Úloha 1: V naší studii se zabýváme poptávkovou funkcí životního pojištění, vycházíme z dat nasbíraných v letech 1959 1994. Ke zpracování dat byl použit statistický software R. Základní model poptávkové funkce, ze kterého vycházíme, je: LIFE = β 1 DPI β2 PRELLIFE β3 v Proměnná LIFE označuje souhrnné roční výdaje na životní pojištění, DPI celkový disponibilní důchod spotřebitelů, PRELLIFE reálný cenový index životního pojištění a konečně v značí disturbance. Prostým zlogaritmováním převedeme model na následující tvar: ln(life) = β 0 1 + β 2 ln(dpi) + β 3 ln(prellife) + u Pochopitelně uvažujeme β 0 1 = ln(β 1 ) a u = ln(v). Předpokládáme rovněž, že u má normální rozdělení, tedy že v má lognormální rozdělení. Použijemeli k odhadu parametrů β 0 1, β 2 a β 3 metodu nejmenších čtverců, dojdeme k následujícím závěrům: ˆβ 0 1 = 4, 39, ˆβ 2 = 1, 37, ˆβ 3 = 0, 67 Dále 95% intervaly spolehlivosti parametrů jsou β 0 1 ( 6, 12 ; 2, 66), β 2 (1, 17 ; 1, 58) a β 3 ( 1, 36 ; 0, 02). Výše uvedené údaje znamenají, že na hladině 5 % nemůžeme zamítnout hypotézu β 3 = 0 a model tedy ukazuje, že vliv cenového indexu životního pojištění na poptávku po něm je velmi slabý. Naproti tomu na hladině 5 % můžeme zamítnout hypotézu β 2 = 1, výdaje na životní pojištění tedy rostou s přírůstkem disponibilního důchodu rychleji než sám disponibilní důchod a životní pojištění model označil za luxusní statek. Tento výsledek je plně v souladu s ekonomickou teorií i praxí. Model vysvětluje poptávku velmi dobře, hodnota R 2 = 95, 79%, bohužel však zřejmě nejsou splněny předpoklady regresního modelu. D Agostinův test sice nezamítá normalitu reziduí na hladině 5 %, avšak grafický náhled na obrázcích 1 a 2 porovnávající teoretické a skutečné rozložení reziduí napovídá, že vše není úplně v pořádku. Dále pak oboustranný Durbin-Watsonův test zamítá hypotézu nulové autokorelace reziduí na hladině 5 % (hodnota DW statistiky je 0,37). Následkem nenulové autokorelace reziduí pak může být jednak snížená síla modelu (která však přesto zůstává relativně vysoká), dále také nadhodnocení signifikance proměnných. Použití modelu v tomto stavu proto není příliš vhodné. 1
2 1 0 1 2 Normal Q Q Residuals vs Fitted Standardized residuals 2 1 0 1 2 15 14 13 Residuals 0.2 0.1 0.0 0.1 13 14 15 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 Theoretical Quantiles lm(data3[, 1] ~ data3[, 2] + data3[, 3]) Fitted values lm(data3[, 1] ~ data3[, 2] + data3[, 3]) Obr. 1 Obr. 2 Další částí naší studie bylo rozdělení souboru dat na časová období 1959 1976 a 1977 1994 a použití stejného modelu, který byl použit pro celý časový úsek, na obě období. Pro starší data (1959 1976) byly vypočteny odhady ˆβ 0 1 = 0, 00, ˆβ 2 = 1, 11, ˆβ 3 = 1, 21 a příslušné 95% intervaly spolehlivosti parametrů jsou β1 0 ( 3, 73 ; 3, 72), β 2 (0, 77 ; 1, 45) a β 3 ( 2, 60 ; 0, 18). Dále mírně poklesla schopnost modelu vysvětlit data, R 2 = 92, 52%. Další charakteristiky jsou podobné jako u modelu aplikovaného na celá data. D Agostinův test nezamítá normalitu reziduí, ale oboustranný Durbin-Watsonův test zamítá hypotézu nulové autokorelace reziduí na hladině 5 % (hodnota DW statistiky je 0,83). Pro vhodnost tohoto modelu tedy platí stejné závěry jako v předcházející části analýzy. Pro novější data (1977 1994) byly vypočteny odhady ˆβ 0 1 = 5, 06, ˆβ 2 = 1, 67, ˆβ 3 = 1, 06 a příslušné 95% intervaly spolehlivosti parametrů jsou β 0 1 ( 6, 59 ; 3, 53), β 2 (1, 25 ; 2, 09) a β 3 ( 1, 71 ; 0, 41). Opět poněkud poklesla schopnost modelu vysvětlit data, R 2 = 90, 17%. Další charakteristiky jsou podobné jako u modelu aplikovaného na celá data. D Agostinův test nezamítá normalitu reziduí, oboustranný Durbin-Watsonův test sice vyšel o něco lépe, ale stále zamítá hypotézu nulové autokorelace reziduí na hladině 5 % (hodnota DW statistiky je 1,41, na hladině 10 % by již hypotéza zamítnuta nebyla). I pro vhodnost tohoto modelu tedy platí stejné závěry jako v předcházejících částech analýzy. S využitím Chowova testu jsme nyní schopni otestovat hypotézu, že mezi modely nedošlo k významné změně parametrů. Příslušná statistika, která vyšla 38,60 tuto možnost na 5% hladině zamítla. Pro ilustraci přikládáme 2
