Pokročilé disperzní modely v optice tenkých vrstev Lekce 2: Kvantově mechanický popis Thomas-Reiche-Kuhnovo (TRK) sumační pravidlo; Fermiho zlaté pravidlo; dipólová aproximace; dielektrická odezva Daniel Franta Ústav yzikální elektroniky, Přírodovědecká akulta, Masarykova univerzita jaro 2014
Thomas-Reiche-Kuhnovo (TRK) sumační pravidlo Obsah 1 Thomas-Reiche-Kuhnovo (TRK) sumační pravidlo 2 Fermiho zlaté pravidlo 3 Dipólová aproximace 4 Dielektrická odezva 5 Shrnutí Daniel Franta (Ústav yzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 2 / 20
TRK sumační pravidlo Thomas-Reiche-Kuhnovo (TRK) sumační pravidlo Thomas-Reiche-Kuhnovo (TRK) sumační pravidlo je odvozené v rámci nerelativistické kvantové mechaniky z obecných principů, které tvoří jádro teorie. Předpokládejme hamiltonián uzavřeného systému v následující ormě: Ĥ 0 = N e+n n j=1 N ˆp j ˆp j e+n n q jq k + 2m j 4πɛ j>k 1 0 ˆr j ˆr, k kde ˆr j = (ˆx j, ŷ j, ẑ j) a ˆp j = (ˆp xj, ˆp yj, ˆp zj) jsou vektorové operátory polohy a hybnosti j-té částice, pro které platí (postulát) Heisenbergovi relace neurčitosti: [ˆx j, ˆp xj] = i, [ŷ j, ˆp yj] = i, [ẑ j, ˆp zj] = i. Speciální tvar hamiltoniánu, tj. že ho můžeme psát jako součet kinetické a potenciální energie, kde první z nich závisí pouze na ˆp j a druhá je unkcí ˆr j, nám umožní napsat následující komutátorové relace: ˆp xj = imj [Ĥ 0, ˆx j], ˆp yj = imj [Ĥ 0, ŷ j ], ˆp zj = imj [Ĥ 0, ẑ j ]. Daniel Franta (Ústav yzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 3 / 20
TRK sumační pravidlo Thomas-Reiche-Kuhnovo (TRK) sumační pravidlo Dále předpokládejme, že i a jsou libovolné vlatní stavy hamiltoniánu Ĥ 0 a E i a E jsou odpovídající vlastní energie: pro které platí relace úplnosti: Ĥ 0 i = E i i and Ĥ 0 = E, = 1. Na základě předchozích vztahů můžeme napsat následující identitu pro operátory libovolné částice j: 1 = i 1 i = 1 1 ( ) i [ˆxj, ˆpxj] i = i ˆx j ˆp xj i i ˆp xj ˆx j i i i = mj ( ) i ˆx j [Ĥ 0, ˆx j] i i [Ĥ 0, ˆx j] ˆx j i 2 = 2mj (E 2 E i) i ˆx j ˆx j i = 2mj (E 2 E i) ˆx j i 2. Daniel Franta (Ústav yzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 4 / 20
TRK sumační pravidlo Thomas-Reiche-Kuhnovo (TRK) sumační pravidlo Tato identita může být vyjádřena taktéž pomocí operátoru momentu dané částice: 2m j 2 (E E i) ˆx j i 2 = 2 i m j ˆp xj i 2 E E i = 1. Předchozí vztahy byly vztaženy k operátorům jedné částice. Deinujme celkové operátory hybnosti elektronů ˆp xe a jader ˆp xn následovně: ˆp xe = ˆp xj a ˆp xn = ˆp xj, j electrony které nám umožní deinovat následující sumy: 1 j jádra n 2 m e i ˆp xe i 2 E E i = N e a 2 m n i ˆp xn i 2 E E i = N n kde N e a N n jsou celkové počty elektronů a jader n. 1957 1 H. A. Bethe, E. E. Salpeter, Quantum Mechanics o One- and Two-Electron Atoms, Springer-Verlag, Berlin, Daniel Franta (Ústav yzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 5 / 20
