ze dřeva a jejich Ing. David Mikolášek

Sborník přednášek Nosné konstrukce ze dřeva a jejich statika Ing. David Mikolášek

Sborník přednášek Obsah 1 NUMERICKÁ ANALÝZA OCELOVÝCH SPONEK 2 1.1 Úvod 2 1.2 Objemový model spoje 2 1.3 Materiálové vlastnosti spoje 3 1.4 Modely A+B+C objemový model 4 1.5 Model B2 objemový model a jeho modifikace 6 1.6 Závěry 8 1.7 Přílohy 9 1.7.1 Výpočet únosnosti spoje podle DIN 9 1.7.2 Charakteristické únosnosti a tuhosti na dva střihy 11 1.7.3 Poznámky ke sponkovým spojům 11 1.7.4 Geometrie, typy adhezních nátěrů a model v ANSYS 11 2 POROVNÁNÍ RŮZNÝCH PŘÍSTUPŮ K VýpočTU spřažených nosníků dřevo-beton 13 2.1 Úvod 13 2.2 Typy modelů 13 2.3 SP_01 skořepino-prutový model 14 2.4 Shrnutí výsledků z modelů 20 2.5 PM_01 prutový konečně-prvkový model 21 2.6 Závěry 25 2.7 Přílohy 26 3 Vzpěr podle EC5 s porovnáním dle numerických modelů 29 3.1 Vzpěr tlak 29 3.2 Cíl studie vzpěru 30 3.2.1 Materiálové charakteristiky 31 3.2.2 Zatížení studované konstrukce 31 3.3 Jednotlivé typy modelů 32 3.3.1 Přibližné řešení pomocí Eulerových rovnic 32 3.3.2 Normové způsoby řešení 32 3.3.3 Model ve SCIA - prut a skořepina a ANSYS objemový model stabilitní řešení úlohy 34 3.3.4 Modely zahrnující druhý řád - geometrická nelinearita 36 3.4 Srovnání výsledku jednotlivých řešení 40 3.5 Závěr 41 1

Nosné konostrukce ze dřeva a jejich statika 1 NUMERICKÁ ANALÝZA OCELOVÝCH SPONEK Ing. DAVID MIKOLÁŠEK 1.1 Úvod V rámci spolupráce a vzájemného doplnění informací se zástupcem firmy BeA byl vybrán praktický příklad dřevěné stěnové konstrukce, kde bude studován výpočet tuhosti a únosnosti ocelové sponky ve výztužné konstrukci. Bylo vytvořeno 9 základních objemových modelů a 3 modifikované modely. Spoj byl vybrán tak, aby bylo na něm možno sledovat chování konkrétní ocelové sponky. Výsledné hodnoty budou srovnány ze závěry zástupce firmy BeA a s normovými předpoklady a předpoklady výrobců jednotlivých komponent. Výpočet a model byl uvažován podle DIN 1052 ČSN 73 1702. 1.2 Objemový model spoje A) Model byl řešen v programu ANSYS jako objemový s kontakty. B) Bylo vytvořeno 9 základních modelů: A_1 + A_2 + A_3 B_2 + B_2 + B_3 C_1 + C_2 + C_3 C) Byly vytvořeny 3 modely řady B pro různé součinitele tření sponka okolí: B_2.02 + B_2.20 + B_22.00 D) Modely byly počítány jako geometricky a konstrukčně nelineární s uvážením materiálové nelinearity. E) Cílem bylo porovnat jednotlivé varianty modelů mezi sebou a s normovými předpoklady a předpoklady výrobců jednotlivých částí (dřevo nosné části konstrukce 62 mm ocelová sponka sádrokartonová výztužná deska 25 mm). Model A je určen tak, že podélný směr vláken v ose x je rovnoběžný s hřbetem sponky. Model B je určen tak, že podélný směr vláken v ose x je pod 45 se hřbetem sponky. Model C je určen tak, že podélný směr vláken v ose x je pod 90 se hřbetem sponky. Model B modifikovaný, je určen tak, že podélný směr vláken v ose x je pod 45 se hřbetem sponky a síla je rovnoběžná se směrem osy x (působí rovnoběžně s vlákny). Zde jsou různé součinitele tření ξ [-] pro sponku (pro HD_01 + SD_01) B_2.02 = 0.02 (0.02), B_2.20 = 0.2 (0.2), B_22.00 = 2.0 (0.4). Pro předešlé modely A + B + C je součinitel tření mezi sponkou a okolním materiálem dán hodnotou 0.8 a mezi dřevěnou nosnou konstrukcí a výztužnou deskou 0.4. Hodnota 0.8 byla zvolena na základě odborného odhadu a hodnota 0.4 je vzata podle standardního součinitele tření v klidu mezi dřevo dřevo. Modely byly vytvořeny v prostředí ANSYS, kde byla uvážena ortotropie dřeva. Model spoje se skládá ze třech základních částí, viz Obr. 1.1: HD_01 horní výztužná deska je uvažována o síle 25 mm ze sádrokartonu (zde byla deska zjednodušena na isotropní materiál) + OS_1 sponka byla modelována jako isotropní materiál s uvážením materiálové nelinearity + SD_1 spodní část nosné dřevěné konstrukce byla modelována s uvážením ortotropie a také s materiálovou nelinearitou. Vnější vazby byly aplikovány na spodní plochu dřevěné desky SD_1. Tyto vazby byly neposuvné ve všech směrech. Horní deska HD_1 byla zajištěna vnějšími vazbami tak aby se mohla posouvat pouze v předepsaném směru. Zatížení bylo zvoleno jako deformační v daném směru podle schémat Obr. 1.1. Deformace byla zvolena o hodnotě 2 mm. Zatížení ve formě předepsaných deformací je pro numerický výpočet stabilnější a dovoluje získat také sestupné pracovní větve studovaných spojů a konstrukcí. V tomto případě bylo cílem získat tuhostní charakteristiky spoje pro dané materiálové vlastnosti a geometrii (směr zatížení) a typ 2

Sborník přednášek sponky a porovnat s normou. Pomocí numerického modelu je možno také sledovat napětí v okolí spoje a celkovou sílu, kterou je schopen spoj v jednotlivých zatěžovacích krocích přenést. Obr. 1.1: Schéma konstrukce; půdorys (vlevo nahoře), řez (vlevo dole), deformační zatížení (vpravo) 1.3 Materiálové vlastnosti spoje V této kapitole je přehled užitých materiálových vlastností modelu spoje. Vlastnosti byly zvoleny na základě předpokladu standardní výroby těchto spojů. Nelineární pracovní diagramy byly zvoleny na základě zkušeností s daným typem materiálu a povah řešeného problému. Ocelová sponka byla uvažována pro fy = 800 MPa. Nosná konstrukce ze dřeva byla uvažována jako rostlé dřevo modřín C24. Horní deska byla ze sádrokartonu RIGIStabil. Tab. 1.1: materiálové vlastnosti jednotlivých materiálů RIGIStabil sádrokarton E 4275 [MPa] ni 0.34 [-] f y 10 [MPa] tg 74 [MPa] Dřevo ortotropní E X 11600 [MPa] E Y 900 [MPa] E Z 500 [MPa] ni XY 0.37 [-] 3

