Matematika (KMI/PMATE)
|
|
- Marta Bláhová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30
2 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární funkce pojem limity funkce v bodě vlastní limita funkce jednostranné limity nevlastní limita funkce limita funkce v nevlastním bodě spojitost funkce spojitost funkce v bodě spojitost funkce na otevřeném intervalu spojitost funkce na uzavřeném intervalu početní operace s limitami Matematika (KMI/PMATE) 2 / 30
3 Lineární funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q k... směrnice, q... absolutní člen D(f) = R H(f) = R Příklady lineárních funkcí f(x) = 3x 2 k = 3, q = 2 f(x) = 2x 5 k = 2, q = 5 f(x) = 5x + 1 k = 5, q = 1 f(x) = 3x + 1 k = 3, q = 1 Matematika (KMI/PMATE) 3 / 30
4 Graf lineární funkce Grafem lineární funkce je přímka. Na obrázcích jsou uvedeny grafy funkcí f(x) = 2x 1 a f(x) = x + 4. Graf funkce f(x) = 2x 1 Graf funkce f(x) = x + 4 Matematika (KMI/PMATE) 4 / 30
5 Lineární funkce - shrnutí Mějme lineární funkci f(x) = kx + q. Hodnota q odpovídá funkční hodnotě pro x = 0. Je tedy q = f(0). Graf lineární funkce protíná svislou osu ve výšce q. Hodnota směrnice k je rovna změně funkční hodnoty v případě, že hodnota x se zvětší o jednotku. Hodnota směrnice k ovlivňuje sklon grafu lineární funkce - čím větší hodnota k, tím větší sklon dané přímky. Obecně je k = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1. Matematika (KMI/PMATE) 5 / 30
6 Lineární funkce - shrnutí Mějme lineární funkci f(x) = kx + q. Hodnota q odpovídá funkční hodnotě pro x = 0. Je tedy q = f(0). Graf lineární funkce protíná svislou osu ve výšce q. Hodnota směrnice k je rovna změně funkční hodnoty v případě, že hodnota x se zvětší o jednotku. Hodnota směrnice k ovlivňuje sklon grafu lineární funkce - čím větší hodnota k, tím větší sklon dané přímky. Obecně je k = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1. Matematika (KMI/PMATE) 5 / 30
7 Limita funkce Mějme funkci f(x) = x + 4. Jak se chová f(x), jestliže se hodnota proměnné x bĺıží k číslu 5? Přibližování zleva x 4,9 4,99 4,999 4,9999 4, , f(x) = x + 4 8,9 8,99 8,999 8,9999 8, , Matematika (KMI/PMATE) 6 / 30
8 Limita funkce Mějme funkci f(x) = x + 4. Jak se chová f(x), jestliže se hodnota proměnné x bĺıží k číslu 5? Přibližování zleva x 4,9 4,99 4,999 4,9999 4, , f(x) = x + 4 8,9 8,99 8,999 8,9999 8, , Přibližování zprava x 5,1 5,01 5,001 5,0001 5, , f(x) = x + 4 9,1 9,01 9,001 9,0001 9, , Matematika (KMI/PMATE) 6 / 30
9 Limita funkce Mějme funkci f(x) = x + 4. Jak se chová f(x), jestliže se hodnota proměnné x bĺıží k číslu 5? Přibližování zleva x 4,9 4,99 4,999 4,9999 4, , f(x) = x + 4 8,9 8,99 8,999 8,9999 8, , Přibližování zprava x 5,1 5,01 5,001 5,0001 5, , f(x) = x + 4 9,1 9,01 9,001 9,0001 9, , Závěr: Čím bĺıž je x číslu 5, tím bĺıž je f(x) číslu 9. Matematika (KMI/PMATE) 6 / 30
10 Limita funkce Mějme funkci f(x) = x + 4. Jak se chová f(x), jestliže se hodnota proměnné x bĺıží k číslu 5? Přibližování zleva x 4,9 4,99 4,999 4,9999 4, , f(x) = x + 4 8,9 8,99 8,999 8,9999 8, , Přibližování zprava x 5,1 5,01 5,001 5,0001 5, , f(x) = x + 4 9,1 9,01 9,001 9,0001 9, , Závěr: Čím bĺıž je x číslu 5, tím bĺıž je f(x) číslu 9. Matematika (KMI/PMATE) 6 / 30
11 Limita funkce Limita funkce Tento druh závislosti označujeme symbolem a čteme: lim(x + 4) = 9 x 5 limita funkce f(x) = x + 4 pro x jdoucí k pěti je rovna devíti. Otázka: Proč tak složitě? Proč to děláme tak složitě? Proč pouze nedosadíme za x číslo 5 do předpisu funkce f(x) = x + 4? Je přeci zřejmé, že platí f(5) = = 9. Matematika (KMI/PMATE) 7 / 30
