Matematické metody kvantové mechaniky
|
|
- Štěpán Tábor
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Matematické metody kvantové mechaniky Seminář současné matematiky Ing. Tomáš Kalvoda KM FJFI & KTI FIT ČVUT místnost M102, FIT 11. listopadu 2010 Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
2 Obsah 1 Klasická mechanika 2 Připomenutí známých pojmů z lineární algebry 3 Zobecnění některých pojmů 4 Kvantová mechanika Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
3 Klasický mechanický systém Klasický mechanický systém o n stupních volnosti je popsán pomocí kanonicky sdružených souřadnic q = {q k } n k=1 a hybností p = {p k} n k=1 náležících do tzv. fázového prostoru P daného systému, (q, p) P. Stav systému je dán bodem ve fázovém prostoru P. Každé měřitelné veličině A odpovídá reálná funkce A : P R. Možné výsledky měření veličiny A jsou prvky ran A. Dynamika systému je určena jeho Hamiltonovou funkcí H : P R R pomocí kanonických Hamiltonových rovnic, tedy počáteční úlohy q k(t) = H p k ( q(t), p(t), t ), p k (t) = H q k ( q(t), p(t), t ), kde k = 1,..., n a počáteční podmínky ( q(0), p(0) ) P jsou zadány. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
4 Poznámka Předcházející slide se nekvalifikuje do Semináře současné matematiky, neboť odpovídá první polovině 19. století. Současnější pohled by zněl zhruba takto: Souřadnice q jsou body n-rozměrné diferencovatelné variety Q, nazývané konfigurační prostor. Fázovým prostorem je kotečný bundle P = T Q. Hamiltonova funkce indukuje vektorové pole na P, jehož integrální křivky udávají časový vývoj systému. Reklama Pro zájemce (nejen) o tyto partie matematiky doporučuji: Geometrické metody ve fyzice, Tolar Diferenciální počet na varietách, Tušek Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
5 Příklad mechanického systému Volná částice hmotnosti m na přímce Fázový prostor a Hamiltonova funkce P = R R, Pozorovatelnou je například rychlost částice, H (q, p, t) = p2 2m. v : P R, v(q, p) = p m. p P m q q Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
6 pre-hilbertův prostor Definice Lineární vektorový prostor (nad tělesem C) vybavený zobrazením, : V V C takovým, že pro libovolná x, y V a α C platí x, αy + z = α x, y + x, z, x, y = y, x, x, x 0, rovnost nastává právě tehdy, když x = 0, nazýváme pre-hilbertovým prostorem. Zobrazení, se nazývá skalární součin. Poznámka Dimenze V může být konečná či nekonečná. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
7 Příklady pre-hilbertových prostorů Konečná dimenze Pro přirozené n položme V = C n. Skalární součin je definován předpisem n x, y := x k y k, kde x = {x k } n k=1 V a y = {y k} n k=1 V. Nekonečná dimenze Pro omezený uzavřený interval J = [a, b] uvažme prostor V všech spojitých funkcí [a, b] C. Algebraické operace jsou definovány bodově. Pro f, g V klademe f, g := f (x)g(x)dx J k=1 Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
8 Spektrum operátoru na prostoru konečné dimenze Uvažme konečněrozměrný komplexní vektorový prostor V a lineární zobrazení (operátor) A : V V. Pokud existuje nenulový vektor x V a komplexní číslo λ splňující Ax = λx, pak λ nazýváme vlastním číslem a x vlastním vektorem operátoru A. Množina všech vlastních čísel tvoří spektrum σ(a) operátoru A, σ(a) = { λ C λ je vlastním číslem A }. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
9 Spektrum operátoru na prostoru konečné dimenze Uvažme konečněrozměrný komplexní vektorový prostor V a lineární zobrazení (operátor) A : V V. Pokud existuje nenulový vektor x V a komplexní číslo λ splňující Ax = λx, pak λ nazýváme vlastním číslem a x vlastním vektorem operátoru A. Množina všech vlastních čísel tvoří spektrum σ(a) operátoru A, σ(a) = { λ C λ je vlastním číslem A }. Proč? Proč se σ(a) nazývá spektrum a co to všechno má společného s fyzikou? Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
