Úvod do teorie měření Eva Hejnová
Literatura: Novák, R. Úvod do teorie měření. Ústí nad Labem: UJEP, 2003 Sprušil, B., Zieleniecová, P.: Úvod do teorie fyzikálních měření. Praha: SPN, 1985 Brož, J. a kol. Základy fyzikálních měření I. Praha: SNTL, 1983. Nováková, D., Novák R. Základy měření a zpracování dat. Praha: Vydavatelství ČVUT,1999. Další informace k předmětu lze nalézt na http://physics.ujep.cz/~ehejnova/index Požadavky k zápočtu Sylabus semináře a literatura Pomocný studijní text (Novák, R. Úvod do teorie měření) Další studijní texty Chyby měřidel Lineární regrese Metody měření Nepřímá měření Protokol - zásady vypracování Vzorový protokol Studijní opora - Fyzikální praktikum A
Podmínky k získání zápočtu Podmínkou pro získání zápočtu je účast na semináři a vyřešení úloh zadaných semináři.
Stručný obsah semináře 1. Základní pojmy - metody měření, druhy chyb, počítání s neúplnými čísly, zaokrouhlování 2. Náhodné chyby přímých měření - aritmetický průměr a směrodatná odchylka, určování intervalů spolehlivosti (mezní chyba, pravděpodobná chyba) 3. Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin, určení celkové chyby přímých měření 4. Úkoly k samostatnému studiu a úkol k zápočtu
Základní pojmy Měření - empirická (experimentální) činnost, jejímž výsledkem je určení nějaké fyzikální veličiny. Soustava jednotek SI (samostatně zopakovat) - základní jednotky (m, kg, s, A, K, cd) - doplňkové jednotky (rovinný a prostorový úhel) - odvozené jednotky (tlak, napětí, ) - vedlejší jednotky (min, h, )
Metody měření Správnost měření je dána způsobem, jakým veličiny měříme, a přístroji, které použijeme. Dělení metod - přímé a nepřímé (měření hustoty) - statické a dynamické (měření tuhosti pružiny) - absolutní a relativní
Chyby měření Chyba měření (nově se říká nejistota měření): naměříme jinou hodnotu, než je hodnota správná - správnou (tj. zcela přesnou) hodnotu nikdy nemůžeme měřením zjistit. Příklad Změřili jsme délku s přesností na centimetry: l = (5,0 ± 0,5) cm nebo (5 ± 1) cm Také je možné odhadnout polovinu dílku (jsme-li si odhadem jisti) l = (4,5 ± 0,5) cm
Zdroje chyb měřený objekt - např. měříme-li průměr drátu prostředí - např. vlhkost a teplota vzduchu měřicí metoda - např. počítání kmitů ručně a elektronicky měřicí zařízení (měřidlo, přístroj) - např. použijeme-li k měření malých rozměrů pravítko nebo mikrometr pozorovatel (experimentátor) - např. špatný zrak, únava apod.
Druhy chyb 1
Cvičení Svinovacím metrem měříme šířku knihy a šířku stolu. Které měření má větší absolutní a které větší relativní chybu (nejistotu)?
Pravidlo: Poslední číslice v zápisu udává, s jakou přesností se měřilo. Úloha: Uspořádejte následující měření v pořadí od nejpřesnějšího k nejméně přesnému: 9,7 m; 13 m; 1,45 m; 2,1 m; 0,005 m Pravidlo: Když se měří s přesností na některou jednotku, nemá být chyba větší než polovina této jednotky. Příklad: Měříme délku s přesností namilimetry. Naměříme 13,2 cm. uvažujeme chybu rovnou polovině jednotky, tj. 0,5 mm 13,15 cm < 13,20 cm < 13,25 cm uvažujeme chybu rovnou celé jednotce, tj. 1 mm 13, 1 cm < 13,2 cm < 13, 3 cm
Druhy chyb 2 2) Absolutní a relativní chyby mohou být - systematické - náhodné - hrubé systematické chyby opakovaná měření ovlivňují výsledek stejným způsobem, tj. způsobují chybu stejné velikosti a stejného znaménka, vykazují nějakou pravidelnost náhodné chyby (statistické) nemají žádnou pravidelnost, nelze zjistit přesnou příčinu odchylek, původ chyb je v náhodě, k určení chyb používáme počtu pravděpodobnosti a statistických metod hrubá chyba zvláštní případ náhodné chyby, z dalšího zpracování ji vylučujeme, odhadujeme ji pomocí tzv. 3σ kritéria.