obrázek 3, kde jsou vyneseny hodnoty, kterých nabývá statistika při rozdělení souboru dat na dva za příslušným pozorováním. Obrázek napovídá, že ke změně parametru došlo okolo šestnáctého pozorování, tedy o něco dříve než kde je soubor rozdělen zadáním studie. F statistics 0 20 40 60 80 5 10 15 20 25 30 Time Obrázek 3: Chowův test pro různé podsoubory V další části studie se opět vracíme k práci s celým souborem dat a s využitím Prais-Winstenovy transformace zohledňujeme fakt, že rezidua mají nenulovou autokorelaci. Odhady parametrů nyní vypadají následovně: ˆβ 0 1 = 3, 89, ˆβ 2 = 1, 37, ˆβ 3 = 0, 78 a příslušné 95% intervaly spolehlivosti parametrů jsou β 0 1 ( 6, 31 ; 1, 46), β 2 (1, 04 ; 1, 71) a β 3 ( 1, 70 ; 0, 14). Přímé srovnání s prvním modelem nám ukazuje, že se odhady parametrů příliš neliší a standardní chyby jsou mírně vyšší u modelu s Prais-Winstenovou transformací. Tento model, právě proto, že zohledňuje autokorelaci reziduí, by měl obecně dávat přesnější výsledky než přímé použití metody nejmenších čtverců, nicméně v tomto případě tomu tak docela není. Mimo jiné proto, že odhad koeficientu AR(1) procesu reziduí vyšel 0,81, což je vysoké číslo, které naznačuje, že pomocí autokorelace se model snaží zachytit neodfiltrovanou část trendu časové řady. Ani tento model proto není příliš vhodný pro použití. Poslední částí naší studie je využití upraveného modelu LIFE = β 1 DPI β2 PRELLIFE β3 LIFE β 4 1 v, 3
kde LIFE 1 znamená hodnotu výdajů na životní pojištění v minulém období. Po zlogaritmování získáme model ln(life) = β 0 1 + β 2 ln(dpi) + β 3 ln(prellife) + β 4 ln(life 1 ) + u. Metoda nejmenších čtverců nám dává následující odhady: ˆβ 0 1 = 0, 51, ˆβ 2 = 0, 31, ˆβ 3 = 0, 26, ˆβ 4 = 0, 79 a příslušné 95% intervaly spolehlivosti parametrů jsou β 0 1 ( 1, 88 ; 0, 86), β 2 (0, 02 ; 0, 58), β 3 ( 0, 66 ; 0, 15) a β 4 (0, 61 ; 0, 98). Model dosahuje relativně vysoké vysvětlující schopnosti, hodnota R 2 = 98, 61%. Oboustranný Durbin-Watsonův test nezamítá hypotézu nulové autokorelace reziduí na hladině 5 % (hodnota DW statistiky je 1,92), ale vzhledem k tomu, že mezi regresory je zpožděná vysvětlovaná proměnná, nelze se o tento závěr opřít. Vhodnějším pro tuto situaci je například h-test, hodnota příslušné statistiky je 0,30. To znamená, vzhledem k jejímu asymptoticky normálnímu rozdělení, že hypotézu nulové autokorelace reziduí nemůžeme na hladině 5 % zamítnout. Takto upravený model tedy vysvětluje, podobně jako při použití Prais- Winstenovy transformace v předchozím modelu, autokorelaci časové řady. V tomto případě je za to zodpovědna právě zpožděná vysvětlovaná proměnná, která je základem odhadu následující hodnoty (jak vyplývá z odhadů koeficientů β). Ani v tomto modelu jsme však nezohlednili další faktory, o které by pro dosažení lepších výsledků bylo potřeba rozšířit množinu regresorů. 4
Úloha 2: AR(2) proces je stacionární pokud oba kořeny polynomu 1 = θ 1 z + θ 2 z 2 leží mimo jednotkový kruh. Pro zadané hodnoty θ 1 = 1, 7 a θ 2 = 0, 6 je řešený polynom 1 = 1, 7z 0, 6z 2 a kořeny tedy jsou z 1 = 5 a z 6 2 = 2. Proces tedy není stacionární. MA(2) proces je invertibilní pokud oba kořeny polynomu 1 = α 1 z + α 2 z 2 leží mimo jednotkový kruh. Pro zadané hodnoty α 1 = 1, 4 a α 2 = 0, 3 je řešený polynom 1 1, 4z 0, 3z 2 = 0 a kořeny tedy jsou z 1 = 7 79. = 4, 96 3 a z 2 = 7+ 79. = 0, 30. Proces tedy není invertibilní. 3 5
