Analýza časových řad Informační a komunikační echnologie ve zdravonicví
Definice Řada je posloupnos hodno Časová řada chronologicky uspořádaná posloupnos hodno určiého saisického ukazaele formálně je realizací náhodného procesu Signál
Moivace Cílem analýzy je konsrukce vhodného modelu za účelem: porozumění mechanismu generující hodnoy časové řady pochopení podmínek a vazeb působících na vznik ěcho hodno Simulace pomocí modelu Predikce řady
Dělení časových řad I. Dlouhodobé jejich periodicia je jeden rok a více aplikace jiných posupů než u ČŘ krákodobých Krákodobé jejich periodicia je kraší než jeden rok čvrlení, měsíční, ýdenní, ad...
Dělení časových řad II. Inervalové řady inervalových ukazaelů (Př.: poče rozvodů za rok v ČR) inervalový ukazael = ukazael, jehož velikos závisí na délce inervalu, za kerý je sledován lze vyvoři součy (resp. průměry), je nuná sejná délka inervalů pokud jsou inervaly různě dlouhé, je řeba provés přepoče na jednokový inerval (zv. očišťování od důsledků kalendářních variací). Okamžikové řady okamžikových (savových) ukazaelů (Př.: poče obyvael ČR k 31.12.) okamžikový ukazael = ukazael, jehož hodnoy se vzahují ke konkrénímu časovému okamžiku souče nedává reálný smysl, průměr nelze sanovi běžným způsobem k průměrování používáme chronologický průměr x 1 1 x1 x 2 x n 1 x 2 2 n 1 n
Dělení časových řad III. s absoluními ukazaeli obsahují hodnoy ak jak byly zaznamenány s relaivní ukazaeli obsahují hodnoy jisým způsobem ransformované
Dělení časových řad IV. Deerminisické neobsahují žádný prvek náhody jsou konsruovány podle nějakého modelu lze je přesně rekonsruova (ne predikova) Sochasické obsahují prvek náhody naprosá věšina jevů v reálném svěě
Dělení časových řad V. Ekvidisanní časové řady s konsanní časovou vzdálenosí mezi jednolivými hodnoami Neekvidisanní časové řady s různou časovou vzdálenosí mezi jednolivými hodnoami Při zpracování vyžadují buď zvlášní přísup nebo korekce indexových i hodnoových řad
Dělení časových řad VI. Sacionární hodnoy arimeického průměru a variabiliy jsou v celém průběhu řady sejné Nesacionární Hodnoy arimeického průměrů a variabiliy se v průběhu řady mění (nejsou sejné) nesacionaria je projevem např. rendu řady nebo změny rozpylu hodno
U signálu Deerminisický x sochasický Ekvidisanní x neekvidisanní Sacionární x nesacionární
Složky časových řad I. Trendová složka obecná endence vývoje zkoumaného jevu za dlouhé období výsledkem dlouhodobých a sálých procesů rend může bý rosoucí, klesající nebo může exisova řada bez rendu
Složky časových řad II. Periodické kolísání Sezónní složka pravidelně se opakující odchylka od rendové složky perioda éo složky je menší než celková velikos sledovaného období
Složky časových řad III. Periodické kolísání Cyklická složka udává kolísání okolo rendu v důsledku dlouhodobého cyklického vývoje
Složky časových řad V. Náhodná složka nedá se popsa žádnou funkcí času zbývá po vyloučení rendu, sezónní a cyklické složky
Základní úpravy časových řad doplnění chybějících hodno časový posun sezónní diference kumulaivní souče vyhlazování časových řad
Základní úpravy časových řad Doplnění hodno řady v případě že v časové řadě někeré hodnoy chybí doplněné hodnoy nejsou plnohodnoné a mohou sníži kvaliu výsledků exisuje několik možnosí, jak chybějící daa doplni náhrada chybějících hodno nulami náhrada chybějících hodno arimeickým průměrem či mediánem náhrada chybějících hodno rendem celé časové řady náhrada chybějících hodno na základě zvolené funkce a okolních bodů
Funkce pro doplnění hodno řady Rozlišujeme čyři úlohy pro doplnění hodno řad Inerpolaci doplňování hodno doprosřed časových řad Exrapolaci nalezení hodno na koncích řady Aproximaci nalezení přibližné hodnoy čísla Predikci konsrukce předpovědi budoucího průběhu
