VYSOKÉ UENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ ALEŠ DRÁB HYDROINFORMATIKA I MODUL M03 ÚVOD DO MATLAB STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Hydroinformatika I Modul 3 Aleš Dráb, Brno 2005-2 (34) -
Obsah OBSAH 1 Úvod...5 1.1 Cíle...5 1.2 Požadované znalosti...5 1.3 Doba potebná ke studiu...5 1.4 Klíová slova...5 1.5 Metodický návod na práci s textem...6 2 Zaínáme s MATLAB...7 2.1 Základy programování v MATLAB...7 2.1.1 Definice promnných...8 2.1.2 Priorita matematických operátor...9 2.2 Využití nápovdy v MATLAB...9 2.3 Práce s maticemi...10 2.4 Import dat...11 2.5 Export dat a uložení MATLAB workspace...13 2.6 Použití soubor typu M-file...14 2.6.1 Script M-file...14 2.6.2 Function M-file...16 2.6.3 Rozhodovací struktury a cykly...17 3 ešení optimalizaních úloh...21 4 ešení obyejných diferenciálních rovnic...23 5 ešení soustav obyejných diferenciálních rovnic...27 6 Závr...33 6.1 Shrnutí...33 6.2 Studijní prameny...33 6.2.1 Seznam použité literatury...33 6.2.2 Seznam doplkové studijní literatury...34 6.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny...34-3 (34) -
Úvod 1 Úvod MATLAB pedstavuje programové prostedí, které poskytuje inženýrm a vdcm snadno použitelné nástroje pro ešení širokého okruhu výpotových úloh. Obecn se dá íci, že MATLAB je vhodný pro ešení úloh, které svým rozsahem i komplikovaností pesahují možností efektivního ešení v programu EXCEL. Výhody programu MATLAB oproti EXCEL jsou pedevším tyto: poskytuje kvalitnjší nástroje pro operace s maticemi, nabízí vtší množství vestavných funkcí a nástroj, je univerzálnjší pi použití podmínných píkaz a cykl, v nkterých pípadech poskytuje vtší možnosti grafické prezentace. 1.1 Cíle Obsah tohoto modulu je navržen tak, aby ho byl schopen absolvovat kdokoliv bez hlubších znalostí programování. Je založen na využití nápovdy, která je pímo souástí MATLAB. Pedkládaný text tvoí prvodce vybranými stránkami nápovdy, dopluje ji o pipomínky a konkrétní píklady aplikovatelné ve vodohospodáské praxi. V tomto modulu se nauíte: Základy programování v MATLAB. Využívat systému nápovdy MATLAB. Pracovat s maticemi. Importovat a exportovat data. ešit optimalizaní úlohy. ešit obyejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. 1.2 Požadované znalosti K úspšnému zvládnutí tohoto modulu se pedpokládají základní znalosti numerických metod, hydrauliky a pasivní znalost anglického jazyka. 1.3 Doba potebná ke studiu Doba potebná ke zvládnutí textu odpovídá 6 výukovým hodinám, tedy cca 6 x 50 min. 1.4 Klíová slova Numerické metody, hydraulika, matematický model, numerický model, lineární programování, nelineární programování. - 5 (34) -
Hydroinformatika I Modul 3 1.5 Metodický návod na práci s textem Text modulu je teba procházet postupn (nepeskakovat mezi kapitolami) a prbžn zpracovávat uvedené píklady a úlohy. Splnním úlohy je mnohdy podmínno pochopení dalšího textu, který navazuje na poznatky získané bhem jejího ešení. Student by ml pi proítání textu souasn realizovat naznaené postupy na poítai v programu MATLAB. - 6 (34) -
Zaínáme s MATLAB 2 Zaínáme s MATLAB Po spuštní aplikace Matlab bude vaše obrazovka odpovídat pibližn obrázku 2.1. V tuto chvíli pracovní plocha obsahuje ti okna: Command Window, Current Direktory a Command History. Na pracovní ploše si ponechte pouze okno Command Window a ostatní uzavete pomocí kížku v pravém horním rohu. V okn Command Window budeme provádt naítání dat, vkládat píkazy, funkce, atd. Ped zahájením další práce si vytvote pracovní adresá uený pro tento modul a nastavte ho jako pracovní (Current directory) pomocí rozbalovací nabídky v horní ásti obrazovky. Obr. 2.1- Pracovní plocha aplikace Matlab. 2.1 Základy programování v MATLAB Program tvoí posloupnost píkaz, funkcí a promnných uložených v pamti poítae. Programování je procedura sestávající z následujících krok: 1. Definice problému, který má program ešit. 2. Návrh programu (rozhodnutí jaké píkazy potebuji k ešení problému a kde je uložím). 3. Zápis a uložení píkaz a funkcí. 4. Testování (ladní) programu. 5. Dokumentace programu (poskytnutí instrukcí pro pípadné další uživatele programu). - 7 (34) -
