DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE. y y

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE. y y"

Transkript

1 Předmě: Ročník: Vvořil: Daum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr Tomáš MAŇÁK 5 srpna Název zpracovaného celku: DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE je monoónní na celém svém deiničním oboru D ( ) nebo jesliže je klesající D( ) Říkáme, že unkce : ( ) rosoucí D( ) Příklad monoónních unkcí: a) rosoucích:, jesliže je = b) klesajících: =(/)

2 U unkcí, keré nejsou monoónní na celém deiničním oboru, nás zajímá, zda jsou monoónní alespoň na čásech deiničního oboru Zjišění monoónnosi unkce ed znamená, urči, ve kerých inervalech je daná unkce : ( ) rosoucí a ve kerých inervalech je klesající K omuo účelu nám mohou poslouži vlasnosi první derivace unkce = () α α α < α < ( ) k g je rosoucí pro ( ; ) ( ; ) < α < ( ) k g je klesající pro ; ) ( SHRNUTÍ!!!, pak je unkce (), pak je unkce () ) Je-li ( ) ) Je-li ( ) v bodě rosoucí v bodě klesající Jesliže má unkce () v omo inervalu rosoucí (klesající) v každém bodě inervalu ( a; b) kladnou (zápornou) první derivaci, pak je

3 Řešené příklad: Příklad Určee, pro kerá D( ) daná unkce rose (klesá) (Určee inerval : monoónnosi dané unkce) Řešení: ) Určíme deiniční obor unkce D( ) R ) Vpočeme první derivaci unkce - použijeme vzorec pro derivaci podílu dvou unkcí g g g g ( ) ( ( ) ( )( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Dále můžeme posupova dvěma různými způsob: způsob: ) Určíme, pro kerá D( ) a) (unkce rose) ( )( ) ( ) je (unkce rose) a pro kerá je (unkce klesá) ( )( ) ( ) (;) R (;) Funkce rose pro (; )

4 b) (unkce klesá) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ; ) (; ) R 4) Vslovíme závěr: ( ; ) (; ) Funkce klesá pro ( ; ) (; ) Funkce rose pro (; ) Funkce klesá pro ( ; ) (; ) způsob: ) Určíme, pro kerá D( ) je (unkce rose) a pro kerá je (unkce klesá) Vužijeme meod nulových bodů Výsledek první derivace položíme roven nule a nalezneme zv nulové bod (bod, v nichž se mění zakřivení křivk viz obrázek výše) ( )( ) ( ) ( )( ) zlomek je roven nule, je-li roven nule jeho čiael nulové bod Dále pokračujeme již známou meodou nulových bodů (Nakreslíme číselnou osu; vznačíme na ni nulové bod; nulové bod rozdělí číselnou osu na jednolivé inerval; zvolíme libovolné číslo (v omo případě např číslo ), ale nikoliv krajní bod inervalů; zvolené číslo dosadíme do výsledku první derivace a zjisíme, zda výsledkem je kladná nebo záporná hodnoa; nad daný inerval s námi zvoleným číslem pak napíšeme kladné nebo záporné znaménko, podle výsledku výpoču (po dosazení zvolené hodno, jsme získali číslo, j číslo kladné, proo nad prosřední inerval zapíšeme znaménko +); znaménka v dalších inervalech věšinou prosřídáme (hodnou první derivace můžeme zjišťova i v každém inervalu zvlášť, dosazením libovolného prvku ze vzniklých inervalů do výsledku první derivace); na základě kladné nebo záporné hodno první 4

5 derivace určíme, ve kerých inervalech je unkce rosoucí ) a ve kerých je klesající : + 4) Vslovíme závěr podle vě: Je-li (kladná), pak je unkce v daném inervalu rosoucí a je-li - (záporná), pak je unkce v daném inervalu klesající Funkce rose pro (; ) Funkce klesá pro ( ; ) (; ) Příklad Zjisěe, ve kerých inervalech rose a ve kerých klesá unkce : Řešení: ) Určíme deiniční obor unkce D( ) R ) Vpočeme první derivaci unkce pomocí základních vzorců pro derivaci unkčního mnohočlenu ( 4) ( )( ) Dále můžeme posupova opě dvěma různými způsob: způsob: ) Určíme, pro kerá D( ) a) (unkce rose) 4 ( ; ) (; ) je (unkce rose) a pro kerá je Funkce rose pro ( ; ) (; ) (unkce klesá) 5

