14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce

Transkript

1 . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojm rostoucí, klesající a konstantní používáme k popisu chování funkce na nějakém intervalu (po kterém se pohbujeme zleva doprava, jak je přirozené). Intuitivní představu těchto pojmů si každý udělá z Obrázku.. Obr..: Rostoucí, klesající a konstantní funkce Nní tto pojm definujme precizněji a definici ilustrujme na Obrázku.. Definice.. Nechť funkce = f(x) je definovaná na nějakém intervalu I. Nechť x, x jsou hodnot z tohoto intervalu. Potom řekneme, že a) f(x) je rostoucí na intervalu I, jestliže pro každé x < x platí f(x ) < f(x ). b) f(x) je klesající na intervalu I, jestliže pro každé x < x platí f(x ) > f(x ). c) f(x) je konstantní na intervalu I, jestliže pro libovolné x, x platí f(x ) = f(x ). Obr..: Růst a klesání podle definice Poznámka.. Nechť funkce = f(x) je definovaná na nějakém intervalu I. Nechť x, x jsou hodnot z tohoto intervalu. Potom řekneme, že a) f(x) je neklesající na intervalu I, jestliže pro každé x < x platí f(x ) f(x ). b) f(x) je nerostoucí na intervalu I, jestliže pro každé x < x platí f(x ) f(x ). ÚM FSI VUT v Brně 59

2 . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text Podívejme se na funkci rostoucí, klesající a konstantní z hlediska derivací. Konkrétně nás budou zajímat znaménka derivací v bodech funkce. Hodnota derivace funkce = f(x) v bodě x 0 udává směrnici tečn ke grafu funkce = f(x) v bodě x 0. Názorně je situace uvedena na Obrázku., a proto nás nepřekvapí následující věta. Věta.. Nechť = f(x) je funkce spojitá na uzavřeném intervalu a, b a diferencovatelná na otevřeném intervalu (a, b). a) Je-li f (x) > 0 pro všechna x (a, b), potom je f(x) rostoucí na a, b. a) Je-li f (x) < 0 pro všechna x (a, b), potom je f(x) klesající na a, b. a) Je-li f (x) = 0 pro všechna x (a, b), potom je f(x) konstantní na a, b. Obr..: Růst a klesání znaménka derivací Poznámka.. Směrnice přímk = kx + q (tj. číslo k) je definována jako tangenta úhlu α, který tato přímka svírá s kladným směrem os x. Hodnotu měřenou proti směru otáčení hodinových ručiček považujeme za kladnou, hodnotu měřenou po směru otáčení hodinových ručiček považujeme za zápornou. Tak například hodnot 0 o a 50 o udávají směr stejné přímk. Podívejte se na příklad na Obrázku.. Obr..: Směrnice přímk Příklad.5. Určete interval, ve kterých jsou následující funkce rostoucí, a ve kterých jsou klesající. Namalujte nejprve obrázek, z něj včtěte řešení a výsledek potvrďte výpočtem. a) f(x) = x x +, b) f(x) = x. ÚM FSI VUT v Brně 60

3 . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text Řešení. a) Z grafu funkce f(x) na Obrázku.5 vidíme, že funkce je klesající pro x a rostoucí pro x. Pro určení řešení výpočtem potřebujeme derivaci funkce f(x), tj. f (x) = x = (x ). Odtud vplývá, že f (x) < 0 pro < x <, a proto podle Vět. je funkce klesající na (,. f (x) > 0 pro < x <, a proto je funkce rostoucí na, ). b) Z grafu funkce f(x) na Obrázku. vidíme, že funkce je rostoucí pro všechna x (, ). Spočtěme derivaci funkce f(x), tj. f (x) = x. Odtud vplývá, že f (x) > 0 pro < x < 0, f (x) > 0 pro 0 < x <, a proto je funkce rostoucí na (, ) x Obr..5: f(x) = x x + 0 x Obr..6: f(x) = x Příklad.6. a) Za pomoci grafu (viz Obrázek.6) funkce f(x) = x + x x + odhadněte, ve kterých intervalech je funkce rostoucí a kd klesající. b) Užitím Vět. potvrďte váš odhad. Řešení. a) Z grafu funkce f(x) na Obrázku.6 vidíme, že funkce je klesající pro x, rostoucí pro x 0, klesající pro 0 x a rostoucí pro x x Obr..7: f(x) = x + x x + ÚM FSI VUT v Brně 6