Nosné konostrukce ze dřeva a jejich statika ni YZ 0.25 [-] ni XZ 0.47 [-] G XY 750 [MPa] G YZ 39 [MPa] G XZ 720 [MPa] Anisotropic hardennig X Y Z f y,ten 40 3 3 [MPa] tg y,tensil 20 20 20 [MPa] f y,com 40 3 3 [MPa] tg y,com 20 20 20 [MPa] f y,shear 7 3 7 [MPa] tg y,shear 7 2 7 [MPa] Ocelová sponka E 197000 [MPa] ni 0.304 [-] strain 0.0013706 0.0017 0.0021 0.01 0.042 0.1 0.25 0.45 [-] stress 270 300 340 490 620 710 860 1020 [MPa] 1.4 Modely A+B+C objemový model V Tab. 1.2 je přehled získaných tuhostních vlastností a maximálních dosažených sil ve spoji. První sloupec obsahuje maximální hodnoty tuhostí v prokluzu na dva střihy sponky. Druhý sloupec je tuhost proti posunutí odečtenou z grafu na Obr. 1.2. Jde o graf pracovního chování spoje pro charakteristickou sílu únosnosti podle DIN1052 (0.736 kn). Tab. 1.2: Výsledky tuhostí proti posunutí a únosnosti pro sponku Tuhost spoje model v ANSYS [MNm -1 ] Max síla na spoj [KN] Typ spoje maxcc F 0.736,DIN max ANSYS K maxcc, ANSYS A1 2.34 2.07 1.46 0.50 A2 2.19 2.09 1.65 0.62 A3 1.43 1.20 1.25 0.42 B1 1.83 1.62 1.45 0.50 B2 1.44 1.34 1.63 0.54 B3 1.91 1.72 1.51 0.47 C1 1.37 1.12 1.22 0.42 C2 2.28 2.2 2.06 0.60 C3 2.57 2.25 1.28 0.50 průměr 1.93 1.89 1.44 0.51 Třetí sloupec je maximální dosažená síla ve spoji. Tato síla je dána deformačním zatížením v ANSYS. Pro vyšší deformační zatížení by bylo v některých případech dosaženo vyšších hodnot únosnosti sponky. Poslední čtvrtý sloupec je síla ve spoji pro maximální dosaženou tuhost podle prvního sloupce. Tabulka tedy vyjadřuje tuhost v prokluzu spoje. 4

Sborník přednášek Podle získaných dat na 9 numerických modelech je vidět že hodnota únosnosti a modulu prokluzu závisí také pro malé průměry na orientaci vláken. Mimoto je zde také vidět vliv tuhosti profilu hrotu samotné sponky viz Obr. 1.3. Profil má vyšší moment setrvačnosti na hrot kolmo na hřbet sponky. Hodnoty jsou spočteny na základě fyzikálních vlastností materiálů a jejich geometrie. Tyto hodnoty se mohou srovnávat s fyzikálním měřením a také s normovými vztahy pro charakteristické hodnoty vzorků zatížených okamžitým zatížením v suchém prostředí bez významných excentricit a rozptylu vlastností jednotlivých vzorků. Křivky v grafech jsou ve skutečnosti spočteny v ANSYS jako body, které se proloží polygony a v prostředí Excel jsou proloženy křivkou (odhad průběhu mimo spočtené body). V rámci 3D objemového modelu s kontakty a uvažováním tření mezi HD_01 a SD_01 je část síly ve spoji realizována také v tření mezi jednotlivými vrstvami. Tato hodnota síly, která se přímo nepřenáší do spoje, se může pohybovat mezi 5-10 % z celkové síly na spoj (podle součinitele tření mezi povrchem sponky a povrchy jednotlivých desek). Obr. 1.2: Graf pracovního chování spoje 5

Nosné konostrukce ze dřeva a jejich statika Obr. 1.3: Graf síly v závislosti na deformaci Na grafu Obr. 1.2 je zobrazeno všech 9 základních modelů. Vodorovná větev o hodnotě KDIN,k = 0.674 MNm-1 vyjadřuje normovou DIN1052 charakteristickou hodnotu modulu prokluzu sponky. Hodnota prokluzu se mění v závislosti na směru vláken a směru působící síly deformačního zatížení. Svislá linie vyjadřuje únosnost spoje podle normy DIN 1052. Hodnota únosnosti je FDIN,k = 0.736 kn. Je zde vidět že pro výpočtové hodnoty únosnosti spoje FDIN,d = 0.470-0.607 kn podle normy je dosaženo téměř maximální tuhosti spoje. Spodní Obr. 1.3 zobrazuje dosaženou sílu ve spoji v závislosti na deformaci. 1.5 Model B2 objemový model a jeho modifikace Na Obr. 1.4 je znázorněna orientace vláken a směr síly (deformace). Osa x je shodná s podélnou osou vláken a osa y je radiální osa ortotropie dřeva. Zde je tedy spodní dřevo SD_01 namáháno rovnoběžně s vlákny a hřbet sponky je zatížen pod 45. Obr. 1.4: Schéma zatížení a orientace vláken spoje 6

Sborník přednášek Model B2 byl vybrán z důvodu jeho blízkosti k reálně používaným spojům (nastřelení sponky a zatížení). Nejčastěji je tento spoj používán tak že sponka je namáhána pod cca 45 na osu hřbetu a zatížení směřuje rovnoběžně s vlákny s nosným dřevěným sloupkem. Na Obr. 1.5 je graf, který je složen ze 4 křivek reprezentující spoj u modelu B2. Na těchto pracovních křivkách je znázorněn vliv adheze mezi spojkou a okolním materiálem. A také v menší míře závislost mezi spojovanými plošnými materiály horní deska HD_01 + spodní deska - trám SD_01. Je zde patrné, že pro zvyšující se tření adhezi mezi sponkou a spojovanými materiály se zvyšuje tuhost spoje a také jeho střihová únosnost. Se zvyšujícím se spolupůsobením povrchu sponky a desek se celkově zvyšuje únosnost spoje a vyhlazuje se jeho pracovní chování a duktilita. Na dalším grafu (Obr. 1.6) je vidět pracovní diagram dosažené síly na deformačním zatížení. Obr. 1.5: Graf pracovního chování spoje Obr. 1.6: Graf síly v závislosti na deformaci Obr. 1.7 představuje numerický model v ANSYS. Na jeho levé straně je ukázka zdeformované geometrie spoje včetně ocelové sponky. Pravá část obrázku je objemový model celého spoje po deformaci všech 7

Nosné konostrukce ze dřeva a jejich statika částí. Zde je vidět že dominantní deformaci má pouze sponka a okolí spoje. HD_01 a SD_01 se globálně posunou o předepsanou Obr. 1.7: Numerický model v ANSYS; deformovaná geometrie spoje (vlevo), objemový model (vpravo) 1.6 Závěry A) Shoda mezi jednotlivými variantami modelů ve ANSYS je dobrá. Jednotlivé modely se liší především z důvodů různého směru vláken a působení zatížení. B) Moduly prokluzů podle ANSYS jsou cca 2 2.7 vyšší než normou dané charakteristické hodnoty. Je to dáno tím, že numerický model neuvažuje vliv trvání zatížení + cyklické namáhání + rozdílné třídy prostředí a také rozdílné vlastnosti dřeva (v rámci jednoho krovu nebo haly můžeme mít rozdílné moduly pružnosti použitých dřevěných prvků, což vede na rozdílné tuhosti přípojů). C) Únosnosti podle ANSYS jsou ve shodě s hodnotami únosností podle DIN1052. Únosnost sponek pro výrobky tohoto výrobce podle dokumentu RIGIStabil je: charakteristická únosnost HAUBOLD HD 7900 - Ø 1.80 mm = 0.924 KN. D) V rámci přijatých zjednodušení konstrukce modelu a okrajových podmínek se dosahuje podobných výsledků pro všechny typy modelů. E) Výhodou specializovaného softwaru ANSYS je jeho možnost upozornit na kritická místa spoje v době návrhu a provést případné optimalizace před výrobou. F) Po získání dát ze širších numerických modelů a fyzikálních testů je možné použít dané fyzikální konstanty (moduly prokluzu) v prakticky zaměřených, pro konstrukční praxi zaměřených softwarech například SCIA v globálních modelech a tím postihnout reálné chování spojů tak i celku. U dřevěných konstrukcí je tento efekt velmi důležitý. G) Dalším krokem v modelování je verifikovat numerické modely pomocí fyzikálních zkoušek (firma BeA) a tím dosáhnout optimální úrovně návrhu pomocí norem a metody konečných prvků (která v sobě má implementované normové posudky například SCIA ocel, beton, dřevo atd.). H) Modelování těchto konstrukcí pomocí výše uvedených softwarů vede k bližšímu pochopení přerozdělení vnitřních sil a tím k také k bezpečnějšímu a hodnotnějšímu návrhu tohoto typů konstrukcí. Firma BeA poskytla cenné fyzikální měření jejich produktů a tím je možno se podívat na spoj jako na komplexní detail, který spojuje celou konstrukci. V rámci výstupů této firmy byly získány moduly prokluzu na vytažení sponky v závislosti na úpravě povrchu ocelové sponky. Podle shrnutých dat z fyzikálního měření a numerických simulací je vidět že pro sponky opatřené adhesivní vrstvou se značně zvyšuje tuhost a únosnost přípoje. Tento fakt také zmiňuje norma, nejen pro sponky ale také pro mechanické 8