TRK sumační pravidlo Thomas-Reiche-Kuhnovo (TRK) sumační pravidlo Veličina k i : k i = 2mk 2 (E Ei) ˆxk i 2 = 2 m k ˆp xk i 2 E E i se nazývá síla oscilátoru částice typu k (elektron a různé druhy jader) a má tu vlastnost, že počítá celkový počet daných částic. Pro daný systém potom můžeme psát různé TRK sumační pravidla i i i k = 2 ˆp xk i 2 = N k, k = e, n1, n2,... m k E E i i je libovolný stav a sčítá se přes všechny možné existující stavy síla oscilátoru může nabývat jak kladných (E E i > 0), tak záporných hodnot (E E i < 0) energie E i u konečných systémů nenabývají pouze diskrétních hodnot, ale mohou tvořit i kontinuum u velkých systémů (nekonečných) energie tvoří pásy Daniel Franta (Ústav yzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 6 / 20
TRK sumační pravidlo Thomas-Reiche-Kuhnovo (TRK) sumační pravidlo Ve smyslu distribuční unkce lze deinovat unkci síly přechodu následovně F k(e) = 1 V i i k [δ(e E i E) + δ(e i E E)]. Potom TRK sumační pravidlo má následující integrální ormu: kde N k je hustota k částic. 2 0 F k(e)de = Nk V = Nk, TRK sumační pravidlo v obou ormách je kvantově mechanická identita založená na základních postulátech. Jak toto sumační pravidlo ověřit? Je možné měřit oscilátorové síly nebo unkce síly přechodu? Jak TRK sumační pravidlo souvisí s dielektrickou odezvou a klasickým sumačním pravidlem? 2 D. Franta, D. Nečas, L. Zajíčková, Application o Thomas Reiche Kuhn sum rule to construction o advanced dispersion models, Thin Solid Films 534 (2013) 432 441 Daniel Franta (Ústav yzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 7 / 20
Fermiho zlaté pravidlo Obsah 1 Thomas-Reiche-Kuhnovo (TRK) sumační pravidlo 2 Fermiho zlaté pravidlo 3 Dipólová aproximace 4 Dielektrická odezva 5 Shrnutí Daniel Franta (Ústav yzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 8 / 20
Fermiho zlaté pravidlo Fermiho zlaté pravidlo K neporušené části hamiltoniánu přidáme časově závislou část vyjadřující interakci světla se systémem, tzv. interakční hamiltonián: N e+n n 1 [ ] Ĥ = Ĥ 0 + Ĥ int(t) = Ĥ 0 + q jˆr j Ee i(kˆr j ωt) + E e i(kˆr j ωt), 2 j=1 kde světlo je popsané klasicky. Pro jednoduchost si zvolme souřadný systém následovně: E = (A 0, 0, 0), k = (0, 0, k z), k z = (n + ik)k 0, k 0 = 2π λ = ω c, A 0 amplituda elektrického pole n index lomu k extinční koeicient k 0 velikost vnového vektoru ve vákuu Z konstrukce interakčního hamiltoniánu je vidět, že jsme použili aproximaci pro vyjádření střední hodnoty lokálního pole jako v klasickém případě, tj. E lok = E. Daniel Franta (Ústav yzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 9 / 20
Fermiho zlaté pravidlo Fermiho zlaté pravidlo Interakční hamiltonián má potom tvar: Ĥ int(t) = N e+n n j=1 q jˆx ja 0 2 { e i[(n+ik)k 0ẑ j ωt] + e i[(n+ik)k 0ẑ j ωt] }. Časově závislý interakční hamiltonián způsobí, že systém přechází (osciluje) ze stavu i do stavu a obráceně, přičemž si s EM polem vyměňuje energii ω = E E i s jistou pravděpodobností za jednotku času. Fermiho zlaté pravidlo tuto pravděpodobnost deinuje následovně: W ±(ω) = 2π ŵ± i 2 δ(e E i ± ω), kde operátory ŵ ±(z) se nazývají operátory poruchy: ŵ e iωt + ŵ +e iωt = Ĥ int(t). Potom energie emitovaná/absorbovaná systémem za jednotku času (výkon) na rekvenci ω je: i P ±(ω) = ωw ±(ω) = 2πω ŵ ± i 2 δ(e E i ω). Daniel Franta (Ústav yzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 10 / 20
