programu GeoGebra do výuky matematiky. Podrobnosti o programu naleznete na webu [1]. Přednostní využití tohoto programu spadá do výuky geometrie,

Transkript

1 South Bohemia Mathematical Letters Volume 21, (2013), No. 1, MODELOVÁNÍ REÁLNÝCH SITUACÍ V MATEMATICE NA SŠ STĚHOVACÍ PROBLÉM Astrakt. Článek představuje možnosti využití programu GeoGera při výuce středoškolské matematiky: při řešení prolémů, jejichž formulace je středoškolským studentům snadno srozumitelná, ale standardní řešení nespadá do středoškolského kurikula. GeoGera naízí alternativní řešení celého prolému neo některé jeho části. První část příspěvku se věnuje prolému stěhování skříně rohovou chodou a různými souvisejícími modely. Druhá část se věnuje zjednodušenému modelu, který zanedává hlouku skříně. Třetí část příspěvku představuje čistě analytické řešení prolému. Příspěvek naízí zajímavé rozšíření tématu Goniometrické funkce na střední škole: využívá trigonometrie k vytvoření modelu reálné situace a jeho podronému rozoru, procvičuje úpravy výrazů osahujících goniometrické funkce. Také je rozšířením tématu Vlastnosti funkce (minimum funkce). Třetí část příspěvku ukazuje souvislost s nepovinným tématem Diferenciální počet (hledání minima funkce pomocí derivace) a další rozšíření tématu Goniometrické funkce. Úvod Při studiu středoškolské matematiky můžeme očas narazit na jednoduché otázky (z hlediska formulace i pochopení smyslu otázky), jejichž řešení vyžaduje postupy mimo rámec středoškolského kurikula. Ozvláště tento kontrast vynikne u praktických otázek, které mají vztah ke každodenní realitě. V současné doě proíhá na českých základních a středních školách úspěšná implementace programu GeoGera do výuky matematiky. Podronosti o programu naleznete na weu [1]. Přednostní využití tohoto programu spadá do výuky geometrie, ale program je možné využít také při modelování reálných situací či jako zdroj alternativních způsoů řešení matematických prolémů. První část tohoto článku se věnuje prolému stěhování skříně rohovou chodou a různými souvisejícími modely. Druhá část se věnuje zjednodušenému modelu, který zanedává hlouku skříně. Třetí část článku představuje čistě analytické řešení prolému. Příspěvek naízí zajímavé rozšíření tématu Goniometrické funkce na střední škole: využívá trigonometrie k vytvoření modelu reálné situace a jeho podronému rozoru, procvičuje úpravy výrazů osahujících goniometrické funkce. Také je rozšířením tématu Vlastnosti funkce (minimum funkce). Třetí část příspěvku ukazuje souvislost s nepovinným tématem Diferenciální počet, konkrétně s hledáním minima funkce pomocí derivace, a naízí další rozšíření tématu Goniometrické funkce: Key words and phrases. GeoGera, stěhovací prolém, modelování, trigonometrie, minimum funkce.