Sborník přednášek spoje s vruty a svorníky lze zvyšovat únosnost, pokud je zabráněno vytahování spojovacího prostředku. Fyzikální testy jsou nezbytným doplňkem numerických výpočtů a normových předpokladů. Reálné měření má vypovídací hodnotu o skutečném chování konstrukce a detailu. Slouží také jako podklad nedílné součásti návrhu konstrukce a tím je numerický výpočet opřený o fyzikální testy a normové doporučení (+ zkušenosti autorit v daném oboru). 1.7 Přílohy 1.7.1 Výpočet únosnosti spoje podle DIN Tab. 1.3 ukazuje srovnání výpočtu prokluzu a únosnosti podle DIN_1052. Prokluzy a únosnosti jsou v charakteristických hodnotách. Prokluz K ser by se násobil pro případy únosnosti ještě hodnotou 1/3 a dělil případně součinitelem materiálu γm (a pro třídy prostředí podle zatřídění by se prokluz ještě násobil hodnotou 2/3 1/5). Únosnost by se dělila γm a násobila kmod. Tyto hodnoty jsou odvislé od třídy prostředí a okrajových podmínek konkrétní úlohy. Modul prokluzu a únosnost podle DIN 1052 se vynásobí dvakrát, protože zde byla počítána pro jeden spojovací prostředek. Hodnoty podle DIN 1052 jsou uvažovány pro sponku branou jako nepředvrtaný hřebík. V pravém sloupci Tab. 1.3 jsou obrázky z normy DIN1052 a k nim v pravé části tabulky vzorce pro tuhosti sponek a jejich únosnosti. Na Obr. 1.8 jsou vzdálenosti pro sponky osové vzdálenosti. Sponky jsou uvažovány jako nepředvrtané hřebíky. V Tab. 1.3 je jen základní výčet pravidel pro ocelové sponky. Pro komplexní návrh je nutné prostudovat platné normy a držet se doporučení a vymezení výrobců. 9

Nosné konostrukce ze dřeva a jejich statika Tab. 1.3: Vzorce pro výpočet sponky 1.8x11x52 Obr. 1.8: Vzdálenosti sponek 10

Sborník přednášek 1.7.2 Charakteristické únosnosti a tuhosti na dva střihy A) Prokluz: K ser,din = 2*0.337 = 0.674 MNm -1 f 1,k = 11.76 MPa B) Únosnost: R k,din = 2*0.367825 = 0.73565 kn R ax,k,din = 2*0.5292 1.0584 kn 1.7.3 Poznámky ke sponkovým spojům (výběr z DIN1052 odstavec 12.8.3 Sponky) A) U sponkových spojů při vlhkosti dřeva vyšší jak 20% se redukuje charakteristická hodnota parametru na vytažení f 1,k na 1/3. B) Sponky zaražené do dřeva s vlhkostí nad 30% se nesmí uvažovat ve výpočtu na vytažení, i v případě že dřevo může v provozním stavu vysychat. C) Pokud je úhel mezi krčkem sponky a směrem vláken dřeva menší než 30, uvažuje se charakteristická únosnost sponky 70%. D) Pro sádrokartonové desky je modulu posunutí nutno snížit o 40%. Zde je jen krátký výčet podmínek pro použití ocelových sponek. Pro reálný kvalifikovaný návrh je nutné nastudovat platné normy a dokumentaci příslušných výrobců. 1.7.4 Geometrie, typy adhezních nátěrů a model v ANSYS Na Obr. 1.9 jsou výrobky dodávané firmou BeA. Tyto sponky, konkrétně na obrázku uvedené rozměry byly použity v numerických analýzách. Je zde vidět možná povrchová úprava jednotlivých sponek. Tyto sponky a jejich fyzikální testy byly provedeny v dokumentu vypracovaném zástupcem firmy BeA panem Antonínem Šilhavíkem. Obr. 1.9: Geometrie sponek (vpravo) a tři typy povrchových úprav (vlevo) 11

Nosné konostrukce ze dřeva a jejich statika Naopak na Obr. 1.10 je výstup z programu ANSYS. Jedná se o ocelovou sponku zatíženou deformačně ve spoji posunem o hodnotě 2.72 mm pod úhlem 45. Vybraný obrázek je z modelové řady B2. Vidíme zde již plastické deformace v maximální hodnotě cca 700 MPa. Napětí je vykresleno jak von Mises [MPa]. Obr. 1.10: Výstup z programu ANSYS Seznam použitých zdrojů [1] ČSN EN 14592+A1 Dřevěné konstrukce - Kolíkové spojovací prostředky Požadavky [2] ČSN EN 1995-1-1 Eurokód 5: Navrhování, dřevěných konstrukcí, Obecná pravidla [3] Tovární dokumentace BeA 12

Sborník přednášek 2 POROVNÁNÍ RŮZNÝCH PŘÍSTUPŮ K VýpočTU spřažených nosníků dřevo-beton Ing. DAVID MIKOLÁŠEK 2.1 Úvod V rámci spolupráce a vzájemné kontroly mezi zástupcem firmy SFS intec byl vybrán praktický příklad dřevěné stropní konstrukce, kde bude studován a srovnáván odlišný způsob získání vnitřních sil a jejich interpretace. Byly vytvořeny 3 modifikované skořepino-prutové modely a jedem prutový konečně prvkový model spřažené dřevo betonové konstrukce. Tato konstrukce byla navržena a spočtena zástupcem firmy SFS intec. V tomto dokumentu byla převzata geometrie a zatížení podle výpočtu firmy SFS intec. A) model byl řešen v programu SCIA jako kombinace skořepin a prutů, B) byly vytvořeny tři modifikované skořepino-prutové modely, SP_01 SP_02 SP_03 C) byl vytvořen jeden prutový model PM_01 D) byly ponechány materiálové nastavení podle SCIA Ebeton = 30 GPa Edřevo = 11 GPA Eocel = 210 GPa A) Prokluz byl uvažován podle SFS manuálů B) Modely byly počítány jako geometricky a konstrukčně nelineární s prokluzy C) Vruty byly rozmístěny rovnoměrně po délce nosníku D) Nebyla uvažována materiálová nelinearita E) Čas byl uvažován jen v hodnotě ts = 0 (jiný čas lze uvažovat změnou tuhosti) F) Cílem bylo porovnat jednotlivé varianty SCIA modelů a SFS modelů 2.2 Typy modelů Model SP_01 se snaží o co nejbližší vystižení reality. Jsou zde modelovány významné prvky, které ovlivňují celkovou tuhost včetně reálného rozložení vrutů. Model SP_02 je jednodušší verze SP_01. Zde jsou vruty rozmístěny stejně, ale jsou uvažovány jako kolmé na střednici dřevěného nosníku. Model SP_03 nevyužívá prutové prvky simulující vruty, ale v místě napojení železobetonové desky na dřevěný nosník je liniový kloub s prokluzy. Tento model je výpočetně a konstrukčně méně náročný než SP_01 SP_02. Model PM_01 je prutová model. Tento model je nejjednodušší variantou modelování spřažené dřevobetonové konstrukce. 13

Nosné konostrukce ze dřeva a jejich statika 2.3 SP_01 skořepino-prutový model U prvního modelu byly zajištěny výstupy z programu SCIA, které jsou zobrazeny na následujících obrázcích. Obr. 2.1: SP_01 geometrie skořepino-prutového modelu Obr. 2.2: SP_01 3D rendering skořepino-prutového modelu Obr. 2.3: SP_01 reakce [kn] skořepino-prutového modelu 14

Sborník přednášek Obr. 2.4: SP_01 - Sigmax+ [MPa] beton skořepino-prutového modelu Obr. 2.5: SP_01 - Sigmax- [MPa] beton skořepino-prutového modelu Obr. 2.6: SP_01 - Sigmax± [MPa] dřevo skořepino-prutového modelu 15

Nosné konostrukce ze dřeva a jejich statika Obr. 2.7: SP_01 - Sigmaxy+ [MPa] dřevo skořepino-prutového modelu Obr. 2.8: SP_01 - Sigmaxh [MPa] beton skořepino-prutového modelu řez Obr. 2.9: SP_01 - Sigmaxd [MPa] beton skořepino-prutového modelu řez 16