6 b) (unkce klesá) 4 (;) Funkce klesá pro (;) 4) Vslovíme závěr: Funkce rose pro ( ; ) (; ) Funkce klesá pro (;) způsob: je (unkce rose) a pro kerá je ) Určíme, pro kerá D( ) (unkce klesá) Vužijeme meod nulových bodů Výsledek první derivace položíme roven nule a nalezneme zv nulové bod Pokračujeme sejným způsobem jako v řešeném příkladu ( )( ) nulové bod : + + 4) Vslovíme závěr podle vě: Je-li (kladná), pak je unkce v daném inervalu rosoucí a je-li Příklad (záporná), pak je unkce v daném inervalu klesající Funkce rose pro ( ; ) (; ) Funkce klesá pro (;) 4 4 Určee inerval monoónnosi unkce : ( 4 6 ) Řešení: ) Určíme deiniční obor unkce D( ) R - 6

7 ) Vpočeme první derivaci unkce pomocí vzorce pro derivaci ( c ) c ; c kons 4 ( 4 ( 4 4 6) 6 ) ( 4 4 ( 4 6) 4 6 ) ( )( ) ( 4 7) Dále budeme posupova způsobem řešení je (unkce rose) a pro kerá je ) Určíme, pro kerá D( ) (unkce klesá) Vužijeme meod nulových bodů Výsledek první derivace položíme roven nule a nalezneme zv nulové bod Pokračujeme sejným způsobem jako v předchozích řešených příkladech ( )( ) nulové bod : + + 4) Vslovíme závěr podle vě: Je-li (kladná), pak je unkce v daném inervalu rosoucí a je-li (záporná), pak je unkce v daném inervalu klesající Funkce rose pro ( ;) (; ) Funkce klesá pro ( ; ) (;) - Příklad 4 Určee inerval monoónnosi unkce Řešení: : ) Určíme deiniční obor unkce D( ) R ) Vpočeme první derivaci unkce - použijeme vzorec pro derivaci podílu dvou unkcí g g g g 7

8 ( ) ( ) ( ) 4 ( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) je (unkce rose) a pro kerá je ) Určíme, pro kerá D( ) (unkce klesá) Vužijeme meod nulových bodů Výsledek první derivace položíme roven nule a nalezneme zv nulové bod Pokračujeme sejným způsobem jako v předchozích řešených příkladech ( 4) ( ) 4 nulové bod zlomek je roven nule, je-li roven nule jeho čiael; (podm) Na číselné ose vznačíme kromě nulových bodů derivace aké číselnou hodnou, pro kerou derivace neeisuje (podmínk pro derivaci) i podmínku eisence dané unkce (krok - D ( ) ) Dále pak posupujeme známými krok meod nulových bodů Dáváme si pozor na získané hodno derivace v jednolivých inervalech (znaménka se nesřídají z důvodu podmínk vloučení někerých číselných hodno z množin reálných čísel) : + + 4) Vslovíme závěr podle vě: Je-li (kladná), pak je unkce v daném inervalu rosoucí a je-li (záporná), pak je unkce v daném inervalu klesající Funkce rose pro ( ;) (4; ) Funkce klesá pro ( ;) (;4) 4 Úloh k procvičování ) Určee inerval monoónnosi unkce : ) Určee inerval monoónnosi unkce : ) Určee inerval monoónnosi unkce : ) Určee inerval monoónnosi unkce : 4 5) Určee inerval monoónnosi unkce : 8