Hydroinformatika I Modul 3 Zvládnutí základ programování nepedstavuje nic složitého a vyžaduje pouze pochopení nkolika základních princip a konvencí. 2.1.1 Definice promnných Definice promnných, datové typy a priority používaných operátor pedstavují základní znalosti, které je teba zvládnout. Do píkazového okna MATLAB napište: Tímto píkazem jste práv piadili promnné hodnotu 5. Poíta vytvoil v pamti prostor, který nazval a uložil do nho hodnotu 5. V MATLAB jsou všechny promnné uchovávány ve form matic. je píkladem nejmenší možné matice s rozmry 1 x 1. Pokud napíšete: vytvoíte matici rozmr 2 x 2, nazvanou. Napište: ímž jste definovali textový etzec, který je uložen matici 1 x 1. Pokud promnné piadíte novou hodnotu, pak pvodní je pepsána. Napíklad: pepíše pvodní hodnotu 5 na 6. Nyní zadejte: Tímto znovu pepíšete stávající hodnotu 6 zpt na hodnotu 5. Poznámka Bhem naší práce budeme využívat ti základní datové typy promnných: reálná ísla REAL, celá ísla INTEGER, textové etzce STRING. Pokud v MATLAB definujete novou íselnou promnnou, pak je jí automaticky piazen datový typ REAL. Napíklad: je uloženo jako reálné íslo na pibližn 16 desetinných míst. Pokud bychom chtli do této promnné uložit striktn celé íslo nebo textový etzec, museli bychom to provést nap. takto: nebo - 8 (34) -
Zaínáme s MATLAB!" # $! 2.1.2 Priorita matematických operátor MATLAB používá konvence bžné z matematiky. Vybrané operátory mžeme setídit podle priority od nejvtší po nejmenší takto: ^ (mocnina). * (násobení), / (dlení). + (sítání), - (odítání). 2.2 Využití nápovdy v MATLAB Pro vyvolání nápovdy stisknte klávesu F1 nebo z hlavního menu zvolte položku Help. Na obrázku 2.2 jsou naznaeny ti hlavní cesty, jak je možné se dostat k požadované informaci: Rejstík a vyhledávání. Rozbalovací nabídka obsahující již navštívené stránky nápovdy. Šipka umožující návrat o jednu stránku zpt. Rejstík a vyhledávání O jednu stranu zpt Rozbalovací nabídka Obr. 2.2- Nápovda aplikace MATLAB. - 9 (34) -
Hydroinformatika I Modul 3 2.3 Práce s maticemi Úkol 2.1 V tomto úkolu se samostatn nauíte základy práce s maticemi za pomocí nápovdy. V úvodní nabídce nápovdy, tak jak ji vidíte na obrázku 2.2, zvolte nejprve Getting Started, dále kliknte na Matrices and Arrays a nakonec Matrices and Magic Squares. ite se instrukcemi udávanými nápovdou, prostudujte jednotlivé strany a pokraujte dokud nedosáhnete strany s nadpisem The load function. Tuto stranu již neprocházejte. K pohybu po jednotlivých stánkách nápovdy se výborn hodí tlaítka v pravé horní ásti obrazovky. Informace Pi definování promnných je teba mít na pamti, že MATLAB rozlišuje velká a malá písmena, tj. je rzné od. Pokud vložíte píkaz do píkazového okna, objeví se vám automaticky odpov. Nkdy mže nastat situce, kdy toto zobrazení nepožadujete. V tom pípad za napsaný píkaz vložte znak ; a odpov bude uložena, nikoliv však zobrazena. Nápovdu k píkazm a funkcím je možné vyvolat i pímo z píkazového okna zápisem % & '" + hledný píkaz (nap. % & '" (& ). Po jednotlivých, dosud zadaných, píkazech v píkazovém okn je možné se pohybovat pomocí kurzorových šipek a. Dále je možné využít okno s historií zadaných píkaz (Command History), které jsme uzaveli na zaátku cviení. Optovn je možné ho vyvolat z hlavního menu pomocí nabídky Desktop. Pokud jste splnili úkol 2.1 zadaný v této kapitole, ovládáte již tyto operace s maticemi: Zadání hodnot matice z klávesnice do píkazového okna. Sítání ádk, sloupc a diagonál matice. Výbr zvolené hodnoty z matice a její uložení, jako samostatné promnné. Volba sloupce nebo ádku matice a její uložení jako matice nové. Vytvoení nulové matice nebo matice vyplnné náhodnými ísly. - 10 (34) -
Zaínáme s MATLAB Píklad 2.1 Vytvote matici (12 ádk, 5 sloupc) vyplnnou náhodnými ísly nabývajícími hodnot z uzaveného intervalu od 50 do 100. Použijte píkaz, data nevkládejte z klávesnice run! Pedpokládejme, že vámi vytvoená data pedstavují syntetickou adu msíních srážkových úhrn v letech 2001-2005. Na píklad takto vytvoených dat z obrázku 2.3 (vaše hodnoty se samozejm mohou lišit) je srážkový úhrn, odpovídající lednu 2005, 58,81 mm. Obr. 2.3- Píklad vytvoené matice. Setete hodnoty v jednotlivých sloupcích tak, aby jste dostali srážkové úhrny za jednotlivé roky, a tyto hodnoty uložte do samostatné matice ). Kopii hodnot ze druhého ádku matice uložte do zvláštní matice *, ímž dostanete srážkové úhrny za msíc únor v jednotlivých letech. 2.4 Import dat Data, která budeme zpracovávat v MATLAB nebudeme obvykle vkládat pímo do píkazového okna, ale asto je obdržíme nap. v podob textového nebo binárního souboru. Mohou to být nap. data získaná mením v terénu, hydraulickým výpotem, analýzou v GIS apod. Úkol 2.2 Nyní se vrate do nápovdy MATLAB, kterou jste opustili na stran s nadpisem The load function. Pokraujte v úkolech uvedených na této stran nápovdy. K vytvoení požadovaného textového souboru použijte aplikaci NOTEPAD z prostedí Windows. Informace Pokud používáte píkaz ' pro natení dat, MATLAB vyhledává soubor s daty v nastaveném pracovním adresái (Current Directory v hlavním menu). Pokud chcete naíst soubor z jiného umístní, je nutné zadat krom názvu i celou cestu (nap. +,- & $ - & $ -$ #. / ). - 11 (34) -
