tepla zdmi? Součinitel měrné tepelné vodivosti dřeva zdi je 1,3 W m 1 K 1 a polystyrenu 0,1 W m 1 K 1.

5 Molekulová fyzika Relativní atomová hmotnost železa (Fe) je 55,85, vodíku (H) 1,01, kyslíku (O) 16,00, sodíku (Na) 22,99, chloru (Cl) 35,45, uhlíku (C) 12,01, helia (He) 4,00. Hmotností jednotka má hodnotu 1,66 10 27 kg. Avogadrova konstanta má hodnotu 6,02 10 23 mol 1. Hustota vody je 1000 kg m 3. Plynová konstanta má hodnotu 8,3145. 1. Kolik atomů je přibližně obsaženo v železném závaží o hmotnosti 2 kg? 2. Kolik atomů je přibližně obsaženo v jednom litru vody? 3. Vejde se 10 mol vody do hrníčku, který má tvar válce o poloměru podstavy 3 cm a výšce 14 cm? 4. Dva prvky X a Y vytvářejí dvě sloučeniny XY a XY 2. Určete tyto prvky a sloučeniny, když víte, že 1 kg první sloučeniny odpovídá látkovému množství 35,71 mol a 1 kg druhé sloučeniny odpovídá 22,73 mol. 5. Určete hmotnost 10 24 atomů vodíku. 6. Odvod te, jaký je vztah mezi relativní molekulovou hmotností a molární hmotností. 7. Do jezera, které má průměrnou hloubku 10 m a plochu 10 km 2, jsme nasypali lžičku soli NaCl (cca 2 g). Předpokládejte, že se sůl v jezeře rozpustila rovnoměrně. Určete, kolik iontů sodíku je obsaženo v jedné lžičce jezerní vody (5 ml). 8. Jaký je molární objem oxidu uhličitého (CO 2 ) při teplotě 0 C a tlaku 101325 Pa, když jeho hustota je za těchto podmínek 1,951 kg m 3? 9. Jakou hustotu má 100 mol oxidu uhličitého (CO 2 ) uzavřeného v nádobě o objemu 100 l? 10. Balon naplněný heliem vystoupil z místa, kde byla teplota 290 K a tlak 98,5 kpa do výšky, kde byla teplota 260 K a tlak 86,5 kpa. Jak velký byl objem balonu ve výšce, jestliže na počátku byl jeho objem 950 m 3? Helium považujte za ideální plyn. 11. V nádobě je 300 g oxidu uhličitého (CO 2 ) při teplotě 77 C a tlaku 1,35 MPa. Jaký je objem nádoby? Oxid uhličitý považujte za ideální plyn. 12. Spočítejte hustotu vodíku (H 2 ) při tlaku 101325 Pa a teplotě 20 C. Vodík považujte za ideální plyn.

6 Děje s plyny Relativní atomová hmotnost kyslíku (O) je 16,00, vodíku (H) 1,00, měrná tepelná kapacita kyslíku při konstantním tlaku je 0,919 kj/kg K a při konstantním objemu 0,659 kj/kg K, měrná tepelná kapacita vodíku při konstantním tlaku je 14,32 KJ/kg K. 1. Kyslík O 2 o hmotnosti 4 kg má teplotu 0 C. Jak se změní jeho teplota, jestliže při izobarické expanzi vykoná práci 10,4 kj? Kyslík považujte za ideální plyn. 2. Neznámý plyn má při teplotě 293 K a tlaku 100 kpa hustotu 1,27 kg m 3 a jeho Poissonova konstanta je rovna 1,4. Určete jeho měrnou tepelnou kapacitu při stálém tlaku a při stálém objemu. 3. Kyslík má počáteční objem V 0 a tlak p 0. Jeho molární tepelné kapacity při konstantním tlaku a objemu jsou c p a c V. Nejdříve jej izobaricky zahřejeme na dvojnásobný objem a následně izochoricky zvýšíme jeho tlak na čtyřnásobek původního tlaku. Určete, jakou práci kyslík vykonal, jaké teplo jsme mu dodali a jak se změnila jeho vnitřní energie. 4. Láhev obsahuje ideální plyn o teplotě 27 C a tlaku 4 MPa. Jaký bude tlak v láhvi, jestliže polovinu plynu vypustíme a jeho teplota přitom klesne na 12 C? 5. Vypočítejte hustotu kyslíku O 2 při tlaku 10 MPa a teplotě 27 C. 6. Kyslík O 2 o hmotnosti 0,32 kg jsme zahřáli za stálého tlaku z počáteční teploty -23 C tak, že jeho objem se zvětšil na trojnásobek počáteční hodnoty. Kolik tepla jsme kyslíku dodali? Kyslík považujeme za ideální plyn. 7. Vodík H 2 o hmotnosti 70 g jsme zahřáli z počáteční teploty 27 C při stálém tlaku 0,2 MPa tak, že se jeho objem zdvojnásobil. Určete počáteční objem vodíku, teplo dodané vodíku při zahřívání a práci, kterou při zahřívání vodík vykonal. 8. Jak se změní vnitřní energie kyslíku O 2 o hmotnosti 0,1 kg při zahřátí z teploty 10 C na teplotu 60 C, když teplo dodáváme a) při konstantním objemu, b) při konstantním tlaku?

