Numerické metody a statistika

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Numerické metody a statistika"

Denis Blažek
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Numerické metody a statistika Radek Kučera VŠB-TU Ostrava ( ) Numerické metody a statistika /

2 Numerické integrování ( ) Numerické metody a statistika /

3 Geometrický význam integrálu definice určitý integrál představuje velikost plochy: I = b a f (x) dx = lim x j 0 m m f (ξ j ) x j j=1 klasická definice: limita částečných součtů částečný součet lze použít jako numerickou metodu předpoklad: funkce f je dostatečně hladká připomenutí: neurčitý integrál (primitivní funkce) je metoda výpočtu určitého integrálu F (x) = f (x) dx F (x) = f (x) Newton-Leibnitzova formule: I = F(b) F(a) ( ) Numerické metody a statistika /

4 Jednoduché vzorce Newton-Cotesovy: vzniknou integrací interpolačního polynomu odvození pomocí Lagrangeova tvaru IP: p n (x) = n f (x i )l i (x), i=1 l i (x) polynomy Lagr. báze pro uzly a x 0 < x 1 < < x n b integrací dostaneme: I b a p n (x) dx = n f (x i )w i, kde w i = i=1 b a l i (x) dx jsou integrační váhy ( ) Numerické metody a statistika /

5 obrázek 1) Obdélníkové pravidlo ( ) a + b I obd = (b a)f odvození: ( ) a + b b p 0 (x) = f, l 0 (x) = 1, w 0 = 1 dx = b a a ( ) Numerické metody a statistika /

6 ) Lichoběžníkové pravidlo I lich = b a (f (a) + f (b)) obrázek odvození: p 1 (x) = f (a)l 0 (x) + f (b)l 1 (x), l 0 (x) = x b a b, l 1(x) = x a b a w 0 = b a x b a b dx = b a = w 1 ( ) Numerické metody a statistika /

7 obrázek 3) Simpsonovo pravidlo I Sim = b a 6 ( f (a) + 4f ( a + b ) ) + f (b) odvození: ( ) a + b p (x) = f (a)l 0 (x) + f l 1 (x) + f (b)l (x) w 0 = w 1 = 4w 0, w = w 0 b a (x x 1 )(x x ) (x 0 x 1 )(x 0 x ) dx = b a 6 ( ) Numerické metody a statistika /

8 Složené vzorce Newton-Cotesovy vzorce odvozené z polynomů vyššího stupně nedávají dobré výsledky z jednoduchých vzorců se proto sestavují vzorce složené analogie částečných součtů I = b a f (x) dx = m j=1 xj x j 1 f (x) dx a = x 0 < x 1 < < x m = b, h = x j x j 1 je krok integrály za sumou aproximujeme jednoduchými vzorci ( ) Numerické metody a statistika /

9 složené obdélníkové pravidlo I SO = h m ( ) xj 1 + x j f j=1 složené lichoběžníkové pravidlo I SL = h f (x 0 ) + m 1 j=1 f (x j ) + f (x m ) složené Simpsonovo pravidlo, pro m = k (sudé) I SS = h k k 1 f (x 0 ) + 4 f (x j 1 ) + f (x j ) + f (x m ) 6 j=1 j=1 ( ) Numerické metody a statistika /

10 Analýza chyby Věta I(h) označuje přibližnou hodnotu integrálu počítanou pro krok h platí: I(h) I, pro h 0 jak rychle (jaký je řád diskretizace)? Necht má funkce f na a, b spojitou. resp. 4. derivaci. Platí: I I obd = f (ξ) (b a)3 4 I I lich = f (ξ) (b a)3 1 I I Sim = f (4) (ξ) (b a)5 90 ( ) Numerické metody a statistika /

11 Důkaz: Použijeme vzorec pro interpolační chybu: Věta I I lich = f (ξ) f (x) p 1 (x) = f ( ξ) (x a)(x b) b a (x a)(x b) dx = f (ξ) 1 (b a)3 6 Necht má funkce f na a, b spojitou. resp. 4. derivaci. Platí: I I SL = m i=1 I I SO C 1 h, C 1 > 0 I I SL C h, C > 0 I I SS C 3 h 4, C 3 > 0 f (ξ i ) 1 h3 h3 1 m i=1 f (ξ i ) h3 1 Mm = b a 1 Mh ( ) Numerické metody a statistika /