Hydroinformatika I Modul 3 Soubor s daty, která chcete naíst píkazem ' by ml mít koncovku *.txt nebo *.dat. Pro výpis soubor v pracovním adresái zadejte píkaz. Pro vymazání obsahu píkazového okna lze použít píkaz +'+. Úkol 2.3 Pokud jste úspšn splnili pedchozí zadaný úkol, pokraujte v nápovd od strany s nadpisem Concatenation až do strany Scalar Expansion. Píklad 2.2 V tomto cviení využijete dva vzorové soubory Prutok.txt a Koncentr.txt. Otevete oba soubory a podívejte se na jejich obsah. Na obrázku 2.4 je soubor Prutok.txt, obsahující seznam pítok ze zdroj zneištní do eky Svratky, sledované bhem tí dn v roce 2005. Jednotlivé zdroje zneištní jsou oznaeny kódem. Druhý soubor Konc.txt obsahuje vyhodnocení vzork vody pro jednotlivé zdroje zneištní odebraných ve stejných dnech, kdy bylo provádno mení prtoku. V souboru jsou uvedeny hodnoty BSK. Obr. 2.4- Obsah souboru Prutok.txt. Nyní nateme íselná data z obou soubor do MATLAB. Aby byly pi naítání vynechány ádky s textem, použijeme na zaátku znak 0 (viz obrázek 2.5). Tímto zpsobem je ádek oznaen jako komentá. Obr. 2.5- Soubor Prutok.txt upravený pro natení do MATLAB. Import dat provedeme píkazy: ' 1 # /2 ' 3 +/2 Tyto píkazy uloží natená íselná data do matic nazvaných 1 # a 3 +. - 12 (34) -
Zaínáme s MATLAB Úkol 2.4 Vypoítejte celkové zneištní vyjádené v CHSK, vypouštné do eky Svratky v jednotkách kg/den, v každém ze tí monitorovacích dn. Výsledek uložte do matice 4 5 6 ). Limitní množství celkového vypuštného zneištní v CHSK bylo stanoveno hranicí 1500 kg/den. V které dny nebylo toto množství pekroeno? 2.5 Export dat a uložení MATLAB workspace Použijte píkaz 7 % $ k prohlednutí velikosti a typu všech promnných, které jste dosud vytvoili. Ke stejnému úelu lze využít i okno Workspace (aktivace z hlavního menu položkou Desktop). V tuto chvíli chceme ponechat pouze promnné Prutok, Konc, TDLS. Ostatní vymažeme píkazem +'&. Napíklad: +'& Data, která jsme vytvoili v MATLAB je možné samozejm uložit v rzných formátech a využít pro další zpracování. Nap. import do výpotových program, GIS, CAD atd. Zadejte: $ 8 & 4 5 6 ) /24 5 6 ) ) 99 Tento píkaz vezme vaši matici TDLS a uloží ji do pracovního adresáe jako textový soubor (ASCII) s názvem TDLS.txt. Otevete vytvoený soubor v textovém editoru a zjistíte, že jednotlivé hodnoty jsou na ádcích oddleny mezerami. V pípad, že chcete použít jíný oddlova, nap. tabulátor: $ 8 & 4 5 6 ) /24 5 6 ) :) 994 ) Informace K získání podrobnjších informací o píkazu $ 8 & mžete použít nap. již zmiovaný píkaz % & '" $ 8 & / asto potebujete uložit všechny promnné najednou, pak zadejte: $ 8 & (& 8 $ #. # Tímto se vytvoí soubor s názvem (& 8 $ #. # /, který je možné otevít v MATLAB z hlavního menu File nebo píkazem '. Uložte vaše pracovní prostedí (workspace) pod názvem 8 +& ;: $ 8 & 8 +& ; - 13 (34) -
Hydroinformatika I Modul 3 2.6 Použití soubor typu M-file Poítaový program se obvykle skládá z množství píkaz. Krom velice jednoduchých program jsou tyto píkazy zpravidla rozdleny do více soubor. Tento zpsob ukládání zaruuje, že je program snadnji modifikovatelný a efektivn využívaný, tedy celkov upravený. V MATLAB jsou tyto soubory s píkazy oznaovány jako M-files. Rozlišujeme u nich dva typy: script M-files, function M-files. 2.6.1 Script M-file Script M-files jsou soubory ádk s textovými etzci, které MATLAB interpretuje jako píkazy. Napíklad skript, který vytvoí a uloží stejný typ náhodných dat, který byl popsán v píkladu 2.1 je ukázán na obrázku 2.6. Obr. 2.6- Píklad script M-file. Vytvote v aplikaci NOTEPAD (Poznámkový blok) nový soubor a uložte ho pod názvem srazky.m do pracovního adresáe. Potom spuste tento skript napsáním jeho názvu do píkazového okna: $ ( Všimnte si, že všechny vypoítané hodnoty jsou zobrazeny v píkazovém okn (pokud nevložíte na konec ádku ). Píklad 2.3 Na obrázku 2.6 je uveden píklad souboru typu script M-file, který provádí výpoet z úkolu 2.4. Obr. 2.7- Píklad script M-file. - 14 (34) -