12 Limita funkce Limita funkce Tento druh závislosti označujeme symbolem a čteme: lim(x + 4) = 9 x 5 limita funkce f(x) = x + 4 pro x jdoucí k pěti je rovna devíti. Otázka: Proč tak složitě? Proč to děláme tak složitě? Proč pouze nedosadíme za x číslo 5 do předpisu funkce f(x) = x + 4? Je přeci zřejmé, že platí f(5) = = 9. Matematika (KMI/PMATE) 7 / 30
13 Limita funkce - Příklad Vypočtěte lim x 2 x 2 4 x 2. Snadno ověříme, že bod x = 2 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(2). Matematika (KMI/PMATE) 8 / 30
14 Limita funkce - Příklad Vypočtěte lim x 2 x 2 4 x 2. Snadno ověříme, že bod x = 2 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(2). x 1,9 1,99 1,999 1, ,0001 2,001 2,01 2,1 f(x) 3,9 3,99 3,999 3,9999? 4,0001 4,001 4,01 4,1 Matematika (KMI/PMATE) 8 / 30
15 Limita funkce - Příklad Vypočtěte lim x 2 x 2 4 x 2. Snadno ověříme, že bod x = 2 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(2). x 1,9 1,99 1,999 1, ,0001 2,001 2,01 2,1 f(x) 3,9 3,99 3,999 3,9999? 4,0001 4,001 4,01 4,1 Proč nás zajímá hodnota v bodě x = 2? Proč je limita rovna právě 4? Matematika (KMI/PMATE) 8 / 30
16 Limita funkce - Příklad Vypočtěte lim x 2 x 2 4 x 2. Snadno ověříme, že bod x = 2 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(2). x 1,9 1,99 1,999 1, ,0001 2,001 2,01 2,1 f(x) 3,9 3,99 3,999 3,9999? 4,0001 4,001 4,01 4,1 Proč nás zajímá hodnota v bodě x = 2? Proč je limita rovna právě 4? Matematika (KMI/PMATE) 8 / 30
17 Limita funkce Odpověd na první otázku Limity nám pomáhají např. najít extrémní (největší a nejmenší) funkční hodnoty. Využíváme přitom pojem tečny grafu funkce. Tečna ke grafu funkce f(x) v bodě a. Připomeňme, že směrnici přímky, která prochází body o souřadnicích [a, f(a)] a [x, f(x)] lze vypočítat dle vzorce k = f(x) f(a). x a Tečna ke grafu funkce a její směrnice Matematika (KMI/PMATE) 9 / 30
18 Limita funkce Odpověd na druhou otázku Je: x 2 4 x 2 (x 2)(x + 2) =. x 2 Pro všechna x 2 je (x 2)(x + 2) x 2 = x + 2. x 1,9 1,99 1, ,001 2,01 2,1 f(x) 3,9 3,99 3,999? 4,001 4,01 4,1 Matematika (KMI/PMATE) 10 / 30
19 Limita funkce Odpověd na druhou otázku Je: x 2 4 x 2 (x 2)(x + 2) =. x 2 Pro všechna x 2 je (x 2)(x + 2) x 2 = x + 2. x 1,9 1,99 1, ,001 2,01 2,1 f(x) 3,9 3,99 3,999? 4,001 4,01 4,1 Matematika (KMI/PMATE) 10 / 30
20 Limita funkce Vysvětlení Pokud uvažujeme hodnoty f(x) pro x bĺıžící se 2 (a tedy x 2), potom lze výraz x2 4 nahradit výrazem x + 2, u kterého je zřejmé, že čím bĺıž x 2 jsme k hodnotě x = 2, tím víc se hodnota f(x) bĺıží ke čtyřem. Je tedy: x 2 4 lim x 2 x 2 = lim (x + 2) = 4. x 2 Matematika (KMI/PMATE) 11 / 30
21 Limita funkce Vysvětlení Pokud uvažujeme hodnoty f(x) pro x bĺıžící se 2 (a tedy x 2), potom lze výraz x2 4 nahradit výrazem x + 2, u kterého je zřejmé, že čím bĺıž x 2 jsme k hodnotě x = 2, tím víc se hodnota f(x) bĺıží ke čtyřem. Je tedy: x 2 4 lim x 2 x 2 = lim (x + 2) = 4. x 2 Nakreslete graf funkce f(x)! Matematika (KMI/PMATE) 11 / 30
22 Limita funkce Vysvětlení Pokud uvažujeme hodnoty f(x) pro x bĺıžící se 2 (a tedy x 2), potom lze výraz x2 4 nahradit výrazem x + 2, u kterého je zřejmé, že čím bĺıž x 2 jsme k hodnotě x = 2, tím víc se hodnota f(x) bĺıží ke čtyřem. Je tedy: x 2 4 lim x 2 x 2 = lim (x + 2) = 4. x 2 Nakreslete graf funkce f(x)! Matematika (KMI/PMATE) 11 / 30
23 Limita funkce Příklad ( Vypočtěte lim x + x ). x 0 x Snadno ověříme, že bod x = 0 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(0). x -0,1-0,01-0, ,001 0,01 0,1 f(x) -1,1-1,01-1,001? 1,001 1,01 1,1 Matematika (KMI/PMATE) 12 / 30