Střelba do terče Jaký je rozdíl mezi střelbou a měřením fyzikální veličiny?
Počítání s neúplnými čísly 1 Aproximace čísla A (neúplné číslo): A = a ± nebo A a, a + Aproximace čísla B (neúplné číslo): B = b ± β nebo B b β, b + β nebo a A a+ nebo b β B b + β Součet neúplných čísel A + B Jaká je výsledná chyba součtu (absolutní a relativní)?
Počítání s neúplnými čísly 1 Aproximace čísla A (neúplné číslo): A = a ± nebo A a, a + Aproximace čísla B (neúplné číslo): B = b ± β nebo B b β, b + β nebo a A a+ nebo b β B b + β Součet neúplných čísel odvození: a + b β A + B a+ + (b + β) Pravidlo: a + b ( +β) A + B a + b + ( + β) Při sčítání dvou neúplných čísel se sčítají jejich absolutní chyby. α + β relativní chyba součtu dvou veličin δ (A + B) = a + b
Počítání s neúplnými čísly 2 Rozdíl neúplných čísel - odvození a b + β A B a+ (b β) Pravidlo a b +β A B a b + ( + β) Při odečítání dvou neúplných čísel se sčítají jejich absolutní chyby. Důsledek!!: Při nepřímém měření veličiny, která je dána rozdílem dvou veličin, se absolutní chyby sčítají a rozdíl veličin tak může být zatížen velkou chybou.
Počítání s neúplnými čísly 3 Úloha Určete absolutní a relativní chyby součtu a rozdílu veličin: A = (8,0 ± 0,1) cm, B = (6,0 ± 0,1) cm
Počítání s neúplnými čísly 4 Úloha - řešení A + B = (14,0 ± 0,2) cm, δ A + B = 1,43 % A B = (2,0 ± 0,2) cm, δ A B = 10,00 %
Počítání s neúplnými čísly 5 Součin dvou neúplných čísel - odvození: a. b β A. B a+. (b + β) Levá strana = ab b aβ + β β zanedbáme = ab - (a β + b ) Podobně se upraví pravá strana (tj. horní aproximace) ab + b + aβ + β = ab + (a β + b ) Pravidlo: A. B = a. b ± (a β + b ) Relativní chyba aβ+bα ab = α a + β b Při násobení dvou neúplných čísel se sčítají jejich relativní chyby. relativní chyba součinu dvou veličin δ (A. B) = δ (A) + δ (B)
Podíl dvou neúplných čísel - odvození a b + β A a + B b β a. b β A a+. b+β b+β b β B b β b+β Počítání s neúplnými čísly 7 Levá strana: ab bα aβ+αβ b 2 β 2 zanedbáme členy αβ a β 2 Po úpravě je levá strana a b pravá strana analogicky a b aβ+ bα b 2. + aβ+ bα b 2 Relativní chyba aβ+ bα b 2 Pravidlo: A B = a aβ + b ± b b 2 : a b = = α a + β b Při dělení dvou neúplných čísel se sčítají jejich relativní chyby. relativní chyba podílu dvou veličin δ (A/B) = δ (A) + δ (B)
Počítání s neúplnými čísly 7 Úloha Určete absolutní a relativní chyby součinu a podílu veličin: A = (8,0 ± 0,1) cm, B = (6,0 ± 0,1) cm
Počet platných číslic (míst) 1 Pravidla 1. První nenulová číslice (zleva) v zápisu daného čísla zaujímá nejvyšší platné místo. Příklad V následujících číslech je číslice zaujímající nejvyšší platné místo podtržena: 130,05; 0920; 0,0086. 2. U čísel s desetinnou čárkou zaujímá poslední udaná číslice (včetně nuly) nejnižší platné místo. Příklad 123,05; 0,0035;123,00
Počet platných číslic (míst) 2 Pravidla 3. U čísel bez desetinné čárky zaujímá nejnižší platné místo poslední nenulová číslice. Příklad 0120; 13; 13 000 4. Počet platných míst nějakého čísla je počet číslic mezi nejvyšším a nejnižším platným místem včetně. Příklad Následující čísla mají čtyři platná místa: 1 234; 123 400; 123,4; 1,001; 1,000; 10,10; 0,000 1010;100,0.