2 68 úpravy složitějších výrazů s goniometrickými funkcemi, vztahy mezi jednotlivými funkcemi a řešení goniometrických rovnic. Při přípravě článku vyvstala otázka, jestli při práci s úhly používat stupně neo radiány. Při popisu praktických prolémů z každodenního života se spíše hodí uvádění úhlů ve stupních, ale na střední škole se s goniometrickými funkcemi pracuje v radiánech. Program GeoGera sice v menu Nastavení - Pro pokročilé naízí možnost výěru, jenže tento výěr se týká pouze jednotek, ve kterých udou popisovány úhly v geometrické konstrukci a v algeraickém okně. Veškeré interní výpočty týkající se goniometrických a cyklometrických fukcí udou v programu GeoGera vždy prováděny v radiánech. Takže, pokud je konstrukce čistě geometrická, ez pomocných goniometrických funkcí, můžeme si jako zorazované jednotky nastavit stupně a využít tak komfortního zorazení reality v jednotkách, na které jsme v ěžném životě zvyklí. (V tomto článku se to týká pouze modelu uvedeného na Or. 4.) Jakmile však v konstrukci potřeujeme nějaké pomocné goniometrické funkce, je vhodnější jako zorazované jednotky zvolit radiány. Popisky úhlů jsou pak sladěny s výpočty. V případě potřey si můžeme převést úhly z radiánů do stupňů ručně: je-li α úhel v radiánech, tak GeoGera příkaz u=α/ vytvoří číslo u udávající velikost úhlu α ve stupních. Situaci pomůže ujasnit následující příklad: jsou-li α a u jako výše, tak sinus úhlu α můžeme určit ud příkazem sin(α), neo příkazem sin(u ). 1. Stěhujeme skříň Snad každý student již někdy stěhoval (neo pomáhal stěhovat) nějakou skříň či pohovku a je si tedy vědom toho, že kritickými místy při podoném stěhování jsou rohy. Trojrozměrný případ zahrnující schody je pro středoškoláky příliš složitý, udeme se tedy věnovat pouze stěhování v rámci jednoho patra. Pro základní zjednodušení udeme předpokládat situaci, kdy stěhujeme velice těžkou skříň, kterou nesmíme naklánět. V takovém případě se dá prolém převést na dvojrozměrný a zkoumat pouze půdorys celé situace. Úloze Představme si roh tvořený kolmými chodami o šířkách a, a skříň o hlouce h. Jakou největší šířku s může skříň mít, aychom ji mohli přestěhovat za roh? pak odpovídá půdorys na Or. 1, modelem skříně je odélník o rozměrech h, s. Orázek 1. Půdorys stěhovacího prolému.

3 MODELOVÁNÍ REÁLNÝCH SITUACÍ 69 Načrtněme si podronější schéma celé situace, označme důležité ody a délky důležitých úseček Or. 2: Orázek 2. Podroný náčrtek situace. Předpokládejme, že přední čelo skříně svírá s chodou úhel α podoně jako na Or. 2. Potom z pravoúhlých trojúhelníků ACF, CDK a AGL postupně dostáváme vztahy (1.1) sin(α) = h u (1.2) (1.3) cos(α) = a+z s tan(α) = Ze vztahů (1.2), (1.1) a (1.3) popořadě plyne a tedy s = a+z cos(α) z = u = s = a+ tan(α) h sin(α) cos(α) z +u tan(α) u h sin(α) = a sin(α)+ cos(α) h cos(α) sin(α) Takové s je maximální možnou šířkou skříně v případě, že přední čelo skříně svírá s chodou AK úhel α. Definujme tedy funkci vyjadřující závislost s na α. s(α) := a sin(α)+ cos(α) h cos(α) sin(α)

4 70 Aychom zjistili maximální možnou šířku skříně, kterou je možné přestěhovat za roh, musíme zjistit minimum funkce s(α) pro α (0, π 2 ). Při hledání minima můžeme využít program GeoGera, a to hned několika různými způsoy. Nejjednodušším způsoem je určení přiližné hodnoty minima funkce z jejího grafu. Na pracovní plochu zadáme posuvníky pro hodnoty parametrů a,, h a funkci f(x) = a sin(x)+ cos(x) h cos(x) sin(x) na intervalu (0, π 2 ). Na graf této funkce umístíme od P a v interaktivním textu udeme sledovat y-ovou souřadnici odu P. Pohyováním odu P po grafu zjistíme nejmenší hodnotu této y-ové souřadnice, tedy minimální hodnotu funkce f. Ta je zároveň minimální hodnotou funkce s. Z x-ové souřadnice odu P vyčteme velikost úhlu α (v radiánech), ve kterém se minima naývá. Situace pro a = 2, = 3, h = 1 je znázorněna na Or. 3. V tomto případě můžeme stěhovat skříň o maximální šířce 4,99 m, kritickým úhlem je α = 51,26. Orázek 3. Grafické nalezení minima funkce f. Přesnější hodnotu minima funkce f a odu, ve kterém se minima naývá, poskytne příkaz Minimum[f,0,Pi/2]. Jeho výstupem je od na grafu funkce f. Jiným způsoem využítí programu GeoGera je vytvoření dynamického modelu celé situace pohylivého půdorysu. Model může sloužit jako kontrolní, pomocí něj ověříme, zda se nějaká konkrétní skříň dá přestěhovat za roh. Model založíme na posuvníku pro úhel α. Pomocné posuvníky umožní volit parametry modelu: rozměry chody a šířku a hlouku skříně. Pro takto zvolené parametry projdeme celou délku posuvníku α a zkontrolujeme, jestli se ve všech polohách skříň do chody vejde. Můžeme také využít interaktivní text s podmíněným zorazením, který se ojeví, pokud se pro některý úhel skříň do chody nevejde. Ilustrace k tomuto pohylivému půdorysu naleznete na Or. 4. Složitější dynamický model je založen na podoné úvaze, jaká vedla k hledání maximální šířky skříně jako minima funkce s(α). Nevěnuje se tedy konkrétnímu rozměru jedné skříně, ale řeší prolém oecně. Opět se jedná o pohylivý půdorys,