Sborník přednášek Obr. 2.10: SP_01 - Sigmaxh [MPa] dřevo skořepino-prutového modelu řez Obr. 2.11: SP_01 - Sigmaxd [MPa] dřevo skořepino-prutového modelu řez Obr. 2.12: SP_01 - Sigmaxy [MPa] dřevo skořepino-prutového modelu řez osou nosníku 17

Nosné konostrukce ze dřeva a jejich statika Obr. 2.13: SP_01 - Deformace [mm] dřevo skořepino-prutového modelu Obr. 2.14: SP_01 - Smyková síly železobeton [knm-1] skořepino-prutového modelu Obr. 2.15: SP_01 - Normálové síly vruty [kn] dřevo skořepino-prutového modelu Obr. 2.16: SP_01 - První vlastní tvar f1 = 4.7023 [Hz] - skořepino-prutového modelu 18

Sborník přednášek Obr. 2.17: SP_01 - Druhý vlastní tvar f2 = 14.5854 [Hz] - skořepino-prutového modelu Pro daný model byl vytvořen protokol o výpočtu, zobrazený v Tab. 2.1. Tab. 2.1: Protokol o výpočtu SP_01 Calc protokol Výpocet vlastních tvaru Pocet 2D prvku 4571 Pocet 1D prvku 1531 Pocet uzlu síte 5266 Pocet rovnic 31596 Kombinace skupin hmot MK 1 Pocet frekvencí 4 Ohybová teorie Mindlin Suma hmot [kg] X Y Z Kombinace skupin hmot 1 3282.64 3282.51 3282.63 Souc. participace tvaru Císlo Omega Perioda Frek. Pomer Wxi / Wyi / Wzi / [Hz] tlumení Wxtot Wytot Wztot 1 29.5456 0.2127 4.7023 0.0000 0.0223 0.0000 0.7957 2 91.6430 0.0686 14.5854 0.0000 0.1341 0.0000 0.0016 První vlastní tvar má frekvenci 4.7023 Hz a kmitá s účinnou hmotou 79.57% ve svislém směru ve tvaru křivky sinus s jednou vlnou. Druhý vlastní tvar má frekvenci 14.5854 Hz a kmitá s účinnou hmotou 13.41% ve vodorovném směru ve tvaru křivky sinus se dvěma vlnami. 19

Nosné konostrukce ze dřeva a jejich statika 2.4 Shrnutí výsledků z modelů Na Obr. 2.18 a 2.19 jsou zobrazeny geometrie dvou modelů SP_02 a SP_03. Výsledky z těchto modelů jsou pak uvedeny v Tab. 2.2 a Tab. 2.3. Obr. 2.18: SP_02 geometrie skořepino-prutového modelu Obr. 2.19: SP_03 geometrie skořepinový model s liniovým kloubem Tab. 2.2: Výsledky posouzení pro časový bod t = 0 s model v programu SCIA krajní napětí beton krajní napětí dřevo smyk dřevo MPa [Nmm -2 ] MPa [Nmm -2 ] MPa [Nmm -2 ] vlákna horní střed dolní střed horní střed dolní střed střed nosníku-osa SP_01 skořepina -5.3 3.0-3.3 7.6 0.6 SP_02 skořepina -4.9 2.4-3.0 7.2 0.8 SP_03 skořepina -5.0 2.5-2.5 7.4 0.7 PM_01 prut -5.3 2.6-2.6 7.4 0.7 průměr -5.1 2.6-2.9 7.4 0.7 20

Sborník přednášek Tab. 2.3: Výsledky posouzení pro časový bod t = 0 s model v programu SCIA smykový tok odchylka modelů - deformace f1 knm -1 [Nmm -1 ] smykový tok [mm] Hz [s -1 ] vlákna Spoje SP_01 Spodní hrana SP_01 skořepina 41.0 100.000% 11.30 4.7023 SP_02 skořepina 45.0 109.756% 10.00 4.7678 SP_03 skořepina 47.0 114.634% 10.30 4.9112 PM_01 prut 45.0 109.756% 10.90 4.6329 průměr 44.5 10.6 4.8 Model SP_02 je tvořen stejně jako model SP_01 skořepinovým a prutovými konečnými prvky. Spřažení je zde simulováno pomocí tuhých prutů, na jejichž koncích je dán prokluz podle SFS intec manuálů cca 16.7 MNm-1 (tato hodnota je uvažována ve směru páru vrutů, tedy na jeden vrut v jeho se je uvažována tuhost proti prokluzu cca 8.35 MNm-1). Tento prokluz byl verifikován podle EC5. Model SP_02 je oproti modelu SP_01 zjednodušený v geometrii vrutů jejich náklonu. 2.5 PM_01 prutový konečně-prvkový model Model PM_01 je prutový konečně-prvkový model s prokluzy na koncích prutů simulujících vruty kolmo na střednici dřevěného nosníku. Tento model je nejvíce zjednodušený pohled na reálnou konstrukci spřažené dřevo-betonové stropní konstrukce viz Obr. 2.20. Obr. 2.20: PM_01 - geometrie modelu Obr. 2.22: PM_01 geometrie prutového modelu + vnější vazby 21

Nosné konostrukce ze dřeva a jejich statika Obr. 2.23: PM_01 reakce [kn] - prutový model Obr. 2.24: PM_01 - Sigmaxh [MPa] beton prutový model Obr. 2.25: PM_01 - Sigmaxd [MPa] beton prutový model 22

Sborník přednášek Obr. 2.26: PM_01 - Sigmaxh [MPa] dřevo prutový model Obr. 2.27: PM_01 - Sigmaxd [MPa] dřevo prutový model Obr. 2.28: PM_01 - Sigmaxy [MPa] dřevo prutový model 23

Nosné konostrukce ze dřeva a jejich statika Obr. 2.29: PM_01 - Deformace [mm] prutový model Obr. 2.30: PM_01 - Normálové síly vruty [kn] prutový model Obr. 2.31: PM_01 - První vlastní tvar f1 = 4.6329 [Hz] - prutový model Obr. 2.32: PM_01 - Druhý vlastní tvar f2 = 14.3897 [Hz] - prutový model 24

Sborník přednášek Tab. 2.4: PM_01 - Protokol o výpočtu Calc protokol Výpocet vlastních tvaru Pocet 2D prvku 0 Pocet 1D prvku 311 Pocet uzlu síte 244 Pocet rovnic 1464 Kombinace skupin hmot MK 1 Pocet frekvencí 4 Ohybová teorie Mindlin Suma hmot [kg] X Y Z Kombinace skupin hmot 1 3554.24 3540.73 3554.14 Souc. participace tvaru Císlo Omega Perioda Frek. Pomer Wxi / Wyi / Wzi / [Hz] tlumení Wxtot Wytot Wztot 1 29.1095 0.2158 4.6329 0.0000 0.0019 0.0000 0.8087 2 90.4130 0.0695 14.3897 0.0000 0.0012 0.0000 0.0000 První vlastní tvar má frekvenci 4.632 Hz a kmitá s účinnou hmotou 80.87 % ve svislém směru ve tvaru křivky sinus s jednou vlnou. Druhý vlastní tvar má frekvenci 14.3897 Hz a kmitá s účinnou hmotou 0.120 % ve vodorovném směru ve tvaru křivky sinus se dvěma vlnami. 2.6 Závěry A) Shoda mezi jednotlivými variantami modelů ve SCIA je dobrá. Jednotlivé modely se liší především z důvodů různého modelování Spřažení a také kombinací mezi pruty a skořepinami. B) Shoda mezi modely SCIA a výpočty SFS intec je také dobrá, rozdíly mohou být způsobeny drobnými odlišnostmi v hodnotách materiálových konstanta a nastavením prokluzů. C) V rámci přijatých zjednodušení konstrukce modelu a okrajových podmínek se dosahuje podobných výsledků pro všechny typy modelů. D) Výhodou specializovaného softwaru je jeho uživatelská přátelskost a možnost efektivního a hospodárného návrhu spřažení dřevo-betonového stropu. E) Výhoda obecného softwaru SCIA je v jeho možnosti různých modifikací přípojů a nastavení tuhostí jak přípojů a tak i celé konstrukce. Mimoto lze konstrukci modelovat v širších souvislostech což je výhodné třeba pro modální analýzu vlastních tvarů třeba z důvodu kročejové neprůzvučnosti (odpor proti rozkmitání). F) Dalším krokem v modelování jak v programu SFS intec tak i SCIA je časová širší závislost spřažení na okrajových podmínkách. SFS intec tuto skutečnost postihuje zmenšováním tuhostí přípojů a materiálů což je možné také ve SCIA. G) Modelování těchto zpražených konstrukcí pomocí výše uvedených softwarů vede k bližšímu pochopení přerozdělení vnitřních sil a tím k také k bezpečnějšímu a hodnotnějšímu návrhu tohoto typů konstrukcí. 25