Funkce pro doplnění hodno řady Inerpolace nalezení chybějícího údaje závislé veličiny y pro někerou hodnou x uvniř inervalu známých hodno není úloha jednoznačná a má smysl jen v jisých mezích přesnosi lineární inerpolace, kvadraická inerpolace, polynomiální inerpolace
Funkce pro doplnění hodno řady Exrapolace nalezení chybějícího údaje závislé veličiny y pro někerou hodnou x mimo inerval známých hodno jednodušší případ predikce z maemaického hlediska mnohem méně přesná a složiější meoda než inerpolace zpravidla nelze ma. prosředky zodpovědně odhadnou budoucí nebo minulý vývoj
Funkce pro doplnění hodno řady Aproximace nalezení přibližné hodnoy čísla, nebo jedné z jeho možných hodno může aké znamena nahrazení čísla vhodným číslem blízkým narozdíl od inerpolace není nuné, aby ao křivka přesně procházela zadanými body
Základní úpravy časových řad Časový posun vyvoření časové řady opožděné resp. předbíhající jinou oožné časovou řadu předsavuje o vlasně posunuí časové řady dopředu případně dozadu oproi původní časové řadě nově vyvořené proměnné mají na začáku, resp. na konci olik chybějících hodno, o kolik kroků se posun prováděl.
Základní úpravy časových řad Sezónní diference diference mezi okamžiky vzdálenými o celisvý násobek délky periody vyjadřuje velikos změny, ke keré došlo mezi dvěma časovými okamžiky měření je-li kladná, řada v daném čase rose, je-li záporná, řada klesá. sezónní diferencí se daa zbavují sezónních vlivů
Základní úpravy časových řad Kumulaivní souče souče pozorování za určiý časový úsek. opačná operace k diferenci kumulaivním součem bílého šumu = náhodná procházka nikdy nelze předvída, zda ao funkce se obráí vzhůru nebo dolů (zv. procházka opilého námořníka ) náhodná procházka je hladší nežli bílý šum, jelikož inegrace polačuje vyšší frekvenční složky a zvýrazní nižší frekvence.
Základní úpravy časových řad Vyhlazování časových řad sřední hodnoa chyby je nulová (je o náhodná veličina) jednolivé chyby nejsou vzájemně závislé (j. nekorelované) zprůměrováním několika po sobě následujících pozorování budou se chyby navzájem ruši skuečná sledovaná hodnoa procesu naopak vynikne omo pozorování jsou založeny meody vyhlazování časových řad
Zpracování časových řad Popisné charakerisiky charakerisiky polohy charakerisiky variabiliy míry dynamiky korelace Analýza časových řad klouzavé průměry dekompozice složek časové řady lineární dynamické modely Boxova-Jenkinsova meodologie spekrální analýza časových řad
Popisné charakerisiky Charakerisiky polohy prosý arimeický průměr x vážený arimeický průměr 1 n n i 1 x i x n i1 n i1 w x i w i i, kde X { x1,, x } jsou hodnoy a W { w1,, w } n n jsou váhy Modus hodnoa znaku s nejvěší relaivní čenosí Medián hodnoa, jež dělí řadu podle velikosi seřazených výsledků na dvě sejně počené poloviny
Inerval spolehlivos pro průměr -populační průměr x - výběrový průměr -populační směrodaná odchylka s - výběrová směrodaná odchylka x u 1 N u 1- -pravděpodobnosní kvanil (např. u 0,95 = 1,96)
Popisné charakerisiky Charakerisiky variabiliy rozpyl směrodaná odchylka 2 1 2 ) ( 1 1 n y y y y n s s 2 1 2 ) ( 1 1 n y y n s y
Popisné charakerisiky míry dynamiky absoluní přírůsek y, 2,3,, y y1 n průměrný absoluní přírůsek y y y y y yn yn yn y n1 n1 n1 relaivní přírůsek průměrný koeficien růsu 2 1 3 2 1 1 y y y y y y y 1 1 1 1 y y y y y k k k k n 1 2 3 4 n n 1 n 1 1 2 n n y1 y 3 y 3 y n 1 y1 1
Popisné charakerisiky Korelace vyjadřuje relaivní míru závislosi ve vzájemném vývoji dvou časových řad s xy n x x y y 1 1; s s x y 1
Analýza časové řady Dekompozice časové řady - jednorozměrný model nejjednodušší koncepce modelování ČŘ reálná hodnoa ČŘ (y ) je funkcí času (). y y Y y f ( ; ); Y f ( ); 1,2,, n Y časová proměnná y reálná hodnoa ukazaele v čase Y modelová (eoreická) hodnoa ukazaele v čase náhodná (nepravidelná) složka v čase.