9 5 6) Určee inerval monoónnosi unkce : 7) Určee inerval monoónnosi unkce 8) Určee inerval monoónnosi unkce : : 9) Určee inerval monoónnosi unkce : ) Určee inerval monoónnosi unkce : ) Určee inerval monoónnosi unkce : ) Určee inerval monoónnosi unkce : ( )( ) ) Určee inerval monoónnosi unkce : 4 4) Určee inerval monoónnosi unkce : 4 4 5) Určee inerval monoónnosi unkce : 9 6) Určee inerval monoónnosi unkce : ) Určee inerval monoónnosi unkce : 8) Určee inerval monoónnosi unkce : 9) Určee inerval monoónnosi unkce : Použiá lieraura: Výukové maeriál a úloh a cvičení jsou auorsk vvořen pro učební maeriál M Dosálová, D Pešaová: Maemaika 7 čás - učební maeriál SPŠ Osrava Víkovice D Hrubý, J Kubá: Maemaika pro gmnázia - Dierenciální a inegrální poče, Promeheus 997 I Dušek: Řešené mauriní úloh z maemaik, SPN 988 9

x udává hodnotu směrnice tečny grafu

x udává hodnotu směrnice tečny grafu Předmě: Ročník: Vyvořil: Daum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÝ VÝZNAM DERIVACE FUNKCE GEOMETRICKÝ VÝZNAM DERIVACE FUNKCE v bodě (ečny grafu funkcí) Je

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Pera Schreiberová, Ph.D. Osrava 0 Ing. Pera Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- ÚVĚRY

FINANČNÍ MATEMATIKA- ÚVĚRY Projek ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí regisrační číslo projeku: CZ.1.07/1.5.00/4.0948 IV- Inovace a zkvalinění výuky směřující k rozvoji maemaické gramonosi žáků sředních škol FINANČNÍ MATEMATIKA-

Více

Seznámíte se s principem integrace substituční metodou a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.

Seznámíte se s principem integrace substituční metodou a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat. 4 Inegrace subsiucí 4 Inegrace subsiucí Průvodce sudiem Inegrály, keré nelze řeši pomocí základních vzorců, lze velmi časo řeši subsiuční meodou Vzorce pro derivace elemenárních funkcí a věy o derivaci

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ VĚRA JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: DERIVACE ZÁKLADNÍ A SLOŽENÉ FUNKCE

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ VĚRA JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: DERIVACE ZÁKLADNÍ A SLOŽENÉ FUNKCE Předmět: Ročník: Vtvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ VĚRA JÜTTNEROVÁ.. Název zpracovaného celku: DERIVACE ZÁKLADNÍ A SLOŽENÉ FUNKCE DIFERENCIÁLNÍ POČET Deinice: Okolí O bodu nazývané poloměr okolí O. LIMITA

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

a základ exponenciální funkce

a základ exponenciální funkce Předmět: Ročník: Vtvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. červenec 0 Název zpracovaného celku: EXPONENCIÁLNÍ A LOGARIMICKÁ FUNKCE EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE Eponenciální unkce o základu a je každá

Více

Parciální funkce a parciální derivace

Parciální funkce a parciální derivace Parciální funkce a parciální derivace Pro sudeny FP TUL Marina Šimůnková 19. září 2018 1. Parciální funkce. Příklad: zvolíme-li ve funkci f : (x, y) sin(xy) pevnou hodnou y, například y = 2, dosaneme funkci

Více

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost .7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,

Více

Derivace funkce více proměnných

Derivace funkce více proměnných Derivace funkce více proměnných Pro sudeny FP TUL Marina Šimůnková 21. prosince 2017 1. Parciální derivace. Ve výrazu f(x, y) považujeme za proměnnou jen x a proměnnou y považujeme za konsanu. Zderivujeme

Více

SLOVNÍ ÚLOHY VEDOUCÍ K ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH ROVNIC

SLOVNÍ ÚLOHY VEDOUCÍ K ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH ROVNIC Projek ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí regisrační číslo projeku: CZ..0/.5.00/4.0948 IV- Inovace a zkvalinění výuky směřující k rozvoji maemaické gramonosi žáků sředních škol SLOVNÍ ÚLOHY VEDOUCÍ

Více

NA POMOC FO. Pád vodivého rámečku v magnetickém poli

NA POMOC FO. Pád vodivého rámečku v magnetickém poli NA POMOC FO Pád vodivého rámečku v maneickém poli Karel auner *, Pedaoická akula ZČU v Plzni Příklad: Odélníkový rámeček z vodivého dráu má rozměry a,, hmonos m a odpor. Je zavěšen ve výšce h nad horním

Více

Pasivní tvarovací obvody RC

Pasivní tvarovací obvody RC Sřední průmyslová škola elekroechnická Pardubice CVIČENÍ Z ELEKTRONIKY Pasivní varovací obvody RC Příjmení : Česák Číslo úlohy : 3 Jméno : Per Daum zadání : 7.0.97 Školní rok : 997/98 Daum odevzdání :