Nosné konostrukce ze dřeva a jejich statika 2.7 Přílohy Tab. 2.5 představuje srovnání výpočtu prokluzu podle SFS intec a DIN_1052. Prokluzy a únosnosti jsou v charakteristických hodnotách. Prokluz K ser by se násobil pro případy únosnosti ještě hodnotou 1/3 a dělil případně součinitelem materiálu γm (a pro třídy prostředí podle zatřídění by se prokluz ještě násobil hodnotou 2/3 1/5). Únosnost by se dělila γm a násobila k mod. Tyto hodnoty jsou odvislé od třídy prostředí a okrajových podmínek konkrétní úlohy. Modul prokluzu a únosnost podle DIN 1052 se vynásobí dvakrát, protože zde byla počítána pro jeden spojovací prostředek. Hodnoty podle DIN 1052 jsou uvažovány konzervativně pro vrut brán jako nepředvrtaný hřebík. Jak lze vidět podle grafu únosností v levém horním rohu je únosnost vrutů namáhaných v jejich ose téměř srovnatelná s únosností vrutů namáhaných kolmo k jejich ose. Zato tuhost spoje je pro vruty namáhané v ose cca 3.6-6.8 x vyšší než pro vruty namáhané kolmo k jejich ose. Jak lze vidět tak u vrutů namáhaných kolmo k jejich ose dochází také k počátečnímu prokluzu vlivem dosednutí spoje mezi nosné prvky. Vrut (křižný pár vytváří příhradový spoj tlak - tah) namáhaný v ose je aktivován téměř okamžitě po instalaci a nedochází u něho k měknutí vlivem ohybu vrutu tak jak je tomu u vrutu namáhaného kolmo na jeho osu. NA spodním levém obrázku Tab. 2.5 jsou vruty SFS, v tomto dokumentu byl použit vrut VB-48-7.5x100. V pravém sloupci tabulky A_02 jsou vybrané vzorce prokluzů a únosností podle SFS intec a DIN 1052. Tyto vzorce jsou pouze doplňující a pro reálný výpočet je třeba zohlednit okrajové podmínky úlohy a normové předpoklady a vztahy v širších souvislostech. Obecně lze říci, že vruty navrutované pod úhlem 45 stupňů vykazují vyšší únosnosti a tuhost než vruty instalované kolmo na nosný prvek a namáhané kolmo k ose vrutu. Tab. 2.5: PM_01 - Protokol o výpočtu 26

Sborník přednášek Výsledky porovnání: A) Prokluz K ser,sfs = 25 MNm -1 (tuhost v ose vrutů) = 25*cos(45) = 17.677 MNm -1 K ser,din = 2*1.3128 = 2.625 MNm -1 (nepředvrtané vruty, síla na osu) K ser,din = 2*ρk 1,5 *d/20 =2*350 1.5 *7.5/20 = 4.910 MNm -1 (předvrtané vruty, síla na osu) K ser,din = 2*780*d 0.2 *l ef 0.4 (tuhost v ose vrutů) *cos(45) = 10.414 MNm -1 l ef = 100 mm B) Únosnost T k,sfs = 16.6 kn (únosnost v ose vrutů) = 16.6*cos(45) = 11.737 kn T k,din = 2*4.892 = 9.784 kn (nepředvrtané vruty) Na Obr. 2.33 je přerozdělení napětí po spřaženém dřevobetonovém průřezu. Jsou zde také možnosti uložení železobetonové desky na nosnou konstrukci. 27

Nosné konostrukce ze dřeva a jejich statika Obr. 2.32: PM_01 - Druhý vlastní tvar f2 = 14.3897 [Hz] - prutový model Seznam použitých zdrojů [1] Mönck, W., Rug, W.: Holzbau, 14. Veränderte Auflage, Verlag für Bauwresen, Berlin 2000 [2] Lißner, K., Rug, W: Holzbausanierung - Grundlagen und Praxis der sicheren Ausführung [3] Podklady firmy SFS intec 28

Sborník přednášek 3 Vzpěr podle EC5 s porovnáním dle numerických modelů Ing. MICHAL ŠOPÍK, Ing. DAVID MIKOLÁŠEK 3.1 Vzpěr tlak Se vzpěrem se setkáváme ve stavební praxi velmi často a na různých příkladech. Je to jeden ze základních způsobů namáhání konstrukce nebo její části při výskytu vlivu teorie druhého řádu na přerozdělení vnitřních sil. Obr. 3.1: Geometrie zadané úlohy (vlevo), příklad klopení ocelového prvku (vpravo) Vzpěr vzniká v tlačených konstrukcích. Při vzpěru vzniká mimo tlaková namáhání v průřezu také dodatečné napětí vlivem ohybu. Ohyb je způsoben vlivem imperfekcí, které má každá reálná konstrukce. Imperfekce mohou být geometrické, materiálové nebo mohou být způsobeny excentrickým uložením nebo zatížením. Uložení samo o sobě může být silným nosičem imperfekcí. Pokud není tuhost uložení dostatečná, tak se mohou tyto imperfekce projevit až v průběhu výpočtu, kdy je zahrnut vliv druhého řádu. Druhý řád ve výpočetní praxi je označení způsobu řešení dané úlohy, kdy rovnováha sil je uvažována na zdeformované konstrukci. Mimo vzpěr ještě rozeznáváme klopení a boulení. Při vzpěru dochází ke ztrátě stability celého průřezu po délce prvku, viz Obr. 3.1 (zde byl zvolen obrázek s ocelovou konstrukcí, protože u ocelových prvků je zřetelnější deformace po dosažení vzpěru dřevo by prasklo - ocel splastizuje). Klopení se týká především vysokých nosníků, kdy na rozdíl od vzpěru dochází ke ztrátě stability tlačené části průřezu. Tento efekt vzniká při zatížením ohybovým momentem, kdy je jedna strana tažená a druhá tlačená, a tlačený průřez není po délce zajištěn proti klopení. Boulení se týká především stěn vystavených tlaku plochy 29

Nosné konostrukce ze dřeva a jejich statika lokálně ztrácejí stabilitu. Tento jev je významný především u vysokých štíhlých ocelových konstrukcí, kde musí být toto chování bráno na zřetel (lokálně se konstrukce vyztužuje žebry, viz EC3). 3.2 Cíl studie vzpěru Řešení diferenciální rovnice vzpěru pro základní typy uložení včetně zjednodušených předpokladů chování zkoumaného prvku je známo od dob matematika Eulera. Toto řešení je platné pro malé výchylky (natočení střednice prutu). Eulerovo řešení je pro praktické úlohy technické praxe dostatečné pro svou jednoduchost a výstižnost. Cílem této práce je porovnat 3 základní způsoby návrhu dřevěného sloupu zatíženého tlakovou silou: A) První řešení je dáno odhadem únosnosti pro perfektní (střednice je přímka) konstrukci podle vzorce Eulera. B) Druhé řešení je dáno normovým výpočtem podle DIN 1052 nebo EC5. Zde je řešení založeno na zahrnutí imperfekcí do zkoumaných rovnic. Výsledkem je pak stanovení maximálního zatížení, při kterém je v krajních vláknech dosaženo meze kluzu materiálu. C) Třetí řešení je založeno na metodě konečných prvků a to na programu SCIA a ANSYS. Kde vzpěrná únosnost bude v prvním kroku stanovena podle stability, což odpovídá řešení podle Eulera. Dále bude využit imperfektní tvar ze stability jako deformovaná geometrie pro výpočet podle druhého řádu. Takto zdeformovaná konstrukce bude zatěžována a bude hledáno maximální tlakové zatížení, než v konstrukci vzniknou první napětí na mezi kluzu (mimo lokalit numerické a geometrické + materiálové). Program SCIA disponuje posudkem podle EC5, což bude možné pro kontrolu srovnat s bodem b). Tab. 3.1: Vzorce a vazby pro výpočet Eulerovi kritické síly 30