10 Hilbertův prostor Posloupnost {x k } k=1 V v pre-hilbertově prostoru ( V,, ) se nazývá Cauchyovská právě, když pro každé ɛ > 0 existuje n 0 > 0 takové, že pro všechna n, m > n 0 platí x n x m < ɛ, Definice kde x = x, x je norma indukovaná skalárním součinem,. Každá konvergentní posloupnost je Cauchyovská. Je-li každá Cauchyovská posloupnost ve V konvergentní, nazýváme V úplný. Pre-Hilbertův prostor ( V,, ), který je úplný nazýváme Hilbertův. K označení se většinou používají velká psací písmena H, G, atp. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
11 Příklady Hilbertových prostorů Konečnědimenzionální prostory Libovolný pre-hilbertův prostor konečné dimenze je Hilbertův. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
12 Příklady Hilbertových prostorů l 2 Uvažme množinu všech komplexních posloupností { l 2 = x = {x k } } k=1 C x k 2 <. k=1 Algebraické operace jsou definovány po složkách, x, y l 2, α C, x + αy := {x k + αy k } k=1. Inkluze x + αy l 2 je zaručena Minkowského nerovností. Skalární součin x, y := x k y k k=1 je dobře definován díky Schwarzově (Hölderově) nerovnosti. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
13 Příklady Hilbertových prostorů L 2 (R, dx) Uvažme množinu { L 2 (R, dx) = f : R C f měřitelná, R } f (x) 2 dx < Algebraické operace jsou definovány bodově, f, g L 2 (R, dx), α C, (f + αg)(x) := f (x) + αg(x). Inkluze f + αg L 2 (R, dx) je zaručena Minkowského nerovností v integrálním tvaru. Skalární součin f, g := f (x)g(x)dx. R je dobře definován díky Schwarzově (Hölderově) nerovnosti v integrálním tvaru. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
14 Příklad neúplného pre-hilbertova prostoru ad slide 7 Uvažme pre-hilbertův prostor V všech spojitých funkcí f : [0, 1] C se skalárním součinem f, g = Tento prostor není úplný. 1 0 f (x)g(x)dx. Domácí úloha č. 1 Dokažte neúplnost výše zmíněného pre-hilbertova prostoru. Téma na rešerši č. 1 Dokažte Minkowského a Hölderovu nerovnost v případě prostorů posloupností l p, p > 1, a zformulujte odpovídající integrální tvary těchto nerovností v případě prostorů funkcí. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
15 Lineární operátory na Hilbertových prostorech Definice Lineární zobrazení A : H H definované na lineárním hustém podprostoru dom A H nazýváme (lineární) operátor na H. Definiční obor Všimněte si, že definiční obor dom A operátoru A nemusí být celé H! Operátory objevující se ve fyzikálních aplikacích zpravidla nejsou všude definované. Definice Operátor A nazýváme omezený, právě když je všude definovaný (dom A = H ) a existuje konstanta C > 0 taková, že Aψ C ψ pro každé ψ H. Infimum ze všech takovýchto C se nazývá (operátorová) norma A a značí se A. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
16 Domácí úloha č. 2 Dokažte, že každý operátor na prostoru konečné dimenze je omezený. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
17 Samosdružený operátor Definice Buď A hustě definovaný operátor na Hilbertově prostoru H. Označme { } dom A := ψ H ( ϕ H )( η dom A) : ψ, Aη = ϕ, η Pro ψ dom A položme A ψ := ϕ. Takto definované zobrazení A je lineární a nazývá se operátor sdružený s A. Poznámka Element ϕ H existuje nejvýše jeden. Pro každé ψ dom A a η dom A platí ψ, Aη = A ψ, η. Definice Hustě definovaný operátor A se nazývá samosdružený, právě když A = A. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
18 Poznámka Samosdružený operátor zobecňuje pojem Hermitovského operátoru na konečněrozměrném pre-hilbertově prostoru. Jsou tyto tanečky okolo definičního oboru nutné? Ano V kvantové mechanice hrají důležitou roli tzv. komutační relace, to jest rovnice typu [A, B] := AB BA = αi, (1) kde A a B jsou operátory na jistém Hilbertově prostoru, I je identita a α nenulová komplexní konstanta. Neexistují omezené operátory A a B splňující rovnici (1). Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
