BANKROTNÍ MODELY ZALOŽENÉ NA PODNIKOVÝCH ÚČETNÍCH DATECH OBECNÝ POHLED, SOUVISLOSTI, NOVÝ 2-D AGREGOVANÝ PRAVDĚPODOBNOSTNĚ ORIENTOVANÝ MODEL A ILUSTRACE POUŽITÍ Ladislav Lukáš ÚVOD Problematika bankrotních a bonitních modelů, které obecně spadají do širší oblasti oceňování podniků, je velmi široká. Jak známo, jejich hlavním cílem je ohodnotit potenciální nebezpečí úpadku firmy, v užším slova smyslu detekovat stav, kdy firma přestane mít schopnost plnit své finanční závazky. V bohaté literatuře, která se touto oblastí zaobírá, můžeme obecně rozlišit dva hlavní směry konstrukce takových modelů. První a zároveň starší směr vychází z tradičních metod finanční analýzy podniku na základě standardních účetních výkazů, jmenovitě rozvahy, výkazu zisku a ztráty a výkazu peněžních toků (Cash Flow). Data z těchto výkazů jsou chápaná jako reprezentativní a tematicky filtrované informace o stavu podniku uveřejňované v pravidelných intervalech s akcentem na finanční stránku. O tom, že takové informace mohou být však též zkreslené se dobře ví, a proto jsou stále aktuální inovace v oblasti vedení účetnictví. Novější směr konstrukce bankrotních modelů je motivován myšlenkou nahlížet na hodnotu firmy jako na opci, a k posouzení zdraví firmy využít rozvinutý matematický aparát oceňování opcí. Ovšem i tento přístup má svá úskalí, které obecně souvisí s obtížemi formulovat hodnotu firmy ve formě podkladového aktiva pro příslušnou opci. V našem příspěvku se omezíme na uvedený první směr. 1 KONSTRUKCE OBECNÉHO MODELU V literatuře lze snadno najít, že prvními pracemi v rámci zmíněného prvního směru byly [1] a [2]. Od té doby lze sledovat, že se na jedné straně stále užívají původní a zavedené modely, a na druhé straně též konstruují nové s využitím buď jiných finančně motivovaných veličin či s jinými váhami, které mají akcentovat sektor, nebo podnikatelské prostředí, ve kterém se firma nachází. Obecně, v modelech nefigurují samotné hodnoty z účetních výkazů, anebo jen velmi výjimečně, ale poměrové veličiny. Jejich zásadní výhodou je bezrozměrnost, která je důsledkem finančně vyjádřených položek účetních výkazů, avšak mohou být případně i zdrojem problémů, neboť se ví, že jeden ekonomicky definovaný stav podniku může být vyjádřen několika různými poměrovými veličinami, a i obráceně, že jedné hodnotě poměrové veličiny může odpovídat několik různých stavů podniku. Počet veličin, které se vyskytují ve standardních finančních výkazech, je rozdílné. Pro naše úhahy byla výchozím zdrojem kniha [9], jmenovitě Kap.1, ve které je uveden prototyp těchto výkazů obsahující 14 položek v každém roce účetní uzávěrky. Uvažujme, že máme k dispozici k různých údajů ze standardních účetních výkazů v každém období (roce). Pak můžeme obecně sestrojit C(k,2)=k(k 1)/2 různých dvojic takových údajů, a z nich