Více

Frézování - řezné podmínky - výpočet

Frézování - řezné podmínky - výpočet Předmě: Ročník: Vyvořil: Daum: Základy výroby 2 M. Geisová 10. červen 2012 Název zpracovaného celku: Frézování - řezné podmínky - výpoče Posup při určování řezných podmínek, výpoče řezné síly Fř, výkonu

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/../.98 IV- Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- SLOŽENÉ ÚROOVÁNÍ

Více

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu

Více

Konvexnost, konkávnost

Konvexnost, konkávnost 20. srpna 2007 1. f = x 3 12x 2. f = x 2 e x 3. f = x ln x Příklad 1. Určete intervaly, na kterých je funkce konvexní a konkávní a určete inflexní body f = x 3 12x Příklad 1. f = x 3 12x Řešení: Df = R

Více

Biologické modely. Robert Mařík. 9. listopadu Diferenciální rovnice 3. 2 Autonomní diferenciální rovnice 8

Biologické modely. Robert Mařík. 9. listopadu Diferenciální rovnice 3. 2 Autonomní diferenciální rovnice 8 Biologické modely Rober Mařík 9. lisopadu 2008 Obsah 1 Diferenciální rovnice 3 2 Auonomní diferenciální rovnice 8 3 onkréní maemaické modely 11 Dynamická rovnováha poču druhů...................... 12 Logisická

Více

Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných SLOŽENÉ FUNKCE. PŘÍKLAD 1 t, kde = =

Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných SLOŽENÉ FUNKCE. PŘÍKLAD 1 t, kde = = Diferenciální poče funkcí více reálných proměnných -- SLOŽENÉ FUNKCE PŘÍKLAD Určee derivaci funkce h ( = f( g( g( kde g ( = + g ( = f ( / = e Podle pravidla o derivování složených funkcí více proměnných

Více

Statika 1. Miroslav Vokáč ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Vokáč. Plocha.

Statika 1. Miroslav Vokáč ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Vokáč. Plocha. Saika 1 Saika 1 2. přednáška ové veličin Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Miroslav Vokáč miroslav.vokac@klok.cvu.cz Konrolní

Více

Rolleova věta. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti : má derivaci c) f (a) = f (b). a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b

Rolleova věta. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti : má derivaci c) f (a) = f (b). a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b Průběh unkce Rolleova věta Mějme unkci, která má tto vlastnosti : a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b má derivaci c) (a) = (b). b Potom eistuje v a, alespoň jeden bod c, v němž ( c) : 1, 3 0 1 1

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/.5./34.948 IV-2 Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- JEDNODCHÉ

Více

Matematika v automatizaci - pro řešení regulačních obvodů:

Matematika v automatizaci - pro řešení regulačních obvodů: . Komplexní čísla Inegrovaná sřední škola, Kumburská 846, Nová Paka Auomaizace maemaika v auomaizaci Maemaika v auomaizaci - pro řešení regulačních obvodů: Komplexní číslo je bod v rovině komplexních čísel.

Více

LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU

LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU je lineární rovnice, ve které se vyskytuje jeden nebo více výrazů v absolutní hodnotě. ABSOLUTNÍ HODNOTA x reálného čísla x je

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha V.E... sladíme 8 bodů; průměr 4,65; řešilo 23 sudenů Změře závislos eploy uhnuí vodného rozoku sacharózy na koncenraci za amosférického laku. Pikoš v zimě sladil chodník. eorie Pro vyjádření koncenrace

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0216.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0216. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

Statika 2. Kombinace namáhání N + M y + M z. Miroslav Vokáč 19. října ČVUT v Praze, Fakulta architektury.