12 Výpočet integrálu pro zadanou přesnost pro dané ε požadujeme: I I(h) ε dvojný přepočet: připomíná iterační metodu vypočítáme I(h) a I(h) platí, výsledek je I(h) = I ± ε I(h) I(h) ε neplatí, zmenšíme krok h := h/ vylepšením je Richardsonova extrapolace: pomocí informace o řádu formule se odvodí přesnější vzorce (viz skriptum) ( ) Numerické metody a statistika /

13 Numerické derivování ( ) Numerické metody a statistika /

14 Geometrický význam derivace definice derivace představuje směrnici tečny: f (x) = lim h 0 f (x + h) f (x) h zlomek za limitou představuje směrnici sečny lze ho použít pro numerický výpočet derivace předpoklad: funkce f je dostatečně hladká alternativa k výpočetu derivace pomocí algebraických postupů ( ) Numerické metody a statistika /

15 Vzorce a jejich odvození přehled vzorců f (x) f (x + h) f (x) h f (x) f (x h) h f (x + h) f (x h) h (1) () f (x) f (x + h) f (x) + f (x h) h (3) vzorce lze odvodit derivací interpolačního polynomu ( ) Numerické metody a statistika /

16 Odvození (1) použijeme Newtonův tvar IP pro uzly t 0 = x, t 1 = x + h p 1 (t) = f (x) + f [x + h, x](t x) p 1 (t) = f [x + h, x] dosadíme t = x p 1 f (x + h) f (x) (x) = f (x) h ( ) Numerické metody a statistika /

17 Odvození (3) a () Newtonův tvar IP pro uzly t 0 = x h, t 1 = x, t = x + h p (t) = f (x h)+f [x h, x](t x+h)+f [x h, x, x+h](t x+h)(t x) první a druhá derivace p (t) = f [x h, x] + f [x h, x, x + h](t x + h) p (t) = f [x h, x, x + h] dosadíme t = x f (x+h) f (x) (x) = h h p f (x) f (x h) h = f (x + h) f (x) + f (x h) h ( ) Numerické metody a statistika /

18 p f (x) f (x h) (x) = + h f (x+h) f (x) h h f (x) f (x h) h h = = f (x) f (x h) h + f (x + h) f (x h) h f (x + h) f (x) + f (x h) h h ( ) Numerické metody a statistika /

19 Věta (o diskretizační chybě) Necht má funkce f v okolí bodu x spojitou spojitou. resp. 3. derivaci. Platí: Důkaz (5): Z Taylorova polynomu vyjádříme první derivaci. p 1 (x) f (x) = h f (ξ) p (x) f (x) = h f (3) (ξ) 3 p (x) f (x) = h f (4) (ξ) 1 f (x + h) = f (x) + hf (x) + h f (ξ) (4) ( ) Numerické metody a statistika /

20 Příklad (s překvapivým výsledkem) vypočteme přibližnou hodnotu 1. derivace podle vzorce (1) pro f (x) = sin x, x = 1 přesná hodnota na 4 destinná místa f (1) = cos 1 = pro h = 0.01 f (1) sin 1.01 sin = = 0.53 pro h = f (1) sin sin = = 0.5 ( ) Numerické metody a statistika /

21 Celková chyba při numerickém derivování součet diskretizační a zaokrouhlovací chyby E(h) = e(h) + z(h) graf E(h) = přímka + hyperbola = Ch + κ h důsledek: velmi malý krok h dává špatné výsledky ( ) Numerické metody a statistika /

22 Souhrn jednoduché vzorce, Newton-Cotesovy složené vzorce analýza chyby řád vzorců výpočet pro zadanou přesnost numerický výpočet derivace Zdroj skripta Numerické metody str ( ) Numerické metody a statistika /

Podobné dokumenty

Numerická matematika Písemky

Numerická matematika Písemky Bodování Každá písemka je bodována maximálně 20 body. Celkem student může získat za písemky až 40 bodů, pro udělení zápočtu musí získat minimálně 20 bodů. Písemka č. 1 Dva