MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Elasticita v ekonomii Bakalářská práce Vedoucí práce: doc. RNDr. Bedřich Půža, CSc. Vypracovala: Kristýna Vozárová Brno, 2010
Děkuji doc. RNDr. Bedřichu Půžovi, CSc., za odborné vedení bakalářské práce, za rady a připomínky, bez kterých by tento text nevznikl a za čas, který mi věnoval při konzultacích. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. V Brně dne 30. května 2010..........................
Název práce: Elasticita v ekonomii Autor: Kristýna Vozárová Ústav matematiky a statistiky Přírodovědecké fakulty MU Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Bedřich Půža, CSc. Abstrakt: Cílem této práce je pojednat o pojmu elasticita funkce jedné proměnné a výsledky přenést na vybrané ekonomické modely. Práce definuje základní pojmy související s elasticitou a to jak z matematického, tak z ekonomického hlediska. Dále popisuje jednotlivé druhy elasticit u poptávkové a nabídkové funkce, faktory, které je ovlivňují a využití elasticity v praxi. Klíčová slova: elasticita funkce, poptávka, elasticita poptávky, nabídka, elasticita nabídky Title: Elasticities in economics Author: Kristýna Vozárová Department od Mathematics and Statistics, Faculty of Science, MU Supervisor: doc. RNDr. Bedřich Půža, CSc. Abstract: The aim of this work is dealt with the concept of elasticity of functions of one variable and the results pass on selected economic models. Work defines the basic concepts related to the elasticity of both the mathematical and economically. Also describes the different types of elasticities of demand and supply functions, the factors that affect them and the use of elasticity in practice. Keywords: elasticity of function, demand, demand elasticity, supply, supply elasticity
Obsah 5 Obsah Úvod 6 1 Označení a převzatá tvrzení 7 2 Elasticita funkce 10 2.1 Definice elasticity.............................. 10 2.2 Vybraná pravidla pro výpočet elasticity.................. 12 2.3 Vybrané formule elasticity pro některé funkce............... 14 2.4 Další výraz pro elasticitu.......................... 15 2.5 Celkové, mezní a průměrné veličiny.................... 16 3 Základní ekonomické pojmy 19 3.1 Poptávka.................................. 19 3.2 Důchod spotřebitele a statky v ekonomii.................. 20 3.3 Nabídka................................... 21 4 Elasticita poptávkové funkce 22 4.1 Cenová elasticita poptávky......................... 22 4.1.1 Rozdělení poptávky podle koeficientu cenové elasticity...... 23 4.1.2 Monotonie funkce a elasticita................... 23 4.1.3 Cenová elasticita a celkový příjem firmy.............. 25 4.1.4 Cenová elasticita a mezní příjem firmy.............. 26 4.1.5 Faktory ovlivňující cenovou elasticitu poptávky.......... 28 4.1.6 Řešené příklady........................... 29 4.2 Důchodová elasticita poptávky....................... 31 4.3 Křížová elasticita poptávky......................... 33 4.4 Vztah mezi elasticitami........................... 34 5 Elasticita nabídkové funkce 35 5.1 Cenová elasticita nabídky.......................... 35 Literatura 36
Úvod 6 Úvod Následující text se zabývá problematikou elasticity funkce a jejího využití v ekonomii. Výchozím zdrojem je monografie [1]. Základní literatura je doplněna a rozšířena matematickou i ekonomickou literaturou. Práce je rozdělena na dvě části. Matematickou část, tedy budování potřebného matematického aparátu, tvoří první dvě kapitoly. V první kapitole je uvedeno označení použité v práci a dále potřebné definice a věty převzaté z matematické literatury [2]. Na základě těchto tvrzení je ve druhé kapitole odvozen vzorec pro výpočet elasticity funkce. Obsahem druhé kapitoly jsou také vlastnosti elasticity z matematického hlediska, vybraná pravidla a formule pro výpočet elasticity funkce. Dále jsou vysvětleny pojmy celkových, mezních a průměrných veličin, které jsou v ekonomii hojně používány. Třetí kapitola tvoří úvod ekonomické části práce. Jejím obsahem je vysvětlení základních ekonomických pojmů, které souvisí s pojmem elasticita funkce v této práci. Zbylé kapitoly pak představují konkrétní aplikace elasticity v ekonomii, tedy elasticitu poptávky a nabídky. U poptávky je vysvětlena její cenová, důchodová a křížová elasticita a dále vzájemný vztah mezi nimi. Důraz je zde kladen na cenovou elasticitu, je vysvětleno rozdělení poptávky podle její cenové elasticity, vztah elasticity k příjmům firmy a v neposlední řadě také souvislosti mezi monotonií funkce a její elasticitou. Závěrem každého odstavce jsou uvedeny řešené příklady, ilustrující použití uvedených definic. U nabídky je vysvětlena její cenová elasticita. V ekonomické části práce vycházíme z literatury [3], [4], [5], [6] a [7].
1 Označení a převzatá tvrzení 7 1 Označení a převzatá tvrzení V matematické části práce je použito toto označení: R (, ) množina všech reálných čísel R + (0, ) množina všech kladných reálných čísel I otevřený interval kladných reálných čísel, tj. I R + D (f) definiční obor funkce f O(x 0 ) okolí bodu x 0 V ekonomické části práce je použito toto označení: D S Q P R I poptávka nabídka poptávané (nabízené) množství zboží tržní cena příjem firmy disponibilní důchod spotřebitele Následující předpoklady (P) jsou přirozeným požadavkem v ekonomii. V celé práci předpokládejme, že: 1. funkce f je definovaná pro každé x I a f (x) > 0, (P) 2. funkce f má konečnou 1. derivaci pro každé x I. Při odvozování základních výsledků budeme vycházet z pojmů diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné, konkrétně z pojmů derivace, přírůstek neboli diference a diferenciál funkce. Proto nejprve uvedeme jejich definice (viz [2], str. 88-91, 153-155). Definice 1.1. Necht f je funkce a bod x 0 D (f). Existuje-li f (x) f (x 0 ) lim, (1) x x 0 x x 0 nazýváme tuto limitu derivací funkce f v bodě x 0 a značíme f (x 0 ). Je-li limita (1) vlastní, nazývá se číslo f (x 0 ) vlastní derivací funkce f v bodě x 0, je-li limita (1) nevlastní, nazývá se číslo f (x 0 ) nevlastní derivací funkce f v bodě x 0. Poznámka. Pro h x x 0 lze definici 1.1 psát ve tvaru f f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 ) lim. h 0 h
1 Označení a převzatá tvrzení 8 Nyní uvedeme větu, která popisuje vztah mezi derivací a spojitostí funkce. Věta 1.1. Má-li funkce f v bodě x 0 vlastní derivaci, pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz. Předpokládejme, že existuje f (x 0 ) ±. Podle definice spojitosti máme dokázat, že lim x x0 f (x) f (x 0 ). Platí lim f (x) lim (f (x) f (x 0 ) + f (x 0 )) x x 0 x x0 f (x) f (x 0 ) lim (x x 0 ) + lim f (x 0 ) x x0 x x 0 x x0 f (x) f (x 0 ) lim lim (x x 0 ) + f (x 0 ) x x0 x x 0 x x0 f (x 0 ) 0 + f (x 0 ) f (x 0 ). Definice 1.2. Necht funkce f je definovaná v okolí O(x 0 ) bodu x 0 a platí x 0 +h O(x 0 ). Potom číslo h nazýváme přírůstkem nezávisle proměnné a rozdíl f(x 0 )(h) f(x 0 + h) f(x 0 ) nazýváme přírůstkem funkce f v bodě x 0 s krokem h neboli přírůstkem závisle proměnné. Stručně můžeme značit f(x 0 ). Definice 1.3. Řekneme, že funkce f je diferencovatelná v bodě x 0 R, jestliže existuje okolí O(x 0 ) bodu x 0 tak, že pro všechny body x 0 + h O(x 0 ) platí f (x 0 + h) f (x 0 ) A h + τ (h), kde A je vhodné číslo a τ (h) je funkce taková, že lim h 0 τ(h) h 0. Je-li funkce f v bodě x 0 diferencovatelná, nazývá se výraz Ah diferenciál funkce f v bodě x 0 a značí se df (x 0 ) (h) nebo stručně df (x 0 ). Následující věta udává vztah mezi diferencovatelností funkce a její derivací. Věta 1.2. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál právě tehdy, když existuje vlastní derivace f (x 0 ). Přitom pro konstantu A z definice 1.3 platí A f (x 0 ), a tedy df (x 0 ) (h) f (x 0 ) h.