5 MODELOVÁNÍ REÁLNÝCH SITUACÍ 71 Orázek 4. Dynamický model stěhovacího prolému pro konkrétní rozměry skříně. tentokrát však pro každou hlouku skříně a každou polohu skříně znázorňuje maximální možnou šířku skříně, která se do chody vejde, viz Or. 5. Podoně jako v předchozím případě je model založen na posuvníku pro úhel α a na pomocných posuvnících pro rozměry chody a hlouku skříně. Maximální možnou šířku skříně označíme v konstrukci jako s, její hodnota závisí na zvoleném úhlu α. Pohy posuvníkem pro úhel α ukáže, jaké nejmenší hodnoty s naývá. Orázek 5. Dynamický model stěhovacího prolému maximální stěhovatelná šířka. Pro přesné určení kritického úhlu α můžeme využít příkaz Minimalizovat[s,α]. Výstupem příkazu je hodnota nezávislé proměnné α, pro kterou závislá proměnná s naývá minima. (Všimněte si, že jsme tentokrát vůec nepotřeovali funkci f.)

6 72 2. Stěhujeme desku Budeme-li skříň stěhovat rozloženou na jednotlivé desky, je jasné, že šance na její úspěšné přemístění za roh se značně zvýší. Dřevěné desky mají tloušt ku kolem 2 cm, což je zlomek jejich ostatních rozměrů, zkusme tedy tuto tloušt ku zanedat. Vytvořme model situace, kdy za roh stěhujeme desku o šířce d. Modelem desky je úsečka délky d, viz Or. 6 a 7. Orázek 6. Půdorys stěhovacího prolému s deskou. Orázek 7. Podroný náčrtek situace. PokuddeskasvíráschodouúhelαjakonaOr.7,takzpravoúhlýchtrojúhelníků ABK, a LBH dostáváme vztahy sin(α) = +v d ze kterých plyne tan(α) = v a

7 MODELOVÁNÍ REÁLNÝCH SITUACÍ 73 d = +v sin(α) v = a tan(α) a tedy (2.1) d = +a tan(α) sin(α) = cos(α)+a sin(α) cos(α) sin(α) Takové d je maximální možnou šířkou desky v případě, že deska svírá s chodou AK úhel α. Definujme tedy funkci d(α) := a sin(α)+ cos(α) cos(α) sin(α) vyjadřující závislost d na α. Aychom zjistili maximální možnou šířku desky, kterou je možné přestěhovat za roh, musíme zjistit minimum funkce d(α) na intervalu (0, π 2 ). Vzhledem k tomu, že d je rovno s pro h = 0, můžeme využít liovolný postup z první části tohoto článku. Například model z Or. 3 pro h = 0, a = 2, = 3 dává α = 48,86 a d(α) = s(α) = 7,02. Zývá si položit důležitou otázku, jak moc jsme se spletli oproti reálné situaci, když jsme zanedali tloušt ku desky. Odpověd nám poskytne opět model z Or. 3, a to pro h = 0,02: zde vychází α = 48,84 a s(α) = 6,98. Zanedáním tloušt ky desky tak došlo k nadhodnocení maximální stěhovatelné šířky o 0,02 m, dopustili jsme se relativní chyy 0,6 %. 3. Stěhujeme a derivujeme Milovníci analytických postupů se už jistě zamýšleli nad možností vyřešit prolém analyticky. Ta možnost tu skutečně je, ale vyžaduje znalost diferenciálního počtu. Diferenciální počet sice není povinnou součástí středoškolských osnov, ale některé školy ho do svého ŠVP zařazují, a tak si tento postup také ukážeme. Začněme tou jednodušší úlohou hledáním minima funkce d(α) na intervalu (0, π 2 ). Nejprve najdeme ody podezřelé z extrému, tj. ody ve kterých je derivace nulová. Před derivováním si funkci upravíme do vhodnějšího tvaru a dostaneme: ( d (α) = sin(α) + a cos(α) Rovnost d (α) = 0 je tedy splněna pokud ) = cos(α) sin 2 (α) + a sin(α) cos 2 (α) cos(α) sin 2 (α) a = a sin(α) cos 2 (α) = sin3 (α) cos 3 (α)