19 Každá prezentace má obsahovat aspoň jeden důkaz. Sporem Předpokládejme, že A a B jsou omezené operátory na Hilbertově prostoru H splňující AB BA = αi pro jisté nenulové komplexní α. Potom pro každé n = 1, 2,... platí AB n B n A = αnb n 1. Odtud (přímo z definice plyne AB A B ) α n B n 1 = αnb n 1 2 A B B n 1, n = 1, 2,.... Neboť B n je nenulové pro libovolné n 0, dostáváme spor α n 2 A B, n = 1, 2,.... Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
20 Příklady Domácí úloha č. 3 Nalezněte přirozený definiční obor operátoru A na l 2 daného předpisem (Ax) k := a k x k, kde {a k } k=1 je omezená komplexní posloupnost. Je-li tento operátor omezený, nalezněte jeho normu. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
21 Spektrum lineárního operátoru Definice Spektrum uzavřeného lineárního operátoru A je tvořeno všemi komplexními čísly z pro něž operátor A zi není bijektivní (jakožto zobrazení dom A H ). Pokud není injektivní, pak z patří do bodového spektra, z σ p (A). Pokud je injektivní, ale není surjektivní pak jestliže obor hodnot A zi je hustý, pak z patří do spojitého spektra, z σ c(a). jestliže obor hodnot A zi není hustý, pak z patří do reziduálního spektra, z σ r(a). Poznámky Disjunktní rozklad spektra: σ(a) = σ p (A) σ c (A) σ r (A) Spektrum samosdruženého operátoru je podmnožina reálné osy. Tj. pokud A = A pak σ(a) R. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
22 Kvantově mechanický systém Každému kvantově mechanickému systému odpovídá Hilbertův prostor H a samosdružený operátor H na H, nazývaný Hamiltonián, nebo Hamiltonův operátor. Stav systému je dán jednotkovým vektorem ψ H. Každé měřitelné veličině A odpovídá samosdružený operátor A. Možné výsledky měření veličiny A jsou prvky σ(a) R. Střední hodnota měření veličiny A na systému ve stavu ψ dom A je dána skalárním součinem ψ, Aψ. Dynamika systému je určena Schrödingerovou rovnicí i ψ (t) = H ψ(t), ψ(0) dom H. t Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
23 Pozoruhodnost Řešení Schrödingerovy rovnice Díky samosdruženosti Hamiltoniánu je zaručena (Spektrální teorém) existence unitárního zobrazení U (t) = e ith/, t R, takového, že U (t) dom H dom H, t R, a je-li dáno ψ 0 dom H, pak ψ(t) := U (t)ψ 0 splňuje i ψ (t) = H ψ(t), t R. t Operátor U (t) se nazývá unitární propagátor. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
24 Princip korespondence, kvantování Od Hamiltonovy funkce k Hamiltoniánu Je-li H (q, p) klasická Hamiltonova funkce, P = (a, b) R, pak formální Hamiltonián obdržíme záměnou q Q = x, p P = i d dx, kde Q a P jsou formální operátory na L 2( (a, b), dx ). Připouštíme i možnost a =, b = +. Operátor polohy Operátoru Q lze vždy dát dobrý význam: (Qψ)(x) = xψ(x), ψ dom Q = {ψ L 2( (a, b), dx ) b a } xψ(x) 2 dx < Jedná se o hustě definovaný samosdružený operátor, ať už je a, b jakékoliv. Dále víme, že σ(q) = σ c (Q) = [a, b]. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
25 Vlnová funkce Poznámka Pokud se uvažuje H = L 2 (R, dx) potom se o ψ H mluví jako o vlnové funkci. Význam vlnové funkce Střední hodnota měření polohy na systému ve stavu ψ dom Q je dána ψ, Qψ = x ψ(x) 2 dx. Tudíž ψ(x) 2 vyjadřuje hustotu pravděpodobnosti naměření polohy x. Všiměte si též důležitosti normalizace: 1 = ψ 2 = ψ(x) 2 dx. R R Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
26 Motivace pro volbu operátorů Q a P Poznámka (Kanonické komutační relace) Vzpomeňte, že kanonicky sdružená souřadnice a hybnost splňují {q, p} = 1, {q, q} = 0, {p, p} = 0, kde {, } je Poissonova závorka. Operátory Q a P formálně splňují [Q, P] = i I, [Q, Q] = 0, [P, P] = 0. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
27 Operátor hybnosti Problém Jak dát dobrý význam operátoru hybnosti, tedy formálnímu výrazu P = i d dx? Můžeme nejprve definovat operátor P 0 na H = L 2( (a, b), dx ) : P 0 ψ := i ψ, ψ dom P 0 = C 0 ( (a, b) ). Tento operátor je symetrický (Hermitovský) ψ, P 0 ϕ = P 0 ψ, ϕ, ψ, ϕ dom P 0. Pozor! To znamená pouze P 0 P 0. Nevíme, jestli je P 0 samosdružený. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