Sborník přednášek V Tab. 3.1 jsou shrnuty základní vzorce podle Eulera. Je zde také zobrazeno schéma základních typů upnutí konců prutů. Tyto okrajové podmínky, vnější vazby, jsou idealizované. Ve skutečnosti je většina vnějších vazeb polotuhých. Pro polotuhé vazby vycházejí vzpěrné délky o vyšších hodnotách. Pro běžnou praxi jsou koncové vazby většinou dostatečně tuhé, aby se tyto idealizované násobky skutečné délky mohly bezpečně použít pro výpočet vzpěrné délky. 3.2.1 Materiálové charakteristiky V Tab. 3.2 jsou materiály použité v numerickém modelu v programu ANSYS. Jde o hodnoty blízké k reálným vlastnostem dřeva třídy C22 a nerezové oceli. Model ANSYS je brán jako ortotropní s uvážením geometrické a fyzikální nelinearity, imperfekce dřeva a ocelových spojovacích prvků. Tab. 3.2: Materiálové charakteristiky pro dřevo, sloupek a ocelovou botku dřevo ortotropní (modifikované Ex = E0.05) E X 2/3*10000/1.3 = 5128 [MPa] E Y 900 [MPa] E Z 500 [MPa] ni XY 0.47 [-] ni YZ 0.27 [-] ni XZ 0.37 [-] G XY 752 [MPa] G YZ 39 [MPa] G XZ 720 [MPa] anisotropic hardennig (varianta_22) X Y Z f y,ten 22 2 2 [MPa] tg y,tensil 20 20 20 [MPa] f y,com 22 2 2 [MPa] tg y,com 20 20 20 [MPa] f y,shear 2.5 1 2.5 [MPa] tg y,shear 7 2 7 [MPa] ocelová botka nerez ocel E 197000 [MPa] ni 0.304 [-] strain 0.0013706 0.0017 0.0021 0.01 0.042 0.1 0.25 0.45 [-] stress 270 300 340 490 620 710 860 1020 [MPa] 3.2.2 Zatížení studované konstrukce Zatížení je simulováno prostřednictvím tlakové síly do horní části sloupu. V ručním výpočtu a numerickém prutovém modelu a ve skořepině SCIA je zatížení zvoleno jako silové. V modelu ANSYS 3D objemové prvky je zatížení zvoleno jako deformační ve vstupní hodnotě 70 mm. Deformační varianta zatížení je numericky stabilnější a dovoluje získat také sestupné větve pracovního diagramu blíže grafu na Obr. 3.11. 31

Nosné konostrukce ze dřeva a jejich statika 3.3 Jednotlivé typy modelů V této kapitole jsou uvedeny základní způsoby získání únosnosti tlačeného sloupku 100x200 C22. 3.3.1 Přibližné řešení pomocí Eulerových rovnic kritická síla podle Eulera F crit = π 2 *EI/L 2 =3.1416 2 *5.128*10 9 *1/12*0.2*0.1 3 /3 2 = 93.724 kn Podle výpočtu vzpěrné kritické síly z tohoto vzorce pro E = 5.128 GPa získáme hodnotu 93.724 kn. 3.3.2 Normové způsoby řešení Jedním ze způsobů je výpočet podle DIN 1052 nebo EC5. Jeho rozpis je uveden v Tab. 3.3. Tab. 3.3: Posudek únosnosti sloupku podle EC5 Příklad 2.0 Určete návrhovou únosnost kloubově uloženého sloupu průřezu 100x200 mm a délky l=a*3,0m. Sloup je zatížen střednědobou silou. Provedeno z rostlého dřeva třídy pevnosti C22 a zabudován ve třídě provozu 1. koeficienty A a b 1.0 1.0 Návrhová pevnost v tlaku fc,0,k= 20 MPa E 0,05 = 6,700 MPa kmod= 0.8 fc,0,d= fc,0,k*kmod/γm fc,0,d= 12.31 MPa γm= 1.3 Štíhlostní poměr λ= lef/i λ= 103.9 lef= l lef= 3.0 m i= (I/A)^0,5 i= 28.9 mm I= (1/12)*b*h^3 I= 16666666.7 mm4 A= b*h A= 20000 mm2 σc,crit= π 2 *E 0,05 /λ 2 σc,crit= 6.12 MPa λrel= (fc,0,k/σc,crit)^0,5 λrel= 1.81 Součinitel vzpěrnosti k= 0,5*[1+βc(λrel- k= 2.28-0,3)+λrel 2 ] kc= 1/k+(k 2 -λrel 2 )^0,5 kc= 0.27 Návrhová únosnost σc,0,d/ 1 kc*fc,0,d σc,0,d= Nd/A A*kc*fc,0,d= Nd A*kc*fc,0,d= 66.88 kn 32

Sborník přednášek V Tab. 3.3 je uveden normový postup výpočtu v prostředí Excel únosnosti sloupku pro redukovaný modul pružnosti dřeva rovnoběžně s vlákny. Maximální napětí v tlačených vláknech je dáno hodnotou 13.538 MPa. Tato hodnota bude použita pro dosaženou limitní hodnotu v napětí u numerických modelů. Je to z důvodu stejného přístupu k návrhu pro normové postupy a numerické výpočty. Numerický výpočet nemusí kolabovat pro danou hodnotu napětí v krajních vláknech. Tab. 3.4: tabulka posudku únosnosti sloupku podle EC5 viz Obr. 1 podle SCIA posudku Posudek dřeva EUROCODE 5 - NÁVRH DREVENÝCH KONSTRUKCÍ, ENV 1995-1-1. Tah rovnobežný s vlákny (5.1.2) Tlak rovnobežný s vlákny (5.1.4) Ohyb (5.1.6a a 5.1.6b) Smyk (5.1.7.1) Krut (5.1.8) Kombinace ohybu a osového tahu (5.1.9a a 5.1.9b) Kombinace ohybu a osového tlaku (5.1.10a a 5.1.10b) Sloupy a nosníky (5.2.1e a 5.2.1f) Detailní výpis, Nosník : B1, L=3.000m, RECT, C22 Materiál : C22 Trída vlhkosti : 1 gamma m =1.30 k m =1.00 rez=0.000m kombi únos.=1 k mod = 0.80 Posudek únosnosti N Vy Vz Mx My Mz Návrhová -66.9[kN] 0.0[kN] 0.0[kN] 0.0[kNm] 0.0[kNm] 0.0[kNm] síla Návrhové -3.3[MPa] 0.0[MPa] 0.0[MPa] 0.0[MPa] 0.0[MPa] 0.0[MPa] napetí Limitní 12.3[MPa] 1.5[MPa] 1.5[MPa] 1.5[MPa] 13.5[MPa] 13.5[MPa] napetí Jedn. posudek 0.27 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 AISC LRFD 2005 0.27 (5.1.4) Ohyb : 0.00 (5.1.64) Posudek stability L0 k L lam sigma krit lam_rel beta c k kc m m MPa k crit Y 3.00 1.00 3.00 51.96 24.5 0.904 0.20 0.949 0.81 Z 3.00 1.00 3.00 103.92 6.1 1.807 0.20 2.264 0.28 LTB 3.00 1.00 3.00 100.4 0.468 1.00 Tlak (5.2.1) : 0.99 (5.2.1e) Ohyb (5.2.2) : 0.00 Maximální jednotkový posudek = 0.99 - průřez vyhovuje. V Tab. 3.4 je normový postup výpočtu v prostředí SCIA únosnosti sloupku. Posudek SCIA musí být stejný jako posudek normový, protože jde o stejný postup dimenzování. Výhodou SCIA prostředí je možnost efektivně měnit průřezy a okrajové podmínky modelu a tomuto se přizpůsobí také posudek. 33