Zaínáme s MATLAB Spuste uvedený M-file napsáním jeho názvu do píkazového okna. Pokud se objeví ervené chybové hlášení v píkazovém okn, ovte následující skutenosti: Jsou matice Prutok a CHSK nateny v pracovním prostedí? Jsou Prutok a CHSK pojmenovány pesn tak, jak ve uvedeno na obrázku 2.7? (Nezapomete, že MATLAB rozlišuje malá a velká písmena). Mají Prutok a CHSK správný formát (matice o 7 sloupcích a 3 ádcích). Je M-file s píkazy uložen v pracovním adresái. Poznámka Povšimnte si, že v píkazovém okn se vám po spuštní souboru M-file z obrázku 2.7 objeví pouze hodnota promnné CelkZatiz. Je to dáno již zmiovaným použitím znaku ; na konci ádku. MATLAB používá první dva ádky souboru M-file pro úely nápovdy. Zkuste do píkazového okna zadat píkaz: % & '" < (= " ) Informace V datových souborech, souborech typu M-file a píkazovém okn slouží znak % na zaátku ádku k oznaení komentáe. Tento text je pi zpracování programem MATLAB ignorován a není považován za píkaz. Komentáe jsou velice dležité, protože napomáhaní k pochopení obsahu souboru, a to jak autorovi, tak pípadným dalším uživatelm. Úkol 2.5 Matice Zatiz, kterou jste vytvoili v rámci pedchozího úkolu obsahuje celkem 21 hodnot. Napište script M-file, který : provede konverzi matice Zatiz do sloupcového vektoru (využijte stránku nápovdy s nadpisem Concatenation). Stanovte maximální a minimální hodnotu ze všech 21 hodnot matice Zatiz (použijte funkce max a min). Stanovte poet hodnot, které pekraují kritérium 150 kg/den (použijte funkce find a numel). Informace Vytvote nový M-file použitím položky z hlavního menu File New M-File a následn ho uložte pod názvem ZatizStat.m. Pedtím než zanete psát do souboru M-file, mžete si jednotlivé píkazy ovit zadáním do píkazového okna. - 15 (34) -
Hydroinformatika I Modul 3 Nápovdu k jednotlivým funkcím mžete rychle získat zadáním nap/% & '" # & ' do píkazového okna. 2.6.2 Function M-file Function M-file se mírn liší od skript, protože vstupní anebo výstupní parametry funkce jsou definovány na prvním ádku souboru M-file. Otevete pomocí hlavního menu MATLAB volbou File Open soubor s názvem ZatizVypF.m. Jeho obsah je na obrázku 2.8. Napište do píkazového okna MATLAB: < (> & ' < (6 '+* 1 # > ) 3 MATLAB zašle vstupní parametry (Prutok, CHSK) do funkce LoadCalcF, provede výpoet a zašle zpt výstupní parametry [Zatiz, CelkZatiz], které se zobrazí v píkazovém okn. Poznámka Obr. 2.8- Function M-file s názvem ZatizVypF.m. Použití funkcí oproti skriptm mže být v mnoha ohledech výhodnjší. Napíklad, pokud chcete provádt nad více sadami vstupních dat stejné operace. Prakticky si to mžeme ukázat na funkci ZatizVypF. Pedpokládejme, že krom vstupních dat Prutok, CHSK máme ješt další sadu nazvanou Prutok2, CHSK2. Výsledky chceme uložit do promnných Zatiz2, CelkZatiz2. Pokud bychom chtli použít skript, bylo by nutné zasáhnout pímo do souboru ZatizVypF.m a upravit názvy promnných. Pokud však použijeme funkci, je postup mnohem jednodušší. Staí pouze zmnit názvy promnných pi volání funkce. Úkol 2.6 Vytvote nové promnné Prutok2, CHSK2, které budou obsahovat dvojnásobné hodnoty z promnných Prutok, CHSK (jedná se pouze o fiktivní píklad, dvojnásobné hodnoty jsou zvoleny zcela náhodn, pouze za úelem vytvoení nové sady dat). Nyní zavolejte funkci ZatizVypF se zmnnými parametry: < ( > & ' < ( 6 '+* 1 # > ) 3-16 (34) -
Zaínáme s MATLAB 2.6.3 Rozhodovací struktury a cykly Souástí pevážné vtšiny poítaových program jsou rozhodovací stuktury a cykly. Napíklad na vodohospodáském dispeinku shromažovány informace o hodnotách prtok v mrných profilech na vodních tocích. Jestliže (rozhodovací struktura IF) tyto hodnoty pekroí uritou mez, je teba vyhlásit povod- ový stupe. Mimo to kontrolní systém prbžn kontroluje údaje z jednotlivých mrných profil (probíhá smyka, která cykluje pes jednotlivé snímae). MATLAB obsahuje rozhodovací struktury typu if, elseif a else a cykly typu while nebo for. Úkol 2.7 S použitím nápovdy se seznamte s výše uvedenými funkcemi. Píklad nápovdy je uveden na obrázku 2.9. Obr. 2.9- Nápovda k rozhodovací struktue if, elseif, else. Píklad 2.4 Senzor_alarm.m je soubor M-file obsahující funkci, která prochází data v matici nazvané Senzor_Data. Tato matice obsahuje hodnoty mení ze senzor snímajících koncentraci nebezpených plyn v ovzduší. Funkce kontroluje, zda není pekroena kritická mez udaná hodnotou Krit_Hodnota. Výsledky srovnání jsou ukládány do matice Poplach pomocí oznaení (V) vysoké nebezpeí,(s) stední a (N) nízké. - 17 (34) -
Hydroinformatika I Modul 3 Obr. 2.10- Obsah souboru Senzor_alarm.m. Spuste funkci Senzor_alarm nap. s následujícími vstupními parametry: 1? & @ ) & ( 3 @ A /A / A / ) & (@ 5 A / A /A / Následn zavolejte funkci 1 " '+% ) & (@ ' ) & (@ 5 >3 @ >1 +& @ ) & ( Výsledkem bude: 1 B 1 6 = C ) Informace MATLAB je navržen tak, aby poteba použití cykl byla co možná nejmenší. Pokud používáte nkteré další programovací jazyky, jako je nap. Visual Basic, potebujete cyly por práci s poli. Naproti tomu MATLAB má již tyto funkce pímo vestavné. Pokud používáte cykly je teba dávat pozor, abyste nevytvoili zadáním nevhodných kritérií pro ukonení tzv.nekonený cyklus. MATLAB pak bží stále dokola v nekonené smyce. Perušení je v takovém pípad možné stiskem kláves Ctrl+C. - 18 (34) -