1 Označení a převzatá tvrzení 9 Důkaz. Předpokládejme, že funkce f je diferencovatelná v bodě x 0. Existují tedy A a τ (h) takové, τ(h) že platí f (x 0 + h) f (x 0 ) Ah + τ (h) pro h ( δ, δ), δ > 0, kde lim 0. h 0 h Odtud plyne A + τ (h) takže f (x 0 + h) f (x 0 ) h f (x 0 + h) f (x 0 ) lim h 0 h tj. existuje vlastní derivace f (x 0 ) a je rovna A. h, ( lim A + τ (h) h 0 h ) A, Předpokládejme, že existuje f (x 0 ) A R. Cílem je dokázat, že výraz Ah je diferenciál funkce f v bodě x 0. Necht τ (h) : f (x 0 + h) f (x 0 ) Ah. Potom τ (h) lim h 0 h lim f (x 0 + h) f (x 0 ) Ah h 0 h takže f je diferencovatelná v bodě x 0. f (x 0 + h) f (x 0 ) lim A 0, h 0 h Poznámka. Z definice diferenciálu a z předchozí věty též plyne, že f (x 0 ) df(x 0) dx 0. Připomeňme také vztah mezi diferenciálem a diferencí. Věta 1.3. Platí f (x 0 ). df (x 0 ), přičemž Je-li f (x 0 ) 0, platí také f (x 0 ) df (x 0 ) lim h 0 h f (x 0 ) lim h 0 df (x 0 ) 1. 0. Důkaz. Necht existuje diferenciál df (x 0 ) funkce f v bodě x 0. Potom platí f (x 0 ) df (x 0 ) lim h 0 h lim h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) A h h f (x 0 + h) f (x 0 ) lim A f (x 0 ) f (x 0 ) 0. h 0 h Dále předpokládejme f (x 0 ) 0, potom platí f (x 0 ) lim h 0 df (x 0 ) lim f (x 0 + h) f (x 0 ) h 0 A h lim h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) h A f (x 0 ) f (x 0 ) 1.
2 Elasticita funkce 10 2 Elasticita funkce V této kapitole vysvětlíme, co je elasticita funkce, odvodíme vzorec pro její výpočet a zmíníme základní vlastnosti elasticity, které budeme dále využívat při její aplikaci v ekonomii. 2.1 Definice elasticity Uvažujme relativní přírůstky funkce f a její proměnné x, tj. f(x) a x např. vyjádřené f(x) x v %. Pak poměr těchto změn nazveme elasticitou funkce f v bodě x a označme ɛ. Tedy ɛ procentní změna f (x) procentní změna x f (x) f (x) x x S použitím tvrzení z předchozí kapitoly můžeme přistoupit k samotnému odvození vzorce pro výpočet elasticity. Necht nyní splňuje funkce f na intervalu I předpoklady (P), tj. že je definovaná pro každé x 0 I, f(x 0 ) > 0 a že má v každém bodě x 0 I konečnou 1. derivaci f (x 0 ). Potom podle definice 1.2, 1.3 a podle věty 1.2 platí f (x 0 ) (h) f (x 0 + h) f (x 0 ) f (x 0 ) h + τ (h), což v souladu s větou 1.3 můžeme napsat následovně f (x 0 ) (h) f (x 0 + h) f (x 0 ). f (x 0 ) h. (2) Položme např. h x 0. Po dosazení do rovnice (2) dostáváme vztah 100 ( x0 ) ( f (x 0 ) f x 0 + x ) 0 f (x 0 ). f x 0 (x 0 ) 100 100 100, (3) který vyjadřuje, o kolik se změní funkční hodnota funkce f, jestliže argument funkce vzroste z x 0 na x 0 + x 0, tj. o 1%. 100 Vynásobíme-li rovnici (3) hodnotou 100 f(x 0 ), dostáváme f ( x 0 + x 0 100) f (x0 ) 100. f (x 0 ) f (x 0 ) f (x 0 ) x 0. (4). Definice 2.1. Číslo na pravé straně rovnice (4) označme ɛ(f)(x 0 ) a nazývá se elasticita funkce f v bodě x 0, tj. ɛ (f) (x 0 ) f (x 0 ) f (x 0 ) x 0. Funkce ɛ(f)(x) pro x I nebo stručně ɛ(f) se nazývá elasticita funkce f.
2 Elasticita funkce 11 Věta 2.1. a) Jestliže elasticita funkce f je kladná v bodě x 0 I, tj. ɛ (f) (x 0 ) > 0, pak funkce f je v bodě x 0 rostoucí. b) Jestliže elasticita funkce f je kladná pro každé x I, tj. ɛ (f) (x) > 0, pak funkce f je rostoucí na celém intervalu I. Analogická tvrzení platí pro klesající funkce. Důkaz. a) Z předpokladu věty a z definice 2.1 plyne, že f (x 0 ) x f(x 0 ) 0 > 0. Protože však funkce f splňuje na intervalu I předpoklady (P), tak odtud plyne, že f (x 0 ) > 0, tj., v souladu s teorií funkcí jedné reálné proměnné, že funkce f v bodě x 0 roste. b) Bezprostředně plyne z části a). V následující větě uvedeme, jak se mění hodnota funkce f v závislosti na změně argumentu ve formě vhodné pro ekonomickou aplikaci. Věta 2.2. a 1 ) Jestliže elasticita funkce f je kladná v bodě x 0 I, tj. ɛ (f) (x 0 ) > 0, tak zvýšením (snížením) hodnoty argumentu z x 0 o 1%, vzroste (klesne) hodnota funkce f o ɛ (f) (x 0 ) %. a 2 ) Jestliže elasticita funkce f je kladná v každém bodě x I, tj. ɛ (f) (x) > 0, tak zvýšením (snížením) hodnoty argumentu z x o 1%, vzroste (klesne) hodnota funkce f o ɛ (f) (x) %. b 1 ) Jestliže elasticita funkce f je záporná v bodě x 0 I, tj. ɛ (f) (x 0 ) < 0, tak zvýšením (snížením) hodnoty argumentu z x 0 o 1%, klesne (vzroste) hodnota funkce f o ɛ (f) (x 0 ) %. b 2 ) Jestliže elasticita funkce f je záporná v každém bodě x I, tj. ɛ (f) (x) < 0, tak zvýšením (snížením) hodnoty argumentu z x 0 o 1%, klesne (vzroste) hodnota funkce f o ɛ (f) (x) %. Důkaz. Uvedená tvrzení bezprostředně plynou z definice 2.1 a jejího odvození v odstavci 2.1.