Statika 2. Kombinace namáhání N + M y + M z. Miroslav Vokáč 19. října ČVUT v Praze, Fakulta architektury. 2. přednáška N + M + M Jádro průřeu Šikmý ohb M + N M + N M + M + N Jádro průřeu Ecenrický lak a vloučeného ahu Konrolní oák Miroslav Vokáč miroslav.vokac@cvu.c ČVUT v Prae, Fakula archiekur 19. října

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0217.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0217. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

Řasový test toxicity

Řasový test toxicity Laboraorní návod č. Úsav hemie ohrany prosředí, VŠCHT v Praze Řasový es oxiiy. Účel Řasové esy oxiiy slouží k esování možnýh oxikýh účinků láek a vzorků na vodní produeny. Zelené řasy paří do skupiny neévnaýh

Více

Využijeme znalostí z předchozích kapitol, především z 9. kapitoly, která pojednávala o regresní analýze, a rozšíříme je.

Využijeme znalostí z předchozích kapitol, především z 9. kapitoly, která pojednávala o regresní analýze, a rozšíříme je. Pravděpodobnos a saisika 0. ČASOVÉ ŘADY Průvodce sudiem Využijeme znalosí z předchozích kapiol, především z 9. kapioly, kerá pojednávala o regresní analýze, a rozšíříme je. Předpokládané znalosi Pojmy

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ÚVODU DO MATEMATICKÉ ANLÝZY FUNKCE 999/000 CIFRIK Funkce F a) Zadání: Vyšetřete bez užití limit a derivací funkci : y = { x } f Definice:

Více

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2 Cvičení 1 Lineární rovnice prvního řádu 1. Najděe řešení Cauchyovy úlohy x + x g = cos, keré vyhovuje podmínce x(π) =. Máme nehomogenní lineární diferenciální ( rovnici prvního řádu. Funkce h() = g a q()

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. 8 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava 01 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. 6 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vsoká škola báňská Technická

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.7/1.5./4.8 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Více

Oceňování finančních investic

Oceňování finančních investic Oceňování finančních invesic A. Dluhopisy (bondy, obligace). Klasifikace obligací a) podle kupónu - konvenční obligace (sraigh, plain vanilla, bulle bond) vyplácí pravidelný (roční, pololení) kupón po

Více

1. Pojem celé číslo. 2. Zobrazení celých čísel. Číselná osa :

1. Pojem celé číslo. 2. Zobrazení celých čísel. Číselná osa : C e l á č í s l a 1. Pojem celé číslo Ve své dosavadní praxi jste se setkávali pouze s přirozenými čísly. Tato čísla určovala konkrétní počet (6 jablek, 7 kilogramů jablek, 8 korun apod). Desetinná čísla

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické

Více

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ A JEJICH UŽITÍ

LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ A JEJICH UŽITÍ Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/3.098 IV- Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol LOKÁLNÍ

Více

FUNKCE. Než přistoupíme k samotným funkcím, je třeba nadefinovat a vysvětlit několik pojmů, které k tomu budeme potřebovat.

FUNKCE. Než přistoupíme k samotným funkcím, je třeba nadefinovat a vysvětlit několik pojmů, které k tomu budeme potřebovat. FUNKCE Než přistoupíme k samotným unkcím, je třeba nadeinovat a vysvětlit několik pojmů, které k tomu budeme potřebovat. Kartézský součin množin A, B je množina všech uspořádaných dvojic [a; b], kde a

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

5 GRAFIKON VLAKOVÉ DOPRAVY

5 GRAFIKON VLAKOVÉ DOPRAVY 5 GRAFIKON LAKOÉ DOPRAY Jak známo, konsrukce grafikonu vlakové dopravy i kapaciní výpočy jsou nemyslielné bez znalosi hodno provozních inervalů a následných mezidobí. éo kapiole bude věnována pozornos

Více

INTEGRÁLNÍ POČET. Primitivní funkce. Neurčitý integrál. Pravidla a vzorce pro integrování

INTEGRÁLNÍ POČET. Primitivní funkce. Neurčitý integrál. Pravidla a vzorce pro integrování INTEGRÁLNÍ POČET Primiivní unkce. Neurčiý inegrál Deinice. Jesliže pro unkce F einovné n oevřeném inervlu J plí F pro kžé J, říkáme, že F je primiivní unkcí k unkci n J. Vě. Je-li spojiá n J, pk k ní eisuje

Více

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojm rostoucí, klesající a konstantní