vytvořit poměrové veličiny. Takže, z dvojice (a,b) můžeme vytvořit buď poměr a/b nebo b/a, které však je vhodné chápat jen jako jednu poměrovou veličinu, neboť příslušné poměry jsou navzájem reciproké, např. b/a = (a/b) -1. Pro náš původní příklad s 14 údaji dostáváme tak 91 možných různých poměrových veličin. Otázkou je, které z těchto poměrových veličin vybrat, neboť zřejmě jejich vhodnost pro vystižení stavu bankrotu firmy je různá, a tak asi ne všechny takové dvojice jsou vhodné. To je právě otázka, která je různými autory také různě řešená, když obecně lze řící, že k výběru se převážně používá diskriminační analýza. Označme n = C(k,2) = k(k 1)/2, takže můžeme každou možnou poměrovou veličinu a/b chápat jako složku vektoru, a příslušné vektory zobrazit jako body v prostoru R n. Taková konstrukce nám umožní jednoduše chápat jednotlivé bankrotní modely, a zároveň je v R n i dobře geometricky interpretovat. Obecně lze říci, že jednotlivé modely představují m-rozměrné podprostory R m či nadroviny v R n, když m < n, spíše m << n, čili jde o pdprostory s málo dimenzemi. Z toho vyplývá, že obecně můžeme takové banrotní modely zapsat ve tvaru skalárního součinu (1) (c, x), c = (c 1, c 2,..., c m ) T, x = (x 1, x 2,..., x m ) T (1)
kde c is m-rozměrný vektor váh, který je daný pro každý jednotlivý model, dále x R m, R m R n, a symbol T označuje transpozici vektoru. Jednotlivé bankrotní modely využívají různé poměrové veličiny, takže jsou definovány na různých podprostorech R m, a rovněž i různé vektory c. V naší ilustraci obecného pohledu na bankrotní modely se soustředíme na tři nejčastěji u nás užívané Altmanův model, známý též jako tzv. Z-score, Ohlsonův model, O-score, a konečně index důvěryhodnosti manželů Neumaierových, ve verzi označované IN05. Ty lze najít v [1],[3],[4],[6],[7]. Další známý Zmijewskiho model je v [10]. Označme jednotlivé modely takto: Z-score ( A c, A x), O-score ( O c, O x), index IN05 ( N c, N x), a jednotlivé podprostory s R m, kde s = A,O,N označuje příslušný model. Užití bankrotních modelů má obecně dva kroky prvním je vyčíslení hodnoty indikátoru, označme jej γ(x) = (c,x), a druhým je test, zda spočtená hodnota patří do tzv. šedé zóny, označme ji D, která indikuje ohrožení firmy bankrotem, resp. vypovídá o jejím finačním zdraví. Opět, tyto zóny, numericky zadané jako intervaly na R jsou různé pro jednotlivé modely, a také se jimi dá různě vyjadřovat vliv sektoru či podnikatelského prostředí, ve kterém firma působí. Z matematického pohledu lze první krok chápat jako lineární zobrazení γ : R m R, a druhý krok jako test γ(x) D, kde x zde představuje vektor hodnot příslušných poměrových veličin daného modelu. Jednotlivé modely pak lze přehledně zapsat následujícím způsobem: Altmanův model (verze 1983): Z = γ( A x) = ( A c, A x), kde A