2 Elasticita funkce 12 2.2 Vybraná pravidla pro výpočet elasticity Vzhledem k tomu, že v definici 2.1 se vyskytuje derivace, lze odvodit pro výpočet elasticity funkce podobná pravidla, jak je známe pro výpočet derivací. Věta 2.3. Necht funkce f a g splňují na intervalu I předpoklady (P) a necht c R +. Potom platí následující vztahy: a) ɛ (cf) (x) xx0 ɛ (f) (x 0 ), b) ɛ (f g) (x) xx0 ɛ (f) (x 0 ) + ɛ (g) (x 0 ), c) je-li g (x 0 ) 0, pak ɛ ( ) f (x) ɛ (f) (x 0 ) ɛ (g) (x 0 ). g (x) xx 0 Důkaz. a) ɛ (cf) (x) xx0 cf (x) cf (x 0 ) lim x x 0 x x 0 cf (x 0 ) x 0 c lim x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0 cf (x 0 ) x 0 ɛ (f) (x 0 ) b) ɛ (f g) (x) xx0 f (x) g (x) f (x 0 ) g (x 0 ) lim x x 0 x x 0 f (x 0 ) g (x 0 ) x 0 f (x) g (x) f (x 0 ) g (x) + f (x 0 ) g (x) f (x 0 ) g (x 0 ) lim x x 0 x x 0 f (x 0 ) g (x 0 ) x 0 f (x) f (x 0 ) g (x) g (x 0 ) lim g (x) lim + lim f (x 0 ) lim x x 0 x x0 x x 0 x x0 x x0 x x 0 f (x 0 ) g (x 0 ) x 0 g (x 0) f (x 0 ) + f (x 0 ) g (x 0 ) f (x 0 ) g (x 0 ) x 0 f (x 0 ) f (x 0 ) x 0 + g (x 0 ) g (x 0 ) x 0 ɛ (f) (x 0 ) + ɛ (g) (x 0 )
2 Elasticita funkce 13 c) ɛ ( ) f (x) g (x) xx 0 lim x x 0 f (x) g (x) f (x 0) g (x 0 ) x x 0 f (x 0 ) g (x 0 ) x 0 f (x) g (x 0 ) f (x 0 ) g (x) lim x x 0 (g (x) g (x 0 )) (x x 0 ) f (x 0 ) g (x 0 ) x 0 f (x) g (x 0 ) f (x 0 ) g (x 0 ) + f (x 0 ) g (x 0 ) f (x 0 ) g (x) lim x x 0 (g (x) g (x 0 )) (x x 0 ) f (x 0 ) g (x 0 ) lim g (x 0 ) f (x) f (x 0) x x 0 x x 0 lim x x0 f (x 0 ) g (x) g (x 0) x x 0 lim g (x) g (x 0 ) x x 0 f (x 0 ) g (x 0 ) g (x 0 ) f (x 0 ) f (x 0 ) g (x 0 ) g 2 (x 0 ) f (x 0 ) g (x 0 ) x 0 x 0 x 0 g (x 0) f (x 0 ) x 0 g (x 0 ) f (x 0 ) f (x 0) g (x 0 ) x 0 g (x 0 ) f (x 0 ) ɛ (f) (x 0 ) ɛ (g) (x 0 ) Poznámka. Analogická pravidla pro elasticitu součtu a rozdílu funkcí mají podstatně komplikovanější tvar, např. pro ɛ (f + g) (x) xx0 za nezbytného předpokladu kladnosti ɛ(f) a ɛ(g) platí ɛ (f + g) (x) xx0 ɛ (f) (x 0 ) + ɛ (g) (x 0 ). Důkaz. ɛ (f + g) (x) xx0 f (x) + g (x) f (x 0 ) g (x 0 ) lim x x 0 x x 0 f (x 0 ) + g (x 0 ) x 0 f (x) f (x 0 ) g (x) g (x 0 ) lim + lim x x 0 x x 0 x x0 x x 0 f (x 0 ) + g (x 0 ) x 0 f (x 0 ) x 0 + g (x 0 ) x 0 f (x 0 ) + g (x 0 ) f (x 0 ) x 0 f (x 0 ) + g (x 0 ) + g (x 0 ) x 0 f (x 0 ) + g (x 0 ) f (x 0 ) x 0 + g (x 0 ) x 0 f (x 0 ) g (x 0 ) ɛ (f) (x 0 )+ɛ (g) (x 0 )
2 Elasticita funkce 14 2.3 Vybrané formule elasticity pro některé funkce Věta 2.4. Necht I R + a x 0 I je libovolný bod. Pak platí a) ɛ (c) (x) xx0 0, pro každé c R +, b) ɛ (x s ) (x) xx0 s, pro každé s R, c) ɛ (e x ) (x) xx0 x 0, d) ɛ (a x ) (x) xx0 x 0 ln a, pro každé a R +. A pro libovolné x 0 > 1 a a R + platí e) ɛ (ln x) (x) xx0 1 ln x 0, f) ɛ (log a x) (x) xx0 ln a log a x 0. Důkaz. V důkazu využijeme pravidla pro derivace příslušných funkcí, viz [2], str. 97-98. Bud x x 0 libovolné, pevně zvolené číslo vyhovující příslušným podmínkám, pak z definice derivace plyne: a) ɛ (c) (x 0 ) c c 0, b) c) d) e) f) ɛ (x s ) (x 0 ) (xs ) xx 0 x s 0 ɛ (e x ) (x 0 ) (ex ) xx 0 e x 0 ɛ (a x ) (x 0 ) (ax ) xx 0 a x 0 x 0 s xs 1 0 x s 0 x 0 s xs 0 x s 0 x 0 ex 0 e x 0 x 0 x 0, x 0 ax0 ln a a x 0 ɛ (ln x) (x 0 ) (ln x) xx 0 ln x 0 x 0 ɛ (log a x) (x 0 ) (log a x) xx 0 log a x 0 x 0 s, x 0 x 0 ln a, 1 x 0 x 0 1, ln x 0 ln x 0 1 x 0 ln a log a x 0 x 0 ln a log a x 0.
2 Elasticita funkce 15 2.4 Další výraz pro elasticitu Za předpokladu, že funkce je tvaru y αx β, α, β > 0, x I, můžeme při výpočtu elasticity využít logaritmické funkce. Poznámka. Uvedená rovnice je rovnicí poptávkové křivky (viz odstavec 3.1) a v některých situacích je výhodné využít právě logaritmické funkce k výpočtu elasticity poptávkové funkce. Nejprve logaritmujeme obě strany rovnice y αx β, dostáváme ln y ln αx β ln α β ln x. (5) Pokud zavedeme substituci ŷ ln y, ˆx ln x a ˆα ln α, můžeme rovnici (5) přepsat do tvaru ŷ ˆα βˆx. Z toho plyne což je elasticita dané funkce. dŷ dˆx β nebo d ln y d ln x β, Obecně tento vztah můžeme odvodit následovně d ln y dy 1 y d ln y dy y, a d ln x dx 1 x d ln x dx x. Po dosazení do rovnice d ln y d ln x dostáváme d ln y d ln x dy/y dx/x dy dx x y ɛ(αx β ).