24 Limita funkce Příklad ( Vypočtěte lim x + x ). x 0 x Snadno ověříme, že bod x = 0 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(0). x -0,1-0,01-0, ,001 0,01 0,1 f(x) -1,1-1,01-1,001? 1,001 1,01 1,1 ( Je lim x + x ) ( = 1, lim x + x ) = 1 x 0 x x 0 + x Matematika (KMI/PMATE) 12 / 30
25 Limita funkce Příklad ( Vypočtěte lim x + x ). x 0 x Snadno ověříme, že bod x = 0 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(0). x -0,1-0,01-0, ,001 0,01 0,1 f(x) -1,1-1,01-1,001? 1,001 1,01 1,1 ( Je lim x + x ) ( = 1, lim x + x ) = 1 x 0 x x 0 + x Při přibližování zleva dostáváme jiné hodnoty, než při přibližování zprava (nakreslete graf funkce). Matematika (KMI/PMATE) 12 / 30
26 Limita funkce Příklad ( Vypočtěte lim x + x ). x 0 x Snadno ověříme, že bod x = 0 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(0). x -0,1-0,01-0, ,001 0,01 0,1 f(x) -1,1-1,01-1,001? 1,001 1,01 1,1 ( Je lim x + x ) ( = 1, lim x + x ) = 1 x 0 x x 0 + x Při přibližování zleva dostáváme jiné hodnoty, než při přibližování zprava (nakreslete graf funkce). Matematika (KMI/PMATE) 12 / 30
27 Limita funkce Neformální definice Necht platí, že pro x bĺıžící se číslu a (zleva i zprava) se funkční hodnoty funkce f(x) bĺıží jednomu číslu b. Potom říkáme, že f(x) se bĺıží b pro x jdoucí k a, resp. že limita f(x) pro x a je (rovna číslu) b. Píšeme lim f(x) = b. x a Jestliže se hodnoty f(x) nebĺıží k jedné konkrétní hodnotě b pro x jdoucí k číslu a (zprava i zleva), potom říkáme, že funkce f(x) nemá limitu pro x a. Matematika (KMI/PMATE) 13 / 30
28 Limita funkce Neformální definice Necht platí, že pro x bĺıžící se číslu a (zleva i zprava) se funkční hodnoty funkce f(x) bĺıží jednomu číslu b. Potom říkáme, že f(x) se bĺıží b pro x jdoucí k a, resp. že limita f(x) pro x a je (rovna číslu) b. Píšeme lim f(x) = b. x a Jestliže se hodnoty f(x) nebĺıží k jedné konkrétní hodnotě b pro x jdoucí k číslu a (zprava i zleva), potom říkáme, že funkce f(x) nemá limitu pro x a. Matematika (KMI/PMATE) 13 / 30
29 Poznámky k definici Je důležité, aby se funkční hodnoty f(x) bĺıžily k jednomu stejnému číslu, když se hodnota x bĺıží k číslu a z obou stran. Pokud se například f(x) bĺıží hodnotě 1 pro x = 1, 9; 1, 99; 1, 999,..., tj. pro x 2 bĺıží hodnotě 3 pro x = 2, 1; 2, 01; 2, 001,..., tj. pro x 2 + potom limita f(x) pro x 2 neexistuje. Může se stát, že funkční hodnota f(x) se nepřibližuje k žádné konkrétní hodnotě při přibližování x k a z obou stran. Potom říkáme, že limita f(x) pro x a neexistuje. V uvedené neformální definici používáme poněkud nepřesný pojem přibližovat se k.... Je nutné tuto definici upřesnit. Matematika (KMI/PMATE) 14 / 30
30 Korektní definice limity funkce Korektní definice limity funkce Řekneme, že číslo b je limitou funkce f(x) pro x a, tedy: lim f(x) = b, x a jestliže ke každému reálnému číslu ε > 0 existuje reálné číslo δ > 0 takové, že pro všechna x (a δ, a) (a, a + δ) platí f(x) (b ε, b + ε). Matematika (KMI/PMATE) 15 / 30
31 Jednostranná limita funkce Definice (jednostranné) limity funkce zleva Řekneme, že lim f(x) = b, x a jestliže existuje takové číslo b, že ke každému reálnému číslu ε > 0 existuje reálné číslo δ > 0 takové, že když x (a δ, a), potom je f(x) (b ε, b + ε). Definice (jednostranné) limity funkce zprava Řekneme, že lim f(x) = b, x a + jestliže existuje takové číslo b, že ke každému reálnému číslu ε > 0 existuje reálné číslo δ > 0 takové, že když x (a, a + δ), potom je f(x) (b ε, b + ε). Matematika (KMI/PMATE) 16 / 30
32 Jednostranná limita funkce Příklad Necht je f(x) = x + x x. Potom je lim f(x) = 1 x 0 lim f(x) = +1 x 0 + lim x 0 f(x) neexistuje Matematika (KMI/PMATE) 17 / 30