c = (0.717, 0.847, 3.107, 0.420, 0.998) T, Ax = ( A x 1, A x 2,..., A x 5 ) T A R 5, kde A x 1 = WC/TA, Ax 2 = EAR/TA, A x 3 = EBIT/TA, A x 4 = VE/TL, Ax 5 = S/TA, WC pracovní kapitál, TA aktiva, EAR nerozdělený zisk, EBIT zisk před úroky a zdaněním, VE účetní hodnota vlastního kapitálu, S tržby, TL účetní hodnota závazků, AD = [1.20, 2.90] šedá zóna Altmanova modelu (verze 1983). Altmanův model (verze 1995): 95 Z = γ( A95 x) = ( A95 c, A95 x), kde A95 c = (6.56, 3.26, 6.72, 1.05) T, A95x = ( A95 x 1, A95 x 2,..., A95 x 4 ) T A95 R 4, kde A95 x 1 = A x 1, A95 x 2 = A x 2, A95 x 3 = A x 3, A95 x 4 = A x 4, A95D = [1.20, 2.60] šedá zóna Altmanova modelu (verze 1995). Ohlsonův model: O = γ( O x) = O c 0 + ( O c, Ox), kde O c 0 = -1.32 je aditivní konstanta, Oc = (6.03, -1.43, 0.08, -2.37, -1.83, 0.285,-1.72,-0.52) T, Ox = ( O x 1, O x 2,..., O x 9 ) T O R 9, kde O x 1 = ln(ta/gdp_pi), O x 2 = TL/TA, O x 3 = WC/TA, O x 4 = CL/CA, Ox 5 = NI/TA, O x 6 = FFO/TL, O x 7 = když (EAR v posledních 2 letech < 0) pak 1 jinak 0, Ox 8 = když (TL > TA) pak 1 jinak 0, O x 9 = (EAR t EAR t 1 )/( EAR t + EAR t 1 ), GNP_PI HDP index cenové hladiny, CL krátkodobé závazky, CA oběžná aktiva, NI čistý zisk. Neumaierův model (verze 2005): N = γ( N x) = ( N c, Nx), kde N c = (0.13, 0.04, 3.97, 0.21, 0.09) T, Nx = ( A x 1, A x 2,..., A x 5 ) T N R 5, kde N x 1 = TA/FC, Nx 5 = CA/CL, Nx 2 = EBIT/CI, N x 3 = EBIT/TA, N x 4 = S/TL, FC cizí kapitál, CI nákladové úroky, N D = [0.90, 1.60] šedá zóna Neumaierova modelu. Uvedeným obecným postupem vidíme, že obory hodnot indikátorových funkcí γ(x) leží v R, a jednotlivé modely definují různé šedé zóny, vlastně různé intervaly D = [r,s] na R, s dolní a horní mezí r a s. Obvyklá interpretace těchto mezí je následující pokud γ(x) < r pak je firma ve vážných finančních problémech, naopak když γ(x) > s tak je firma považována za finančně bezproblémovou, a pokud γ(x) [r,s] tak je její finanční zdraví v různé míře případně ohrožené bankrotem. Přirozeným způsobem se tak nabízí možnost zobrazit šedé zóny dvou různých modelů na sebe, a to pomocí lineárních zobrazení. Uvedeme příklad uvažujme nejprve zobrazení M: N D AD, které je vyjádřeno vztahem (2), a představuje vlastně zobrazení hodnot Neumaierova indexu IN05 do oboru hodnot Altmanova modelu (verze 1983). K němu lze samozřejmě sestrojit inverzní zobrazení M -1 : A D ND dané vztahem (3), které naopak zobrazuje hodnoty Z-score do oboru indexu IN05. M: ξ η = α 0 + α 1 ξ, ξ N D, η A D, (2)