4 . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text b) Derivací funkčního předpisu dostáváme f (x) = x + x x = x(x + x ) = x(x + )(x ). Analzujme nní znaménka jednotlivých členů (tj. jednotlivých závorek ) a odtud odvoďme znaménko pro f (x). interval (x)(x + )(x ) znaménko f (x) závěr x < ( )( )( ) f(x) je na (, klesající < x < 0 ( )(+)( ) + f(x) je na, 0 rostoucí 0 < x < (+)(+)( ) f(x) je na 0, klesající x > (+)(+)(+) + f(x) je na, ) rostoucí B. Lokální extrém funkce Definice.7. Řekneme, že funkce f má v bodě x 0 R lokální maximum (resp. lokální minimum) právě kdž existuje rzí okolí O(x 0 ) {x 0 } takové, že O(x 0 ) {x 0 } D(f) a zároveň pro x O(x 0 ) {x 0 } platí f(x) f(x 0 ), resp. f(x) f(x 0 ). Analogick definujeme ostré lokální maximum, pro které platí f(x) < f(x 0 ) a ostré lokální minimum, pro které platí f(x) > f(x 0 ). Definice.8. Nechť funkce f má v bodě x 0 R derivaci f (x 0 ). Bod, pro které platí f (x 0 ) = 0 nazveme stacionární bod. Jinými slov můžeme říci, že stacionární bod jsou bod, podezřelé z etrému. Lokální extrém v nich nasat může, ale také nemusí. Blo b jistě nepraktické, kdbchom lokální extrém všetřovali pomocí funkčních hodnot v jejich rzím okolí. Přesto je to možné, pokud si uvědomíme vazbu na růst a klesání funkce a tím pádem i na znaménko první derivace (tj. sgnf (x)). Velký pozor si ovšem musíme dát na bod, ve kterých první derivace neexistuje. I to jsou potenciální adepti na extrém. C. Konvexní a konkávní funkce Znaménko derivace funkce f(x) nám prozradí, kde je graf funkce rostoucí a kde klesající. Ovšem nic nám neřekne o způsobu zakřivení. Podívejme se například na Obrázek.8. Graf je rostoucí vlevo i vpravo od vznačeného bodu. Ovšem vlevo leží nad tečnou a vpravo pod tečnou sestrojenou v tomto bodě. Obr..8: Konvexní nad tečnou, konkávní pod tečnou Definice.9. Leží-li graf funkce f(x) na nějakém okolí bodu B nad tečnou sestrojenou v tomto bodě, řekneme, že f(x) je konvexní v bodě B. Leží-li graf funkce f(x) pod tečnou, řekneme, že f(x) je konkávní v bodě B. ÚM FSI VUT v Brně 6

5 . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text Potřebujeme ovšem nějaký spolehlivý nástroj, který lze snadno použít při výpočtech. Ten nám dává následující věta. Věta.0. Nechť je funkce f(x) dvakrát diferencovatelná na nějakém intervalu I. a) Je-li f (x) > 0 na I, pak je f(x) konvexní na intervalu I. b) Je-li f (x) < 0 na I, pak je f(x) konkávní na intervalu I. Příklad.. Najděte interval, na kterých jsou funkce konvexní, a na kterých jsou konkávní. a) f(x) = x x +, b) f(x) = x, c) f(x) = x x +. Řešení. a) Výpočtem prvních dvou derivací získáme f (x) = x a f (x) =. Vzhledem k tomu, že f (x) > 0 pro všechna x, je funkce f(x) konvexní na (, ). To souhlasí se situací na Obrázku x Obr..9: f(x) = x x + 0 x Obr..0: f(x) = x b) Výpočtem prvních dvou derivací získáme f (x) = x a f (x) = 6x. Vidíme, že f (x) < 0 pro x < 0 a f (x) > 0 pro x > 0. Ted funkce f(x) je konkávní na (, 0 a konvexní na 0, ). To souhlasí se situací na Obrázku.. c) Výpočtem prvních dvou derivací získáme f (x) = x 6x a f (x) = 6x 6 = 6(x ). Vidíme, že f (x) < 0 pro x > a f (x) > 0 pro x <. Ted funkce f(x) je konkávní na (, a konvexní na, ). To souhlasí se situací na Obrázku.. 0 x Obr..: f(x) = x x + ÚM FSI VUT v Brně 6