Více

f ( x) = ψϕ ( ( x )). Podle vět o derivaci složené funkce

f ( x) = ψϕ ( ( x )). Podle vět o derivaci složené funkce Funkce daná paramerick polárně a implicině 4 Funkce daná paramerick polárně a implicině Výklad Definice 4 Nechť jsou dán funkce ϕ() ψ () definované na M R a nechť ϕ () je prosá na M Složená funkce ψϕ definovaná

Více

[ 0,2 ] b = 2 y = ax + 2, [ 1;0 ] dosadíme do předpisu Soustavy lineárních nerovnic. Předpoklady: 2206

[ 0,2 ] b = 2 y = ax + 2, [ 1;0 ] dosadíme do předpisu Soustavy lineárních nerovnic. Předpoklady: 2206 ..7 Soustavy lineárních nerovnic Předpoklady: 06 Pedagogická poznámka: První příklad je opakování, pokud se u někoho objeví problémy, je třeba je řešit před hodinou 0009. Př. : Urči předpis funkce f. Odhadni

Více

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí

Více

Kvadratické rovnice a jejich užití

Kvadratické rovnice a jejich užití Kvadraické rovnice a jejich užií Určeno udenům ředního vzdělávání mauriní zkouškou, první ročník, okruh Rovnice a nerovnice Pracovní li vyvořil: Mgr. Helena Korejková Období vyvoření VM: proinec 2012 Klíčová

Více

Analýza časových řad. Informační a komunikační technologie ve zdravotnictví. Biomedical Data Processing G r o u p

Analýza časových řad. Informační a komunikační technologie ve zdravotnictví. Biomedical Data Processing G r o u p Analýza časových řad Informační a komunikační echnologie ve zdravonicví Definice Řada je posloupnos hodno Časová řada chronologicky uspořádaná posloupnos hodno určiého saisického ukazaele formálně je realizací

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

ÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU

ÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU ÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU Obsah Co je o dnamika? 1 Základní veličin dnamik 1 Hmonos 1 Hbnos 1 Síla Newonov pohbové zákon První Newonův zákon - zákon servačnosi Druhý Newonův zákon - zákon síl Třeí

Více

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I 4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

GONIOMETRICKÉ ROVNICE

GONIOMETRICKÉ ROVNICE Poje ŠABLONY NA GVM Gmnázium Velé Meziříčí egisační číslo pojeu: CZ../../.98 IV- Inovace a zvalinění výu směřující ozvoji maemaicé gamonosi žáů sředních šol GONIOMETRICKÉ ROVNICE Auo Hana Macholová Jaz

Více

Fyzikální praktikum II - úloha č. 4

Fyzikální praktikum II - úloha č. 4 Fyzikální prakikum II - úloha č. 4 1 4. Přechodové jevy v obvodech s kapaciory Úkoly 1) 2) 3) 4) Sesave obvod pro demonsraci jevu nabíjení a vybíjení kondenzáoru. Naměře průběhy napěí a proudů na vybraných

Více

Kmitání tělesa s danou budicí frekvencí

Kmitání tělesa s danou budicí frekvencí EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND Kmiání ělesa s danou budicí frekvencí PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI České vysoké učení echnické v Praze, Fakula savební, Kaedra maemaiky Posílení vazby eoreických předměů

Více

listopadu 2016., t < 0., t 0, 1 2 ), t 1 2,1) 1, 1 t. Pro X, U a V najděte kvantilové funkce, střední hodnoty a rozptyly.

listopadu 2016., t < 0., t 0, 1 2 ), t 1 2,1) 1, 1 t. Pro X, U a V najděte kvantilové funkce, střední hodnoty a rozptyly. 6. cvičení z PSI 7. -. lisopadu 6 6. kvanil, sřední hodnoa, rozpyl - pokračování příkladu z minula) Náhodná veličina X má disribuční funkci e, < F X ),, ) + 3,,), a je směsí diskréní náhodné veličiny U

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce

Více

Volba vhodného modelu trendu

Volba vhodného modelu trendu 8. Splinové funkce Trend mění v čase svůj charaker Nelze jej v sledovaném období popsa jedinou maemaickou křivkou aplikace echniky zv. splinových funkcí: o Řadu rozdělíme na několik úseků o V každém úseku

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Diferenciální rovnice 1. řádu

Diferenciální rovnice 1. řádu Kapiola Diferenciální rovnice. řádu. Lineární diferenciální rovnice. řádu Klíčová slova: Obyčejná lineární diferenciální rovnice prvního řádu, pravá srana rovnice, homogenní rovnice, rovnice s nulovou