Dipólová aproximace Obsah 1 Thomas-Reiche-Kuhnovo (TRK) sumační pravidlo 2 Fermiho zlaté pravidlo 3 Dipólová aproximace 4 Dielektrická odezva 5 Shrnutí Daniel Franta (Ústav yzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 11 / 20
Dipólová aproximace Dipólová aproximace Poruchové operátory můžeme v rámci dipólové aproximace nahradit následovně: ŵ ± = N e+n n j=1 q jˆx ja 0 2 N e i(n+ik)k 0ẑ j ˆd xa 0 2, e+n n ˆd x = j=1 q jˆx j, kde ˆd x celkový dipólový operátor systému. Výkon emitovaný/absorbovaný na rekvenci ω je potom úměrný rekvenci, intenzitě světla a druhé mocnině dipólového maticového elementu: P ±(ω) = πω i 2 A2 0 ˆd x i 2 δ(e E i ± ω), respektive úměrný intenzitě světla a síle oscilátoru daného přechodu: P ±(ω) = π i i 2 A2 0 (E Ei) ˆd x i 2 δ(e E i ± ω) A 2 0 i δ(e E i ± ω). Srovnejte s oscilátorovými silami e i a n i deinovanými v souvislosti TRK sumou. Daniel Franta (Ústav yzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 12 / 20
Dielektrická odezva Obsah 1 Thomas-Reiche-Kuhnovo (TRK) sumační pravidlo 2 Fermiho zlaté pravidlo 3 Dipólová aproximace 4 Dielektrická odezva 5 Shrnutí Daniel Franta (Ústav yzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 13 / 20
Dielektrická odezva Dielektrická odezva Absorbovaný výkon ve vzorku (v prostorovém elementu, kde platí dipólová aproximace) tedy můžeme psát následovně: P(ω) = P (ω) P +(ω) = πω i 2 A2 0 ˆd x i 2 [δ(e E i ω) δ(e E i + ω)]. Stejný výkon můžeme vyjádřit pomocí intenzity světla vstupujícího a vystupujícího z tohoto elementu: A xy I(O) L z I(Lz ) I(0) I(Lz) P(ω) = A xy [I(0) I(L z)] = V L z a nebo lépe P(ω) = VI (0) pro L z 0. Intenzitu světla vyjádříme jako časově vystředovaný Poyntingův vektor pro rovinnou tlumenou vlnu: I(z) = S z(t) = E x(t)h y(t) = nɛ0c 2 A2 0 e 2kk 0z = I 0 e αz. Derivací předchozího vztahu dostaneme vztah mezi absorbovaným výkonem a imaginární částí dielektrické unkce: P(ω) = Vn(ω)k(ω)ɛ 0ck 0A 2 0 = V εi(ω)ɛ0ω A 2 0. 2 Daniel Franta (Ústav yzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 14 / 20
Dielektrická odezva Dielektrická odezva V rámci dipólové aproximace dielektrická unkce uzavřeného systému je reprezentována jako součet netlumených oscilátorů: ε i(e) = π ɛ 0V i ˆd x i 2 [δ(e E i E) δ(e i E E)], kde reálná část může být získána pomocí KK relací: ε r(e) = 2 i [ ] ˆd x i 2 E E i ɛ 0V (E E i) 2 E E i E. 2 (E i E ) 2 E 2 Zvláštní popis. Nekonečná odezva v bodě rezonance. Kde je disipace? Podobné jako u klasických modelů, kde tření je uměle zavedeno a nemá v klasickém atomistickém modelu odůvodnění. Daniel Franta (Ústav yzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 15 / 20
