ČTVERCE A KOSOčTVERCE z přímek a kružnic Jednoduché čtyřúhelníkové konstrukce se dají zvládnout snadno. Abyste sestrojili kružnici opsanou čtverci nebo obdélníku, nejprve zakreslete úhlopříčky a pak narýsujte kružnici se středem v jejich průsečíku a procházející všemi čtyřmi vrcholy. Pro kružnici vepsanou čtverci narýsujte kružnici opět se středem v průsečíku úhlopříček a procházející středy stran. Úhlopříčky čtverců a kosočtverců se navzájem půlí a svírají pravý úhel. Objev poměru délky úhlopříčky čtverce k jeho straně 2 : 1 vedl k důkazu, že některé délky jsou nesouměřitelné, tj. nelze je vyjádřit jako poměr celých čísel, jako racionální čísla. Jsou to tedy čísla iracionální. Konstrukce 39 pochází z Baudhajánovy Šulba sútry (asi 800 600 př. n. l.). Jde o návod, jak vytyčit čtvercový oltář na východozápadní linii, zvané prácí. Obzvlášť elegantního provedení dosáhnete zakreslením plných kružnic. 34. Čtverec s danou stranou: 1. Oblouky A-B, B-A (C); 2. Oblouk C-A (D); 3. Oblouk D-AC (přímka EFA); 4. Oblouk F-A a vzniklý průsečík 35. Čtverec s danou stranou: 1. Oblouky A-B, B-A (přímka CED); 2. Oblouk E-AB (F); 3. Přímky AF, BF a vzniklé průsečíky 10 36. Čtverec s danou stranou: 1. Oblouky A-B, B-A (přímka CED); 2. Rovnoběžky s CED procházející body A, B a vzniklé průsečíky
37. Čtverec vepsaný do kružnice 2. Oblouky A-B, B-A; 3. Přímka CD a její průsečíky s kružnicí 38. Čtverec opsaný kružnici: 2. Oblouky A-B, B-A (přímka CED); 3. Kružnice s poloměrem AE a se středem O a její průsečíky s AB a CD 39. Čtverec příčně půlený danou přímkou: 1. Kružnice se středem O na dané přímce (A, B); 2. Oblouky A-B, B-A (přímka CEFD); 3. Oblouky A-O, B-O, E-O, F-O a jejich průsečíky 40. Kosočtverec s danou jednou z úhlopříček a stranou: 1. Vyznač délku úhlopříčky na přímce (A, B); 2. Oblouky s poloměrem dané strany a se středy A, B a jejich průsečíky 41. Kosočtverec s daným jedním úhlem a stranou: 1. Sestroj úhel s vrcholem v A rovný danému úhlu; 2. Oblouk s poloměrem dané strany a se středem A (B, C); 3. Oblouky B-A, C-A a jejich průsečík 11 42. Kružnice vepsaná kosočtverci: 1. Přímky AB, CD (O); 2. Oblouky B-O, D-O (přímka OFE); 3. Kružnice O-F
NÁSOBENÍ PLOCH jednodušší než objemů Délská věštírna poradila v roce 430 př. n. l. Athéňanům, že zažehnají morovou epidemii tak, že zvětší Apollónův oltář, který měl tvar krychle, na dvojnásobek jeho původního objemu (viz s. 38). Zdvojování plochy (nikoli objemu) oltářů, často čtvercového tvaru, je opakujícím se tématem v Šulba sútrách, stejně jako sčítání a odčítání čtvercových ploch. Konstrukce 45 a 46 jsou převzaty z Baudhajánovy Šulba sútry a obě jsou jasným příkladem užití Pythagorovy věty, která praví, že obsah čtverce nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami. Konstrukce 48 je založena na metodě rozřezání čtverce od Abu l Wafy. Čárkovaná kružnice ukazuje alternativní cestu k nalezení vrcholů. Na tomto místě je vhodné přidat doporučení k rýsování. Zdrojem většiny chyb je zacílení hrotu kružítka. Pro větší přesnost proto držte kružítko nahoře jednou rukou a druhou veďte hrot na správné místo a při rýsování kružnice neměňte ruce. 43. Zdvojení čtverce: 1. Prodlužte CB, CD; 2. Oblouk C-A (EF); 3. Oblouky F-C, E-C (G); chcete-li udělat z čtverce GECF poloviční, použijte čárkované úhlopříčky 44. Čtverec s polovičním obsahem: 1. Oblouky A-BD, B-AC, C-BD, D-AC (E až H); 2. Přímky EG, FH a průsečíky se stranami původního čtverce 12