Zaínáme s MATLAB Úkol 2.8 V rámci tohoto úkolu si vyzkoušíte použití cykl a rozhodovacích struktur. Dále se seznámíte s možnostmi tvorby graf v MATLAB. K vyjádení prtoku vody v daném profilu na toku použijeme matematický model vyjádený rovnicí: Q t ) aq ( t ) bq ( t ), (2.1) B ( k = A k = m + B k 1 kde Q B (t k ) je prtok v dolním profilu (smrem po toku) v ase t k, Q A (t k-m ) je prtok v horním profilu (smrem po toku) v ase t k-m, m je poet asových krok za které se zmna prtoku v horním profilu projeví v profilu dolním, a,b jsou parametry, které závisí na charakteru vodního toku. Tento model mže být využit nap. k pedpovdi velikosti prtoku Q B níže na toku, pokud známe hodnoty prtoku Q A v profilu horním (typickým píkladem je povodová situace, která vyžaduje pedpov, kdy a jak velká bude kulminace prtoku v profilu B). Abychom mohli uvedený model použít potebujeme znát: Hodnoty prtok Q A ve všech asech a poátení hodnotu prtoku Q B. První pedpov prtoku Q B je možná nejdíve za m asových krok od provedení prvního mení Q A. Hodnoty parametr a,b získáme kalibrací. Postup je následující: 1. Vytvote matici vstupních parametr a, b. Budeme pedpokládat, že a=1 a b=1. 1. 2. Zapište funkci M-file nazvanou Predpoved.m, která: nate soubor s daty hydrog.dat (viz obrázek 2.11), spustí model pro odhad prtoku Q B jako funkce Q A pro as t z intervalu 3 až 30 hod, s asovým krokem 1 hod, vykreslí graf pro prtoky Q A, Q B (mené), Q B (model), zobrazí výstrahu, jestliže prtok Q B (model) pekroí hodnotu 100 m 3 /s. Jediným vstupním parametrem funkce Predpoved bude matice vstupních parametr Parm. 3. Zkoušejte spouštt funkci Predpoved s rznými vstupními parametry tak, aby se asový prbh hodnoty Q B (model) co nejvíce piblížil hodnotám Q B (mené). 4. Nezapomete si uložit vaše pracovní prostedí píkazem >>save ukol2_8. - 19 (34) -
Hydroinformatika I Modul 3 Výsledný graf pro parametry a=1 a b=1ve uveden na obrázku 2.12. Obr. 2.11- Soubor hydrog.dat. Obr. 2.12- Výsledný graf pro parametry a=1 a b=1. - 20 (34) -
ešení optimalizaních úloh 3 ešení optimalizaních úloh MATLAB obsahuje dv základní optimalizaní funkce nazvané fminbnd (optimalizuje jednu promnnou) a fminsearch (optimalizuje více promnných). Navíc MATLAB disponuje vestavným souborem nástroj, který zahrnuje pokroilejší algoritmy než zmiované funkce. V tomto cviení použijeme funkci fminsearch k nalezení vstupních parametr a,b, které jsme používali v úkolu 2.8 pi odhadu prtoku Q B. Úkol 3.1 Získejte podrobnjší informace o funkci fminsearch s využitím nápovdy MATLAB. Zjistte, jaký uvedená funkce používá algoritmus a popište jeho princip. Z nápovdy v úkolu 3.1 jste zjistili, že syntaxe funkce fminsearch má ve své nejjednodušší podob tento tvar: 2 $ & +% D # >2A kde 2 je matice s hodnotami urenými k optimalizaci, # je název úelové funkce a 2A je matice s poátením odhadem hodnot 2. Pi zavolání této funkce hledá MATLAB ešení s maximální odchylkou 0,01%. Základní princip spoívá v hledání minima úelové funkce # pro vstupní hodnoty z matice 2. V našem pípad se pi hledání hodnot parametr a,b budeme snažit minimalizovat odchylku mezi hodnotami Q B (model) a Q B (mené). Použijeme principu metody nejmenších tverc a úelová funkce bude vyjádena jako suma kvadratických odchylek (Q B (mené)-q B (model)) 2. Zápis úelové funkce E * bude mít v syntaxi MATLAB tvar: E * $ # F, F, Úkol 3.2 /G K nalezení hodnot parametr a,b využijte úelovou funkci definovanou v pedchozím odstavci. V této podob ji doplte na konec souboru M-file Predpoved.m. Doporuujeme však ješt pedtím provést tyto úpravy: Soubor Predpoved.m uložte pod jménem OptAB.m, aby se vám zachovala jeho pvodní verze. V souboru OptAB.m doplte na konce ádk s píkazy znak ;, odstrate vykreslování grafu a vypisování výstrah. K nalezení parametr a,b splujících daná kritéria zadejte píkaz: 1 $ & +% D B " > - 21 (34) -
Hydroinformatika I Modul 3 Jaké jsou hodnoty nalezených parametr a, b? Ovte jejich správnost spuštním funkce Predpoved s nov nalezenými hodnotami: 1 & " 8 & 1 Informace Použitím znaku ; na konci píkazových ádk zabráníte MATLAB vypisování výsledk do píkazového okna v každém iteraním kroku. Toto opatení vám podstan zmenší celkovou dobu zpracování úlohy. Úkol 3.3 V pedchozím úkolu 3.2 použijte píkaz optimset ke zmn nastavení optimalizace. Napíklad: " $ " $ & H 29&!>A 1 $ & +% D B " >>" $ Toto nastavení omezí maximální poet iterací na 10. Prozkoumejte další možnosti nastavení optimalizace. Mžete doporuit njaká další vylepšení funkce OptAB? - 22 (34) -