2 Elasticita funkce 16 2.5 Celkové, mezní a průměrné veličiny Ekonomická teorie pracuje s veličinami celkovými, mezními a průměrnými. Níže uvedené definice a vlastnosti jsou odvozeny z ekonomických zdrojů, především [3], str. 248-252 a souvisí s aplikací těchto charakteristik v ekonomii. V následujících tvrzeních automaticky předpokládáme, že f je funkce splňující předpoklady (P). Definice 2.2. Celkovou veličinou funkce f bodě x 0 I rozumíme číslo T (f) (x 0 ) f (x 0 ). Funkce T (f)(x) pro x I nebo stručně T (f) se nazývá celková veličina funkce f. Poznámka. Celková veličina funkce f (v bodě x 0 ) je tedy sama funkce f (funkční hodnota funkce f v bodě x 0 ). Uvedený pojem je zaveden pro jeho přirozené používání v ekonomických aplikacích. Definice 2.3. Marginální, resp. mezní veličinou funkce f bodě x 0 I rozumíme číslo M (f) (x 0 ) f (x 0) x 0. Funkce M(f)(x) pro x I nebo stručně M(f) se nazývá mezní veličina funkce f. Věta 2.5. Pro mezní veličinu funkce f v bodě x 0 I platí lim M (f) (x 0) f (x 0 ). x 0 0 Pro mezní veličinu funkce f na intervalu I platí M (f) (x) f (x). Důkaz. Důkaz provedeme pro x 0 I, nebot důkaz pro každé x I je analogický. Označíme-li x 0 x x 0, pak platí lim M (f) (x f (x 0 ) f (x) f (x 0 ) 0) lim lim f (x 0 ). x 0 0 x 0 0 x 0 x 0 0 x x 0
2 Elasticita funkce 17 Hodnota mezní veličiny je dána směrnicí tečny ke grafu funkce v daném bodě a tedy platí následující věta o vztahu mezi celkovou a mezní veličinou. Poznámka. Vysvětlení pojmu směrnice tečny lze nalézt v [2], str. 87-89. Věta 2.6. a) Jestliže je celková veličina T (f) v bodě x 0 I rostoucí, pak je mezní veličina M(f) v bodě x 0 kladná, tj. M(f)(x 0 ) > 0. b) Jestliže je celková veličina T (f)(x) pro každé x I rostoucí, pak je mezní veličina M(f)(x) kladná na celém intervalu I, tj. M(f)(x) > 0. Analogická tvrzení platí pro klesající funkce. Důkaz. a) Bud x 0 I libovolná, pevně zvolená hodnota a T (f) v bodě x 0 rostoucí. Pak, podle definice 2.2 je f v bodě x 0 rostoucí a v souladu s teorií funkcí reálné proměnné a předpoklady (P), je f (x 0 ) > 0. Z věty 2.5 a v souladu s definicí 2.3 pak odtud plyne, že M(f)(x 0 ) > 0. b) Jestliže T (f)(x) roste v každém bodě x I, pak z části a) plyne tvrzení přímo. Věta 2.7. Jestliže celková veličina T (f) nabývá v bodě x 0 I lokálního extrému, pak se mezní veličina M(f) v bodě x 0 rovná nule, tj. M(f)(x 0 ) 0. Důkaz. Analogicky části a) důkazu věty 2.6 z předpokladů plyne, že sama funkce f má v bodě x 0 lokální extrém a v souladu s teorií funkcí jedné reálné proměnné je tento bod stacionárním bodem funkce f, tj. f (x 0 ) 0. Tvrzení plyne z věty 2.5. Poznámka. Definici a vlastnosti lokálních extrémů funkce lze nalézt v [2], str. 115-120. Definice 2.4. Průměrnou veličinou funkce f v bodě x 0 I rozumíme číslo A (f) (x 0 ) f (x 0) x 0. Funkce A(f)(x) pro x I nebo stručně A(f) se nazývá průměrná veličina funkce f. S použitím charakteristik marginální a průměrné veličiny můžeme vyjádřit koncept elasticity následujícím způsobem.
2 Elasticita funkce 18 Věta 2.8. Pro každé x 0 I platí Podobně pro každé x I platí ɛ (f) (x 0 ) ɛ (f) (x) M (f) (x 0 ) lim x 0 0 A (f) (x 0 ). M (f) (x) A (f) (x). Elasticita funkce f (v bodě x 0 ) je tedy poměr marginální a průměrné veličiny (v bodě x 0 ). Důkaz. Důkaz provedeme pro libovolné, pevně zvolené x 0 I, nebot důkaz tvrzení na intervalu I odtud bezprostředně plyne. Označíme-li x 0 x x 0, pak platí M (f) (x 0 ) lim x 0 0 A (f) (x 0 ) f (x 0 ) f (x 0 ) x 0 lim x 0 0 f (x 0 ) x 0 f (x 0 ) x 0 lim x 0 0 f (x 0 ) f (x 0 ) x 0 ɛ (f) (x 0 ). f (x) f (x 0 ) x x 0 f (x 0 ) x 0 Poznámka. Předchozí věta je rovněž v souladu s úvodem v odstavci 2.1, nebot ɛ f (x) f (x) x x f (x) x f (x) x M(f)(x) A(f)(x). Z věty 2.1 a s použitím charakteristik celkové, mezní a průměrné veličiny plynou následující důsledky. Důsledek. 1. Jestliže ɛ(f)(x) xx0 0, potom také M(f)(x) xx0 0 a bod x 0 je stacionárním bodem celkové veličiny (a tedy i funkce f). Tento bod je bodem extrému, jestliže ɛ(f)(x 0 ) mění znaménka, přičemž nabývá maxima, jestliže znaménko elasticity se mění z kladného na záporné a naopak nabývá minima, jestliže znaménko elasticity se mění ze záporného na kladné. 2. Jestliže ɛ(f)(x) xx0 > 0, potom také M(f)(x) xx0 > 0 a T (f) v bodě x 0 (a tedy i funkce f v bodě x 0 ) roste. 3. Jestliže ɛ(f)(x) xx0 < 0, potom také M(f)(x) xx0 < 0 a T (f) v bodě x 0 (a tedy i funkce f v bodě x 0 ) klesá.
3 Základní ekonomické pojmy 19 3 Základní ekonomické pojmy Než se začneme věnovat aplikaci elasticity v ekonomii, je nutné objasnit několik základních ekonomických pojmů, které s elasticitou úzce souvisí. Definice těchto pojmů jsou převzaty z literatury [1], [5] a [7]. 3.1 Poptávka Definice 3.1. Poptávka představuje souhrn zamýšlených koupí. Její velikost je dána poptávaným množstvím a cenou, za kterou jsou kupující ochotni kupovat. Rozlišujeme poptávku: celkovou (agregátní), která je určena celkovým objemem produkce, který chtějí kupující zakoupit a cenami, za které jsou ochotni koupit, individuální, která je poptávkou jediného kupujícího, dílčí (tržní), která je poptávkou všech kupujících po jednom výrobku. Je nutné odlišovat pojmy poptávka a poptávané množství, protože vyjadřují různé souvislosti. Poptávka vyjadřuje funkci spojující určitá poptávaná množství s určitými cenami. Poptávané množství tedy je číslo, zatímco poptávka je funkce. Z toho vyplývá, že změna poptávaného množství je vyvolána změnou ceny sledovaného statku, ale poptávka se přitom nemění. Naproti tomu změna poptávky může být vyvolána celou řadou jiných faktorů, mezi které patří zejména: změna disponibilního důchodu spotřebitele, změna cen ostatních statků, změna preferencí spotřebitelů, např. v důsledku změny módního trendu. Křivka poptávky Vztah mezi poptávaným množstvím a cenou je nepřímo úměrný. Křivka poptávky je klesající, vyjadřuje souvislost označovanou jako zákon klesající poptávky, kdy s rostoucí cenou klesá poptávané množství a naopak. Vysvětlení proč tomu tak je, poskytují následující dva efekty. Důchodový efekt říká, že spotřebitel při vyšší ceně kupuje méně statku, protože mu původní částka nestačí na nákup původního množství. Substituční efekt vyjadřuje, že spotřebitel při zvýšení ceny statku nakupuje méně tohoto statku, protože jej substituuje (nahrazuje) jinými statky. V případě, že poptávka odráží cenu jako funkci množství, pak hovoříme o inverzní poptávkové křivce. Pro každou úroveň poptávky po daném statku, inverzní křivka poptávky ukazuje, jaká by musela být cena tohoto statku, aby si spotřebitel zvolil právě tuto úroveň spotřeby.
3 Základní ekonomické pojmy 20 Matematicky křivku poptávky můžeme vyjádřit lineární funkcí Q a bp, b > 0. Hodnota a vyjadřuje poptávané množství při ceně P 0, a hodnota b dq vyjadřuje dp množství, o které se změní poptávka v důsledku změny ceny. Hodnotu b tak můžeme ztotožnit se směrnicí poptávkové funkce, která je přirozeně záporná. Jiný funkční tvar poptávky, který je často používán k vyjádření vztahu mezi cenou a poptávaným množstvím, je exponenciální funkce Q αp β, α, β > 0. Zvláštní případy poptávkové křivky Poptávková křivka může být v určitých situacích rostoucí funkcí, kdy s růstem ceny roste poptávané množství. To může nastat ve dvou případech: u tzv. ostentativních statků, někdy hovoříme také o snobském efektu či efektu módy. Je to situace, kdy lidé chtějí být viděni, jak nakupují dražší zboží. u tzv. Giffenových statků, v tomto případě hovoříme o Giffenově paradoxu. Giffenův paradox uvažujeme pouze u méněcenného statku (viz definice 3.2), který: tvoří podstatnou část výdajů spotřebitele, slouží k uspokojení základních potřeb, nelze nahradit substituty v odpovídajících cenových relacích. Růst ceny Giffenova statku podstatně snižuje reálný důchod spotřebitele a snižuje tak spotřebu ostatních statků. Giffenův paradox může nastat pouze pro určitý omezený cenový interval a v realitě se vyskytuje velmi vzácně. 3.2 Důchod spotřebitele a statky v ekonomii Poptávku jsme definovali jako souhrn zamýšlených koupí. Pokud však hovoříme o zamýšlených koupích, máme na mysli nejen to, že někdo chce koupit, ale že také má peněžní prostředky, za které může koupi uskutečnit. Jedná se o disponibilní důchod spotřebitelů, který představuje částku, kterou mohou spotřebitelé plně využít k nákupu zboží. Je to důchod, se kterým ve skutečnosti disponují. Na základě vztahu mezi disponibilním důchodem spotřebitele a poptávaným množstvím můžeme rozdělit statky následovně. Definice 3.2. Řekneme, že statek je: normální, jestliže s rostoucím disponibilním důchodem roste poptávané množství tohoto statku. V rámci normálních statků dále rozlišujeme mezi statkem: nezbytným, u kterého s rostoucím důchodem roste poptávané množství, ale pomalejším tempem, než důchod, luxusním, u kterého s rostoucím důchodem roste poptávané množství, a to rychleji, než důchod. méněcenný, v tomto případě s rostoucím důchodem klesá poptávané množství.