Dielektrická odezva Dielektrická odezva Vzhledem k deinici unkce síly přechodu: F k(e) = 1 V i 2m k 2 (E Ei) ˆxk i 2 [δ(e E i E) + δ(e i E E)] můžeme redeinovat unkci síly přechodu následovně: ε i(e) E = = π ɛ 0V = πe2 ɛ 0V π ɛ 0V i E ˆd x i 2 [δ(e E i E) δ(e i E E)] i (E E i) ˆd x i 2 [δ(e E i E) + δ(e i E E)] i = (eh)2 8πɛ 0m e [ (E E i) ˆx e i 2 + ] Zn 2 ˆx n i 2 [δ(e E i E) + δ(e i E E)] [ n ] [ ] Zn 2 m e F n(e) = M Z 2 m e n F n(e) m n m n F e(e) + n F e(e) + n nebo integrálně sumační pravidlo stejné jako u klasického modelu: 0 ε i(e) E de = M N e U kde U 1 + me 2u = 1.000274. Daniel Franta (Ústav yzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 16 / 20
Dielektrická odezva Dielektrická odezva Abychom do modelu zavedli disipaci je nutné model otevřít a spojit ho s termostatem: ε i(e) = π ɛ 0V i ( Ω Ei exp k BT i, ) ˆd x i 2 [δ(e E i E) δ(e i E E)], kde Ω je termodynamický potenciál deinovaný tak, že pro kanonické rozdělení platí: ( ) Ω Ei exp = 1, k BT i takže tento krok nemá vliv na sumační pravidlo. Otevření systému má za následek akt, že v reprezentaci obsazovacích čísel mají elektrony Fermi Diracovo a onony Bose Einsteinovo rozdělení. Daniel Franta (Ústav yzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 17 / 20
Dielektrická odezva Dielektrická odezva Navíc je nutné při výpočtu uvažovat všechny možné procesy libovolných řádů, což se v praxi obchází tak, že se zavede empirické rozšíření pomocí symetrických normovaných rozdělovacích unkcí: ε i(e) = π ɛ 0V i ( Ω Ei exp k BT i, ) ˆd x i 2 [β i (E E i E) β i (E i E E)], kde β i je Gaussova nebo Lorentzova unkce. Nebo též jejich kombinace Voigtův proil. Takovéto rozšíření též nemá vliv na sumační pravidlo. 3 3 D. Franta, D. Nečas, L. Zajíčková, I. Ohlídal, Broadening o dielectric response and sum rule conservation, Thin Solid Films (in print) Daniel Franta (Ústav yzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 18 / 20
Shrnutí Obsah 1 Thomas-Reiche-Kuhnovo (TRK) sumační pravidlo 2 Fermiho zlaté pravidlo 3 Dipólová aproximace 4 Dielektrická odezva 5 Shrnutí Daniel Franta (Ústav yzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 19 / 20
Shrnutí Shrnutí Ukázali jsme si, že TRK sumační pravidlo je jistá kvantově mechanická identita, založená na základních postulátech nerelativistické teorie, do kterých se dá zahrnout i speciální tvar kinetické části hamiltoniánu. Pomocí Fermiho zlatého pravidla jsme si ukázali jak jednoduše zavést interakci mezi středním EM polem a nabitými částicemi. V rámci dipólové aproximace jsme si ukázali, že výkon, který si pole vyměňuje se systémem je úměrný intenzitě dopadajícího světla a síle oscilátoru daného přechodu. V rámci uzavřeného systému jsme ukázali, že dielektrická odezva je daná jako suma netlumených oscilátorů. Pro uzavřený systém jsme si ukázali, že v rámci dipólové aproximace se dá najít souvislost mezi TRK sumačními pravidly a klasickým sumačním pravidlem. Dále jsme si ukázali, že otevření systému a zavedení rozšiřování nemá vliv na sumační pravidlo. Daniel Franta (Ústav yzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 20 / 20