6 . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text Věta.. Nechť x 0 je stacionární bod funkce f(x).. Platí-li f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) > 0, pak je v bodě x 0 ostré lokální minimum.. Platí-li f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) < 0, pak je v bodě x 0 ostré lokální maximum. D. Globální (absolutní) extrém funkce Definice.. Nechť f(x) je funkce a M D(f). Jestliže existuje bod x 0 M tak, že pro všechna x M platí f(x) f(x 0 ) (resp. f(x) f(x 0 )), pak řekneme, že funkce f(x) nabývá v bodě x 0 globálního maxima (resp. globálního minima) na množině M. Někd se místo pojmu globální minimum nebo maximum používá pojem absolutní minimum nebo maximum. Věta.. Je-li f(x) spojitá na a, b, pak na a, b nabývá globálních extrémů a to buď v bodech lokálních extrémů nebo v krajních bodech intervalu. Poznámka.5. Při všetřování globálních extrémů na uzavřeném intervalu se postupuje tak, že všetříme nejprve lokální extrém a určíme i jejich funkční hodnot. Tto funkční hodnot pak porovnáme s funkčními hodnotami v krajních bodech intervalu. Nejvšší funkční hodnota určí bod, ve kterém nastává globální maximum a nejnižší funkční hodnota určí bod, ve kterém nastává globální minimum. Pozor, globální extrém může nastat současně ve více bodech. E. Inflexní bod Bodům, ve kterých graf přechází z konvexního na konkávní a naopak, budeme věnovat zvláštní pozornost. Definice.6. Přechází-li graf spojité funkce f(x) v bodě B = [x 0, f(x 0 )] z jedné stran tečn na druhou, říkáme, že f(x) má v bodě B (tj. pro x 0 ) inflexní bod. Viz Obrázek.. Obr..: Inflexní bod podle definice Příklad.7. Například funkce f(x) = x má inflexní bod pro x = 0, tj. v bodě [0, 0] (viz Obrázek.). Funkce f(x) = x x + má inflexní bod pro x =, tj. v bodě [, ] (viz Obrázek.). Funkce f(x) = x x + nemá žádné inflexní bod (viz Obrázek.5). ÚM FSI VUT v Brně 6

7 . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text 0 x Obr..: f(x) = x 0 x Obr..: f(x) = x x x Obr..5: f(x) = x x x Obr..6: f(x) = x + x x + Příklad.8. Použijte Obrázek.6 k hrubému odhadu souřadnic inflexních bodů funkce f(x) = x + x x + a zkontrolujte své odhad výpočtem. Řešení. Graf přechází z konvexního na konkávní někde mezi a, řekněme zhruba pro x =, 5 a z konkávního na konvexní někde mezi 0 a, řekněme pro x = 0, 5. Pro přesný výpočet inflexního bodu potřebujeme druhou derivaci funkce f(x). f (x) = x + x x a f (x) = 6x + x = (x + x ). Položíme druhou derivaci rovnu nule, tj. x + x = 0. A zjistíme bod, kde se mění funkce z konvexní na konkávní, nebo naopak. To nastává pro x = 7, a pro x = + 7 0, 55. Pro úplnost výpočet doplníme tabulkou. interval znaménko f (x) závěr x < 7 + f(x) je na (, 7 konvexní 7 < x < + 7 f(x) je na 7, + 7 konkávní x > f(x) je na + 7, ) konvexní ÚM FSI VUT v Brně 65

8 . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text Příklad.9. Najděte inflexní bod funkce f(x) = sin x na intervalu 0, π. Na závěr výsledk porovnejte s grafem Řešení. Výpočtem prvních dvou derivací obdržíme f (x) = cos x a f (x) = sin(x). Ted f (x) < 0 pro 0 < x < π a f (x) > 0 pro π < x < π. Což implikuje, že graf je konkávní pro 0 < x < π a konvexní pro π < x < π, a ted inflexní bod je pro x = π,, tj. v bodě [π, 0]. To souhlasí s Obrázkem x Obr..7: f(x) = sin x, 0 x π 0 x Obr..8: f(x) = x Poznámka.0. V předchozích příkladech inflexní bod funkce f(x) splňoval podmínku f (x) = 0. Pokaždé však z f (x) = 0 neplne, že b v daném bodě musel být inflexní bod. Ukažme si to na následujícím příkladu. Příklad.. Najděte inflexní bod (pokud vůbec existuje) funkce f(x) = x. Řešení. Výpočtem prvních dvou derivací obdržíme f (x) = x a f (x) = x. Ted f (x) > 0 pro každé x (, ), proto je funkce konvexní na (, ) a tudíž nemá žádné inflexní bod. Upozorněme na skutečnost, že pro x = 0 sice platí, že f (x) = 0, ale o inflexní bod nejde, viz Obrázek.8. Dosud jsme o inflexních bodech mluvili jen v souvislosti se změnou funkce z konvexní ne konkávní a naopak. Uvědomme si, že inflexní bod jsou bod na křivce, ve kterých se mění směrnice tečen. Je-li funkce konvexní, směrnice, tečen narůstá a je-li konkávní, tak směrnice tečen klesá. (Viz Obrázek.9.) Ukažme si to na příkladu z fzik. Obr..9: Konvexní a konkávní podle směrnic tečen ÚM FSI VUT v Brně 66

