Pavel Procházka. Problematika proudění tekutin, laminární proudění, základ fyziky letu, mezní vrstvy a turbulence. seminární práce z fyziky 2003.

Transkript

1 Pavel Procházka Problematika proudění tekutin, laminární proudění, základ fyziky letu, mezní vrstvy a turbulence. seminární práce z fyziky 2003.

2 Jedna z prvních potřeb řešit problematiku proudění kapalin (z počátku zcela výlučně vody) pochází již z Babylónské říše a Egypta, kde byly stavěny zavlažovací kanály. Kanály měly úkol přivádět vodu z vlhkého prostředí(většinou z řek) do míst, kde byla potřeba(většinou pole, nebo zahrady vzdálenější dále od řeky). Největší sít kanálů byla asi v Mezopotámii mezi řekami Eufrat a Tigris, která napájela vodou i známé visuté zahrady v Babylóně. V dnešní době jsem se setkal s největší sítí zavlažovacích kanálů v Turecku, kde jsme byli v pohoří Kačkar. Asi v dvoutisícové výšce nad mořem tekl shora jakýsi potok s docela slušným spádem v lehce zařízlém údolí. Přestože všechny okolní svahy byly písčité a většinou bez vegetace, tenhle se zelenal jako žába. Příčina my zpočátku vůbec nebyla jasná, ale když jsme dorazili na místo vegetace, bylo vše jasné. Vykopané asi pět cm široké stružky protínaly celý kopec křížem krážem. Někdy se dokonce zdálo, že vedou do kopce. Bylo by určitě zajímavé vidět schéma celého systému. To bohužel asi neexistuje, vzhledem k stáří systému, o kterém svědčí zarostlé koryto způsobující přírodně vypadající vzhled celého systému. Další problém je ještě starší než všechny zavlažovací systémy. Je tomu hodně dlouho, co lidé zjistili, že jsou látky, které jsou lehčí než voda, což vedlo ke konstrukci prvních vorů. Téměř okamžitě si konstruktéři všimli, že když klády vpředu nabrousí do tvaru špičky, mnohem se zmenší práce, kterou je nutno vykonat k uvedení voru do pohybu i k udržení jeho samotného pohybu. Eskymáci a Indiáni zase vyzkoumali, že k tomu, aby lod na vodě unesla člověka nemusí pokácet tolik stromů. Jejich plavidla jsou dnes známy jako kajaky a kánoe. Jejich konstrukce je založena na velkém rozdílu hustoty vzduchu a vody. Pak látka, z které je lod postavena, může mít větší hustotou než voda. Látka je rozmístěna po obvodu dna lodi v tenké a vodou nepropustné vrstvě. Tento způsob konstrukce plavidel má jednu nevýhodu. Při zaplavení shora, nebo jakémkoli prolomení spodní vrstvy (dna) se vnitřní prostor, kde byl vzduch, zaplaví vodou a plavidlo ztratí schopnost udržet se na hladině. Přes tuto nevýhodu naprostá většina lod stva, která kdy byla postavena, se zakládala na sytému rozdílu hustoty vzduchu a vody. Tyto lodě již nebyly poháněny bidlem, které mělo problémy s větší hloubkou, ale pádlem. To byl další pokrok, který posunul možnosti pohybu lodě mimo mělčiny. Lodě se neustále zdokonalovaly, rostla jejich velikost, výtlak, rychlost, spolehlivost, atd. Hlavně na rychlosti se podílelo zkoumání proudění tekutin. Další problém byl s přiváděním vody do měst. Pro města, která nebyla přímo u zdroje pitné vody to znamenalo nejen nepohodlí při každodenním životě, ale i jejich značnou slabinu při obléhání nepřátelskými vojsky. Řešení prvního z těchto problému přinesly akvadukty, které přiváděly vodu do měst přes většinu překážek (např. údolí, hory, atd.). Známé akvadukty byly postaveny např. v Římě nebo Konstantinopoli. Druhý problém vyřešil král David při obléhání Jeruzaléma tím, že nechal vykopat tunel, kterým byla do města přiváděna voda, Hydrodynamika studuje pohyb a příčiny pohybu tekutin. Vychází z pojmu kontinuum, které považuje kapalinu za spojitou hmotu. Název kontinuum není úplně přesný, protože kapalina je tvořena jednotlivými atomy a molekulami, které však jsou z pohledu pozorovatele tak malé, že se kapalina za spojitou posuzovat dá. Jedna z důležitých fyzikálních veličin popisující odpor molekul proti stlačení do nižšího objemu a přirozené expanzi je tlak. Je to tenzorová veličina, hlavní jednotkou je Pascal[kgm 1 s 2 ], další používané jednotky jsou například torr, bar, 2

