Typy příkladů na písemnou část zkoušky 2NU a vzorová řešení (doc. Martišek 2017)

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Typy příkladů na písemnou část zkoušky 2NU a vzorová řešení (doc. Martišek 2017)"

Stanislava Vávrová
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Typy příkladů na písemnou část zkoušky NU a vzorová řešení (doc. Martišek 07). Vhodnou iterační metodou (tj. metodou se zaručenou konvergencí) řešte soustavu: x +x +4x 3 = 3.5 x 3x +x 3 =.5 x +x +x 3 =.5 Proveďte alespoň dvě iterace a odhadněte chybu. Řešení Méně přemýšliví a pilní využijí pozitivně definitní matici: A x = b A T A x = A T b x ( 3 ) ( x ) = (.5) x ( 3 ) ( 3 ) ( x ) = ( 3 ) (.5) 4 x x x ( 3 ) ( x ) = ( 33.5) 9 x Matice soustavy je pozitivně definitní Gauss-Seidelova metoda bude konvergovat. V tomto případě je matice i ostře diagonálně dominantní konvergovat bude i Jacobiho metoda. x = 3 x 9 x 3 x = 3 x x x 3 = 9 x 9 x

2 Jacobiho m.: Gauss-Seidel. m.: x (0) = ( 0.5; 3; 5.5) x (0) = (0; 0; 0) x () = ( 0.;.4; 5.) x () = ( 0.5;.9; 5.3) x () = ( 0.8;.54; 5.4) x () = ( 0.;.45; 5.4) Chyba: E = x i () x i () = 0.6 : E = x i () x i () = 0.46 Pro přemýšlivější a línější x +x +4x 3 = 3.5 I 4x x 3 = III I x 3x +x 3 =.5 II x 3x +x 3 =.5 II x +x +x 3 =.5 III x +x +4x 3 = 3.5 I Matice je ostře diagonálně dominantní Jacobiho i Gauss-Seidlova metoda budou konvergovat. x = x 3 4 x = 3 x + 3 x x 3 = x 4 x Jacobiho m.: Gauss-Seidel. m.: x (0) = ( 0.5; 0.8; 3.4) x (0) = (0; 0; 0) x () = (.45;.88; 3.05) x () = ( 0.5; 0.75; 3.06) x () = (.7;.33; 3.63) x () = (.8;.8; 3.45) Chyba: E = x i () x i () = 0.58 : E = x i () x i () =.53

3 Pomocí vhodného interpolačního polynomu se třemi uzly určete přibližnou hodnotu 0. 4 a odhadněte chybu interpolace (Pozor! Přesnou hodnotu nemáte k dispozici!) Řešení: Můžeme interpolovat například hodnoty funkce x x: Pozor! Tabulka není vhodná (proč?) Např. Lagrangeova metoda: (x 0.36)(x 0.49) L (x) = 0.5 ( )( ) (x 0.5)(x 0.49) ( )( ) (x 0.5)(x 0.36) +0.6 ( )( ) ( )( ) 0.4 L (0.4) = ( )( ) + ( )( ) ( )( ) E (x 0.5)(x 0.36)(x 0.49) 3! (x 0.5)(x 0.36)(x 0.49) 3! = 3! ( x) ( = 3! x ) = 3! ( 4 x 3 ) = 3! Funkce je klesající 3 8 x 5 6x 5 = 3! (x 0.5)(x 0.36)(x 0.49) = g ( ) = g(0.305) = = 6x = g(x)

4 = ( )( )( ) g ( ) = g(0.45) = = ( )( )( ) 0.55 g(x) 0.55; E 0.55 =. Další možností je interpolace hodnot funkce 0.4 x : Např. Newtonova metoda: N (x) =.5.5 (x + ) x (x + ) 0.4 N (0.4) =.5.5 (0.4 + ) (0.4 + ) = 0.65 E (x ) x (x + ) 3! (x ) x (x + ) 3! (x ) x (x + ) 3! ) ln = 3! (0.4x = 3! 0.4x 3! Funkce je klesající ln x = 0.40,5 ln ! 3! (x ) x (x + ) = g(x) g( 0.5) = g(0.5) = ( 0.5 )( 0.5)( ) = E =