9 . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text Příklad.. Předpokládejme, že voda je nalitá do lahve, která má tvar jako na Obrázku.0 a její objem narůstá konstantní rchlostí. Pozorujme, jak při této rchlosti narůstá výška hladin vzhledem k času t. Zpočátku se bude výška hladin zvšovat pomalu, protože láhev má širokou podstavu. Se zužováním láhve se bude výška hladin zvšovat rchleji až do nejužšího místa, kterým je hrdlo. Od té chvíle se bude výška hladin zvšovat pomaleji, protože se láhev opět rozšiřuje. Tudíž hrdlo je bodem, ve kterém se mění rchlost změn výšk hladin v závislosti na čase t z rostoucí na klesající. Obr..0: Výška hladin v láhvi v závislosti na čase Při všetřování průběhu funkce je třeba mít v ruce snadný rozhodovací aparát. Tím je následující věta. Věta.. Je-li f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) 0, pak je x 0 inflexní bod. Poznamenejme, že inflexní bod může funkce f(x) mít buď v bodech, kde f (x 0 ) = 0 nebo v bodech, kde f (x) neexistuje. F. Asmptot Názorně si pod pojmem asmptota představujeme přímku, ke které se graf funkce f(x) nekonečně blíží. Při bližším pohledu si uvědomíme, že tto přímk můžeme rozdělit na dva případ:. Buď přímka, která je asptotou směrnici nemá (např. asmptot funkce f(x) = tg x).. Nebo přímka asmptotu má (například u hperbol). Poznámka.. Přímka, která směrnici nemá (tj. přímka bez směrnice) má rovnici x = x 0, kde x 0 R. Graf přímk bez směrnice je přímka kolmá k ose x (tzn. je rovnoběžná s osou ). Definice.5. Přímka x = x 0 se nazývá asmptota bez směrnice právě kdž funkce f(x) má nevlastní limitu (tj. ± ) v bodě x 0 zleva nebo zprava. Poznámka.6. Bod na ose x, které jsou podezřelé z toho, že jimi prochází asmptota bez směrnice jsou bod vřazené z definičního oboru D(f). Například je-li pro nějakou funkce f(x) definičním oborem D(f) = R { }, pak při všetřování asmptot bez směrnice počítáme tto dvě jednostranné limi lim f(x) =..., x + lim f(x) =... x Pokud alespoň jedna z nich vjde + nebo, pak je přímka x = asmptotou bez směrnice. ÚM FSI VUT v Brně 67

10 . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text Poznámka.7. Asmptot bez směrnice může být nekonečně mnoho, viz graf funkce f(x) = tg x. Definice.8. Nechť u je přímka, která není rovnoběžná s osou. Nechť d(x) značí vzdálenost bodu [x, f(x)] od této přímk. Řekneme, že přímka u je asmptota se směrnicí právě kdž d(x) = 0 nebo lim d(x) = 0. x lim x Poznámka.9. Libovolná funkce f(x) může mít maximálně dvě asmptot se směrnicí. Při všetřování asmptot se směrnicí u funkce f(x) hledáme ve skutečnosti přímku = kx+q. Při výpočtu směrnice a posunutí vužijeme následující tvrzení. Věta.0. Přímk = k x + q a = k x + q jsou asmptotou se směrnicí funkce f(x) právě kdž existují vlastní čísla k, a q, (tj. čísla různá od ± ) taková, že platí a q, = k, = f(x) lim x ± x (.) lim f(x) k,x (.) x ± ÚM FSI VUT v Brně 68