Nosné konostrukce ze dřeva a jejich statika Posudek je zde vztažen na lineární výpočet. Z toho vyplívá, že v numerickém modelu je zanedbán vliv druhého řádu a tento vliv je zahrnut v posudku prostřednictvím odvozených vztahů a imperfekce prvku. Tento postup je rychlý a poměrně přesný. Abychom mohli takovýto postup (lineární výpočet) použít, musí konstrukce a její okrajové podmínky splňovat některá kritéria a podmínky. Zejména jde o celkovou stabilitu konstrukce jako celku a dostatečnou tuhost upnutí a vazeb jednotlivých prvků konstrukce i konstrukce jako celku (jinak by neplatily vztahy pro určení kritické vzpěrné délky). Pokud se vnitřní síly konstrukce při výpočtu podle druhého řádu nezmění více jak o 10%, lze počítat podle teorie prvního řádu (geometricky lineární výpočet). Tento efekt nám říká, že tuhost celku je natolik velká, že deformace jsou malé a nedojde ke změně vnitřních sil na konstrukci. Pomocí numerických modelů a stabilitních výpočtů můžeme najít násobky kritických zatížení a z nich určit vzpěrné délky. Toto však předpokládá širší znalosti a zkušenosti konstruktéra. 3.3.3 Model ve SCIA - prut a skořepina a ANSYS objemový model stabilitní řešení úlohy Pro stabilitní výpočet byla uvažována vstupní tlaková síla o velikosti F0 = 100 kn a modul pružnosti rovnoběžně se směrem vláken E = 5.128 GPa. Hodnota F 0 byla zvolena na základě jednoduchostí úprav při matematických operacích. N1 = 0.99 N2 = 3.86 N1 = 3.86 N1 = 8.36 Obr. 3.2: Vzpěr a jeho násobky zatížení F 0 = 100 kn pro prutový model SCIA 34

Sborník přednášek N1 = 0.99 N2 = 3.86 N1 = 3.94 N1 = 8.33 Obr. 3.3: Vzpěr a jeho násobky zatížení F 0 = 100 kn pro skořepinový model SCIA N1 = 0.929 N2 = 3.628 N1 = 3.629 N1 = 7.854 Obr. 3.4: Vzpěr a jeho násobky zatížení F 0 = 100 kn pro objemový model ANSYS Na obrázcích Obr. 3.2 až Obr. 3.4 jsou čtyři vlastní tvary stability. Jak je patrné z jejich tvarů a velikosti násobku, jsou získané hodnoty pro prutový model, skořepinový model SCIA a objemový model ANSYS téměř shodné. Rozdíly jsou vidět pouze u druhého a třetího vlastního tvaru. Zde jsou vlastní tvary prohozeny u skořepinového a objemového modelu oproti prutovému modelu. Rozdíl je způsoben tím, že u prutového modelu je násobek druhého a třetího vlastního tvaru shodný, a proto je pozice těchto dvou vlastních tvarů zaměněna. Tedy třetí vlastní tvar by mělo být vybočení v rovině vyšší tuhosti prvku. První vlastní tvar vybočuje podle předpokladů na měkkou osu prvku. Jedná se energeticky nejvýhodnější geometrii při vneseném tlakovém zatížení při ztrátě stability. Rozdíly mezi hodnotami SCIA a ANSYS je dán skutečností, že ANSYS je 3D objemový model s uvážením ortotropních vlastností dřeva, takže je globálně měkčí než prutový a skořepinový izotropní model. 35

Nosné konostrukce ze dřeva a jejich statika 3.3.4 Modely zahrnující druhý řád - geometrická nelinearita Podle DIN 10520 pro pružný výpočet podle teorie druhého řádu je pro konstrukci složenou z prutů nutné redukovat modul pružnosti rovnoběžně s vlákny takto E = E 0,mean /γ M a pro jednotlivé pruty E = 2/3*E 0,mean /γ M. V řešeném příkladu jde o jeden prut sloup, takže je zvolen modul pružnosti rovnoběžně s vlákny hodnotou E = 5.128 GPa. Limitní napětí na straně tlakových vláken je stanoveno podle DIN 1052 na f m,d = 13.538 MPa. Jedná se o tlak za ohybu. V prvku vznikají dvě složky napětí, první je od prostého tlaku a druhá je od ohybu. Napětí od ohybu je způsobeno dostřednou tlakovou silou a excentricitou střednice. Numerické modely ve SCIA a v ANSYS byly počítány pro imperfekce střednicové osy roviny podle prvního vlastního tvaru vybočení s hodnotou amplitudy y max = L/210 = 3000/210 = 14.286 mm. Podle posudku normy EC5 a DIN 1052 je maximální dostředné zatížení na prut pro střednědobou sílu a materiál C22 F max = 66.88 kn. Toto zatížení bylo použito v nelineárním výpočtu ve SCIA. Modul posunutí pro mechanické spoje se musí uvažovat jako násobek poměru modulů pružnosti E 0,05 /E 0,mean viz dále DIN 1052. Spoje tvoří významnou složku ve zmenšení globální a lokální tuhosti u dřevěných konstrukcí. Pro použití prvku ve 3 třídě vlhkosti pro prvek vystavený dominantnímu tlaku v rozhodující kombinaci zatížení je nutné významně redukovat tuhost a únosnost prvku. Obr. 3.5: Napětí rovnoběžně s vlákny [MPa] prutový model SCIA (tah vlevo, tlak vpravo) Obr. 3.6: Napětí rovnoběžně s vlákny [MPa] skořepinový model SCIA (tah vlevo, tlak vpravo) Na Obr. 3.5 jsou tlaková a tahová napětí rovnoběžně s vlákny na prutovém modelu. Na vedlejším Obr. 3.6 jsou ta samá napětí na skořepinovém modelu. Je zde vidět, že pro nastavenou imperfekcí a vnášenou sílu je výpočtem podle druhého řádu dosaženo stanoveného napětí na straně tlačených vláken zkoumaného dřevěného sloupku. 36

Sborník přednášek Uz =28.5 mm Sy =-13.4 až 7 MPa Uz =274.57 mm Sy =-81.4 až 72.3 MPa Obr. 3.7: ANSYS lin_d_22_a - Napětí rovnoběžně s vlákny [MPa] (vpravo), deformace [mm] pro cca F=70 kn (vlevo) Obr. 3.8: ANSYS lin_d_22_a - Napětí rovnoběžně s vlákny [MPa] (vpravo), deformace [mm] pro cca F = 90 kn (vlevo) Na Obr. 3.7 a Obr. 3.8 jsou tlaková a tahová napětí rovnoběžně s vlákny na objemovém modelu lin_d_22_a. Obr. 3.7 představuje dosaženou vodorovnou deformaci uprostřed sloupku. Obr. 3.7 znázorňuje dosažené napětí po objemu modelu. Hodnoty na těchto dvou obrázcích jsou vybrány pro dosaženou sílu cca 70 kn, která odpovídá normové maximální únosnosti v tlaku sloupku. Levá část Obr. 3.8 představuje maximální vodorovnou deformaci a pravá část dosažené napětí. Tyto hodnoty byly dosaženy pro vnesené svislé zatížení 70 mm. Uz =297.074 mm Sy =-23.27 až 22.85 MPa Uz =300.505 mm Sy =-14.75 až 14.45 MPa Obr. 3.9: ANSYS nel_d_22_a - Napětí rovnoběžně s vlákny [MPa] (vpravo), deformace [mm] pro cca F = 37 kn (vlevo) Obr. 3.10: ANSYS nel_d_13.4_a - Napětí rovnoběžně s vlákny [MPa] (vpravo), deformace [mm] pro cca F = 22.5 kn (vlevo) 37