Úloha 3: Naším úkolem bylo připravit analýzu výnosů akcií zadané společnosti za dva po sobě jdoucí sedmileté cykly (1987 1993 a 1994 2000). Vycházeli jsme z měsíčních dat o výnosech bezrizikových, tržních a společnosti RUFA. Použili jsme model oceňování kapitálových aktiv (CAPM-model) rozšířený o absolutní člen. Tento model porovnává bonus za riziko společnosti s bonusem za riziko celého trhu, (r spol r f ) = α + β(r m r f ), kde r spol jsou výnosy zadané společnosti, r m jsou výnosy trhu a r f je bezrizikový výnos. Teoretická úvaha rovněž předpokládá, že α = 0, tedy že výnosy společnosti lze odvodit až na multiplikativní koeficient a očištění o bezrizikové výnosy z výnosů celého trhu. K odhadům koeficientů α a β jsme použili metodu nejmenších čtverců, výpočetním prostředím byl program R. Pro data za roky 1987 1993 vychází následující odhady parametrů α a β: ˆα = 0, 01, ˆβ = 1, 49 a příslušné 95% intervaly spolehlivosti parametrů jsou α ( 0, 005 ; 0, 03), β (1, 14 ; 1, 84). Na základě výše uvedených údajů nezamítáme na hladině spolehlivosti 5 % hypotézu α = 0. CAPM model je tedy pro tuto společnost validní. Zamítáme však na hladině spolehlivosti 5 % hypotézu β = 1, odhad parametru β vyšel větší než 1, což značí, že akcie společnosti RUFA jsou agresivním cenným papírem. Koeficient determinace, který popisuje, jak dobře model vyhovuje daným datům, je roven 45,73%. D Agostinův test nezamítá na hladině spolehlivosti 5 % normalitu reziduí a oboustranný Durbin- Watsonův test nezamítá hypotézu nulové autokorelace reziduí na hladině 5 % (hodnota DW statistiky je 1,89). Předpoklady metody nejmenších čtverců tedy nebyly porušeny. Pro data za roky 1994 2000 vychází následující odhady parametrů α a β: ˆα = 0, 01, ˆβ = 1, 51 a příslušné 95% intervaly spolehlivosti parametrů jsou α ( 0, 03 ; 0, 01), β (1, 05 ; 1, 97). Na základě výše uvedených údajů nezamítáme na hladině spolehlivosti 5 % hypotézu α = 0, stejně jako v předešlém případě. CAPM model je tedy pro tuto společnost validní i v pozdějším období. Opět zamítáme na hladině spolehlivosti 5 % hypotézu β = 1, odhad parametru β vyšel větší než 1, což značí, že akcie společnosti RUFA jsou agresivním cenným papírem. Koeficient determinace, který popisuje, jak dobře model vyhovuje 6
daným datům, je roven 33,47%. D Agostinův test nezamítá na hladině spolehlivosti 5 % normalitu reziduí a oboustranný Durbin-Watsonův test nezamítá hypotézu nulové autokorelace reziduí na hladině 5 % (hodnota DW statistiky je 1,96). Předpoklady metody nejmenších čtverců tedy opět nebyly porušeny. Posledním cílem naší studie je ověřit hypotézu, že koeficienty α a β jsou v obou modelech shodné. Využijeme Chowova testu, příslušná statistika, která má F-rozdělení o 164 stupních volnosti je S C S 1 S 2 2 S 1 +S 2 2 84 4. = 2, 44. V předchozím vyjádření S 1 značí sumu čtverců reziduí modelu nad staršími daty, S 1 sumu čtverců reziduí modelu nad staršími daty a S C značí sumu čtverců reziduí modelu nad kompletní daty (detaily tohoto modelu v této zprávě nejsou uvedeny). Z porovnání testové statistiky s příslušnými kvantily vyplývá, že na hladině spolehlivosti 10 % hypotézu rovnosti koeficientů zamítáme, zatímco na hladině spolehlivosti 5 % tuto hypotézu zamítnout nemůžeme. Můžeme tedy hovořit (na hladině spolehlivosti 5 %, kterou používáme v celém průběhu studie) o stabilních parametrech CAPM-modelu. Pro zajímavost uvádíme graficky v obrázku 4 hodnoty F-statistiky Chowova testu pro všechna možná rozdělení souboru dat. F statistics 0 2 4 6 8 10 12 40 60 80 100 120 140 Time Obrázek 4: Chowův test pro různé podsoubory 7