8 74 tan 3 (α) = a (3.1) tan(α) = 3 a ( 3 α = arctan a ) Řešení (3.1) označme α 0. Protože d(0+) = d( π 2 ) =, tak funkce d na intervalu (0, π 2 ) má v odě α 0 minimum. Aychommohlipřehledněurčithodnotufunkcedvoděα 0,potřeujemevyjádřit sin(α) a cos(α) pomocí tan(α). Využijeme vztahu odtud tan 2 (α)+1 = sin2 (α)+cos 2 (α) cos 2 (α) cos 2 (α) = 1 tan 2 (α)+1 = 1 cos 2 (α) sin 2 (α) = 1 cos 2 (α) = tan2 (α) tan 2 (α)+1 a tedy díky tomu, že tan(α 0 ) = 3 a, dostáváme sin 2 (α 0 ) = tan 2 (α 0 ) tan 2 (α 0 )+1 = 3 2 a a +1 2 = a 2 Protože na intervalu (0, π 2 ) je funkce sinus kladná, můžeme ez oav odmocnit sin(α 0 ) = 2 + a 2 a dosadit do první části vztahu (2.1): ( +a 3 a) 2 + a 2 d(α 0 ) = = (+ a 2 ) 2 + a 2 = = ( a 2) 2 + ( a 2 3 = 2 + a 2) 3 Funkce d má na intervalu (0, π 2 ) minimum v odě α 0 = arctan ( 3 a), které je rovno (3.2) ( a 2) 3 Je-li a =, tak α 0 = arctan(1) = π 4 a minimum je rovno ( a 2 + a 2 ) 3 = 8 a. Pro chodu s parametry a = 2, = 3 dostáváme α 0 = arctan = 48,86 a d(α 0 ) = 7,02, tedy stejná čísla, která jsme održeli z dynamického GeoGera modelu.

9 MODELOVÁNÍ REÁLNÝCH SITUACÍ 75 Složitější prolém s hledáním minima funkce f již tak pěkně nevychází: hledání nulové derivace vede k rovnici a sin(x) h cos 2 (x) cos(x) h sin 2 (x) = 0 která pro oecná a,, h není řešitelná algeraickými úpravami. 4. Závěrečné poznámky Dynamický software GeoGera umožňuje oohacení výuky matematiky o nová témata, tuto výhodu oceníme zvláště u jednoduše formulovatelných praktických prolémů. Zájemce o podoné, ale složitější prolémy odkazujeme na tzv. Moving sofa prolem, který řeší stěhovací prolém z trochu jiné perspektivy: hledá křeslo s maximálním osahem půdorysu. Podronosti naleznete například na [2]. Všechny orázky v tomto článku yly vytvořeny v programu GeoGera. Literatura [1] Program GeoGera, dostupný na [2] Moving sofa prolem, 15/12/2013. Katedra matematiky,pedagogická fakulta,jihočeská Univerzita v Českých Budějovicích address: lsamkova@pf.jcu.cz