Nosné konostrukce ze dřeva a jejich statika Na Obr. 3.9 a Obr. 3.10 jsou tlaková a tahová napětí rovnoběžně s vlákny na objemovém modelu nel_d_22_a a nel_d_13.4_a. Obr. 3.9 ukazuje dosaženou vodorovnou deformaci uprostřed sloupku. Obr. 3.9 znázorňuje dosažené napětí po objemu modelu. Hodnoty jsou vybrány pro vnesené svislé zatížení 70 mm. Levá část Obr. 3.10 představuje maximální vodorovnou deformaci a pravá část dosažené napětí. Tyto hodnoty byly dosaženy pro vnesené svislé zatížení 70 mm. Na obou obrázcích napětí je vidět, že dřevo se chová jako plastické v tahu i tlaku. Takto se reálné dřevo nechová - v tahu se chová křehce a téměř lineárně. Obr. 3.11: ANSYS nel_d_13.4_b Síť konečných prvků na prutu (vlevo), napětí rovnoběžně s vlákny [MPa](uprostřed) a deformace [mm] pro cca F = 70 kn (vpravo) Na Obr. 11 jsou tlaková a tahová napětí rovnoběžně s vlákny na objemovém modelu nel_d_13.4_b. První levý Obr. 3.11 je zobrazení konečně prvkové sítě objemového modelu. Síť pro daný problém byla vytvořena jemná a měla cca 42 000 stupňů volnosti. Druhý obrázek zleva je detailní zobrazení napětí rovnoběžně s vlákny. Na objemovém modelu a na jeho řezu je vidět nerovnoměrné rozložení napětí. Je to způsobeno rozdílným nastavením v tlaku a v tahu pro směr rovnoběžně s vlákny, což se přibližuje ke skutečnému pracovnímu chování dřeva. Taky je patrné, že v tahu nedochází téměř k plastizaci, zatímco v tlaku ano. Tento efekt způsobuje křehké chování dřeva v tahu (smyku). To vedlo k ukončení konvergence pro tento model a tím stanovení jeho maximální únosnosti. Na pravém části obrázku je zobrazena deformace prutu ve chvíli kolapsu. 38

Sborník přednášek Obr. 3.12: Grafy jednotlivých modelů v ANSYS pro různé druhy materiálových nastavení Na Obr 3.12 jsou čtyři řešené modely v ANSYS. Pátá a šestá přímka je hodnota únosnosti podle normy a Eulera. Normová hodnota je srovnávací únosnost pro únosnosti získané výpočtem s imperfekcemi podle teorie druhého řádu. Euler vychází z rovnic v odstavci 3.3.1. Modrá křivka lin_d_a představuje lineární materiálový model dřeva, kde síla pro vnášenou deformaci stále stoupá a blíží se při hodnotě svislé deformace 70 mm k 90 kn. Podle Obr. 3.4 má první vlastní tvar násobek 0.929. Tento model by měl mít bod zlomu kolem 93 kn svislé tlakové síly. Model nel_d_22_a, zlatá křivka, je počítán jako materiálově nelineární podle Tab. 3.2. Vidíme zde sestupnou větev pro sílu cca 78 kn pro svislou deformaci cca 10 mm. Zde se projevuje efekt změkčení tuhosti konstrukce a tím také její odolnosti ve vzpěru vlivem materiálové nelinearity. Model nel_d_13.4_a, zelená křivka, je počítán jako materiálově nelineární podle Tab. 3.2 s modifikovanou mezí kluzu ortotropních vlastností numerického modelu. Tyto hodnoty jsou stanoveny jako bilineární pracovní diagram pro tah a tlak rovnoběžně s vlákny na 13.4 MPa se zpevněním 20 MPa. Vidíme zde sestupnou větev pro sílu cca 70 kn při svislé deformaci cca 5.7 mm. Zde se projevuje efekt změkčení tuhosti konstrukce a tím také její odolnosti ve vzpěru vlivem materiálové nelinearity. Model nel_d_13.4_b, tmavě červená barva křivky, je počítán jako materiálově nelineární podle Tab. 3.2 s modifikovanou mezí kluzu ortotropních vlastností numerického modelu. Tyto hodnoty jsou stanoveny jako bilineární pracovní diagram pro tah a tlak rovnoběžně s vlákny na 13.4 MPa se zpevněním 3400 MPa pro tah a 20 MPa pro tlak. Vidíme zde sestupnou větev pro sílu cca 70 kn pro svislou deformaci cca 5.7 mm. Zde se projevuje efekt změkčení tuhosti konstrukce a tím také její odolnosti ve vzpěru vlivem materiálové nelinearity. Jak je vidět tento model zkolaboval nebyl schopen konvergovat pro vyšší svislou deformaci. Je to způsobeno změkčením vlivem materiálové nelinearity a tím k vyšší vodorovné deformaci. Tyto efekty společně s druhým řádem a rozdílným zpevněním pro tah (křehké chování) a tlak (visko plastické chování) rovnoběžně s vlákny způsobí, že prvek již není schopen roznést dále vnášené zatížení a zkolabuje (prasknou vlákna na tažené straně a prvek se prolomí). 39

Nosné konostrukce ze dřeva a jejich statika Na těchto jednotlivých křivkách grafu vidíme, že pružná odezva prvku sloupku je v oblasti kolem 64 kn. Dále od této síly ještě sledujeme nárůst síly a pak dochází buď k poklesu síly, nebo k prolomení. Podle toho jaký pracovní diagram použijeme. Z výsledků je patrné, že hodnota podle normy 66.88 kn je u všech numerických modelů dosažena. Modely se zahrnutím materiálové nelinearity a rozdílného chování v tahu a v tlaku rovnoběžně s vlákny (v jiných směrech pro tento případ zatěžování není nutné používat rozdílné zpevnění pro tah a tlak) dobře korespondují s maximální únosností stanovenou normou. Je třeba dodat, že normový postup vychází ze zmenšených modulů pružnosti rovnoběžně s vlákny a se zmenšenou únosností dřeva. Pokud bychom uvažovali s charakteristickými hodnotami pro danou třídu pevnosti dřeva, dostali bychom vyšší hodnoty zatížení dřevěného prvku. Proto nám dává normový postup návrhu rezervu, která je ovšem k vlivu nehomogenity a nepředpokládaným vlivům (montáž a výběr řeziva) nutná a na bezpečné straně. 3.4 Srovnání výsledku jednotlivých řešení Jednotlivé způsoby řešení této úlohy únosnosti prvku při dostředném tlaku měly za cíl srovnat různé metody výpočtu, od ručních výpočtů přes normy až po komplexnější modely. Ty zahrnovaly více typů nelinearit (geometrickou a fyzikální) včetně ortotropie dřeva a různých typů pracovních diagramů dřeva, včetně respektování odlišného chování v tlaku a v tahu u dřevěných prvků. Všechny způsoby řešení v této práci dosáhly téměř shodných velikostí únosnosti a deformací. Prutový model dosahuje shodných výsledků se skořepinovým. U modelů SCIA nebyla uvažována ortotropie dřeva a jak vyplívá z dosažených výsledků, není to pro tuto úlohu rozhodující. Prvek je namáhán v podélné ose rovnoběžně s vlákny, takže odlišné tuhosti v jiných směrech nehrají při výpočtu významnou roli. A) Shoda mezi jednotlivými variantami modelů norma a SCIA a ANSYS je dobrá. Jednotlivé modely se liší především z důvodů různého typu složitosti řešené úlohy. B) Únosnosti podle ANSYS jsou ve shodě s hodnotami únosností podle norem DIN1052, EC5 a modely SCIA. Hodnoty z ANSYS jsou mírně nižší z důvodu vlivu ortotropních vlastností modelu a jeho povahy jako 3D objemového modelu. C) V rámci přijatých zjednodušení konstrukce modelu a okrajových podmínek se dosahuje podobných výsledků pro všechny typy modelů. D) Výhodou specializovaného softwaru ANSYS je jeho možnost upozornit na kritická místa spoje v době návrhu a provést případné optimalizace před výrobou. E) Pokud bychom do výpočtu zahrnuly průměrné reálné hodnoty charakteristických pevností a tuhostí dřevěného sloupku 100x200x3000 C22 E = 10 GPa tak dostaneme únosnost podle Eulera cca 182.77. Tato hodnota ale nezohledňuje imperfekce (výrobní + materiálové + montážní) a vliv třídy prostředí a trvání zatížení. Pokud bychom postupovali podle normy, ale s hodnotou modulu pružnosti E = 10 GPa místo E = 6.7 GPa (nutné pro výpočet sigma kritického), tak dostaneme únosnost cca 95 kn. F) Dalším krokem v numerické modelování je verifikovat numerické modely pomocí fyzikálních zkoušek (dostupné v laboratořích VŠB TU Ostrava Fakulta stavební) a tím dosáhnout optimální úrovně návrhu pomocí norem a metody konečných prvků (vhodná je kombinace s programem SCIA). G) Modelování těchto konstrukcí pomocí výše uvedených softwarů vede k bližšímu pochopení přerozdělení vnitřních sil a tím k také k bezpečnějšímu a hodnotnějšímu návrhu tohoto typů konstrukcí. 40