45. Součet dvou čtverců: 1. Na větším čtverci narýsujte oblouk s poloměrem rovným straně menšího a se středem A (C); 2. Sestrojte čtverec se stranou BC. Pozn. Menší čtverec není zobrazen, má stranu rovnou AC. 46. Rozdíl dvou čtverců: 1. Na větším čtverci narýsujte oblouky s poloměry rovnými straně menšího a se středy A, B (přímka DE); 2. Prodlužte přímku AC; 3. Oblouk A-B (F); 4. Oblouk D-F (G); 5. Oblouky F-D, G-D (H). Pozn. Menší čtverec není zobrazen, má stranu rovnou AD. 47. Čtverec s daným rozdílem strany a úhlopříčky: 1. Kružnice na přímce s poloměrem dané délky a středem O (A, B); 2. Oblouky A-B, B-A (přímka CEFD); 3. Přímky AE, AF; 4. Oblouk E-O (G); 5. Oblouk A-G (H); 6. Oblouky H-A, G-A (I) 48. Čtverec a čtyři pravoúhlé trojúhelníky ve čtverci: 1. Středy stran; 2. Čtyři půlkružnice procházející A až D se středy ve středech stran; 3. Oblouky s poloměrem jedné odvěsny pravoúhlého trojúhelníku a se středy A až D (E až H); 4. Přímky AE, BF, CG, DH 13
ŠESTIÚHELNÍKY A DVANÁCTIÚHELNÍKY příběh trojek a čtyřek Cesta od trojúhelníku a čtverce k dvanáctiúhelníku je jednoduchá a poučná. Konstrukce 51 může být rovněž užita ke konstrukci pravidelného šestiúhelníku s danou kružnicí opsanou. Čárkované přímky v konstrukci 54 mohou sloužit jako alternativní metoda k obloukům nebo jako jejich doplnění pokud se oblouky a čárkované přímky protínají, pak jste rýsovali velmi přesně. Vrcholy všech pravidelných mnohoúhelníků jsou body na obvodu kružnice, rozmístěné stejně daleko od sebe. S výjimkou rovnostranného trojúhelníku je proto vždy přesnější začít konstrukci pravidelného mnohoúhelníku od této kružnice než od jeho strany. Konstrukce započatá stranou je totiž tím méně spolehlivá a přesná, čím větší je počet stran, a užívá se jen, vyžadují-li to velké a velmi složité konstrukce. Když budete kreslit pravidelný mnohoúhelník na čistém papíře, je nejlepší nejprve nakreslit přímku a pak kružnici se středem na této přímce. 49. Rovnostranný trojúhelník opsaný kružnici: 2. Oblouk A-O (C, D); 3. Oblouky C-BD, D-BC, B-CD a jejich průsečíky 50. Rovnostranný trojúhelník s danou výškou: 1. Oblouky A-B, B-A (CD); 2. Přímka CD (O); 3. Kružnice O-AB; 4. Oblouk B-O (E, F); 5. Přímky AE, AF (G, H) 6. Oblouk B-GH a jeho průsečíky 14
51. Pravidelný šestiúhelník opsaný kružnici: 2. Oblouky A-B, B-A (přímka CD); 3. Oblouk A-O (E); 4. Přímka EB (F); 5. Kružnice s poloměrem BF a se středem O (G, H); 6. Oblouky G-O, H-O a vzniklé průsečíky 52. Pravidelný dvanáctiúhelník vepsaný do kružnice: 2. Oblouky A-B, B-A (přímka CEFD); 3. Oblouky A-O, E-O, B-O, F-O a jejich průsečíky s kružnicí 53. Pravidelný dvanáctiúhelník vepsaný do čtverce: 1. Přímky AC, BD (O); 2. Kružnice O-ABCD; 3. Oblouky A-O, B-O, C-O, D-O (E až L); 4. Přímky EI, LH, GK, FJ (M, N); 5. Kružnice O-MN a její průsečíky 54. Pravidelný dvanáctiúhelník s danou stranou: 1. Oblouky A-B, B-A (přímka CD); 2. Oblouk s poloměrem AB a středem C (O); 3. Kružnice O-AB (E, F); 4. Oblouky s poloměrem OA a středy A, B, E, F a znovu na dalších průsečících 15