ešení obyejných diferenciálních rovnic 4 ešení obyejných diferenciálních rovnic Postup numerického ešení obyejných diferenciálních rovnic budeme demonstrovat na píklad úloh prázdnní a plnní nádob, které vychází ze základní objemové rovnice: dz dt Qo Q p =, (4.1) S kde z(t) znaí polohu hladiny vzhledem k ose výtokového otvoru, Q p (t) je pítok do nádrže, Q o (z) je odtok z nádrže, S(z) je plocha hladiny a t je as. Uvedená diferenciální rovnice má analytické ešení za pedpokladu Q p =konst. Píklad 4.1 Kónická nádoba výšky h=1,0 m se svislou osou má horní prmr D 1 =0,80 m, prmr dna D 2 =0,30 m. Ve dn je kruhový otvor o prmru D v =0,30 mm (µ v =0,62). Je teba urit dobu úplného vyprázdnní nádoby, je-li naplnna až po okraj vodou. Pítok do nádrže Q p =0 m 3 /s [6]. ešení provedeme jak analyticky, tak numericky. Nejprve je teba vyjádit funkní závislost plochy hladiny S=f(z): kde = π ( D Az) 2, (4.2) S 2 + 4 D1 D h A 2 =. (4.3) Dále vyjádíme odtok z nádrže Q o jako: Q = µ S gz. (4.4) o v v 2 Vztahy 4.2 až 4.4 dosadíme do rovnice 4.1 a integrací dostaneme hledaný vztah pro dobu prázdnní (analytické ešení): t = µ v D 2 D 2g 2 h + D 3 1 + A h 2 3/ 2 2 2 2 Ah v 5 2 5/ 2. (4.5) Dosazením píslušných hodnot ze zadání do vztahu 4.5 obdržíme výsledek analytického ešení t=194,2 s. Numerické ešení obyejné diferenciální rovnice 4.1 provedeme Rungovou- Kuttovou metodou 4. až 5.ádu. K tomuto úelu použijeme funkci MATALAB s názvem ode45. Její spuštní se provádí zadáním píkazu v následujícím tvaru: >( & D C. >A I > Matice s výsledky obsahující as t o až t f Matice s výsledky obsahující hodnoty z v asecht o až t f Funkce dle použité numerické metody M-file obsahující ešenou oby. dif. rovnici Hodnoty t o a t f Poátení hodnota z v ase t o - 23 (34) -
Hydroinformatika I Modul 3 Obsah souboru M-file s názvem Nadob.m je patrný z obrázku 4.1. Obr. 4.1- Obsah souboru Nadob.m Po spuštní výpotu obdržíme výsledek numerického ešení t=193,88 s. Úkol 4.1 Provete analytické ešení pedchozího píkladu tak, aby jste získali hodnoty pro vynesení grafu funkní závislosti z=f(t). Do grafu rovnž doplte výsledky numerického ešení. Pro lepší pehlednost slute získané výsledky do jedné matice Vysl_nadob, která bude obsahovat tyto ti sloupce: as, z(analytické ešení) a z(numerické ešení). Kontrolní otázky ím je zpsoben vzniklý rozdíl mezi analytickým a numerickým ešením v úkolu 4.1? Jaký vliv bude mít použití jiné metody pro numerické ešení obyejné parciální diferenciální rovnice (ovte prakticky v MATLAB)? Úkol 4.2 V této úloze provedete posouzení transformaního úinku nádrže pi prchodu povodové vlny. K ešení máte k dispozici následující vstupní data: ára zatopených ploch a objem pro ešenou nádrž (viz obrázek 4.2). asovou závislost pítoku do nádrže (viz obrázek 4.4). Technické parametry výpustného zaízení a bezpenostního pelivu. ešená nádrž má zemní, sypanou hráz, jejíž souástí je objekt spodních výpusti a boní, nehrazený, bezpenostní peliv (viz obrázek 4.3). V okamžiku píchodu povodové vlny (as t=0 s) je kóta hladiny v nádrži pod úrovni maximálního zásobního prostoru (315,50 m n.m.). Budeme pedpokládat, že od tohoto okamžiku zanou spodní výpusti vypouštt z nádrže neškodný prtok 22 m 3 /s. Tento prtok zstane konstantní po celou dobu prchodu povodové vlny, ehož je dosaženo regulací pomocí uzávr na spodních výpustech. Od doby, kdy velikost pítoku do nádrže pesáhne vypouštné množství zane hladina v nádrži stoupat. V okamžiku, kdy dosáhne kóty ko- - 24 (34) -
ešení obyejných diferenciálních rovnic runy bezpenostního pelivu (316,40 m n.m.), zapone souasné prázdnní nádrže spodními výpustmi a bezpenostním pelivem. Velikost prtoku pepadajícího pes pevnou hranu boního pelivu je samozejm závislé na aktuální poloze hladiny v nádrži. Na pelivu budeme uvažovat po celou dobu dokonalý pepad. Úinná délka pelivné hrany je 26 m a hodnotu pepadového souinitele zvolte m=0,51. Prtok z bezpenostního pelivu je skluzem odvádn do koryta pod hrází. Stanovte asový prbh prtok v koryt pod hrázi od chvíle píhodu povodové vlny až po okamžik, kdy hladina v nádrži poklesne zpt na úrove pelivné hrany boního pelivu (tj. hladina maximálního zásobního prostoru.) Vypotený asový prbh prtok v koryt pod hrází vyneste do stejného grafu jako velikost pítok do nádrže. Provete srovnání a zdvodnte vzniklé rozdíly. ešte stejnou úlohu ve variant, kdy hladina v nádrži je v okamžiku píchodu povodové vlny práv v úrovni maximální hladiny zásobního prostoru (315,50 m n.m.). Obr. 4.2- áry zatopených ploch a objem dle [10] - 25 (34) -