3 nebo atmosféra. Tlak je definován podílem síly F na plochu S tedy: p = F S [Pa] (1) V uzavřeném objemu, kde nepůsobí žádná deformační síla je tlak ve všech místech kapaliny stejný. Této vlastnosti se využívá v takzvaných hydraulických zařízeních. Kde p1= p2 po rozepsání F1/S1= F2/S2, to lze přepsat na F2/F1= S2/S1. Proudění kapalin a plynů Pohyby kapalin a plynů jsou mnohem složitější, než pohyb pevných látek, protože částice se vůči sobě vzájemně pohybují i v přímočarém pohybu. Proudění nazýváme převládající pohyb částic v jednom směru. Tečnou složku rychlosti v čase t nazýváme proudnice. Viz obr. číslo 1. Jednotku, popisující množství kapaliny protékající danou plochou, nazýváme objemový tok. Q = dv (2) dt Vztah 2 lze napsat také Q=Sv. Základní jednotkou je m3/s. Tato veličina nám říká kolik metrů krychlových proteče za jednu vteřinu danou plochou S. 3

4 Ze spojitosti a nestlačitelnosti kapaliny lze objemový tok psát Q = konst., resp. S v = konst. (3) Pokud neuvažujeme žádnou energetickou výměnu s okolím můžeme uvažovat zákon zachování energie Ek + Ep = konst. (4) Kinetická energie je dána vztahem Ek = mv 2 /2, za hmotnost si dosadíme ρ*v a pro kinetickou energii dostaneme vztah Ek = ρvv 2 /2 Tlakovou potenciální energii získáme z mechanické práce, kterou vykoná tlaková síla F, jestliže posune píst o obsahu S o dráhu l. Při stálé tlakové síle o velikosti F=pS je vykonaná práce W= Fl = psl=pv. Pro potenciální energii tedy dostáváme vztah Ep = pv. Dosadíme-li do rovnice číslo 4 potenciální a kinetickou energii dostáváme vztah: ρvv 2 /2 + pv=konst. Po vydělení rovnice jednotkovým objemem dostaneme vztah ρv 2 /2 + p = konst (5) Tento vztah je nazýván Bernoulliho rovnice. Z této rovnice plyne, že zvýší-li se rychlost proudění, klesne tlak proudící kapaliny. Z této rovnice vyplívá např. na jakém principu funguje rozprašovač, kde do nádoby s kapalinou je vnořena trubice. Jeden konec trubice je ponořen v kapalině a druhý ústí do další trubky, kde proudí vzduch, tudíž tam vzniká podtlak a ten nasává kapalinu do proudícího vzduchu. Viz obr. 2. 4

5 Možná si někdo při čtení této práce neuvědomí, že tento podtlak nepůsobí pouze např. v řece, nebo v potrubí. Ze zákona akce a reakce plyne, že podtlak působí, i když se pohybují dvě pevná tělesa vedle sebe např. dvě plující lodě. Proudění je možno rozdělit na dva hlavní typy. Prvním typem je proudění laminární. Toto proudění se vyznačuje tím, že proudnice v každém bodě jsou rovnoběžné a stejně velké.proudí-li trubicí reálná kapalina(s nenulovou viskozitou), není rychlost všech částic v průřezu stejná. Vrstva kapaliny, která se dotýká bezprostředně stěny trubice se vůči trubici pohybuje nejmenší rychlostí, nebo je v klidu. S přibývající dráhou od stěny se rychlost zvětšuje až do velikosti, kdy již na rychlost částic nemá stěna žádný vliv. Vrstvu, ve které se mění rychlost v závislosti na vzdálenosti od trubice nazýváme mezní vrstvou. Druhým typem je proudění turbulentní. S tímto druhem proudění se v praxi setkáváme mnohem častěji něž s prouděním laminárním, zvláště je-li kapalinou plynná látka. Toto proudění se vyznačuje značnými nepravidelnostmi. Proudnice v každém bodě zdaleka nejsou rovnoběžné. Objevují se zde nepravidelné víry měnící se s časem. Turbulence sama o sobě je jeden z nejsložitějších přírodních procesů, který byl zatím pozorován. Podrobně z matematické stránky je popsána 5

6 v Pokrocích matematiky fyziky & astronomie 3 ročník 47 / 2002 strana Zatím jsme uvažovali pouze kapalinu bez vnitřního tření, takzvanou ideální kapalinu. Nyní se budeme zabývat prouděním, kde již nelze zanedbávat některé vlastnosti, jako např. vnitřní tření. V obr. 3 je možno vidět, že gradient rychlosti je přímo úměrný tečnému napětí. To znamená že dv dx = τ (6) Kde τ = F/S, takže tečné napětí má rozměr tlaku. Kapaliny splňující tuto rovnici nazýváme Newtonovské kapaliny. Existují I kapaliny, kde tento vztah neplatí. Těmito kapalinami se však v této práci zabývat nebudu, protože jsem zatím nepronikl do jejich systému. Vrat me se ale k přechodu z laminárního proudění do turbulentního. Je jednoduché zjistit, že nějaké vady v proudění vzniknou spíše ve vyšších rychlostech než v nižších a viskozitě nižší než vyšší. Pro tento přechod je velmi důležitá konstanta Reynoldsovo číslo. Toto číslo je definováno vztahem 6