3 Základní ekonomické pojmy 21 Dále můžeme statky rozlišit podle toho, jaký mají vzájemný vztah. Definice 3.3. Řekneme, že statky jsou: substituty, jestliže se vzájemně nahrazují ve spotřebě. Při zvýšení (snížení) ceny jednoho statku dochází ke zvýšení (snížení) poptávky po druhém statku. komplementy, jestliže se vzájemně doplňují ve spotřebě. Při zvýšení (snížení) ceny jednoho statku dochází ke snížení (zvýšení) poptávky po druhém statku. lhostejné, jestliže jsou na sobě nezávislé. 3.3 Nabídka Definice 3.4. Nabídkou rozumíme souhrn zamýšlených prodejů, se kterými přicházejí výrobci na trh. Její velikost je určena objemem výstupu výroby a cenou, ze kterou jsou výrobci ochotni prodat nabízené množství zboží. Rozlišujeme nabídku: celkovou (agregátní), která je určena objemem výroby všech tržních producentů a cenami, za které jsou ochotni prodat, individuální, která představuje nabídku jednotlivého výrobce, dílčí (tržní), která je nabídkou jediného výrobku od různých výrobců. Tak jako v případě poptávky, musíme i u nabídky odlišovat pojmy nabízené množství a nabídka. Nabídka je funkce, která vyjadřuje závislost nabízeného množství na ceně. Změna ceny je příčinou změny nabízeného množství, dochází tedy k posunu podél nabídkové křivky. Pokud se však změní jiné okolnosti, může to změnit nabídku, tj. posunout nabídkovou křivku. Jedná se především o tyto okolnosti: změny v technologii, kterou firma používá, změny cen vstupů, očekávání výrobců, jiné mimoekonomické vlivy, např. počasí. Křivka nabídky Křivka nabídky roste vpravo nahoru. Její tvar vyjadřuje, že s rostoucí cenou roste nabízené množství. Tato souvislost je označována jako zákon rostoucí nabídky. Tento vztah můžeme matematicky vyjádřit lineární funkcí Q a + bp, kde hodnota a vyjadřuje nabízené množství při ceně P 0, a hodnota b dq vyjadřuje množství, dp o které se změní nabídka v důsledku změny ceny. Hodnota b tak představuje kladnou směrnici nabídkové funkce. Nabídku můžeme také vyjádřit jako exponenciální funkci Q αp β, α, β > 0.
4 Elasticita poptávkové funkce 22 4 Elasticita poptávkové funkce V případě poptávky nás bude zajímat její cenová, důchodová a křížová elasticita. Vysvětlení těchto pojmů je obsahem této kapitoly. V následujícím textu budeme používat označení, které je obvyklé v ekonomické literatuře. 4.1 Cenová elasticita poptávky V předchozí kapitole jsme vysvětlili, že existuje nepřímo úměrný vztah mezi změnou ceny a změnou poptávaného množství. Spotřebitelé však na cenové změny reagují různě, tedy s různou mírou citlivosti. Právě tento problém řeší cenová elasticita poptávky. Cenová elasticita poptávky (ɛ P D ) nám říká, o kolik procent se změní poptávané množství daného statku, jestliže se jeho cena změní o 1%. Oblouková cenová elasticita poptávky a její odvození Oblouková cenová elasticita poptávky se týká viditelných posunů po poptávkové křivce. Je to průměrná elasticita poptávky mezi dvěma body na poptávkové křivce. Mějme dva body (Q 1, P 1 ) a (Q 2, P 2 ) na poptávkové křivce. Průměrná procentuální změna ceny mezi těmito body je % P P 2 P 1 (P 2 + P 1 ) /2 100. A průměrná procentuální změna poptávaného množství mezi body je % Q Q 2 Q 1 (Q 2 + Q 1 ) /2 100. Při odvození postupujeme následovně % Q % P Q 2 Q 1 (Q 2 + Q 1 ) /2 100 P 2 P 1 (P 2 + P 1 ) /2 100 Q 2 Q 1 Q 2 + Q 1 P 2 P 1. (6) P 2 + P 1 Definice 4.1. Číslo na pravé straně rovnice (6) se nazývá koeficient obloukové cenové elasticity poptávky, tj. Q 2 Q 1 Q ɛ P D ( ) 2 + Q 1. P 2 P 1 P 2 + P 1 Poznámka. Vzhledem k nepřímo úměrnému vztahu mezi cenou a poptávaným množstvím je cenová elasticita poptávky záporné číslo. V ekonomické literatuře je obvyklé, že se před vzorec pro výpočet elasticity zavádí navíc znaménko minus a uvažujeme tak kladnou hodnotu elasticity.
4 Elasticita poptávkové funkce 23 Cenová elasticita poptávky v bodě a její odvození Pro cenovou elasticitu v bodě je charakteristické to, že jsou zde posuzovány nekonečně malé změny ceny a poptávaného množství statku. Pro odvození elasticity v bodě bereme limitu koeficientu obloukové elasticity a současně předpokládáme, že P 0 a pak i Q 0, tedy lim ( ) P 0 Q 2 Q 1 Q 2 + Q 1 P 2 P 1 P 2 + P 1 lim ( ) Q 2 Q 1 P1 ( ) dq P 0 P 2 P 1 Q 1 dp P1. (7) Q 1 Definice 4.2. Číslo na pravé straně rovnice (7) se nazývá koeficient cenové elasticity poptávky v bodě, tj. ɛ P D ( ) dq dp P Q. 4.1.1 Rozdělení poptávky podle koeficientu cenové elasticity Nyní uvedeme specifikaci poptávky podle koeficientu cenové elasticity, s ohledem na oba způsoby výpočtu. V dalším textu však budeme pro jednoduchost pracovat s kladnou hodnotou cenové elasticity poptávky, pokud nebude řečeno jinak. Definice 4.3. Řekneme, že poptávka je jednotkově elastická, jestliže ɛ P D 1, resp. ɛ P D 1. Procentní změna ceny tak vyvolá stejnou procentní změnu objemu poptávaného množství. neelastická, jestliže ɛ P D ( 1, 0), resp. ɛ P D (0, 1). Procentní změna ceny tak vyvolá menší procentní změnu objemu poptávaného množství. elastická, jestliže ɛ P D (, 1), resp. ɛ P D (1, ). Procentní změna ceny tak vyvolá větší procentní změnu objemu poptávaného množství. dokonale elastická, jestliže ɛ P D, resp. ɛ P D. Změny poptávaného množství jsou vyvolány jinými faktory, než cenou. Poptávka má tvar horizontály. dokonale neelastická, jestliže ɛ P D 0. Poptávané množství je konstantní, se změnou ceny se nemění. Taková poptávka má tvar vertikály. V případě, že uvažujeme výpočet elasticity bez přidaného znaménka minus, potom jestliže ɛ P D > 0, křivka poptávky je rostoucí funkcí. Jedná se o Giffenův paradox a jsou tedy poptávány méněcenné statky. Jestliže naopak ɛ P D 0, jsou poptávány normální statky. 4.1.2 Monotonie funkce a elasticita Elasticita poptávky se projeví také v grafickém vyjádření, a sice ve sklonu (též směrnici) křivky poptávky. Můžeme říci, že čím větší je sklon křivky poptávky, tím méně je poptávka elastická.