kde konstanty α 0, α 1 jsou určeny příslušnými interpolačními podmínkami M: N r Ar, M: N s As. A konstanty β 0, β 1 obdobnými podmínkami M -1 : A r Nr, M -1 : A s Ns. M -1 : η ξ = β 0 + β 1 η, ξ N D, η A D. (3) 2 NUMERICKÉ VÝSLEDKY PŘÍPADOVÉ STUDIE Pro ilustraci našeho přístupu jsme zvolili dvě firmy, které poskytly hodnoty svých účetních výkazů ve vhodně dlouhých časových řadách, a které byly zpracovány v [5] a [8]. Všechny výpočty pro tento příspěvek byly provedeny pomocí sw Mathematica, Wolfram Research Inc., a to jak jednotlivé kontroly vstupních dat, příslušné výpočty, ale i generování a export grafů. Studie 1 ČSA (České aerolinky, a.s., Praha). Veškerá data byla získána z veřejně přístupných standardních účetních výkazů za dobu 10 let, od 2001 do 2010. Nejdříve jsme použili Altmanův model v původní verzi, tedy z roku 1983 výsledek je na Obr.1. Jistě zajímavé je, provést výpočty i pomocí Altmanova modelu (verze 1995) a oba výpočty navzájem srovnat to je na Obr.2. Obr. 1 ČSA Z-score verze 1983, období let 2001-2010 Obr. 2 dobře ukazuje, že hodnoty revidovaného Altmanova modelu Z-score verze 1995 vystihují stavy ČSA v průběhu sledovaných 10 let mnohem ostřeji, když zejména v období 2008 až 2010 klesají hodnoty indikátorové funkce γ( A95 x) hluboko pod dolní mez šedé zóny, dokonce nabývají záporných hodnot. Vzhledem k tomu, že však tento průběh má tvar V lze usuzovat, že rok 2009 byl pro ČSA velmi nepříjemně kritický. Tuto analýzu jsme potvrdili i pomocí Ohlsonova modelu, který ukazuje hodnoty pravděpodobnosti bankrotu ČSA ve stejném období 2001 až 2010 výsledek je na Obr.3. Obr. 2 ČSA Z-score verze 1983 a 1995, období 2001-2010
Obr. 3 ČSA Ohlsonův model pravděpodobnost úpadku, období 2001-2010 Výpočet pravděpodobnosti O p ] 0,1[ u Ohlsonova modelu se provede pomocí vztahu (4) Op = 1/(1+ exp(-γ( O x)), (4) kde hodnota γ( O x) je dána afinní formou γ( O x) = O c 0 + ( O c, Ox) a předpokládáme, že je konečná. Studie 2 Dajbych s.r.o, Plzeň, je firmou, která typicky spadá do kategorie MSP a zabývá se především prodejem terenních automobilů a službami spojenými s tímto profilem podnikání. Časové řady hodnot, opět ze standardních účetních výkazů této firmy, byly získány za období 12 let, jmenovitě od 2000 do 2011. Vzhledem k tomu, že jde o typickou českou firmu spadající do MSP bylo vhodné spočítat hodnoty indikátorových funkcí jak pro Altmanův model tak i Neumaeirův index IN05 a příslušné výsledky porovnat. Přesně k tomuto účelu se hodí konstrukce dříve zmíněných dvou lineárních zobrazení M a M -1 daných vztahy (2) a (3). Při podrobném srovnání můžeme objevit zajímavé souvislosti. Na Obr. 5 jsou hodnoty IN05 zobrazeny do definičního oboru Altrmanova modelu (verze 1983) a je vyznačena jeho šedá zóna A D. Vidíme, že průběhy obou funkcí jsou si podobné, avšak hodnoty Z-score vychází snad až přespříliš optimisticky pro finančního zdraví fy Dajbych s.r.o. Obr. 4 Dajbych s.r.o. IN05 index, období 2000-2011