7 Re = v l ν Kde v je rychlost proudění v místě, kde není ovlivněna třením o zdi, l je rameno jednotkové délky a ν je dynamická viskozita kapaliny. (viz vzorec 6). Výraz je bezrozměrný. Reynholdsovo má kritickou hodnotu Rek. Její velikost je přibližně Při překročení této kritické hodnoty přechází proudění z laminárního do turbulentního. Se zvyšováním Re postupně přestávají být rovnoběžné proudnice, rychlost proudění tedy přestává být pouze v jednom směru. Máme-li proudění jednoho geometrického typu, jsou tato proudění při stejném Reynholdsově čísle podobná. Reynholdsovo číslo vystihuje fyzikální podobnost různých proudění a bývá proto nazýváno podobnostním číslem. Známe i některá další podobnostní čísla, například Machovo číslo definováno jako podíl rychlosti proudění vůči předmětu ku rychlosti zvuku. Ma = v/vzvuku Metody fyzikální podobnosti zjednodušují fyzikům a potažmo I matematikům řešení mnoha úloh. Umožňují přenést výsledky z modelů, například v tunelu, ve kterém je urychlován vzduch, do praxe (při konstrukci letadel). 7 (7)

8 Dosud jsem proudění nedával do dráhy žádnou překážku. Nyní se budu zabývat proudnicemi kolem překážky. V Obr. 4 je obtékán válec v dvourozměrném provedení (to znamená, že třetí rozměr je nekonečně velký) Je vidět, že proudnice jsou stále rovnoběžné, a že po překážce se plynule vrací do původního tvaru. Toto je proudění s malým Reynholdsovým číslem. 8

9 Na obr. 5 již je možno vidět v bodě S odtržení mezní vrstvy od stěny překážky a za ní vznikající úplav. Tento případ nastane při vyšším Re než u obr. 4. I zde se ale časem proudění ustálí do proudění laminárního. Je evidentní, že laminární proudění je mnohem účinnější. V transformátoru tvoří vířivé proudy asi největší ztráty tohoto přístroje. 9

10 Kapalina na obr.6 se již do laminárního stavu nevrátí, pokud se nezmenší Re. To je způsobeno tím, že hodnota Re již překročila kritickou hodnotu a proudění zůstává turbulentní. Mezní vrstva je odtržena již v bodě S a v bodě T přechází do turbulentního proudění i vrstva, která nebyla mezní. 10

11 Na obr. 7 je úplav strháván rychle proudící kapalinou kolem válce. Nemezní vrstva se dostává do turbulentního proudění mnohem dříve a rychle se šíří i do dalších vrstev. Tento stav je ukázka z grafu pro Re blížící se k 106 viz. Obr.8. Podíváme-li se na odpor předmětu umístěného do proudění. V zásadě jsou pro odporovou sílu používány dva vzorce a to Stokesův zákon: 11

12 F = 6 R v C ν (8) Tento zákon platí přesně pouze pro laminární proudění viz obr. 4. Lze ho přesně použít jen v případech velmi nízkých Re řádově do Re=1. Ještě je asi dobré podotknout, že síla působí proti směru pohybu kapaliny vůči válci. Stokesův zákon se používá např. pro výpočet rychlosti pohybu jednotlivých kapiček oleje v takzvaném Milikenově experimentu, kde byl změřen náboj elektronu a jeho hmotnost. Pro proudění s vyšším Re se používá Newtonův vzorec, který je definován: F = C ρ v2 S 2 kde C je součinitel odporu, ρ je hustota kapaliny, S je průřez vystavený proudění, tedy kolmý ke směru rychlosti prostředí v a tělesa. Je zajímavé, že zde rychlost vystupuje na rozdíl od Stokesova vztahu v 2. mocnině. Tento vztah platí pro turbulentní proudění. Při přechodu z laminárního do turbulentního proudění je (9) 12