1. Určete nejvyšší (podtrhněte) a nejnižší (zakroužkujte) platné místo čísel. 0,013 1,00 0,07600 120 6 015 60 000 Úlohy platná místa 2. Kolik platných míst mají následující čísla? 10 234 20, 01 13,00 2 012,0 100,100 0,000 50
Zaokrouhlování 1 Pravidla 1. Chybu výsledku zaokrouhlujeme na jedno, nejvýše na dvě platná místa. Pokud výsledek nepoužíváme k dalším výpočtům, stačí se omezit na jedno platné místo. Pokud s ním provádíme další výpočty, je lepší uvést dvě platná místa, abychom snížili chyby ze zaokrouhlování. 2. Aritmetický průměr zaokrouhlíme na číslici téhož řádu, jako je nejnižší platné místo chyby. 3. Výsledek obvykle zapisujeme ve tvaru a. 10 n, kde a 1, ) 10 nebo použijeme násobnou jednotku. Příklad Správně zapsané výsledky měření: Zaokrouhlení konečné, tj. chybu zaokr. na jednu platnou číslici a = (23,5 0,6) mm nebo a = (2,35 0,06).10-2 m P = (9 600 100) W nebo P = (9,6 0,1) kw Zaokrouhlení průběžné, tj. chybu zaokrouhlujeme na dvě platné číslice a = (23,49 0,56) mm P = (9 630 120) W
Úloha - zaokrouhlování Opravte nesprávně zapsaný výsledek měření (chybu zaokrouhlete na jednu platnou číslici, výsledek uveďte v základní jednotce a ve tvaru a.): r = (0,587234810 0,009932871) cm
Úloha zaokrouhlování (řešení) Opravte nesprávně zapsaný výsledek měření: r = (0,587234810 0,009932871) cm Správně má být: r (0,59 0,01) cm nebo r (5,9 0,1) mm nebo r (5,9 0,1).10-3 m.
Zaokrouhlování 2 Pravidla 1. Při sčítání a odečítání čísel se výsledek zaokrouhluje na poslední platné místo toho řádu, který je u všech sčítanců platný. Příklad 15,6 + 2,35 + 0,3 = 18,25 18,3 2. Při násobení a dělení čísel je možno u výsledku zapsat nanejvýš tolik platných cifer, kolik jich má číslo s nejmenším počtem platných cifer. Příklad 24,152. 3,46 = 83,565 92 83,6
Cvičení Zaokrouhlete výsledky výpočtů na správný počet platných míst. 3,060 + 2,30 + 7,00 10,23 8,2 10,28. 5,0 12 000 : 5,21
Cvičení Naměřený proud 425 ma byl změřen s relativní chybou (nejistotou) 1,2 %. Jaká je absolutní chyba? Zapište konečný výsledek ve správném tvaru. Řešení: (425 ± 5).10 3 A
Cvičení Opravte nesprávně zapsaný výsledek měření (J moment setrvačnosti): J = (32893,4 275) kg.m 2 Konečný výsledek zapište ve správném tvaru a chybu zaokrouhlete nejprve na dvě platná místa (pro mezivýpočty) a poté na jedno platné místo (pro konečné zaokrouhlení). Výsledek uveďte ve tvaru a. 10 n, kde a 1, 10 ). Řešení: J = (3,29 0,03).10 4 kg.m 2
Cvičení Úloha k získání zápočtu Určete absolutní a relativní chybu hustoty kužele: m = (153 ± 4) g, r = 1,60 ± 0,08 cm, v = (6,39 ± 0,45) cm