OSMIÚHELNÍKY něco dokonalého Osmiúhelník se stvoří ze čtverce zcela přirozeně. Konstrukce 56 může být zkombinována s konstrukcemi 38 či 39 abyste dostali osmiúhelník s danou stranou, začněte s její polovinou jako poloměrem první kružnice. Konstrukce 58 předpokládá postupnou cestu po obvodu kružnice. Kružítko má být rozevřeno do určité míry a se stejným rozevřením budou pak rýsovány další oblouky po obvodu se středy v nových průsečících, dokud nebudou nalezeny všechny vrcholy. Úhlopříčky mnohoúhelníku jsou spojnice mezi jeho nesousedícími vrcholy. Vezměte jakýkoli pravidelný mnohoúhelník vepsaný do kružnice o poloměru 1 jednotkové kružnice. Pak vynásobte délky úhlopříček z jednoho vrcholu ke všem ostatním s dvěma přilehlými stranami a dostanete počet stran mnohoúhelníku. Vyzkoušejte to se čtvercem, šestiúhelníkem či osmiúhelníkem. 55. Pravidelný osmiúhelník vepsaný do čtverce: 1. Přímky AC, BD (O); 2. Oblouky A-O, B-O, C-O, D-O a jejich průsečíky se stranami 56. Pravidelný osmiúhelník vytvořený ze čtverce: 1. Přímky AC, BD (O); 2. Kružnice A-O, B-O, C-O, D-O; 3. Přímky AB, BC, CD, DA a jejich průsečíky s kružnicemi 16
57. Pravidelný osmiúhelník vepsaný do kružnice: 2. Oblouky A-B, B-A (přímka CEFD); 3. Oblouky A-O, E-O, B-O, F-O (G, H, I, J); 4. Přímky GI, HJ a jejich průsečíky s kružnicí 58. Pravidelný osmiúhelník s danou stranou: 1. Oblouky A-B, B-A (přímka CED); 2. Kružnice E-AB (F); 3. Kružnice F-AB (O); 4. Kružnice O-AB (G, H); 5. Dále postupujte po obvodu od G či H o vzdálenost AB 59. Pravidelný osmiúhelník opsaný kružnici: 2. Oblouky A-B, B-A (přímka CED); 3. Kružnice s poloměrem AE a se středem O (F až I); 4. Přímky FG, GH, HI, IF; 5. Oblouky F-O, G-O, H-O, I-O a jejich průsečíky 60. Pravidelný šestnáctiúhelník vepsaný do kružnice: 2. Oblouky A-B, B-A (přímka CEFD); 3. Oblouky A-O, E-O, B-O, F-O (G, H, I, J); 4. Přímky GI, HJ; 5. Přímky AE, EB, BF, FA (K až N, P až S); 6. Přímky KP, LQ, MR, NS a jejich průsečíky s kružnicí 17
STřEDY TROJÚHELNÍKU jeden ve třech Trojúhelníky mají stovky různých středů, ale jen čtyři z nich byly známy starým Řekům. Střed kružnice opsané je průsečík os stran neboli kolmic, vedených z bodů v polovině každé strany. Této vlastnosti lze využít při určení středu kružnice. Střed kružnice vepsané leží na průsečíku os vrcholových úhlů a lze ho použít k vytváření souborů kružnic uvnitř mnohoúhelníků (konstrukce 63). Těžiště je průsečík těžnic, přímek, jež míří z vrcholů do bodů v polovině každé protější strany. Ortocentrum je průsečík výšek. V rovnostranném trojúhelníku leží všechny tyto čtyři středy v jednom bodě. V ostatních trojúhelnících pak leží na jedné přímce, pojmenované po jejím objeviteli Leonhardu Eulerovi. Zajímavý je rovněž fakt, že vzdálenost mezi těžištěm a ortocentrem je vždy dvakrát větší než mezi středem kružnice opsané a těžištěm. 61. Střed kružnice opsané a tato kružnice: 1. Osy stran AB, BC, CA (O); 2. Kružnice O-ABC 62. Nalezení středu kružnice: 1. Zvolte tři body, rozmístěné zhruba stejně daleko od sebe na obvodu kružnice (A, B, C); 2. Oblouky se stejnými poloměry a středy A, B, C (D až G); 3. Přímky DF, EG (O) 18
63. Střed kružnice vepsané a tato kružnice: 1. Osy CAB, ABC, BCA (O); 2. Kolmice spuštěná z O na AB (D); 3. Kružnice O-D 64. Kružnice připsaná trojúhelníku: 1. Prodloužit strany AB, AC (kdekoli D, E); 2. Osy BCE, CBD (O); 3. Kolmice spuštěná z O na BC (F); 4. Kružnice O-F 65. Těžiště trojúhelníku: 1. Středy stran BC, CA, AB (D, E, F); 2. Přímky AD, BE, CF (O) 66. Ortocentrum trojúhelníku: 1. Kolmice spuštěná z A na BC; 2. Kolmice spuštěná z C na AB; 3. Kolmice spuštěná z B na AC (O) 19