28 Operátor hybnosti Řešení Odpověď dává von Neumannova teorie (1. polovina 20. století, hledání samosdružených rozšíření symetrických operátorů). Konkrétně: a) a = a b = +. Potom existuje právě jedno samosdružené rozšíření operátoru P 0. Pψ = i ψ, ψ dom P = { ψ H ψ AC(R), ψ H } b) a i b konečná. Existujte jednoparametrická množina samosdružených rozšíření operátoru P 0. Pro každé θ [0, 2π) je P θ ψ = i ψ, ψ dom P θ = samosdružené rozšíření P 0. = { ψ H ψ AC([a, b]), ψ H, ψ(b) = e iθ ψ(a) } c) Právě jedno z a,b je nekonečné. Neexistuje samosdružené rozšíření operátoru P 0. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
29 Volná částice na polopřímce Hamiltonián Podle principu korespondence H = 2 2m Minimální operátor d 2 dx 2 a H = L 2 (R +, dx). Opět začneme se symetrickým operátorem H 0 ψ = 2 2m ψ, ψ dom H 0 = C 0 (R + ). Samosdružená rozšíření Existuje jednoparametrická množina samosdružených rozšíření operátoru H 0. Pro každé c R { } máme H c ψ = 2 2m ψ, kde { {ψ H ψ, ψ AC(R + ), ψ H, ψ (0) + cψ(0) = 0}, c R, ψ dom H c = {ψ H ψ, ψ AC(R + ), ψ H, ψ(0) = 0} c =. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
30 Význam různých rozšíření (Zobecněné vlastní funkce) Spektrum Pokud c 0, pak σ(h c ) = [0, + ). V případě c > 0 je σ(h c ) = { 2 c 2 /(2m) } [0, + ). Dopadající a odražená vlna Uvažme k R +. Funkce ϕ k (x) = e ikx/ + Re ikx/, kde R = ik/ c ik/ + c splňuje hraniční podmínku ale nepatří do H. Představuje superpozici dopadající a odražené rovinné vlny. Dále formálně H (c)ψ k = k2 2m ψ k. Pro c = podobně dostáváme R = 1. Závěr Každému c odpovídá jiný odraz. Tato konstanta udává kvalitu stěny. Různé fyzikální situace jsou popsány různými samosdruženými rozšířeními. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
31 Domácí úloha č. 4 Buďte a, b R zadány, nalezněte stav ψ H takový, že střední hodnota polohy Q je a a střední hodnota hybnosti P je b. Téma na rešeši č. 2 Pojednejte o kvantovém harmonickém oscilátoru na přímce. Tedy H = L 2 (R, dx) a H = 2 d 2 2m dx + m 2 2 ω2 x 2. (Spektrum, vlastní funkce, vztah s klasickým oscilátorem). Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
32 Kam dál? Analogií Lagrangeovské formulace klasické mechaniky je Feynmanova teorie dráhového integrálu (konec 1. poloviny 20. století). K uspokojivé matematické formulaci Diracova formalismu nelze vystačit pouze s Hilbertovým prostorem, je třeba ho vystrojit. (Gelfand, Rigged Hilbert spaces, 2. polovina 20. století). Vlastní funkce Q Pokuste se nalézt vlastní funkce operátoru Q na přímce! Matematická problematika je stále aktuální: G. Bonneau, J. Faraut, G. Valent, Self-adjoint extensions of operators and the teaching of quantum mechanics, American Journal of Physics, 69, 3, 2001 Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu / 31
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceOperátory obecně (viz QMCA s. 88) je matematický předpis který, pokud je aplikován na funkci, převádí ji na
4 Matematická vsuvka: Operátory na Hilbertově prostoru. Popis vlastností kvantové částice. Operátory rychlosti a polohy kvantové částice. Princip korespondence. Vlastních stavy a spektra operátorů, jejich
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceKvantová mechanika ve 40 minutách
Stručný průvodce konečněrozměrnou kvantovou mechanikou České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Úvod do kryptologie 6. 5. 2010 Program 1 Od klasické mechaniky k mechanice
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Více6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných. Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti.
6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti Víme už tedy téměř vše o operátorech Jsou to vlastně měřící přístroje v kvantové
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
VíceÚvod do kvantového počítání