Hydroinformatika I Modul 3 Obr. 4.3- Podélný profil nádrže dle [10] 120 asový prbh pítok do nádrže 108 100 80 Q [m3/s] 60 40 50 20 0 20 15 11 3 0 10 20 30 40 50 60 t [hod] Obr. 4.4- asový prbh pítok do nádrže - 26 (34) -
ešení soustav obyejných diferenciálních rovnic 5 ešení soustav obyejných diferenciálních rovnic Postup ešení soustavy obyejných diferenciálních rovnic si piblížíme na píklad ešení vyrovnávací komory na pivadi vodní elektrárny. Poznámka Totožný píklad je ešen v modulu 2 pomocí programu EXCEL. Tento postup byl zvolen zámrn, aby bylo možné srovnat zpsoby ešení stejné úlohy pomocí odlišných program (EXCEL, MATLAB). Pro pípad, že by text modulu 3 byl využíván nezávisle, bez modulu 2, uvádíme kompletní zadání vetn teoretického úvodu. Vyrovnávací komory tvoí ást tlakového pivade nebo odpadu vodní elektrárny. Úel vyrovnávacích komor je dvojí: 1. zmírnní vodního rázu, 2. vytvoení nádrže, která v prvních okamžicích pozmn pracovního režimu pojme pebytené množství vody nebo dodává tlakovému potrubí chybjící prtok. Zmírnní vodního rázu vyrovnávací komorou se projevuje omezením škodlivého psobení vodního rázu na krátké tlakové potrubí, zatímco dlouhý pivad zstává prakticky uchránn. Dále pak zkrácením doby psobení pímého rázu v tlakovém potrubí, takže se sníží maximum tlakového pevýšení. Jakákoli zmna pracovního režimu vyvolá v soustav vodní nádrž tlakový pivad vyrovnávací komora tlakové potrubí elektrárna neustálený pohyb vody, který se projeví jednak vodním rázem, jednak oscilaním pohybem vody v pivadi a vyrovnávací komoe. Principem hydraulického ešení vyrovnávacích komor je hledání závislosti zmny rychlosti proudní (v) v pivadi a polohy hladiny (z) ve vyrovnávací komoe na ase (t) pro známou asovou zmnu prtoku Q=f(t). Pro urení obou neznámých je nutno sestavit dv diferenciální rovnice, kterým se vzhledem k periodickým výkyvm hladiny ve vyrovnávací komoe íká oscilaní. První rovnice 5.1 je rovnicí kontinuity a vyjaduje rovnost prtoku pivadem ped vyrovnávací komorou, pítokem do vyrovnávací komory a prtokem turbínou: dz 1 = ( Q Sv), (5.1) dt S k kde t je as, z je okamžitá poloha hladiny ve vyrovnávací komoe (orientace je kladná, když je hladina zaklesnutá pod hydrostatickou hladinou v nádrži a záporná v opaném pípad), S k znaí plochu hladiny ve vyrovnávací komoe, Q je okamžitá hodnota prtoku od vyrovnávací komory k turbín a v stední rychlost v pivadi mezi akumulaní nádrží a vyrovnávací komorou (kladná orientace je ve smru proudní k vyrovnávací komoe). - 27 (34) -
Hydroinformatika I Modul 3 Druhá rovnice 5.2 (pohybová) je odvozena na základ Newtonových zákon a vyjaduje závislost zrychlení vodní hmoty na poloze hladiny ve vyrovnávací komoe a na velikosti ztrát tením v pivadi: dv g = ( z Zt ), (5.2) dt l kde g znaí gravitaní zrychlení, l délku pivade ped vyrovnávací komorou a Z t souhrn tlakových ztrát v pivadi mezi akumulaní nádrží a vyrovnávací komorou. Soustavu obyejných diferenciálních rovnic budeme ešit numericky metodou Rungovou-Kuttovou s použitím MATLAB v rámci následujícího píkladu. Informace Struný teoretický popis Rungeovy-Kuttovy metody je uveden v modulu 2 (kapitola 5). Píklad 5.1 Vyešte asový prbh výkyv hladiny ve vyrovnávací komoe válcového tvaru s volnou hladinou pi náhlém uzavení pivade na elektrárnu za komorou (viz obrázek 5.1). Obr. 5.1- Schéma vyrovnávací komory Je dán prtok ped uzavením Q=25,0 m 3 /s, prmr kruhového pivade D=3,57 m, plocha prezu komory S k =100 m 2, rychlost v pivadi ped uzavením v o =2,5 m/s, délka pivade mezi akumulaní nádrží a vyrovnávací komorou l=3000 m a stupe drsnosti pivade n=0,016. ešení zahájíme výpotem ztrát v pivadi za pomocí Chezyho rovnice: 2 Q l 2 C S Z t 2 =, (5.3) R - 28 (34) -
ešení soustav obyejných diferenciálních rovnic kde C je rychlostní souinitel dla Manninga a R hydraulický polomr. Dosazením z C po úprav dostaneme vztah: 2 2 n l 2 Z t = v = v ζ. (5.4) 4/3 R Nyní již máme pipraveny všechny potebné vztahy a mžeme pistoupit k ešení v MATLAB. Postup ešení je obdobný jako v pípad ešení obyejných diferenciálních rovnic, s tím rozdílem, že nyní máme 2 neznámé veliiny v a z v podob vektoru x. Soubor M-file nazvaný Komora.m je uveden na obrázku 5.2. Spuštní ešení pomocí funkce ode45 provedeme následujícím píkazem: 4 >< & D 3 >A A A A > //I Vektor poáteních podmínek rychlost (v) a poloha hladiny v komoe (z) v ase t o Hodnota poátení rychlosti v pivadi (v) v ase t o =0 s je dána zadáním. Poloha hladiny (z) ve vyrovnávací komoe v ase t o =0 s se stanoví výpotem ztráty (Z t ) dle rovnice 2.10. Hodnota je kladná, protože hladina v komoe je pod úrovní hydrostatické hladiny v nádrži Obr. 5.2- Soubor Komora.m. - 29 (34) -