Analýza časové řady Dekompozice časové řady klasický (formální) model rend (T ) sezónní složku (S ) cyklickou složku (C ) náhodnou složku (E ) Formy dekompozice adapivní dekompozice muliplikaivní dekompozice y T C S E y T C S E
Analýza časové řady Dekompozice časové řady - vícerozměrný model je založen na předpokladu, že vývoj analyzovaného ukazaele není ovlivněn pouze časovým fakorem, ale rovněž skupinou jiných, souvisejících ukazaelů jedná se o zv. příčinné (fakorové) ukazaele pomocí ěcho ukazaelů se snažíme vývoj analyzovaného ukazaele vysvěli. Y f(; x, x,, x ); 1,2,, n 1 2 p kde x 1,x 2,,x n jsou příčinné (fakorové) ukazaele
Analýza časové řady Trendová analýza vývoj v čase ~ endence a předpověď do budoucna hovoříme o vyrovnání - vyrovnání periodických flukuací a náhodných chyb předpoklad: S = 0; C = 0 ï Y =T ; y = T + lze počía 2 způsoby: vyrovnání mechanické - klouzavé průměry vyrovnání analyické - časová řada (sledujeme rendovou fci.) Periodické kolísání sezónní cyklické krákodobé Nahodilé kolísání
Analýza časové řady Klouzavé průměry adapivní přísup k modelování rendu ČŘ posloupnos empirických pozorování nahradíme řadou průměrů z ěcho pozorování vypočených každý z ěcho průměrů reprezenuje určiou skupinu pozorování při posupném výpoču průměrů posupujeme (kloužeme) vždy o jedno pozorování kupředu, přičemž první pozorování z dané skupiny vypoušíme. v prvé řadě je řeba sanovi poče pozorování, z nichž vypočeme jednolivé klouzavé průměry klouzavá čás období inerpolace (m) časový inerval délky m, kerý se posunuje po časové ose vždy o jednoku.
Klouzavé průměry Volba délky klouzavé čási období inerpolace nelze sanovi exakními saisickými posupy sanovujeme především na základě věcné analýzy (heurisicky) přednos dáváme průměrům nižšího řádu u neperiodických ČŘ se nejčasěji volí délka klouzavé čási 3, 5, 7 u ČŘ s periodickou složkou je délka klouzavých průměrů rovna periodě sezónních nebo cyklických výkyvů Idenifikace jednolivých klouzavých čásí jednolivé klouzavé čási reprezenujeme jejich sředními body (angl. arge) je-li m liché číslo, pak sřední bod klouzavé čási je číslo celé je-li m sudé číslo, pak sřední bod klouzavé čási není celé číslo +0.5
Klouzavé průměry Prosé klouzavé průměry klouzavé čási o rozsahu m = 2p + 1 musí mí lineární rend sřední body klouzavých čásí jsou celá čísla při omo posupu zůsane p hodno na začáku ČŘ a p hodno na konci ČŘ nevyrovnáno p n p p m y y y y y m y p p p p p p i i, 2, 1, 1 1 1,
Klouzavé průměry Vážené klouzavé průměry klouzavé čási o rozsahu m = 2p + 1 musí mí parabolický rend. y W i kde p i p W y i 3 4m( m, i Pro váhy plaí : 2, p 1, (3m 4) p i-p W o 2 p 2,, n p 7 20i 1 a W i 2 ), W i p,, 1,0,1,, i p
Klouzavé průměry Cenrovaný klouzavý průměr speciální případ váženého klouzavého průměru používáme je v případě, že rozsah klouzavé čási (m) je číslo sudé sřední body klouzavých čásí již nejsou celá čísla, proo nelze přímo přiřadi hodnoy klouzavých průměrů Posup výpoču první vypočený klouzavý průměr přiřadíme sřednímu bodu, kerý není celočíselný další klouzavý průměr přiřadíme sřednímu bodu +1, kerý opě není celočíselný celočíselný, edy inerpreovaelný, je bod +0.5, kerý leží mezi body a +1 hodnou klouzavého průměru, odpovídající bodu +0.5, vypočeme jako arimeický průměr dvou sousedních klouzavých průměrů.