Obr. 5 Dajbych s.r.o. IN05 období 2000-2011, zobrazení M: N D AD Následující Obr. 6 ukazuje také dva grafy podobně jako Obr. 5. Nyní jsou však hodnoty Z-score zobrazeny do definičního oboru modelu IN05 a je vyznačena jeho šedá zóna N D. Srovnáním však zjistíme, že zobrazené hodnoty Altmanova Z-score se již těsněji přimykají hodnotám IN05 a noří se do ND velmi podobně. Samozřejmě, z jedné případové studie by bylo ukvapené dělat rezolutní závěry o vhodnosti toho či onoho modelu, spíše ukazuje, že při posuzování finančního zdraví firmy je třeba se na ní podívat z různých pohledů tedy pomocí různých bankrotních modelů. Pro úplnost uvádíme celou řadu 12 numerických hodnot Z-score zobrazených do oboru hodnot indexu IN05: {3.41004, 1.68502, 2.07444, 1.71769, 1.71866, 1.05981, 1.82129, 1.71313, 1.47823, 1.05894, 1.0229, 1.05042}. Obr. 6 Dajbych s.r.o. IN05 období 2000-2011, zobrazení M -1 : A D ND Je zřejmé, že poslední 3 roky, 2009-2011, byly pro tuto firmu obtížné k přežití. Proto je přirozené ptát se po možné predikci dalšího vývoje. Nabízí se tři možnosti dva lineární modely (A), resp. (B), a jeden kvadratický podle (5), když koeficienty a i, i = 0,1, resp. i = 0,1,2 jsou určeny interpolačními podmínkam (6). Predikci provedeme pro index IN05 s lokálním časem ξ, který nabývá hodnot ξ = 1 pro r.2009, ξ = 2 pro r.2010 a ξ = 3 pro r.2011, s odpovídajícími hodnotami γ( N x 2009 ), γ( N x 2010 ) a γ( N x 2011 ). Model (A) umožňuje predikci s trendem v 2010-2011, zatímco model (B) uvažuje průměrný trend v 2009-2011. Příslušné výsledky predikce doby kdy firma Dajbych opustí šedou zónu indexu IN05 jsou pro jednotlivé predikční modely na Obr.7
f 1 (ξ) = a 0 + a 1 ξ, f 2 (ξ) = a 0 + a 1 ξ + a 2 ξ 2. (5) Obr. 7 Dajbych s.r.o. predikce hodnot IN05 podle (5) s daty z období 2009-2011 a 0 = f 1 (3) = γ( N x 2011 ), (A) a 1 = f 1 (3) f 1 (2), (B) a 1 = (f 1 (3) f 1 (1))/2, γ( N x 2009 ) = f 2 (1), γ( N x 2010 ) = f 2 (2), γ( N x 2011 ) = f 2 (3). (6) 3 AGREGOVANÝ PRAVDĚPODOBNOSTNĚ ORIENTOVANÝ 2-D MODEL Pro konstrukci nového modelu jsme měli dvě motivační myšlenky nejprve s využitím vhodné transformace získat pravděpodobnostní variantu Altmanova modelu, což především znamenalo přiřadit šedé zóně A D jistý kvantilový interval, a druhou motivací bylo vhodně spojit dva modely do jednoho agregovaného a tím získat možnost dalšího komplexnějšího pohledu na průběh finančního zdraví firmy. Tento model je definován zobrazením F: (γ( A x),γ( O x)) R 2 (p 1,p 2 ) [0,1]x[0,1], kde složky p 1, p 2 jsou pravděpodobnostní míry vytvořené hodnotami Z-score a O-score zobrazením (7). p 1 (ξ) = 1/(1+exp(-ξ)), ξ = b 1 + b 2 γ( A x), p 2 (η) = 1/(1+exp(-η)), η = γ( O x). (7) Koeficienty b 1, b 2 jsou určeny interpolačními podmínkami zajišťujícími, že šedou zónu A D lze chápat jako jistý kvantilový interval, např. [0.05, 0.95]. Výsledky analýzy přežití firmy ČSA jsou na Obr.8, kde lomená a spojitá čára jsou lineární a kubická spline interpolační křivky hodnot (1 p 1,1 p 2 ).