7 Mechanické kmitání Pro všechna čísla α, β R platí sin α + sin β = 2 sin ( ) ( ) α+β 2 cos α β 2. 1. Hmotný bod harmonicky kmitá a za jednu minutu vykoná 150 kmitů s amplitudou výchylky 5 cm. Počáteční fáze kmitání je 45. Napište rovnici pro závislost okamžité výchylky tohoto kmitání na čase. 2. Hmotný bod harmonicky kmitá s frekvencí 400 Hz a s amplitudou výchylky 2 mm. Počáteční fáze kmitání je 30. a) Napište rovnici pro závislost okamžité výchylky tohoto kmitání na čase. b) Určete dobu, za kterou hmotný bod dorazí do rovnovážné polohy. c) Určete rychlost hmotného bodu v rovnovážné poloze. 3. Určete apmlitudu výchylky hmotného bodu, který kmitá s počáteční fází π 3, je-li jeho výchylka v počátečním okamžiku 2,6 cm. 4. Hmotný bod harmonicky kmitá s amplitudou výchylky 5 cm a s periodou 2 s. Počáteční fáze kmitání je nulová. Určete velikost rychlosti hmotného bodu v okamžiku, kde okamžitá výchylka je 2,5 cm. 5. Napište rovnici výsledného kmitání, které vznikne složením dvou kmitání o frekvenci 8 Hz a o amplitudě výchylky 2 cm. Fázový rozdíl kmitání je π 4 a počáteční fáze jedné složky je nulová. 6. Napište rovnici výsledného kmitání, které vznikne složením dvou kmitání o zadané úhlové frekvenci a o amplitudě výchylky 4 cm. Počáteční fáze prvního kmitání je π 4 a druhého kmitání π 2. 7. Pružina se po zavěšení tělesa prodlouží o 2,5 cm. Určete frekvenci vlastního kmitání takto vzniklého oscilátoru. 8. Těleso zavěšené na pružině kmitá s periodou 0,5 s. O kolik se pružina zkrátí, jestliže těleso z pružiny odstraníme? 9. Kyvadlo je tvořeno provazem, na jehož konci je zavěšena kulička. Jak musíme změnit délku provazu, aby frekvence kyvadla vzrostla na dvojnásobek? 10. V kabině výtahu visí kyvadlo, které kmitá s periodou 1 s. Když se kabina pohybuje se stálým zrychlením, kyvadlo kmitá s periodou 1,2 s. Určete velikost a směr zrychlení výtahu.

Zdroje Některé příklady jsem si vymyslel a některé pocházejí z následujících sbírek (u některých jsem ale zadání upravil): 1. Sbírka řešených úloh, http://reseneulohy.cz/cs/fyzika. 2. O. Lepil, M. Bednařík, M. Široká, Fyzika Sbírka úloh pro střední školy, Prometheus, 2. vydání, 2000.