33 Nevlastní limita funkce Příklad - nevlastní limita ( ) 1 Vypočtěte lim x 0 x 2. Snadno ověříme, že bod x = 0 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(0). Zleva: x -0,1-0,01-0,001-0,000 1 f(x) Zprava: x 0,1 0,01 0,001 0,000 1 f(x) Matematika (KMI/PMATE) 18 / 30
34 Nevlastní limita funkce Z předchozích dvou tabulek bylo vidět, že když se hodnota x dostane dostatečně bĺızko k 0 (zleva i zprava), potom funkční hodnoty f(x) rostou bez omezení - nade všechny meze. Vlastní limita f(x) pro x 0 neexistuje, nebot neexistuje číslo, které by vykazovalo vlastnost limitní hodnoty b. Matematika (KMI/PMATE) 19 / 30
35 Nevlastní limita funkce Z předchozích dvou tabulek bylo vidět, že když se hodnota x dostane dostatečně bĺızko k 0 (zleva i zprava), potom funkční hodnoty f(x) rostou bez omezení - nade všechny meze. Vlastní limita f(x) pro x 0 neexistuje, nebot neexistuje číslo, které by vykazovalo vlastnost limitní hodnoty b. Takovéto typy limit označujeme jako nevlastní limity a říkáme, že divergují k +, resp. k. lim f(x) =, lim x a f(x) =, lim x a x 0 1 x 2 = Matematika (KMI/PMATE) 19 / 30
36 Nevlastní limita funkce Z předchozích dvou tabulek bylo vidět, že když se hodnota x dostane dostatečně bĺızko k 0 (zleva i zprava), potom funkční hodnoty f(x) rostou bez omezení - nade všechny meze. Vlastní limita f(x) pro x 0 neexistuje, nebot neexistuje číslo, které by vykazovalo vlastnost limitní hodnoty b. Takovéto typy limit označujeme jako nevlastní limity a říkáme, že divergují k +, resp. k. lim f(x) =, lim x a f(x) =, lim x a x 0 1 x 2 = Matematika (KMI/PMATE) 19 / 30
37 Definice nevlastní limity funkce Definice nevlastní limity Řekneme, že lim x a f(x) =, jestliže ke každému reálnému číslu K > 0 existuje reálné číslo δ > 0 takové, že pro všechna x (a δ, a) (a, a + δ) platí nerovnost f(x) > K. Definice nevlastní limity Řekneme, že lim x a f(x) =, jestliže ke každému reálnému číslu K < 0 existuje reálné číslo δ > 0 takové, že pro všechna x (a δ, a) (a, a + δ) platí nerovnost f(x) < K. Matematika (KMI/PMATE) 20 / 30
38 Limita v nevlastním bodě 2x Určete hodnotu lim x x x f(x) f(x) 3,5 2,0297 2,0003 2,0000 Matematika (KMI/PMATE) 21 / 30
39 Limita v nevlastním bodě 2x Určete hodnotu lim x x x f(x) f(x) 3,5 2,0297 2,0003 2,0000 Definice limity v nevlastním bodě Řekneme, že lim x f(x) = b, jestliže pro všechna reálná čísla ε > 0 existuje reálné číslo x 0 takové, že pro všechna x (x 0, ) platí f(x) (b ε, b + ε). Matematika (KMI/PMATE) 21 / 30
40 Limita v nevlastním bodě 2x Určete hodnotu lim x x x f(x) f(x) 3,5 2,0297 2,0003 2,0000 Definice limity v nevlastním bodě Řekneme, že lim x f(x) = b, jestliže pro všechna reálná čísla ε > 0 existuje reálné číslo x 0 takové, že pro všechna x (x 0, ) platí f(x) (b ε, b + ε). Matematika (KMI/PMATE) 21 / 30
41 Spojitost funkce Obecný náhled: Jestliže se hodnoty funkce mění plynule, tj. bez náhlých skoků, říkáme, že daná funkce je spojitá. Spojitost v bodě I Spojitost v bodě II Spojitost v bodě III Funkce f(x) je nespojitá v bodě a. Funkce f(x) je nespojitá v bodě a. Funkce f(x) je spojitá v bodě a. Matematika (KMI/PMATE) 22 / 30
42 Spojitost funkce Definice spojitosti funkce v bodě Necht f(x) je funkce a číslo a je prvkem definičního oboru funkce f(x). Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a, jestliže existuje vlastní limita lim x a f(x) platí rovnost lim x a f(x) = f(a) Řekneme, že funkce je spojitá na otevřeném intervalu I, jestliže je spojitá v každém bodě intervalu I. Matematika (KMI/PMATE) 23 / 30