4 Elasticita poptávkové funkce 24 Musíme však zdůraznit, že sklon křivky poptávky není dán procentní změnou, ale absolutní změnou. Sklon funkce záleží na zvolených jednotkách, ve kterých měříme cenu a množství, ale elasticita je nezávislá na použitých jednotkách. Cenovou elasticitu poptávky můžeme spojovat, ne však zaměňovat, se sklonem křivky poptávky. U poptávek, které mají po celé délce konstantní sklon, se mění jejich cenová elasticita. Naopak u poptávky s proměnlivým sklonem se její cenová elasticita měnit nemusí. Na příkladu elasticity v bodě se o tom můžeme přesvědčit. Pro lineární tvar poptávkové funkce Q a bp, b > 0, dostáváme ɛ P D dq dp P Q b P Q, odkud vidíme, že sklon lineární poptávkové funkce je konstantní, ale její elasticita nikoliv. Pro funkci poptávky ve tvaru Q αp β, α, β > 0 platí opačný závěr, tj. mění se sklon funkce, ale její elasticita je konstantní. Uvažujme nejprve případ, pro který β 1, tj. Q α P ɛ P D αp 2 P Q 1 αp 1. αp 1 Vidíme, že elasticita je konstantní hodnota rovna 1 v každém bodě poptávkové funkce. Pro obecný tvar poptávkové funkce Q αp β dostaneme následující výsledek ɛ P D dq dp P Q αβp β 1 P Q Uvedených souvislostí si můžeme všimnout na obrázku 1. β αβp β. αp β P P єpd > 1 єpd 1 єpd < 1 єpd 1 D Q D Q Obrázek 1: Proměnlivá a konstantní elasticita poptávky Poznámka. Při kreslení křivky poptávky platí zásada, že cena P se nanáší na svislou a množství Q na vodorovnou osu a takto budou i osy označeny.
4 Elasticita poptávkové funkce 25 4.1.3 Cenová elasticita a celkový příjem firmy Celkový příjem firmy můžeme definovat jako součin ceny určitého statku a prodaného množství tohoto statku, tedy T R P Q. Bude nás zajímat, jaký význam má cenová elasticita pro firmu ve vztahu k jejímu celkovému příjmu. Předpokládejme, že došlo ke zvýšení ceny statku. Jaký to bude mít dopad na celkový příjem firmy? Obecně platí, že vyšší cena znamená vyšší příjem z každé prodané jednotky, současně ale klesá počet prodaných jednotek kvůli vyšší ceně. Který z těchto efektů převáží, závisí právě na cenové elasticitě poptávky. Budeme-li uvažovat změnu ceny na P + P a změnu množství na Q+ Q, dostaneme nový příjem T R T R (P + P ) (Q + Q) P Q + Q P + P Q + P Q. Odečtením T R od T R dostaneme T R Q P + P Q + P Q. (8) Pro malé hodnoty P a Q je možné poslední člen rovnice (8) neuvažovat, tedy Nyní vydělíme rovnici (9) výrazem P a získáme vztah T R Q P + P Q. (9) T R P Q + P Q P, který vyjadřuje míru změny příjmu připadajícího na cenovou změnu. Abychom zjistili, kdy je změna celkového příjmu firmy kladná při nárůstu ceny, je nutné řešit následující rovnici Q + P Q P > 0. Po úpravě dostaneme P Q Q < 1. (10) P Levá strana rovnice (10) je přibližně rovna ɛ P D, takže platí ɛ P D <1. Celkový příjem firmy se v případě nárůstu ceny zvýší tehdy, jestliže koeficient cenové elasticity poptávky je menší, než 1. Tedy v případě neelastické poptávky. Ke stejnému výsledku dospějeme také následujícím způsobem T R P Q + P Q ( P Q 1 + P Q Q ) Q (1 ɛ P D ). (11) P Také v rovnici (11) lze vidět, že je-li koeficient cenové elasticity menší, než 1, pak je podíl kladný. T R P
4 Elasticita poptávkové funkce 26 V souladu s předešlými výsledky platí následující definice o vztahu cenové elasticity poptávky a celkového příjmu firmy. Definice 4.4. V případě elastické poptávky platí, že pokles (růst) ceny vyvolá takový růst (pokles) objemu realizované produkce, že celkový příjem vzroste (klesne). V případě neelastické poptávky je pokles (růst) ceny doprovázen takovým zvýšením (snížením) realizované produkce, že celkový příjem klesne (vzroste). Pokud je poptávka jednotkově elastická, tak pokles (růst) ceny je doprovázen zvýšením (snížením) množství realizované produkce, ale celkový příjem se nezmění. Takže pokud chce firma efektivně zvýšit své tržby, měla by se zajímat o cenovou elasticitu poptávky statku, který produkuje. Předpokládejme, že má firma k dispozici dobrý odhad křivky poptávky po výrobku, který prodává a chce stanovit jeho cenu tak, že bude maximalizovat svůj zisk (rozdíl mezi výnosy a náklady). Potom by měla být cena tohoto výrobku stanovena na takové úrovni, která zajistí, aby poptávka po takovém výrobku byla elastická. V oblasti, kde je křivka poptávky neelastická, zvýšení ceny výrobku způsobí, že celkový příjem vzroste. Současně však klesne množství prodaných výrobků a musí se tak snížit výrobní náklady, resp. nemohou se zvýšit. Proto se zvyšuje celkový zisk firmy a z toho vyplývá, že pohyb v oblasti, kde je křivka poptávky neelastická, nemůže přinášet maximální zisk. 4.1.4 Cenová elasticita a mezní příjem firmy V této části se budeme zajímat o to, jak se změní příjem firmy v případě, kdy dojde ke změně množství určitého statku. Tato otázka je aktuální zejména v situacích, kdy uvažujeme produkční rozhodnutí firem. Mezní příjem představuje změnu celkového příjmu firmy v důsledku realizace dodatečné jednotky produkce. V předchozí části jsme odvodili, že pro malé změny ceny a množství je změna příjmu dána rovnicí (8). Jestliže vydělíme obě strany této rovnice výrazem Q, získáme vztah pro mezní příjem MR T R Q P + Q P Q. (12) Rovnici (12) lze upravit na následující vztah T R Q P ( 1 ( Q P )), P Q jehož druhý člen uvnitř závorky je přibližně reciproká hodnota elasticity 1 ɛ P D 1 P Q Q P Q P P Q.