5 (Alternativa): Kotel s horkou vodou chladne při stálé venkovní teplotě. Byly změřeny následující hodnoty: τ (min) t ( o C) Určete, při jaké teplotě kotel chladne a čas, kdy se ochladí na 8 o C. Závislost teploty na čase předpokládejte ve tvaru t(τ) = t 0 + k e 0.0τ Řešení: Použijeme metodu nejmenších čtverců. Funkci předpokládáme ve tvaru t(τ) = t 0 φ 0 (τ) + k φ (τ) kde φ 0 (τ) = ; φ (τ) = e 0.0τ. (φ 0 ; φ 0 ) = (; ; ; ; ; ) (; ; ; ; ; ) = 6 (φ 0 ; φ ) = (φ ; φ 0 ) (.000; 0.74; 0.549; 0.407; 0.30; 0.3) (; ; ; ; ; ) 3. (φ ; φ ) (.000; 0.74; 0.549; 0.407; 0.30; 0.3) (.000; 0.74; 0.549; 0.407; 0.30; 0.3) 0.3 (φ 0 ; t) (; ; ; ; ; ) (96; 73; 58; 45; 37; 30) = 339 (φ ; t) (.000; 0.74; 0.549; 0.407; 0.30; 0.3) (96; 73; 58; 45; 37; 30) 8 ( (φ 0; φ 0 ) (φ 0 ; φ ) (φ ; φ 0 ) (φ ; φ ) ) (t 0 k ) = ((φ 0; t) (φ ; t) ) Kotel chladne asi při o C. ( ) (t 0 C ) = ( ) t 0 k 84.5 t(τ) = t 0 φ 0 (τ) + k φ (τ) e 0.0τ 8 = e 0.0τ = e 0.0τ e 0.0τ = τ ln τ 50 ln 4 Na 8 o C se ochladí asi za 4 minut.

6 3 Určete hodnotu integrálu s chybou menší než Řešení: e x dx Chyba integrace složené obdélníkové resp. lichoběžníkové metody: 0 E C x 0; e x ( 0) h E C x 0; xe x h E C x 0; e x + 4x e x h E C x 0; (4x )e x h = C x 0; g(x) h Maximum funkce g(x) odhadneme pomocí tří funkčních hodnot: Tedy g(0) = ; g(0.5) = e ; g() = e 0.74; C g(0) h = C h Pro složenou obdélníkovou metodu je C = 4, tedy Volíme tedy h = 0. (n=5): 4 h h < 0.45 e x dx 0. (f(0.) + f(0.3) + f(0.5) + f(0.7) + f(0.9)) 0 0. ( ) Pro složenou lichoběžníkovou metodu je C =, tedy

7 Volíme tedy h = 0.6 : (n=6): 0.6 h h < 0.7 e x dx 0 (f(0) + f(0.6 ) + f(0. 3 ) + f(0.5) + f(0. 6 ) + f(0.83 ) + f()) ( Separujte kořeny rovnice x + sin x = 0 Jeden z nich (kterýkoliv) určete na dvě desetinná místa Řešení: Separace Zpřesňování: x 0; x 3; 4 x 5; 6 x 0; např. regula falsi ) i x i x i+ x i f(x i ) f( x i+ ) f(x i ) k = f(x i) f(x i ) x i x i

8 x 3; 4 např. bisekce i x i x i+ x i f(x i ) f( x i+ ) f(x i ) x 3 5; 6 např. Newton f(x) = x + sin x ; f (x) = + cos x ; f (x) = sin x Start. bod x 0 = 5.5; f(5.5) 0.34 > 0; f (5.5) 0.7 Fourierova podm. je splněna i x i f(x i ) k = f (x i ) Písemná práce se skládá ze tří příkladů (. 3 0 bodů). Čas na vypracování cca 60 minut. Povolena kalkulačka (nikoliv notebook či tablet), list papíru formátu A5 (čímkoliv) ručně popsaný po obou stranách

9 Okruhy teoretických otázek. Chyby a jejich šíření (chyby modelu a metody, chyby vstupních dat, zaokrouhlovací chyby, absolutní a relativní chyba, chyba součtu, rozdílu, součinu, podílu). Numerické řešení soustav lineárních rovnic (GEM výběr hlavního prvku, podmíněnost, číslo podmíněnosti, norma matice, pozitivně definitní matice, Jacobiho a Gauss-Seidelova metoda) 3. Aproximace funkcí (interpolace a aproximace, Lagrangeova a Newtonova interpolace a jejich chyba, Hermitův interpolační polynom, splajny, aproximace metodou nejmenších čtverců) 4. Numerická derivace a integrace (důvody numerické derivace a integrace, dopředná, zpětná a centrální diference, Richardsonova extrapolace, obdélníková, lichoběžníková a Simpsonova formule základní a složené formy a jejich chyby, metoda polovičního kroku, Rombergrova integrace) 5. Numerické řešení nelineárních rovnic a jejich soustav (separace kořenů, půlení intervalu, Newtonova metoda, metoda sečen, regula falsi, obecná iterační metoda, stop-kriteria, řešení soustav nelineárních rovnic Newtonova metoda, obecná iterační metoda) 6. Úvod do optimalizace (formulace optimalizační úlohy, účelová funkce. Jednorozměrná minimalizace půlení intervalu, trisekce, zlatý řez, metoda kvadratické minimalizace. Vícerozměrná minimalizace princip simplexové metody, metody souřadnicových směrů a gradientní metody). Odpověď na jednu ústně položenou teoretickou otázku hodnocena 0. body.

Podobné dokumenty

Numerická matematika Písemky

Numerická matematika Písemky Bodování Každá písemka je bodována maximálně 20 body. Celkem student může získat za písemky až 40 bodů, pro udělení zápočtu musí získat minimálně 20 bodů. Písemka č. 1 Dva