43 Spojitost funkce - alternativní definice Definice jednostranné spojitosti funkce v bodě Necht f(x) je funkce a číslo a je prvkem definičního oboru funkce f(x). Řekneme, že funkce f(x) je spojitá zleva v bodě a, jestliže existuje limita zleva lim f(x) x a platí rovnost lim f(x) = f(a) x a Řekneme, že funkce f(x) je spojitá zprava v bodě a, jestliže existuje limita zprava lim f(x) x a + platí rovnost lim f(x) = f(a) x a + Řekneme, že funkce je spojitá v uzavřeném intervalu a, b, jestliže je spojitá v každém bodě otevřeného intervalu (a, b) a dále je spojitá zprava v bodě a a současně je spojitá zleva v bodě b. Matematika (KMI/PMATE) 24 / 30
44 Spojitost funkce Která z uvedených funkcí je spojitá na svém definičním oboru? { x + 1 pro x 2, f(x) = 5 x pro x > 2 g(x) = { x + 1 pro x < 2, 6 x pro x > 2 h(x) = 1 { x 1/x pro x 0, k(x) = 0 pro x = 0 Matematika (KMI/PMATE) 25 / 30
45 Spojitost a limita funkce Z definice spojitosti funkce v bodě plyne, že pokud víme, že v bodě a je funkce f(x) spojitá, potom lze limitu lim x a f(x) vypočítat ze vztahu lim f(x) = f(a). x a Každá funkce, která vznikne z mocninné funkce, a dále pak z goniometrických, cyklometrických, exponenciálních a logaritmických funkcí pomocí konečného počtu početních operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a skládání, je spojitá na svém definičním oboru. Matematika (KMI/PMATE) 26 / 30
46 Operace s limitami Pravidla pro počítání s limitami V následujících vzorcích předpokládáme, že existují limity Potom platí následující vzorce: lim f(x), a lim g(x). x a x a lim[f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) x a x a x a [f(x) g(x)] = lim f(x) lim lim x a lim x a g(x) x a x a [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x a x a f(x) lim x a g(x) = lim x a f(x) lim x a g(x) ( 0) Matematika (KMI/PMATE) 27 / 30
47 Významné vzorce sin x lim x 0 x = 1 e x 1 lim = 1 x 0 x a x 1 lim = ln a x 0 x ln(1 + x) lim = 1 x 0 x lim x 0 m (1 + x) n 1 x = n m Matematika (KMI/PMATE) 28 / 30
48 Významné vzorce sin x lim x 0 x = 1 e x 1 lim = 1 x 0 x a x 1 lim = ln a x 0 x ln(1 + x) lim = 1 x 0 x lim x 0 m (1 + x) n 1 x = n m Matematika (KMI/PMATE) 29 / 30
49 Sendvičová věta Předpokládejme, že existuje reálné číslo δ > 0 takové, že pro všechna x (a δ, a) (a, a + δ) jsou splněny nerovnosti f(x) g(x) h(x). Dále předpokládejme, že jsou splněny rovnosti lim f(x) = lim h(x) = b. x a x a Potom existuje i limita lim x a g(x) a platí lim g(x) = b. x a Matematika (KMI/PMATE) 30 / 30
0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Limita a spojitost funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q D(f)
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
VíceFunkce. Limita a spojitost
Funkce. Limita a spojitost skriptum J. Neustupa text Funkce (úvod) na této web stránce III.2 Fce - základní pojmy 1. Definice, def. obor D(f), obor hodnot H(f), graf 2. Fce složená, omezená, 3. Fce sudá,
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceLimita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
VíceMatematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
VíceVII. Limita a spojitost funkce
VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná
VícePřednáška 3: Limita a spojitost
3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
Více2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Průvodce studiem Funkce y = je definována pro ( ) (>. Z grafu funkce (obr. 3) a z tabulky (a) je vidět že čím více se hodnoty blíží k -3 tím více se funkční hodnoty blíží ke
Více7.1 Extrémy a monotonie
KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x
Více0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
VíceKapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20
Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)
Víceverze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
VíceLIMITA A SPOJITOST FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost:
VíceIX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Spojitost funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 6. přednáška Spojitost funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceSpojitost a limita funkce
Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové
VícePavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceHelena R ˇ ı hova (CˇVUT) Funkce 5. rˇı jna / 28
Funkce Helena Říhová FBMI 5. října 2012 Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 1 / 28 Obsah 1 Reálná funkce jedné reálné proměnné Limita funkce Věty o limitách Spojitost funkce Význačné limity Asymptoty
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VícePřednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
VíceLimita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Více9. Limita a spojitost
OKOLÍ BODU, VNITŘNÍ A HRANIČNÍ BOD Okolí bodu a je libovolný interval (a r, a + r), kde r > 0; značí se O(a, r), případně jen O(a) (obr. 9..). Číslo r se nazývá poloměr okolí. O(a, r) 0 a r a a + r Obrázek
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Více( + ) ( ) f x x f x. x bude zmenšovat nekonečně přesný. = derivace funkce f v bodě x. nazýváme ji derivací funkce f v bodě x. - náš základní zápis
1.. Derivace elementárních funkcí I Předpoklad: 1 Shrnutí z minulé hodin: Chceme znát jakým způsobem se mění hodnot funkce f ( f ( + f ( přibližná hodnota změn = přesnost výpočtu se bude zvětšovat, kdž
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VíceDodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9
Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 2/9 Funkce dvou proměnných Definice: Reálnou funkcí dvou reálných proměnných, definovanou na množině M R 2, rozumíme předpis f, který každé uspořádané dvojici reálných
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základ matematik pro FEK 7. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 06/07 Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 / 5 Jednostranné limit Definice: Vlastní limita ve vlastním
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)
Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz
VícePosloupnosti a jejich limity
KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny
VíceVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 8-9 Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 / 6 Funkce více proměnných Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 / 6 Definice Necht M R n, M. Funkcí n proměnných je zobrazení
VíceEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21
Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
Více9. Limita a spojitost funkce
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 9. Limita a spojitost funkce OKOLÍ BODU, VNITŘNÍ A HRANIČNÍ BOD Okolí bodu a je libovolný interval (a r, a r), kde r > 0; značí se O (a,
VícePetr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57
Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost
VíceLIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =
VíceDefinice derivace v bodě
Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceDIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,
DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceAplikace derivace a průběh funkce
Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
VíceMATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy
MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 10. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 016/017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 016/017 1 / 1 Použití derivace pro vyšetřování průběhu funkce
VíceLEKCE10-RAD Otázky
Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá
Více(1) Limity. Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Limity 1 / 27
(1) Limity Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (1) Limity 1 / 27 Proč studovat matematiku Zdroje: http://www.karlin.mff.cuni.cz/ pick/2018-10-02-prvni-prednaska-z-analyzy.pdf https://www.youtube.com/watch?v=6ec3ndnr86s
VíceDERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceSpojitost funkce. Spojitost je nejdůležitější obecná vlastnost funkcí. Umožňuje aproximace různých řešení.
funkce je nejdůležitější obecná vlastnost funkcí. Umožňuje aproximace různých řešení. Je důležité vědět, kdy se malá změna nějakého měření projeví málo na konečném výsledku. Zpřesňuje-li se měření, měl
VíceLimita posloupnosti a funkce
Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceMATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik
MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,
Více1 L Hospitalovo pravidlo
L Hospitalovo pravidlo Věta.. Bud R R R {± }). Necht je splněna jedna z podmínek i) ii) f) g), g). Eistuje-li vlastní nebo nevlastní) f ) g ) Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné ity., pak eistuje
VícePřednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce
Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce Zápisem f : M R rozumíme, že je dána funkce definovaná na neprázdné množině M R reálných čísel, což je množina dvojic f =
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceDerivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
VíceFunkce, elementární funkce.
Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.
VíceDefinice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),
Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako
VíceDiferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
VíceOmezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
VíceV této kapitole si zobecníme dříve probraný pojem limita posloupnosti pro libovolné funkce.
Kapitola 7 Limita funkce V této kapitole budeme studovat pojem ita funkce, který lze zařadit mezi základní pojmy matematiky, speciálně pak matematické analýzy Využití ity funkce je široké Pomocí ity lze
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice
Vícef( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů
3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva
VíceMatematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16
Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
VíceAsymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze
Asymptoty funkce 1 Asymptota bez směrnice 6 Máme dvě funkce f 1 : y a 3 f : y 3 Člověk nemusí být matematický génius, aby pochopil, že do předpisu obou funkcí lze dosadit za libovolné reálné číslo kromě
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 3. Limita funkce 3.2. Limita funkce v nevlastním bodě 2 Limita funkce v nevlastním bodě Ukážeme, že je možné definovat limitu funkce i pro x +, x - Uvažujme
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
VíceMatematická analýza 1
VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY Matematická analýza 1 Pracovní listy Martina Litschmannová 2015 / 2016 Definice, věty i mnohé příklady jsou převzaty z: KUBEN, Jaromír
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
Více