Analyické vyrovnávání Trendové funkce lineární exponenciální logarimická T a a 0 1 T a a 0 1 T log( ) a0 a1 Kvadraická T a a a 0 1 2 2 nepřímá úměrnos T a 0 a 1
Analyické vyrovnávání Další rendové funkce modifikovaný exponenciální rend logisický rend S-křivka T k a a 1 0 1 T k a0a1 1 ( a0 a1 ) T e Gomperzova křivka T k a a 0 1
Analyické vyrovnávání Míry úspěšnosi zvolené rendové funkce Sřední kvadraická (čvercová) chyba odhadu 1 M. S. E. nejčasější měříko kvaliy modelu přednos dáváme vždy omu modelu, u něhož je hodnoa M.S.E. nejnižší prosřednicvím M.S.E. můžeme srovnáva jen funkce se sejným počem paramerů Saisika F F za nejlepší považujeme model, pro kerý je hodnoa saisiky F nejvyšší Index deerminace I 2 2 S ( ) T T y p1 p1, kde y 2 SR ( y T) n n p n p 2 S ( T y ) T 2 S ( y y ) y T n ( y n T ) 2
Trendová analýza Boxova-Jenkinsova meodologie ARMA modely pro sacionární časové řady modeluje nesysemaickou složku, kerá je vořena korelovanými náhodnými veličinami. ARIMA(p,d,q), vpřípadě sezónních vlivů SARIMA modely AR(p) auo-regresivní modely MA(q) modely klouzavých průměrů reziduální složky d - řád diferencování (S)ARIMA modely pro kovarianční sacionární časové řady
Trendová analýza Spekrální analýza časových řad časová řada se považuje za kombinaci sinusových a kosinusových křivek s různými ampliudami a frekvencemi
Analýza periodického kolísání Sezónní kolísání periodicky se opakující obousměrné odchylky hodno ČŘ od rendu délka periody je maximálně jeden rok oscilace vznikají v důsledku přímých či nepřímých příčin, keré se rok co rok pravidelně opakují nejprve je řeba zjisi, zda ČŘ reálně vykazuje sezónní výkyvy kvanifikace sezónních výkyvů očišění ČŘ, j. vyloučení sezónní složky. Cíl sezónního očišťování: - odkryí základní dynamiky vývoje zkoumaných jevů - umožnění bezprosředního srovnání vývoje v jednolivých sezónách v rámci roku.
Sezónní kolísání Model konsanní sezónnosi (adiivní model): yij T, ij Sij ij i1,2,, m; j 1,2,, r kde i je pořadí roku a j je dílčí období v rámci roku (sezóny) Kvanifikace sezónních výkyvů : empirické sezónní rozdíly (odchylky) = y ij T ij průměrné sezónní rozdíly sandardizované sezónní rozdíly (= sezónní fakory rozdílové) Sandardizace (normování) souče sezónních rozdílů v rámci roku musí bý roven 0, zn. v rámci roku se sezónní výkyvy kompenzují.
Sezónní kolísání Model proporcionální sezónnosi (muliplikaivní model) y T S, i 1,2,, m; j 1,2,, r ij ij ij ij Kvanifikace sezónních výkyvů empirické sezónní indexy = y ij /T ij průměrné sezónní indexy sandardizované sezónní indexy (sezónní fakory indexní) Sandardizace (normování): souče sezónních indexů v rámci roku musí bý roven r, zn. v rámci roku se sezónní výkyvy kompenzují.
Analýza periodického kolísání Cyklické kolísání s periodou více le Krákodobé kolísání s periodou kraší než jeden rok
Reference Jana Hančlová, Lubor Tvrdý Úvod do analýzy časových řad, VŠB-TU Osrava, 2003, hp://gis.vsb.cz/pan Časové řady kapiola z výukových maeriálů hp://homen.vsb.cz/~oi73/cdpas1/
Děkuji za pozornos