2. přednáška Katedra počítačů, Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze 17. března 2005 Opakování Část I Přehled z minulé hodiny Opakování Alternativní výpočetní modely Kvantové počítače
VíceObsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD TEORETICKÁ MECHANIKA...15
Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD...11 1. TEORETICKÁ MECHANIKA...15 1.1 INTEGRÁLNÍ PRINCIPY MECHANIKY... 16 1.1.1 Základní pojmy z mechaniky... 16 1.1.2 Integrální principy... 18 1.1.3 Hamiltonův princip nejmenší
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Více2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro
Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:
VíceFREDHOLMOVA ALTERNATIVA
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Více19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
VíceAlgoritmus pro hledání vlastních čísel kvaternionových matic
Úvod Algoritmus pro hledání vlastních čísel kvaternionových matic Bc. Martin Veselý Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Katedra softwarového inženýrství v ekonomii Skupina aplikované matematiky a stochastiky
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
VíceDefinice : Definice :
KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceNástin formální stavby kvantové mechaniky
Nástin formální stavby kvantové mechaniky Karel Smolek Ústav technické a experimentální fyziky, ČVUT Komplexní čísla Pro každé reálné číslo platí, že jeho druhá mocnina je nezáporné číslo. Např. 3 2 =
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VícePOŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY
POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VíceLehký úvod do kvantové teorie
1 Lehký úvod do kvantové teorie 1 Unitární prostory (prostory se skalárním součinem) Ve Fyzice 1 jsme rozšířili pojem vektoru na obecnější objekty,než jsou uspořádané trojice a zavedli lineární vektorový
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceVlny. částice? nebo. Pavel Cejnar ÚČJF MFF UK FJDP 2018/19. Objevování kvantového světa
Objevování kvantového světa Pavel Cejnar ÚČJF MFF UK Vlny nebo částice? FJDP 2018/19 Entrée Sloupy stvoření oblaky chladného plynu a prachu v Orlí mlhovině NASA, ESA Hubble Space Telescope Vizualizace
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
VíceK oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory
ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X
VíceCo jsme udělali: Au = f, u D(A)
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VícePřijímací zkouška - matematika
Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,
Více3 Posunovací operátory, harmonický oscilátor
3 Posunovací operátory, harmonický oscilátor 3.1 Jednoduchý algebraický systém Mějme operátor  a operátor  k němu sdružený, které mezi sebou splňují komutační relace 1 [Â, = m, m R +. (3.1.1) Definujme
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceVěta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa
Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa Petr Tomiczek Fakulta Aplikovaných věd Západočeská univerzita Plzeň 2006 obsah 1 Rozklad Hilbertova prostoru Uzavřený lineární a samoadjungovaný operátor
VíceLineární algebra : Lineární (ne)závislost
Lineární algebra : Lineární (ne)závislost (4. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií
VíceNALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vlastní čísla a vektory Google Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 15 Vlastní čísla a vlastní vektory V této a následujících kapitolách budeme zkoumat jeden z nejdůležitějších pojmů tohoto kurzu. Definice15.1 Buď A:V Vlineárnízobrazení,Vvektorovýprostornad tělesem
VíceLineární algebra : Lineární zobrazení
Lineární algebra : Lineární zobrazení (6. přednáška František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 20. května 2014, 22:40 1 2 6.1 Lineární zobrazení Definice 1. Buďte P a Q dva lineární prostory