4 Elasticita poptávkové funkce 27 Potom výraz pro mezní příjem dostane podobu T R Q P ( 1 1 ɛ P D To znamená, že je-li ɛ P D 1, mezní příjem je nulový a celkový příjem se v případě ( nárůstu ) produkce nezmění. Pokud by poptávka byla neelastická, potom bude výraz 1 1 ɛ P D a tedy také mezní příjem záporný. Uvedené výsledky jsou shrnuty v následující definici a znázorněny na obrázku 2. Definice 4.5. V případě elastické poptávky platí, že mezní příjem je kladný a pokles (růst) realizovaného množství způsobí pokles (růst) celkového příjmu. V případě neelastické poptávky platí, že mezní příjem je záporný a pokles (růst) realizovaného množství je doprovázen růstem (poklesem) celkového příjmu. V případě jednotkově elastické poptávky je mezní příjem nulový a celkový příjem dosahuje maxima. P ). єpd > 1 єpd 1 єpd < 1 MR D Q TR TRmax MR>0 MR<0 Obrázek 2: Vztah příjmů a elasticity Q
4 Elasticita poptávkové funkce 28 Příklad: Lafferova křivka Vztah elasticity a příjmů lze v ekonomii aplikovat také v oblasti politických zájmů, např. při úvahách, do jaké míry se změní daňový příjem, dojde-li ke změně daňové sazby. Křivka, která v ekonomii odráží vztah daňových sazeb a daňových příjmů se nazývá Lafferova křivka a je znázorněna na obrázku 3. Je-li daňová sazba nulová, také daňové příjmy jsou nulové. Je-li daňová sazba rovna 1, nikdo nebude mít zájem požadovat nebo nabízet uvažovaný statek, takže daňový příjem je také nulový. Na Lafferově křivce je vidět, že v případě dostatečně vysoké daňové sazby má její další zvyšování za následek snižování vybraných daní. Tzn. je-li překročena daňová sazba t, tak se zdanění ocitá v tzv. zakázané zóně a daňový příjem klesá. Výše daňové sazby se projevuje jako faktor utlumující ekonomickou aktivitu. daňový příjem maximální daňový příjem Obrázek 3: Lafferova křivka daňová sazba 4.1.5 Faktory ovlivňující cenovou elasticitu poptávky Nyní vysvětlíme, na čem cenová elasticita poptávky závisí. Mezi nejvýznamnější faktory, které ovlivňují cenovou elasticitu poptávky patří: Povaha potřeb, které statek uspokojuje. Elasticita poptávky po statcích nezbytných, tedy takových, které uspokojují základní životní potřeby, je nižší, než elasticita poptávky po luxusních statcích. Podíl výdajů na určitý statek v rozpočtu domácnosti. Čím je podíl vyšší, tím vyšší je elasticita poptávky po tomto statku. Existence a dostupnost blízkých substitutů. Čím dostupnější jsou substituty, tím je elasticita poptávky vyšší. Vymezení trhu. Úzce vymezené trhy mají více substitutů, a tedy elastičtější poptávku. Časový horizont. S prodlužováním časového horizontu se zvyšuje elasticita poptávky.
4 Elasticita poptávkové funkce 29 4.1.6 Řešené příklady Příklad 4.1. Funkce daná vztahem P 500 50Q vyjadřuje poptávku po oceli, kde Q představuje poptávané množství oceli měřené v tunách a P je cena oceli vyjádřená v dolarech za tunu. Původní úroveň cenové hladiny je P 1 100$ a nová cena P 2 200$. Vypočítejte cenovou obloukovou elasticitu poptávky mezi body (Q 1, P 1 ) a (Q 2, P 2 ). Dále konstatujte, o jaký typ poptávky se jedná a co byste doporučili producentovi oceli, jestliže chce zvýšit své tržby a jeho prodejní cena oceli je P 1 100$? Řešení. Nejprve vyjádříme Q jako funkci P, po úpravě dostaneme Q 10 0, 02P. Dále dopočítáme množství Q 1 a Q 2 příslušející cenám P 1 a P 2 Q 1 10 0, 02P 1 8 a Q 2 10 0, 02P 2 6. Máme tedy body (Q 1, P 1 ) (8, 100) a (Q 2, P 2 ) (6, 200) a budeme počítat elasticitu mezi těmito body podle definice 4.1 ɛ P D Q 2 Q 1 Q 2 + Q 1 : P 2 P 1 P 2 + P 1 2 14 : 100 300 3 7. 0, 429. Koeficient cenové obloukové poptávky po oceli je roven přibližně 0, 429, což je hodnota patřící do intervalu (0, 1) a proto se podle definice 4.3 jedná o neelastickou poptávku. Jestliže chce producent oceli zvýšit své tržby, pak podle definice 4.4 by měl zvýšit cenu oceli, nebot zvýšení ceny vyvolá pokles poptávaného množství, který však u neelastické poptávky nebude nijak dramatický a celkové tržby tak vzrostou. Graf poptávky po oceli můžeme vidět na obrázku 4. P 500 Q10-0,02P 200 100 (Q2, P2) (Q1, P1) 6 8 10 Q Obrázek 4: Poptávka po oceli
4 Elasticita poptávkové funkce 30 Příklad 4.2. Vypočítejte cenovou elasticitu poptávkové funkce Q 60 3P, při ceně P 12. Pro jaké hodnoty ceny je poptávka elastická a pro jaké neelastická? Řešení. Hodnotu cenové elasticity v bodě určíme podle definice 4.2 ɛ P D dq dp P Q 3P Q 3P 60 3P 36 24 1, 5. K určení, pro jaké hodnoty ceny je poptávka elastická, resp. neelastická, využijeme definice 4.3. Pro ɛ P D 1 máme 3P 60 3P 1 P 10, takže poptávka je jednotkově elastická při ceně P 10. Dále pro ɛ P D 0 máme a pro ɛ P D 3P 60 3P 0 P 0 3P 60 3P P 20. Můžeme tedy říci, že poptávka je neelastická pro P 0, 10), přičemž při ceně P 0 je dokonale neelastická. A poptávka je elastická pro P (10, 20, přičemž při ceně P 20 je dokonale neelastická. Graf poptávky můžeme vidět na obrázku 5. P 20 Q60-3P єpd > 1 10 єpd 1 єpd < 1 30 60 Q Obrázek 5: Poptávka a její cenová elasticita
4 Elasticita poptávkové funkce 31 4.2 Důchodová elasticita poptávky Nyní se budeme zabývat tím, jak změna disponibilního důchodu spotřebitele ovlivní poptávané množství určitého statku. Důchodová elasticita poptávky (ɛ ID ) nám říká, o kolik procent se změní poptávané množství daného statku, jestliže se změní disponibilní důchod spotřebitele o1%. Vztah pro její výpočet lze odvodit analogicky, jako v případě cenové elasticity poptávky. Mějme tedy Q 1, představující původně poptávané množství, kterému odpovídá původní úroveň disponibilního důchodu I 1 a Q 2, představující nově poptávané množství s odpovídající úrovní disponibilního důchodu I 2. Definice 4.6. Koeficient obloukové důchodové elasticity poptávky je roven ɛ ID Q 2 Q 1 Q 2 + Q 1. I 2 I 1 I 2 + I 1 Definice 4.7. Koeficient důchodové elasticity poptávky v bodě je roven ɛ ID dq di I Q. Důchodová elasticita poptávky má vypovídací schopnost, která spočívá v určení charakteru statků. Definice 4.8. Řekneme, že statek je: normální, jestliže ɛ ID > 0, nezbytný, jestliže 0 < ɛ ID < 1, luxusní, jestliže ɛ ID > 1, méněcenný, jestliže ɛ ID < 0. Dále platí, že součet důchodových elasticit všech spotřebovávaných statků vynásobených jejich podílem na důchodu spotřebitele je roven jedné. Nakupuje-li tedy spotřebitel luxusní statek, nutně musí nakupovat i statek nezbytný nebo méněcenný. Uvažujme pro jednoduchost dva statky X a Y. Dále předpokládáme, že veškerý disponibilní důchod spotřebitele je vynakládán na nákup těchto statků, resp. že spotřebitel nevytváří úspory. Označme P X jako cenu statku X a P Y cenu statku Y. Podobně Q X množství statku X a Q Y množství statku Y. Potom platí Rovnici (13) zderivujeme podle proměnné I a dostáváme P X Q X + P Y Q Y I. (13) P X dq X di + P Y dq Y di 1. (14)
4 Elasticita poptávkové funkce 32 Rovnici (14) lze upravit na tvar a tedy P X Q X I dq X di I + P Y Q Y Q X I dq Y di I 1. Q Y kde výrazy P X Q X I spotřebitele. P X Q X I a P Y Q Y I ɛ ID statku X + P Y Q Y I ɛ ID statku Y 1, představují podíl statků X a Y na disponibilním důchodu Význam důchodové elasticity tedy můžeme shrnout následovně. Může pomoci stanovit, které zboží se má vyrábět nebo skladovat, např. při růstu ekonomiky by se firmy mohly chtít vyhnout méněcennému zboží. Při růstu ekonomiky, a tím růstu příjmů, může pomoci firmám při plánování výroby a tím i počtu pracovníků. Může pomoci firmám odhadnout potenciální změny poptávky, např. roste-li v zahraničí příjem, lze uvažovat o expanzi na nové trhy. Příklad 4.3. Hodnota důchodové elasticity poptávky je ɛ ID 1, 5. Disponibilní důchod spotřebitele vzrostl o 20%, jak se změní poptávané množství statku? Řešení. Při výpočtu využijeme faktu, že důchodová elasticita představuje poměr procentní změny poptávaného množství vzhledem k procentní změně důchodu, tedy ɛ ID % Q % I Poptávané množství statku vzrostlo o 30%. 1, 5 % Q 20 % Q 30. Příklad 4.4. Individuální poptávka spotřebitele ve tvaru Q 10000 3P + 0, 02I vyjadřuje poptávku po statku X. Cena tohoto statku je P 1500 a důchod spotřebitele I 15000. Vypočítejte hodnotu koeficientu bodové důchodové elasticity poptávky a určete vlastnost statku X. Řešení. Při výpočtu použijeme definici 4.7 ɛ ID dq di I Q 0, 02I 10000 3P + 0, 02I. 0, 052. Koeficient bodové důchodové elasticity poptávky je přibližně roven 0, 052 a podle definice 4.8 se jedná o nezbytný statek.