Obr. 8 ČSA 2-D trajektorie pravděpodobnosti přežití (1 p 1,1 p 2 ) během 2001-2010 Mathematica příkazy užité k vygenerování Obr. 8 jsou následující: h1=pi/18;h0=-h1; r25=.25;r50=.50;r75=.75; r100=1.; ParametricPlot[{{cpOhlsonLin[t],cpZscoreLin[t]},{cpOhlsonCub[t],cpZscoreCub[t]}, {r25*cos[h1*t+h0],r25*sin[h1*t+h0]},{r50*cos[h1*t+h0],r50*sin[h1*t+h0]},{r75*cos[h1*t+h0],r75*sin[h1 *t+h0]},{r100*cos[h1*t+h0],r100*sin[h1*t+h0]}},{t,1,10}, PlotRange->{{0,1},{0,1}}] ZÁVĚR Hlavním záměrem příspěvku bylo ukázat prospěšnost obecného pohledu na konstrukci bankrotních modelů založených na účetních datech a dokumentovat tento přístup analýzou dvou firem. Kromě toho, příspěvek přináší podle našeho názoru i dva důležité nové pohledy. Zaprvé, konstrukci vzájemně jednoznačného zobrazení šedých zón dvou různých bankrotních modelů, což otvírá velmi zajímavé možnosti jednak kombinovaného hodnocení pomocí více modelů, ale i případnou komparaci jejich hodnot. Zadruhé, sestrojení nového 2-D agregovaného modelu s pravděpodobnostní interpretací přežití firmy, a to vhodným spojením Altmanova a Ohlsonova modelu. Zároveň byla uvedena i jeho aplikace, která doplňuje případovou studii první firmy ČSA, a.s. Všechny výpočty byly provedeny pomocí sw Mathematica, Wolfram Research, Inc. Pro další vývoj bude třeba jednak zpracovat a vyhodnotit vhodnost a užitečnost nového navrženého modelu pomocí empirických dat finančního vývoje a především bankrotů firem. Ale též dále rozpracovat teoretickou formulaci případných dalších agregovaných banrotních modelů. LITERATURA [1] ALTMAN, E. Financial Ratios, Discriminant Analysis and the Prediction of Corporate Bankruptcy. Journal of Finance 23 (1968), 589 609. [2] BEAVER, W. Financial Ratios as Predictors of Failure. Journal of Accounting Research. 1966, 77 111. [3] DAVID, F.R. Strategic management. 4-th ed., New York, Macmillan Publ.Co., 1993, 931 str., ISBN 0-02-327841-2.
[4] KUBÍČKOVÁ, D., KOTĚŠOVCOVÁ, J. Finanční analýza. Praha, VŠFS EUPRESS, 2006, 125 str., ISBN 80-86754-57-X. [5] MUCHOVÁ, D. Analýza vývoje podniku v době hospodářské krize. Diplom.práce, ZČU/FEK, Plzeň, 2012. [6] OHLSON, J. Financial Ratios and the Probabilistic Prediction of Bankruptcy. Journal of Accounting Research 19 (1980), 109 131. [7] SEDLÁČEK, J. Finanční analýza podniku. Brno, Computer Press, 2009, 154 str., ISBN 978-80- 251-1860-6. [8] TOLAROVÁ, I. Identifikace krizového vývoje podniku. Diplom.práce, ZČU/FEK, Plzeň, 2012. [9] ZMEŠKAL, Z. Finanční modely. Ostrava, VŠB-TU Ostrava, 2002, 236 str., ISBN 80-248-0182-5. [10] ZMIJEWSKI, M. Methodological Issues Related to the Estimation of Financial Distress Prediction Models. Journal of Accounting Research, Supplement, 1984, 59-86. Adresa autora: Doc.RNDr.Ing. Ladislav Lukáš,CSc., Západočeská univerzita v Plzni, Fakulta ekonomická, Katedra ekonomie a kvantitativních metod, lukasl@kem.zcu.cz
BANKRUPT MODELS BASED ON ACCOUNTIND DATA GENERAL VIEW, CONNECTIONS, NEW 2-D AGGREGATED PROBABILISTIC ORIENTED MODEL AND CASE STUDIES Abstract Financial distress and bankrupt modeling represents large and important field of economic research topics. This paper concerns with general structure of such models in form of linear or affine forms built upon data available from standard accounting reports. Such general approach helps both to elucidate connections among wellknown models, e.g. Altman, Ohlson, Neumaier and other ones, as well as building new models. Another important feature provided by such approach is that we may construct unique mappings between shadow zones of different models. These models are used both for extensive analysis and short-term prediction of firm s state. We present and discuss some illustrative results of SME case studies, as well. Using logit transformation we get probabilistic version of Altman Z-score which thus may form one component of a new 2-D aggregated model, whereas the second component is constituted by Ohlson O-score in proper form. All models are implemented by Mathematica modules and important algorithmic details are presented. Key words Bankrupt models, financial distress, firm behaviour, firm performance, prediction of firm s state. JEL Classification C33, C81, D21, D81, L25