Více6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceOrtogonální projekce a ortogonální zobrazení
Drsná matematika I 9. přednáška Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 4. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Projekce a ortogonální zobrazení
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VíceDnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda
Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VícePožadavky ke zkoušce
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 2 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
VícePříklad 1: Komutační relace [d/dx, x] Příklad 2: Operátor B = i d/dx
1 Příklad 1: Komutační relace [d/, x] Mějme na dva operátory: ˆ d/ a ˆ 5 D X x, například na prvek x působí takto Určeme jejich komutátor ˆ 5 d 5 4 ˆ 5 5 6 D x x 5 x, X x xx x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d d [ DX, ] f
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
VíceRovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014
Harmonogram výuky předmětu Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014 Vedoucí cvičení: ing. Václav Klika, Ph.D. & MSc. Karolína Korvasová & & ing. Matěj Tušek, Ph.D. Katedra
Více3. přednáška 15. října 2007
3. přednáška 15. října 2007 Kompaktnost a uzavřené a omezené množiny. Kompaktní množiny jsou vždy uzavřené a omezené, a v euklidovských prostorech to platí i naopak. Obecně to ale naopak neplatí. Tvrzení
VíceI a II. Kvantová mechanika. JSF094 Akademický rok
Kvantová mechanika JSF094 kademický rok 017-018 I a II Čas a místo Úterý 13:10-14:40 Středa 10:40-1:10 cvičení posluchárna ÚČJF3/945 Čtvrtek 10:40-1:10 Přednášející prof. Pavel Cejnar ÚČJF místnost: 934
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
Vícestránkách přednášejícího.
Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce
Více1. přednáška 1. října Kapitola 1. Metrické prostory.
1. přednáška 1. října 2007 Kapitola 1. Metrické prostory. Definice MP, izometrie. Metrický prostor je struktura formalizující jev vzdálenosti. Je to dvojice (M, d) složená z množiny M a funkce dvou proměnných
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceProjekty - Úvod do funkcionální analýzy
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt
Více1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory
Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory 3. července 2012 1 Metrika na množině, metrický prostor Pojem vzdálenosti dvou reálných (komplexních) čísel, nebo bodů v rovině či prostoru je známý ze
VíceLineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je
VíceMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19
Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva
VíceDůkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceZáklady teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a
VíceObsah. 1 Lineární prostory 2
Obsah 1 Lineární prostory 2 2 Úplné prostory 2 2.1 Metrické prostory.................................... 2 2.2 Banachovy prostory................................... 3 2.3 Lineární funkcionály..................................
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceLineární zobrazení. V prvním z následujících tvrzení navíc uvidíme, že odtud plynou a jsou tedy pak rovněž splněny podmínky:
Lineární zobrazení Nechť (V, +, ) a (W, +, ) jsou dva vektorové prostory nad týmž tělesem (T, +, ). Nechť f : V W je zobrazení splňující následující podmínky: ( u, v V)(f(u + v) = f(u) + f(v)), ( s T )(
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
Vícex 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
VíceFunkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných
Více10 Přednáška ze
10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský
Více)(x 2 + 3x + 4),
3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem
VíceBáze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 014/015. prosince 014 Předmluva iii
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Více