4 Elasticita poptávkové funkce 33 4.3 Křížová elasticita poptávky Posledním typem elasticity poptávkové funkce je křížová elasticita, která vyjadřuje citlivost reakce spotřebitele na změnu ceny jiného statku. Křížová elasticita poptávky (ɛ CD ) nám říká, o kolik procent se změní poptávané množství statku X, jestliže se cena statku Y změní o 1%. Koeficient křížové elasticity poptávky lze opět snadno odvodit. Mějme P Y 1 představující cenu statku Y, kterému odpovídá poptávané množství statku X, Q X1, vše před změnou. A P Y 2 s Q X2 představující cenu statku Y a odpovídající poptávané množství statku X po změně. Definice 4.9. Koeficient obloukové křížové elasticity poptávky je roven ɛ CD Q X2 Q X1 Q X2 + Q X1. P Y 2 + P Y 1 P Y 2 + P Y 1 Definice 4.10. Koeficient křížové elasticity poptávky v bodě je roven ɛ CD dq X dp Y PY Q X. Podle koeficientu křížové elasticity poptávky můžeme usuzovat na vztah mezi statkem X a Y. Definice 4.11. Řekneme, že statky jsou: substituty, jestliže ɛ CD > 0, komplementy, jestliže ɛ CD < 0, na sobě nezávislé, jestliže ɛ CD 0. Význam křížové elasticity poptávky spočívá v tom, že firmy mohou odhadnout vliv snížení ceny konkurenčních výrobků na poptávku po svých výrobcích. Stejně tak mohou odhadnout dopad snížení ceny komplementárního výrobku na poptávku po svých výrobcích, např. dojde-li ke snížení ceny počítačů, o kolik se zvýší poptávka po programovém vybavení. Příklad 4.5. Individuální poptávka po statku X má tvar Q X 100 3P X +5P Y +0, 03I, přičemž Q X a P X 15 představují poptávané množství a cenu statku X, P Y 10 je cena statku Y a I 1000 je disponibilní důchod spotřebitele. Určete křížovou elasticitu poptávky spotřebitele a dále, o jaké statky se jedná. Řešení. K výpočtu použijeme definici 4.10 ɛ CD dq X dp Y PY Q X 5P Y 100 3P X + 5P Y + 0, 03I. 0, 37. Koeficient bodové křížové elasticity poptávky je přibližně roven 0, 37 a můžeme říci, že podle definice 4.11 jsou statky X a Y substituty.
4 Elasticita poptávkové funkce 34 4.4 Vztah mezi elasticitami Pro analýzu vztahů mezi elasticitami poptávky, tj. cenovou, důchodovou a křížovou, je důležitý jejich součet. Poptávková funkce je matematicky homogenní funkcí nultého stupně, což v ekonomii znamená, že při stejném zvýšení všech cen i důchodu spotřebitele se poptávka nezmění. V tomto odstavci budeme pracovat s původním vzorcem pro výpočet cenové elasticity poptávky, tedy bez přidaného znaménka minus. Předpokládejme, že poptávka po statku X je ovlivněna pouze cenami statků X a Y, tj. P X a P Y a disponibilním důchodem spotřebitele I, pak součet elasticit je nulový. Při odvození vycházíme z uvedeného předpokladu a tedy platí Q X P X + Q X P X I Rovnici (15) vydělíme proměnnou Q X Q X PX + Q X P X Q X I čímž získáme součet elasticit v bodě a tedy platí I + Q X P Y P Y 0. (15) I Q X + Q X P Y ɛ P D + ɛ ID + ɛ CD 0. PY Q X 0, Příklad 4.6. Je dána individuální poptávka ve tvaru Q X 30 2P X + 3P Y + 0, 004I. Q X představuje poptávané množství statku X. Dále cena tohoto statku je P X 50, cena alternativního zboží je P Y 20 a disponibilní důchod spotřebitele je I 10000. Ukažte, že součet cenové, důchodové a křížové elasticity je nulový a výsledky interpretujte. Řešení. Opět budeme postupovat podle příslušných definic koeficientů elasticit v bodě, počítejme postupně ɛ P D dq X dp X PX Q X ɛ ID dq X di ɛ CD dq X dp Y I Q X 2P X 30 2P X + 3P Y + 0, 004I 10 3 PY Q X. 3, 333 0, 004I 30 2P X + 3P Y + 0, 004I 4. 1, 333 3 3P Y 30 2P X + 3P Y + 0, 004I 6 3 2. Lze snadno vidět, že ɛ P D + ɛ ID + ɛ CD 0. Dále můžeme říci, že poptávka je cenově elastická, uvedené statky jsou luxusní a současně substituty. Tyto výsledky jsou také v souladu s odstavcem 4.1.5, ve kterém se říká, že cenová elasticita poptávky po statku, který má dostupné substituty, je více elastická, než poptávka po statku, který substituty nemá. A také, že cenová elasticita poptávky po luxusním statku je vyšší, než po statku nezbytném.
5 Elasticita nabídkové funkce 35 5 Elasticita nabídkové funkce U nabídkové funkce nás bude zajímat její cenová elasticita. 5.1 Cenová elasticita nabídky Vztah mezi cenou a nabízeným množstvím je přímo úměrný a to, s jakou intenzitou reagují firmy na cenové změny, vyjadřuje cenová elasticita nabídky. Cenová elasticita nabídky (ɛ P S ) nám říká, o kolik procent se změní nabízené množství daného statku, jestliže se jeho cena změní o 1%. Vztahy pro výpočet obloukové elasticity i elasticity v bodě jsou podobné, jako v případě poptávky, uvažujeme však nabízené množství. Dále platí, že hodnota cenové elasticity nabídky je kladná, vzhledem k přímo úměrnému vztahu mezi cenou a nabízeným množstvím. Platí tedy následující definice. Definice 5.1. Koeficient obloukové cenové elasticity nabídky je roven ɛ P S Q 2 Q 1 Q 2 + Q 1. P 2 P 1 P 2 + P 1 Definice 5.2. Koeficient cenové elasticity nabídky v bodě je roven ɛ P S dq dp P Q. Nabídku můžeme podle hodnoty koeficientu cenové elasticity specifikovat následovně. Definice 5.3. Řekneme, že nabídka je jednotkově elastická, jestliže ɛ P S 1, neelastická, jestliže ɛ P S (0, 1), elastická, jestliže ɛ P S (1, ), dokonale elastická, jestliže ɛ P S, dokonale neelastická, jestliže ɛ P S 0. Podobně jako v případě poptávky se můžeme zabývat vztahem mezi monotonií funkce a její elasticitou také u nabídky. Opět platí, že u lineární funkce nabídky se mění její elasticita, ale sklon zůstává konstantní a u funkce nabídky v exponenciálním tvaru dostáváme opačný výsledek. Cenovou elasticitu nabídky ovlivňuje především časový horizont. V dlouhém období je nabídka elastičtější.