13 nutno spíše odhadnout, které proudění převládá. Na toto proudění totiž přesně neplatí ani jeden z těchto vztahů. Na obrázku, nebo spíše grafu číslo 8 je vidět závislost velikosti součinitele odporu na velikosti Reynholdsova čísla. Je zde vidět, že při malých Re je závislost lineární, pak přibližně v hodnotě 1100 přechází na kvadratickou. Zajímavá je hodnota mezi 105 a 106, u koule a válce prudce klesá hodnota odporu. Toho se využívá např. ve volejbale, kdy hráč podá a míč letí z počátku přibližně po parabole, a pak se najednou o mnoho zvětší odpor a parabola se začíná prudce zakřivovat, takže trajektorie míče zdaleka není parabola. Na obr. 9 máme první nesymetrický případ. Válec zde není obtékán rovnoměrně. Jeho rotace a nenulová viskozita prostředí způsobuje odlišnost obtékání shora a zdola. Jak je vidno z obrazu a z Bernoulliho rovnice (5), bude na válec působit síla nejen ve směru rychlosti v, ale I ve směru kolmém na rychlost v. Této skutečnosti je využíváno například ve sportu ve fotbale při takzvaných falšovaných míčích, kde fotbalista kopne do míče tak, aby měl kromě rychlosti ve směru rychlosti v i rotaci. Rotace způsobí, jak již bylo zmíněno nenulovou výslednou sílu ve směru kolmém na rychlost v. Velikost Magnusovy síly je F M = C M r2 π ρ v 2 (10) 4 Jedna z aplikací proudění, která hnala vývoj mechaniky kapalin a plynů dopředu, byla ve fyzice letu. Křídlo je asymetrický útvar, kde nad ním proudí kapalina mnohem rychleji a vzniká podtlak, pod ním pomaleji a tím vzniká přetlak. Výsledná síla tedy působí nahoru. Mezi obtékáním křídla a rotujícím válcem je jistá analogie, kterou vyjadřuje Žukovského transformace. To bych se dostával ale již relativně do složitých matematických vzorců, kterým ještě úplně nerozumím, takže co se týče fyzikální části, tak jí radši ukončím. Ještě bych se asi měl zmínit o existenci Navier-Stokesovy rovnice, což je základní rovnice pro obecné laminární prostorové proudění, je to v zásadě rovnice zachování hybnosti pro částici kapaliny. Transportní rovnice jsou rovnice pro transport pasivních (t.j. neměnících základní proudění,) Prandtlova rovnice jako první umožnila řešení smykových vrstev, které do té doby z Navier - Stokesových rovnic nebylo vůbec možné. 13

14 Dnes již si život bez znalosti hydrodynamiky vůbec nedovedeme představit. Sice reálné problémy vedou na soustavu několika diferenciálních rovnic, ale s tím již si většinou současná numerika za pomocí počítačů většinou dokáže poradit. Na základě současné hydrodynamiky staví dnes tolik potřebné vědy, jako např. meteorologie, která zkoumá počasí. Za pomocí družic, rychlých počítačů,současné numeriky a v neposlední řadě také fyziky, dnes dokážou meteorologové předpovědět s téměř stoprocentní pravděpodobností počasí na další den. Další obor, kde se uplatňuje současná fyzika kapalin, jsou návrhy na konstrukci automobilů, lodí, raketoplánů, jak již bylo zmíněno letadel a vůbec všeho, co se pohybuje v odporujícím prostředí, at již chceme odpor minimalizovat či maximalizovat. Také v astronomii najde své uplatnění. Při studiu ostatních planet se často astronomové zaměřují na atmosféru, nebot pro případnou lidskou kolonizaci je nutná přítomnost kyslíku, vody, teplota musí být přiměřená atd. 14

15 Nejen ve vědeckých oborech se dá hydrodynamika využít. Já osobně jsem si to uvědomil, když jsem byl letos o jarních prázdninách lyžovat v Peci pod Sněžkou na místních sjezdovkách. Osobně nejsem moc příznivcem tohoto sportu, ale řekl jsem si, že zkusit se má vše. Je fakt, že mě lyžování samo o sobě nijak nenadchlo, ale když jsem čekal frontu na vlek, tak jsem si uvědomil, že situace ve frontě připomíná přesně proudění kapaliny. Uděláme-li rychlostní profil fronty v určité vzdálenosti od místa vstupu do koridoru(obr 10), dostaneme profil téměř shodný pro kapalinu vtékající do trubky. To je asi vše,co jsem vám touto seminární prací chtěl sdělit. Ještě tu mám seznam literatury, jednak která byla použita pro tuto práci, jednak pro zajímavost. Zbyněk Jaňour - Základy aerodynamiky a mechaniky letu Václav Tesař - Mezní vrstvy a Turbulence Miroslav Hekrdla - Fyzika jachtingu(seminární práce 2003) J. I. Perelman - Zajímavá fyzika Dále byly použity moje záznamy z hodin fyziky a něco z učebnic Asi hlavním zdrojem byla skripta Antonína Havránka, z níž jsou zde nascannované obr.4-obr.9. Všem vypsaným osobám děkuji za materiály, které mi bud přímo, nebo nepřímo poskytli, a kterým bych chtěl za to poděkovat - DĚKUJI. Jistě jsem na někoho zapomněl, tak doufám, že se na mě nebude zlobit. 15