Transformace Aplikace Trojný integrál. Objem, hmotnost, moment

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Transformace Aplikace Trojný integrál. Objem, hmotnost, moment"

Ivana Švecová
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Trojný integrál Dvojný a trojný integrál Objem, hmotnost, moment

2 obecne ji I Nez zavedeme transformaci dvojne ho integra lu obecne, potr ebujeme ne kolik pojmu. Definice Necht je da no zobrazenı F : R2 R2 urc ene rovnicemi x = k(u, v ), y = l(u, v ), kde funkce k a l majı spojite parcia lnı derivace prvnı ho r a du. Pak F se nazy va spojite diferencovatelne zobrazenı a determinant J (u, v ) = ku kv lu lv se nazy va jakobia n zobrazenı F. Jestliz e J (u, v ) 6= 0, pak se toto zobrazenı nazy va regula rnı.

3 obecne ji II Ve ta Necht je da na spojita funkce f prome nny ch x a y na uzavr ene elementa rnı oblasti. Necht F : R2 R2 je proste regula rnı spojite diferencovatelne zobrazenı zadane rovnicemi x = k(u, v ), y = l(u, v ), a necht = F (B). Pak platı f k(u, v ), l(u, v ) J (u, v ) du dv. f (x, y ) dx dy = B

4 obecne ji II Pr ı klad Urc ete obsah rovnobe z nı ku : x y x + 1, Pr ı klad Vypoc te te integra l 2x 2 y 2x. x+y e x y dx dy, kde je lichobe z nı k s vrcholy [1, 0], [2, 0], [0, 2] a [0, 1].

5 dvojne ho integra lu I Geometricke aplikace obsah mnoz iny dx dy objem te lesa omezene ho obecnou va lcovou plochou tvor enou hranicı a funkcı f (x, y ) f (x, y ) dx dy Pru me rne hodnoty pru me rna hodnota funkce f (x, y ) na mnoz ine o obsahu m() (znec is te nı ovzdus ı, hustota populace atd.) 1 fave = f (x, y ) dx dy m()

6 dvojne ho integra lu II Fyzika lnı aplikace I hmotnost desky o tvaru a hustote (x, y ) (x, y ) dx dy m= staciona rnı moment desky o tvaru kolem osy x (x ) a kolem osy y (y ) x (x, y ) dx dy y (x, y ) dx dy y = x = sour adnice [x, y ] te z is te desky o tvaru, hmotnosti m a hustote (x, y ) 1 1 x (x, y ) dx dy y = y (x, y ) dx dy x = m m

7 dvojne ho integra lu III Fyzika lnı aplikace II moment setrvac nosti desky o tvaru a hustote (x, y ) okolo osy x a okolo osy y 2 x 2 (x, y ) dx dy y (x, y ) dx dy Iy = Ix = moment setrvac nost desky o tvaru a hustote (x, y ) okolo poc a tku (pola rnı moment) (x 2 + y 2 ) (x, y ) dx dy I0 = Dals ı aplikace za visı na vy znamu funkce f (x, y ) a tedy na vy znamu objemu, ktery vyjadr uje dvojny integra l. Dvojny integra l se te z da vyuz ı t k urc enı souc tu r ad nebo jednoduchy ch integra lu, u ktery ch nezna me primitivnı funkci.

8 Pr ı klady I Pr ı klad Urc ete hmotnost a te z is te troju helnı kove desky s vrcholy [0, 0], [1, 0] a [0, 2], jestliz e je jejı hustota popsa na funkcı (x, y ) = 1 + 3x + y. Pr ı klad Urc ete hmotnost a momenty setrvac nosti Ix, Iy a I0 homogennı kruhove desky se str edem v poc a tku, polome rem r a s hustotu.

9 Pr ı klady II Pr ı klad Pr i idea lnı ch podmı nka ch, kdy r idic vozu prudce brzdı je de lka brzdny ch stop (ve stopa ch) da na vztahem L = mv 2, kde m je hmotnost vozu a y je jeho rychlost. Urc te pru me rnou de lku brzdny ch stop pro automobily va z ı cı ne co mezi 3000 a 4000 librami a jedoucı rychlostı 50 az 60 mil za hodinu.

10 Podobne jako jsme zavedli dvojny integra l funkce dvou prome nny ch, mu z eme zave st i trojny integra l funkce tr ı prome nny ch. Geometricky mu z eme definovat trojny integra l funkce f (x, y, z) 1 na mnoz ine (te lese) V jako mı ru te to mnoz iny (tj. objem te lesa) Z dx dy dz = m(v ). V K vy poc tu trojne ho integra lu slouz ı ope t Fubiniova ve ta, ktera pr eva dı trojny integra l na trojna sobny.

11 Fubiniho ve ta Ve ta (Fubini) Necht je da na mnoz ina v rovine = {[x, y ] R2 : a x b, ϕ(x) y ψ(x)}, kde ϕ(x), ψ(x) jsou spojite funkce na intervalu [a, b] a ϕ(x) ψ(x), a mnoz ina v prostoru V = {[x, y, z] R3 : [x, y ], Φ(x, y ) z Ψ(x, y )}, kde Φ(x, y ), Ψ(x, y ) jsou spojite funkce na mnoz ine a Φ(x, y ) Ψ(x, y ). Je-li funkce f (x, y, z) spojita na mnoz ine V v prostoru, pak platı Z f (x, y, z) dx dy dz = V! ) Z Z (Z b ψ(x) Ψ(x,y ) f (x, y, z) dz = a ϕ(x) Φ(x,y ) dy dx.

12 Va lcove sour adnice Necht bod v prostoru ma karte zske sour adnice [x, y, z]. Pak va lcove sour adnice jsou z (beze zme ny) a mı sto karte zsky ch sour adnic x, y jsou pola rnı sour adnice pru me tu tohoto bodu do roviny xy. Odtud plynou rovnice transformace pro pr evod karte zsky ch sour adnic do va lcovy ch: z x = cos ϕ, b y = sin ϕ, z ϕ y b x z = z.

13 trojne ho integra lu Ve ta Necht funkce f (x, y, z) je spojita na mnoz ine V R3 a necht je tato mnoz ina urc ena ve va lcovy ch sour adnicı ch nerovnostmi ϕ1 ϕ ϕ2, 1 (ϕ) 2 (ϕ), Φ(, ϕ) z Ψ(, ϕ), kde funkce 1, 2, Φ(, ϕ), Ψ(, ϕ) jsou spojite. Pak platı Z = Z V ϕ2 f (x, y, z) dx dy dz = (Z Z 2 (ϕ) Ψ(,ϕ) f ( cos ϕ, sin ϕ, z) dz ϕ1 1 (ϕ) Φ(,ϕ)! d ) dϕ.

14 trojne ho integra lu jsou podobne jako u dvojne ho integra lu. Napr ı klad mı ra trojrozme rne mnoz iny Z dx dy dz, V hmotnost te lesa Z V (x, y, z) dx dy dz, V moment setrvac nosti kolem osy z Z V (x, y, z)(x 2 + y 2 ) dx dy dz, V atd.

Podobné dokumenty

Co je to diferenciální rovnice Rovnice se separovanými proměnnými Aplikace. Diferenciální rovnice I

Co je to diferenciální rovnice Rovnice se separovanými proměnnými Diferenciální rovnice I Modelování aneb předpovídání budoucnosti ? Diferencia lnı rovnice je rovnice, v ktere roli nezna me hraje funkce