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

Numerická integrace. b a. sin 100 t dt

Numerická integrace. b a. sin 100 t dt Numerická inegrace Mirko Navara Cenrum srojového vnímání kaedra kyberneiky FEL ČVUT Karlovo náměsí, budova G, mísnos 14a hp://cmpfelkcvucz/~navara/nm 1 lisopadu 18 Úloha: Odhadnou b a f() d na základě

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digiální učení meriál Číslo projeku CZ..7/../.8 Náev projeku Zkvlinění výuk prosřednicvím ICT Číslo náev šlon klíčové kivi III/ Inovce kvlinění výuk prosřednicvím ICT Příjemce podpor Gmnáium, Jevíčko,

Více

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(

Více

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Šablona 10 VY_32_INOVACE_0106_0110 Rovnice s absolutní hodnotou

Šablona 10 VY_32_INOVACE_0106_0110 Rovnice s absolutní hodnotou Šablona 10 VY_32_INOVACE_0106_0110 Rovnice s absolutní hodnotou 1 Identifikační údaje školy Číslo projektu Číslo a název šablony Autor Tematická oblast Číslo a název materiálu Anotace VÝUKOVÝ MATERIÁL

Více

PŘÍKLAD INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU

PŘÍKLAD INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU PŘÍKLAD INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovin v ČR. Sklizeň z několika posledních le jsme vložili do abulky 7.1. a) Jaké plodiny paří mezi obiloviny?

Více

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 4. TROJFÁZOVÉ OBVODY

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 4. TROJFÁZOVÉ OBVODY Kaedra obecné elekroechniky Fakula elekroechniky a inormaiky, VŠB - T Osrava. TOJFÁZOVÉ OBVODY.1 Úvod. Trojázová sousava. Spojení ází do hvězdy. Spojení ází do rojúhelníka.5 Výkon v rojázových souměrných

Více

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 Smysl solidního zvládnutí matematiky v bakalářských oborech na Fakultě podnikatelské VUT v Brně je především v aplikační síle matematiky v odborných předmětech a

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 2. Spojitost funkce 2.2. Spojitost funkce v intervalu 2 Spojitost funkce v intervalu Od spojitosti funkce v bodě přejdeme ke spojitosti funkce v intervalu. Nejprve

Více

( ) ( )( ) ( x )( ) ( )( ) Nerovnice v součinovém tvaru II. Předpoklady: Př.

( ) ( )( ) ( x )( ) ( )( ) Nerovnice v součinovém tvaru II. Předpoklady: Př. .. Nerovnice v součinovém tvaru II Předpoklady: 0 Př. 1: Řeš nerovnici x x 0. Problém: Na levé straně není součin musíme ho nejdříve vytvořit: x x x x x x x x x x + 0. ( ( ( = = + řešíme nerovnici: ( (

Více

a se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje takové číslo d R

a se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje takové číslo d R Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ Mgr. Tomáš MAŇÁK. březen 014 Název zpracovaného celku: ARITMETICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ ARITMETICKÁ POSLOUPNOST Teorie: Posloupnost každé ( ) n n1

Více

Variace. Kvadratická funkce

Variace. Kvadratická funkce Variace 1 Kvadratická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratická funkce Kvadratická

Více

Reologické modely měkkých tkání

Reologické modely měkkých tkání Reologické modely měkkých kání Tomas Mares 1. Úvod Výchozím principem mechaniky měkkých kání (j. kůže, cév, pojivových kání, kání vniřních orgánů, šlach, vazů, chrupavek, sinoviální ekuiny) je reologie.

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Logaritmická rovnice

Logaritmická rovnice Ročník:. Logaritmická rovnice (čteme: logaritmus z x o základu a) a základ logaritmu x argument logaritmu Vzorce Použití vzorců a principy počítání s logaritmy jsou stejné jako u logaritmů základních,

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

7. INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU

7. INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU Indexy základní, řeězové a empo přírůsku Aleš Drobník srana 1 7. INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU V kapiole Indexy při časovém srovnání jsme si řekli: Časové srovnání vzniká, srovnáme-li jednu

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více