Hydroinformatika I Modul 3 Po skonení výpotu provedeme vykreslení výsledk do grafu píkazem: " '4 ><,> >4 ><,> Výsledek je uveden na obrázku 5.3. 12 10 8 z v 6 z [m], v [m/s] 4 2 0-2 -4-6 -8 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 Cas [s] Obr. 5.3- Prbh stedních rychlostí proudní v pivadi a kolísání hladiny ve vyrovnávací komoe v pípad náhlého odstavení elektrárny. Informace Znaménko - je v píkazu plot uvedeno pouze z dvodu vtší názornosti vykreslených výsledk. Jak již bylo uvedeno v pedchozích odstavcích, hodnota z nabývá kladných hodnot v pípad, že je hladina v komoe pod úrovní hydrostatické hladiny v akumulaní nádrži. Úkol 5.1 Doplte výsledky pedcházejícího píkladu o následující informace: Popište slovn chování hladiny ve vyrovnávací komoe a prbh rychlosti v pivadi mezi akumulaní nádrží a vyrovnávací komorou. Jinými slovy, provete interpretaci výsledk. Jakých maximálních a minimálních hodnot dosahuje kóta hladiny v nádrži? Pedpokládejte, že hladina v akumulaní nádrži je na kót 455,56 m n.m. Zdvodnte na jaké kót se hladina ustálí. Navrhnte úpravu rozmr vyrovnávací komory tak, hladina pi náhlém úplném uzavení pívodu vody na turbínu dosáhla maximáln kóty 463,56 m n.m. Úpravou poáteních podmínek provete simulaci stavu, kdy na poátku je elektrárna mimo provoz a dojde k jejímu náhlému spuštní. Odbr na turbíny iní Q=25 m 3 /s. Výsledky výpotu by mly odpovídat obrázku 5.4. Kontrolou je pro vás, že kóta ustálené hladiny v komoe a rych- - 30 (34) -
ešení soustav obyejných diferenciálních rovnic lost proudní vody v pivadi by mla být shodná s hodnotami v pvodním zadání (tj. v=2,5 m/s a z=5,6 m). Jakým konstrukním opatením na vyrovnávací komoe, pop. zmnou manipulace na díle, by bylo možné zmenšit poátení náhlý pokles hladiny ve vyrovnávací komoe? Navrženou zmnu ovte výpotem. ešení 4 2 0-2 z [m], v [m/s] -4-6 -8-10 -12-14 z v -16 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 Cas [s] Obr. 5.4- Prbh stedních rychlostí proudní v pivadi a kolísání hladiny ve vyrovnávací komoe v pípad náhlého spuštní elektrárny. - 31 (34) -
Závr 6 Závr 6.1 Shrnutí V rámci tohoto modulu jste úspšn zvládli ešení vybraných úloh z oboru vodního hospodáství v programu MATLAB. Nyní jste schopni s pomocí toho programu importovat a exportovat data, pracovat s maticemi, ešit diferenciální rovnice, pop. jejich soustavy. Seznámili jste se s funkcemi programu MATLAB pro ešení optimalizaních úloh. Rovnž ovládáte použití rozhodovacích struktur a cykl bhem výpot. Výsledky jste schopni prezentovat ve form graf. Uební text je pouze úvodem do programu MATLAB. Jeho možnosti využití jsou samozejm daleko širší. V tuto chvíli jste však schopni si své znalosti z ovládání programu MATLAB rozšiovat dle vašich aktuálních poteb. Domníváme se, že z ešených píklad je patrný rozdíl v použití program MATLAB a EXCEL na ešení rzných typ úloh, jak již bylo zmiováno v úvodu uebního textu modulu. 6.2 Studijní prameny 6.2.1 Seznam použité literatury [1] erná, J., Machalický, M., Vogel, J., Zlatník,. Základy numerické matematiky a programování. SNTL. Praha 1987. [2] Škrášek, J., Tichý, Z. Základy aplikované matematiky I. SNTL. Praha 1989. [3] Škrášek, J., Tichý, Z. Základy aplikované matematiky II. SNTL. Praha 1986. [4] Vitásek, E. Základy teorie numerických metod pro ešení diferenciálních rovnic. Academia. Praha 1994. [5] Kolá, V. a kol. Hydraulika. SNTL. Praha 1966. [6] Bém, J., Jiínský, K. Hydraulika v píkladech. VUT Praha 1975. [7] Jandora, J., Uhmannová, H. Základy hydrauliky a hydrologie. VUT Brno 1999. [8] Broža, V., Gabriel, P., ihák, F. Využití vodní energie. VUT. Praha 1990. [9] Stara, V., Veselý, J. Hydraulika Píklady ke cviení. VUT. Brno 1988. [10] Pernica, M. a kol. Vodní dílo Slušovice. SZN. Praha 1981. [11] Škrášek, J., Tichý, Z. Základy aplikované matematiky III. SNTL. Praha 1990. [12] Kiely, G. Enviromental Engineering. McGraw-Hill International 1997. - 33 (34) -
Hydroinformatika I Modul 3 6.2.2 Seznam doplkové studijní literatury [13] íha, J. a kol. Matematické modelování hydrodynamických a disperzních jev. VUT Brno 1997. 6.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny [14] Výrobce programu MATLAB - http://www.mathworks.com/ - 34 (34) -